2.1 परिचय

गती ही विश्वातील प्रत्येक गोष्टीसाठी सामान्य आहे. आपण चालतो, धावतो आणि सायकल चालवतो. आपण झोपत असतानाही, हवा आपल्या फुफ्फुसांमध्ये आत-बाहेर जाते आणि रक्त धमन्या आणि शिरांमध्ये वाहते. आपण झाडांपासून पाने पडताना पाहतो आणि धरणावरून पाणी वाहताना पाहतो. ऑटोमोबाईल आणि विमाने लोकांना एका ठिकाणाहून दुसऱ्या ठिकाणी नेतात. पृथ्वी प्रत्येक चोवीस तासात एकदा फिरते आणि वर्षातून एकदा सूर्याभोवती प्रदक्षिणा घालते. सूर्य स्वतःच आकाशगंगेत गतिमान आहे, जी पुन्हा त्याच्या स्थानिक गॅलॅक्सी गटात गतिमान आहे.

गती म्हणजे वस्तूची स्थिती काळाबरोबर बदलणे. स्थिती काळाबरोबर कशी बदलते? या प्रकरणात, आपण गतीचे वर्णन कसे करायचे ते शिकू. यासाठी, आपण वेग आणि त्वरण या संकल्पना विकसित करू. आपण स्वतःला सरळ रेषेत गतिमान असलेल्या वस्तूंच्या गतीच्या अभ्यासापुरते मर्यादित ठेवू, ज्याला रेक्टिलिनियर मोशन असेही म्हणतात. एकसमान त्वरणासह रेक्टिलिनियर गतीच्या बाबतीत, सोप्या समीकरणांचा एक संच मिळू शकतो. शेवटी, गतीचे सापेक्ष स्वरूप समजून घेण्यासाठी, आपण सापेक्ष वेगाची संकल्पना मांडू.

आपल्या चर्चेत, आपण गतिमान वस्तूंचा बिंदू वस्तू म्हणून विचार करू. ही अंदाजे कल्पना तोपर्यंत वैध आहे जोपर्यंत वस्तूचा आकार ती ज्या वाजवी कालावधीत हलते त्या अंतरापेक्षा खूपच लहान आहे. वास्तविक जीवनातील बऱ्याच परिस्थितींमध्ये, वस्तूंचा आकार दुर्लक्षित केला जाऊ शकतो आणि त्या बहुतेक त्रुटीशिवाय बिंदूसारख्या वस्तू मानल्या जाऊ शकतात. किनेमॅटिक्समध्ये, आपण गतीची कारणे न सांगता गतीचे वर्णन कसे करायचे याचा अभ्यास करतो. या प्रकरणात वर्णन केलेली गती कशामुळे होते आणि पुढील प्रकरणातील गतीची कारणे प्रकरण 4 चा विषय आहे.

2.2 तात्कालिक वेग आणि चाल

सरासरी वेग आपल्याला एखादी वस्तू दिलेल्या कालावधीत किती वेगाने हलली आहे हे सांगतो परंतु तो कालावधीत वेगवेगळ्या क्षणी ती किती वेगाने हलते हे सांगत नाही. यासाठी, आपण तात्कालिक वेग किंवा फक्त वेग v हा एका क्षण t वर परिभाषित करतो. एका क्षणी वेग हा सरासरी वेगाची मर्यादा म्हणून परिभाषित केला जातो जेव्हा कालांतर ${\Delta T}$अत्यंत लहान होते. दुसऱ्या शब्दांत,

$\begin{aligned} v & =\lim _{\Delta \mathrm{t} \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \ & =\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}\end{aligned}$

जेथे चिन्ह lim ∆t→0 हे ∆tg0 च्या मर्यादेची क्रिया दर्शवते जी त्याच्या उजवीकडील राशीवर घेतली जाते. कॅल्क्युलसच्या भाषेत, समीकरण (2.1a) च्या उजव्या बाजूची राशी ही x चा t च्या संदर्भात अवकलज गुणांक आहे आणि $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$ ने दर्शविली जाते (परिशिष्ट 2.1 पहा). ती त्या क्षणी, स्थितीचा काळाबरोबर बदल होण्याचा दर आहे.

आपण समीकरण (2.1a) चा वापर एका क्षणी वेगाचे मूल्य मिळवण्यासाठी करू शकतो, ग्राफिक पद्धतीने किंवा संख्यात्मक पद्धतीने. समजा की आपल्याला ग्राफिक पद्धतीने वेगाचे मूल्य मिळवायचे आहे t = 4 s (बिंदू P) या वेळी, Fig.2.1 मध्ये दर्शविलेल्या कारच्या गतीसाठी. आपण ∆t = 2 s घेऊ, t = 4 s केंद्रस्थानी. मग, सरासरी वेगाच्या व्याख्येनुसार, रेषा $P_1P_2$ चा उतार (Fig. 2.1) 3 s ते 5 s या अंतरासाठी सरासरी वेगाचे मूल्य दर्शवतो

Fig. 2.1 स्थिती-काळ आलेखावरून वेग ठरवणे. t = 4 s वर वेग हा त्या क्षणी आलेखाला काढलेल्या स्पर्शिकेचा उतार असतो.

आता, आपण $\Delta t$ चे मूल्य $2 \mathrm{~s}$ वरून 1 s पर्यंत कमी करतो. मग रेषा $\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$ ही $\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$ होते आणि तिचा उतार $3.5 \mathrm{~s}$ ते $4.5 \mathrm{~s}$ या अंतरासाठी सरासरी वेगाचे मूल्य देतो. मर्यादा $\Delta t \rightarrow 0$ मध्ये, रेषा $\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$ ही बिंदू $\mathrm{P}$ वर स्थिती-काळ वक्राला स्पर्शिका बनते आणि $t$ $=4 \mathrm{~s}$ वर वेग हा त्या बिंदूवरील स्पर्शिकेच्या उताराने दिला जातो. ही प्रक्रिया ग्राफिक पद्धतीने दाखवणे कठीण आहे. परंतु जर आपण वेगाचे मूल्य मिळवण्यासाठी संख्यात्मक पद्धत वापरली, तर मर्यादा प्रक्रियेचा अर्थ स्पष्ट होतो. Fig. 2.1 मध्ये दाखवलेल्या आलेखासाठी, $x=0.08 t^3$. सारणी 2.1 $\Delta x / \Delta t$ चे मूल्य दर्शवते जे $\Delta t$ च्या बरोबरीचे $2.0 \mathrm{~s}$, $1.0 \mathrm{~s}, 0.5 \mathrm{~s}, 0.1 \mathrm{~s}$ आणि $0.01 \mathrm{~s}$ साठी केंद्रस्थानी $t=$ $4.0 \mathrm{~s}$ मोजले आहे. दुसरा आणि तिसरा स्तंभ $t_1=\left(t-\frac{\Delta t}{2}\right)$ आणि $t_2=\left(t+\frac{\Delta t}{2}\right)$ चे मूल्य देतात आणि चौथा आणि पाचवा स्तंभ $x$ ची संबंधित मूल्ये देतात, म्हणजे $x\left(t_1\right)=0.08 t_1^3$ आणि $x\left(t_2\right)=0.08 t_2^3$. सहाव्या स्तंभात फरक $\Delta x=X\left(t_2\right)-X\left(t_1\right)$ सूचीबद्ध आहे आणि शेवटच्या स्तंभात $\Delta x$ आणि $\Delta t$ चे गुणोत्तर दिले आहे, म्हणजे पहिल्या स्तंभात सूचीबद्ध केलेल्या $\Delta t$ च्या मूल्याशी संबंधित सरासरी वेग.

Table 2.1 $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ चे $t=4 \mathrm{~s}$ वर मर्यादित मूल्य

सारणी 2.1 वरून आपण पाहतो की जेव्हा आपण $\Delta t$ चे मूल्य $2.0 \mathrm{~s}$ वरून $0.010 \mathrm{~s}$ पर्यंत कमी करतो, तेव्हा सरासरी वेगाचे मूल्य मर्यादित मूल्य $3.84 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ जवळ येते जे $t=4.0 \mathrm{~s}$ वर वेगाचे मूल्य आहे, म्हणजे $\frac{d x}{d t}$ चे $t=4.0 \mathrm{~s}$ वर मूल्य. या पद्धतीने, आपण कारच्या गतीसाठी प्रत्येक क्षणी वेग मोजू शकतो.

तात्कालिक वेग ठरवण्याची ग्राफिक पद्धत नेहमीच सोयीची पद्धत नसते. यासाठी, आपण स्थिती-काळ आलेख काळजीपूर्वक काढला पाहिजे आणि $\Delta t$ लहान होत गेल्यामुळे सरासरी वेगाचे मूल्य मोजले पाहिजे. जर आपल्याकडे वेगवेगळ्या क्षणी स्थितींचा डेटा असेल किंवा स्थितीचे काळाचे कार्य म्हणून अचूक अभिव्यक्ती असेल तर वेगवेगळ्या क्षणी वेगाचे मूल्य मोजणे सोपे आहे. मग, आपण $\Delta x / \Delta t$ ची गणना $\Delta t$ चे मूल्य कमी करण्यासाठी डेटावरून करतो आणि सारणी 2.1 मध्ये केल्याप्रमाणे मर्यादित मूल्य शोधतो किंवा दिलेल्या अभिव्यक्तीसाठी डिफरेंशियल कॅल्क्युलस वापरतो आणि पुढील उदाहरणात केल्याप्रमाणे वेगवेगळ्या क्षणी $\frac{d x}{d t}$ ची गणना करतो.

Example 2.1 x-अक्षावर गतिमान असलेल्या वस्तूची स्थिती x = a + bt2 द्वारे दिली आहे जिथे a = 8.5 m, b = 2.5 m $s^{–2}$ आणि t सेकंदात मोजले जाते. t = 0 s आणि t = 2.0 s वर त्याचा वेग किती आहे? t = 2.0 s आणि t = 4.0 s दरम्यान सरासरी वेग किती आहे?

Answer डिफरेंशियल कॅल्क्युलसच्या नोटेशनमध्ये, वेग आहे

$ v=\frac{d x}{d t}=\frac{d}{d t}\left(a+b t^2\right)=2 b t=5.0 t \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} $

$t=0 \mathrm{~s}, \quad V=0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ वर आणि $t=2.0 \mathrm{~s}$ वर, $v=10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$.

$ \text { Average velocity }=\frac{x(4.0)-x(2.0)}{4.0-2.0} $

$\begin{array}{r}=\frac{a+16 b-a-4 b}{2.0}=6.0 \times b \\ =6.0 \times 2.5=15 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\end{array}$

लक्षात घ्या की एकसमान गतीसाठी, वेग हा सर्व क्षणी सरासरी वेगासारखाच असतो.

तात्कालिक चाल किंवा फक्त चाल ही वेगाची मोठी संख्या आहे. उदाहरणार्थ, $+24.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ चा वेग आणि $-24.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}-$ चा वेग या दोन्हीची संबंधित चाल $24.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ आहे. हे लक्षात घ्यावे की मर्यादित कालावधीतील सरासरी चाल ही सरासरी वेगाच्या मोठ्या संख्येपेक्षा जास्त किंवा समान असली तरी, एका क्षणी तात्कालिक चाल ही त्या क्षणी तात्कालिक वेगाच्या मोठ्या संख्येइतकी असते. असे का?

2.3 त्वरण

एखाद्या वस्तूचा वेग, साधारणपणे, त्याच्या गतीच्या कालावधीत बदलतो. या बदलाचे वर्णन कसे करायचे? वेगातील बदलाचा दर अंतराबरोबर किंवा काळाबरोबर म्हणून वर्णन केले पाहिजे? ही गॅलिलिओच्या काळातही एक समस्या होती. प्रथम असे विचारले गेले की हा बदल वेगातील बदलाचा दर अंतराबरोबर वर्णन करून दर्शवता येईल. परंतु, मुक्तपणे पडणाऱ्या वस्तूंच्या गतीचा आणि कलत्या समतलावरील वस्तूंच्या गतीच्या अभ्यासाद्वारे, गॅलिलिओने असा निष्कर्ष काढला की काळाबरोबर वेगातील बदलाचा दर हा मुक्त पतनातील सर्व वस्तूंसाठी गतीचा स्थिरांक आहे. दुसरीकडे, अंतराबरोबर वेगातील बदल स्थिर नसतो – तो पडण्याचे अंतर वाढल्यामुळे कमी होतो. यामुळे त्वरणाची संकल्पना काळाबरोबर वेगातील बदलाचा दर म्हणून निर्माण झाली.

सरासरी त्वरण a हे कालांतरातील वेगातील बदल भागिले कालांतर म्हणून परिभाषित केले जाते:

$\bar{a}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta v}{\Delta t}\quad \quad \quad \quad \quad (2.2)$

जेथे $v_2$ आणि $v_1$ हे तात्कालिक वेग किंवा फक्त वेग आहेत जे वेळ $t_2$ आणि $t_1$ वर आहेत. हे प्रति एकक वेळेतील वेगातील सरासरी बदल आहे. त्वरणाचे SI एकक $\mathrm{m} \mathrm{s}^{-2}$ आहे.

वेग विरुद्ध काळाच्या आलेखावर, सरासरी त्वरण ही सरळ रेषेचा उतार आहे जी $\left(v_2, t_2\right)$ आणि $\left(v_1, t_1\right)$ शी संबंधित बिंदूंना जोडते.

तात्कालिक त्वरण हे तात्कालिक वेगाप्रमाणेच प्रकारे परिभाषित केले जाते:

$ a=\lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t} \quad \quad \quad \quad \quad (2.3) $

एका क्षणी त्वरण हे $v-t$ वक्रावरील त्या क्षणी स्पर्शिकेचा उतार असतो.

वेग ही परिमाण आणि दिशा दोन्ही असलेली राशी असल्यामुळे, वेगातील बदलामध्ये यापैकी एक किंवा दोन्ही घटक समाविष्ट असू शकतात. म्हणून, त्वरण हे चाल (परिमाण) मधील बदल, दिशेतील बदल किंवा दोन्हीमधील बदलांमुळे होऊ शकते. वेगाप्रमाणे, त्वरण देखील धन, ऋण किंवा शून्य असू शकते. धन, ऋण आणि शून्य त्वरणासह गतीसाठी स्थिती-काळ आलेख अनुक्रमे Figs. 2.4 (a), (b) आणि (c) मध्ये दाखवले आहेत. लक्षात घ्या की धन त्वरणासाठी आलेख वरच्या दिशेने वक्र होतो; ऋण त्वरणासाठी खालच्या दिशेने आणि शून्य त्वरणासाठी तो सरळ रेषा असतो.

Fig. 2.2 (a) धन त्वरणासह गतीसाठी स्थिती-काळ आलेख; (b) ऋण त्वरणासह, आणि (c) शून्य त्वरणासह.

जरी त्वरण काळाबरोबर बदलू शकते, तरी या प्रकरणातील आपला अभ्यास स्थिर त्वरणासह गतीपुरता मर्यादित असेल. या बाबतीत, सरासरी त्वरण हे कालांतरातील त्वरणाच्या स्थिर मूल्याइतके असते. जर एखाद्या वस्तूचा वेग $V$ असेल $t$ $=0$ वर आणि $v$ असेल वेळ $t$ वर, तर आपल्याकडे आहे

$ \bar{a}=\frac{v-v_o}{t-0} $

$\text { or, } v=v_o+a t \quad (2.4) $

चला काही सोप्या बाबतीसाठी वेग-काळ आलेख कसा दिसतो ते पाहू. Fig. 2.3 खालील बाबतीसाठी स्थिर त्वरणासह गतीसाठी वेग-काळ आलेख दर्शवते:

Fig. 2.3 स्थिर त्वरणासह गतीसाठी वेग–काळ आलेख. (a) धन त्वरणासह धन दिशेने गती, (b) ऋण त्वरणासह धन दिशेने गती, (c) ऋण त्वरणासह ऋण दिशेने गती, (d) ऋण त्वरणासह वस्तूची गती जी वेळ t1 वर दिशा बदलते. वेळ 0 ते $t_1$ दरम्यान, ती धन x - दिशेने हलते आणि $t_1$ आणि $t_2$ दरम्यान ती विरुद्ध दिशेने हलते.

(a) एखादी वस्तू धन दिशेने धन त्वरणासह गतिमान आहे.

(b) एखादी वस्तू धन दिशेने ऋण त्वरणासह गतिमान आहे.

(c) एखादी वस्तू ऋण दिशेने ऋण त्वरणासह गतिमान आहे.

(d) एखादी वस्तू वेळ $t_1$ पर्यंत धन दिशेने गतिमान आहे, आणि नंतर त्याच ऋण त्वरणासह परत वळते.

कोणत्याही गतिमान वस्तूसाठी वेग-काळ आलेखाची एक मनोरंजक वैशिष्ट्य अशी आहे की वक्राखालील क्षेत्र दिलेल्या कालावधीत विस्थापन दर्शवते. या विधानाचा सामान्य पुरावा कॅल्क्युलसचा वापर करणे आवश्यक करतो. तथापि, आपण हे पाहू शकतो की स्थिर वेग u सह गतिमान वस्तूच्या सोप्या बाबतीसाठी हे सत्य आहे. त्याचा वेग-काळ आलेख Fig. 2.4 मध्ये दर्शविल्याप्रमाणे आहे.

Fig. 2.4 v–t वक्राखालील क्षेत्र दिलेल्या कालावधीत वस्तूच्या विस्थापनाइतके असते.

v-t वक्र ही काळाच्या अक्षाला समांतर असलेली सरळ रेषा आहे आणि t = 0 आणि t = T दरम्यान त्याखालील क्षेत्र ही उंची u आणि पाया T असलेल्या आयताचे क्षेत्रफळ आहे. म्हणून, क्षेत्रफळ = u × T = uT जे या कालावधीतील विस्थापन आहे. या बाबतीत क्षेत्रफळ अंतराइतके कसे आहे? विचार करा! दोन समन्वय अक्षांवरील राशींची परिमाणे लक्षात घ्या, आणि तुम्ही उत्तरावर पोहोचाल.

लक्षात घ्या की या प्रकरणातील अनेक आकृत्यांमध्ये दर्शविलेले x-t, v-t, आणि a-t आलेख काही बिंदूंवर तीक्ष्ण वळणे दाखवतात ज्याचा अर्थ त्या बिंदूंवर फंक्शन्स वेगळे करता येत नाहीत. कोणत्याही वास्तववादी परिस्थितीत, फंक्शन्स सर्व बिंदूंवर वेगळे करता येतील आणि आलेख गुळगुळीत असतील.

याचा भौतिकदृष्ट्या काय अर्थ आहे तर त्वरण आणि वेग एका क्षणी अचानक मूल्ये बदलू शकत नाहीत. बदल नेहमी सतत असतात.

2.4 एकसमान त्वरणित गतीसाठी किनेमॅटिक समीकरणे

एकसमान त्वरणित गतीसाठी, आपण काही सोपी समीकरणे काढू शकतो जी विस्थापन $(x)$, घेतलेला वेळ $(t)$, प्रारंभिक वेग $\left(v_0\right)$, अंतिम वेग $(v)$ आणि त्वरण (a) यांच्यातील संबंध दर्शवतात. आधीच मिळालेले समीकरण (2.4) अंतिम आणि प्रारंभिक वेग $v$ आणि $v_0$ यांच्यातील संबंध दर्शवते जे एकसमान त्वरण $a$ सह गतिमान वस्तूचे आहेत:

$$ v=v_o+a t (2.4) $$

हा संबंध Fig. 2.5 मध्ये ग्राफिक पद्धतीने दर्शविला आहे. या वक्राखालील क्षेत्र आहे: क्षण 0 आणि $t=$ दरम्यानचे क्षेत्र त्रिकोण $\mathrm{ABC}+$ चे क्षेत्रफळ आयत $\mathrm{OACD}$ चे क्षेत्रफळ

$$ =\frac{1}{2}\left(v-v_0\right) t+v_0 t $$

Fig. 2.5 एकसमान त्वरण असलेल्या वस्तूसाठी v-t वक्राखालील क्षेत्र.

मागील विभागात स्पष्ट केल्याप्रमाणे, v-t वक्राखालील क्षेत्र विस्थापन दर्शवते. म्हणून, वस्तूचे विस्थापन x आहे:

$$ x=\frac{1}{2}\left(v-v_0\right) t+v_0 t \quad\quad \quad \quad \quad \quad (2.5) $$

परंतु $\quad\quad \quad v-v _0=a t$

म्हणून, $\quad\quad x=\frac{1}{2} a t^2+v _0 t$

किंवा, $\quad\quad \quad x=v_0 t+\frac{1}{2} a t^2 \quad (2.6)$

समीकरण (2.5) असेही लिहिले जाऊ शकते

$$ \begin{align*} X & =\frac{V+v _{0}}{2} t \\ & =\bar{v} \cdot t \tag{2.7a} \\ \bar{v} & =\frac{v+v _{0}}{2} \text { (constant acceleration only) } \tag{2.7b} \end{align*} \quad $$

समीकरणे (2.7a) आणि (2.7b) चा अर्थ असा आहे की वस्तूने विस्थापन $x$ अनुभवले आहे ज्याचा सरासरी वेग हा प्रारंभिक आणि अंतिम वेगांच्या अंकगणितीय सरासरीइतका आहे.

समीकरण (2.4) वरून, $t=\left(v-v_0\right) / a$. हे समीकरण (2.7a) मध्ये बदलल्यास, आपल्याला मिळते

$$ \begin{align*} x & =\bar{v} t=\frac{v+v _{0}}{2} \cdot \frac{v-v _{0}}{a}=\frac{v^{2}-v _{0}^{2}}{2 a} \\ v^{2} & =v _{0}^{2}+2 a x \tag{2.8} \end{align*} $$

हे समीकरण समीकरण (2.4) मधील t चे मूल्य समीकरण (2.6) मध्ये बदलून देखील मिळवता येते. अशाप्रकारे, आपल्याला तीन महत्त्वाची समीकरणे मिळाली आहेत: पाच राशी $v_0, v, a, t$ आणि $x$ यांच्यातील संबंध दर्शवणारी.

$$ \begin{gathered} v=v_0+a t \\ x=v_0 t+\frac{1}{2} a t^2 \\ v^2=v_0^2+2 a x \quad\quad\quad \quad (2.9a) \end{gathered} $$

हे स्थिर त्वरणासाठी रेक्टिलिनियर गतीची किनेमॅटिक समीकरणे आहेत.

समीकरण (2.9a) चा संच हा गृहीत धरून मिळवला गेला की $t=0$ वर, कणाची स्थिती, $x$ ही 0 आहे. जर आपण $t=0$ वर स्थिती समन्वय शून्य नसलेला, म्हणा $x_0$ घेतला, तर आपण अधिक सामान्य समीकरण मिळवू शकतो. मग समीकरणे (2.9a) सुधारित केली जातात ($x$ ची जागा $x-x_0$ ने घेऊन):

$$ \begin{align*} v & =v _{0}+a t \\ x & =x _{0}+v _{0} t+\frac{1}{2} a t^{2} \tag{2.9b} \\ v^{2} & =v _{0}^{2}+2 a\left(x-x _{0}\right) \tag{2.9c} \end{align*} $$

Example 2.2 कॅल्क्युलसची पद्धत वापरून स्थिर त्वरणासाठी गतीची समीकरणे मिळवा.

Answer व्याख्येनुसार

$$ \begin{aligned} & a=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t} \\ & \mathrm{~d} v=a \mathrm{~d} t \end{aligned} $$

दोन्ही बाजूंचे समाकलन करणे

$$ \begin{aligned} \int_{v_0}^v \mathrm{~d} v & =\int_0^t a \mathrm{~d} t \\ & =a \int_0^t \mathrm{~d} t \quad \quad \quad \quad \text{( a is constant)}\\ v-v_0 & =a t \\ v & =v_0+a t \end{aligned} $$

पुढे, $$ \begin{aligned} v & =\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} \\ \mathrm{~d} x & =v \mathrm{~d} t \end{aligned} $$

दोन्ही बाजूंचे समाकलन करणे $$ \begin{aligned} \int_{x_0}^x \mathrm{~d} x=\int_0^t v \mathrm{~d} t & =\int_0^t\left(v_0+a t\right) \mathrm{d} t \\ x-x_0 & =v_0 t+\frac{1}{2} a t^2 \\ x & =x_0+v_0 t+\frac{1}{2} a t^2 \end{aligned} $$

आपण लिहू शकतो

$$ \begin{aligned} & a=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} x} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=v \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} x} \\ \\ & \text { or, } v \mathrm{~d} v=a \mathrm{~d} x \end{aligned} $$

दोन्ही बाजूंचे समाकलन करणे,

$$ \begin{aligned} & \int_{v_0}^v v \mathrm{~d} v=\int_{x_0}^x a \mathrm{~d} x \\ & \frac{v^2-v_0^2}{2}=a\left(x-x_0\right) \\ & v^2=v_0^2+2 a\left(x-x_0\right) \end{aligned} $$

या पद्धतीचा फायदा असा आहे की ती एकसमान नसलेल्या त्वरणासह गतीसाठी देखील वापरली जाऊ शकते.

आता, आपण ही समीकरणे काही महत्त्वाच्या बाबतींसाठी वापरू.

Example 2.3 एक चेंडू 20 m $s^{–1}$ वेगाने उभ्या वरच्या दिशेने एका बहुमजली इमारतीच्या शिखरावरून फेकला जातो. चेंडू फेकल्या जाण्याच्या बिंदूची उंची जमिनीपासून 25.0 m आहे. (a) चेंडू किती उंच जाईल? आणि (b) चेंडू जमिनीवर आदळण्यापूर्वी किती वेळ लागेल? g = 10 m $s^{–2}$ घ्या.

Answer (a) आपण $y$-अक्ष उभ्या वरच्या दिशेने घेऊ, जमिनीवर शून्य असलेला, जसे Fig. 2.6 मध्ये दाखवले आहे.

$$ \begin{aligned} \text { Now } \quad v_o & =+20 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}, \\ a & =-g=-10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}, \\ v & =0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

जर चेंडू प्रक्षेपण बिंदूपासून $y$ उंचीपर्यंत वर जात असेल, तर समीकरण $v^2=v_o^2+2 a\left(y-y_0\right), 0=(20)^2+2(-10)\left(y-y_0\right),$ वापरून

$$ \text{Solving, we get,} \left(y-y_0\right)=20 \mathrm{~m}. $$

(b) आपण या भागाची समस्या दोन प्रकारे सोडवू शकतो.

वापरलेल्या पद्धती काळजीपूर्वक लक्षात घ्या.

Fig. 2.6

पहिली पद्धत: पहिल्या पद्धतीत, आपण मार्ग दोन भागांमध्ये विभागतो: वरची गती (A ते B) आणि खालची गती (B ते C) आणि संबंधित घेतलेला वेळ $t_1$ आणि $t_2$ मोजतो. B वर वेग शून्य असल्यामुळे, आपल्याकडे आहे:

$$ \begin{aligned} & v=v_{\mathrm{o}}+a t \\ 0 & =20-10 t_1 \\ \text { Or, } \quad \quad & t_1=2 \mathrm{~s} \end{aligned} $$

हे $A$ वरून $B$ पर्यंत जाण्याचा वेळ आहे. $B$ वरून, किंवा कमाल उंचीच्या बिंदूपासून, चेंडू गुरुत्वाकर्षणामुळे त्वरणाखाली मुक्तपणे पडतो. चेंडू ऋण $y$ दिशेने गतिमान आहे. आपण समीकरण वापरतो $$ y=y_0+v_0 t+\frac{1}{2} a t^2 $$

आपल्याकडे, $y_0=45 \mathrm{~m}, y=0, v_0=0, a=-g=-10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$

$$ 0=45+(1 / 2)(-10) t_2^2 $$

सोडवल्यास, आपल्य