३.१ परिचय

मागील प्रकरणात आपण सरळ रेषेत गतिमान वस्तूचे वर्णन करण्यासाठी आवश्यक असलेल्या स्थिती, विस्थापन, वेग आणि त्वरण या संकल्पनांची मांडणी केली. आपल्याला असे आढळले की या राशींच्या दिशात्मक पैलूंची नोंद + आणि - चिन्हांद्वारे केली जाऊ शकते, कारण एका मितीमध्ये फक्त दोन दिशा शक्य असतात. परंतु दोन मितींमध्ये (समतल) किंवा तीन मितींमध्ये (आकाश) वस्तूची गती वर्णन करण्यासाठी, वरील भौतिक राशींचे वर्णन करण्यासाठी सदिशांचा वापर करणे आवश्यक आहे. म्हणून, प्रथम सदिशांची भाषा शिकणे आवश्यक आहे. सदिश म्हणजे काय? सदिशांची बेरीज, वजाबाकी आणि गुणाकार कसा करायचा? सदिशाचा वास्तव संख्येने गुणाकार केल्यास काय परिणाम मिळतो? समतलात वेग आणि त्वरण परिभाषित करण्यासाठी सदिश वापरण्यासाठी आपण हे शिकू. त्यानंतर आपण समतलातील वस्तूची गती विचारात घेऊ. समतलातील गतीचे एक सोपे उदाहरण म्हणून आपण स्थिर त्वरणाची गती आणि प्रक्षेपण गतीचा तपशीलवार विचार करू. वर्तुळाकार गती ही एक परिचित गती आहे जिचा दैनंदिन जीवनातील परिस्थितींमध्ये विशेष महत्त्व आहे. आपण एकसमान वर्तुळाकार गतीचा काही तपशीलाने विचार करू. या प्रकरणात समतलातील गतीसाठी विकसित केलेली समीकरणे तीन मितींच्या बाबतीत सहजपणे वाढवता येतील.

३.२ अदिश राशी आणि सदिश राशी

भौतिकशास्त्रात, आपण राशींचे वर्गीकरण अदिश किंवा सदिश असे करू शकतो. मूलतः, फरक असा आहे की सदिशाशी दिशा संलग्न असते परंतु अदिशाशी नसते. अदिश राशी ही केवळ परिमाण असलेली राशी असते. ती योग्य एककासह एकाच संख्येने पूर्णपणे निर्दिष्ट केली जाते. उदाहरणे आहेत: दोन बिंदूंमधील अंतर, वस्तूचे वस्तुमान, शरीराचे तापमान आणि एखादी विशिष्ट घटना घडलेला वेळ. अदिश राशींना एकत्र करण्याचे नियम सामान्य बीजगणिताचे नियम आहेत. अदिश राशींची बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार आणि भागाकार नेहमीच्या संख्यांप्रमाणेच केला जाऊ शकतो*. उदाहरणार्थ, जर आयताची लांबी आणि रुंदी अनुक्रमे १.० मी आणि ०.५ मी असेल, तर त्याची परिमिती ही चारही बाजूंच्या लांबींची बेरीज, १.० मी + ०.५ मी +१.० मी + ०.५ मी = ३.० मी असेल. प्रत्येक बाजूची लांबी ही अदिश राशी आहे आणि परिमितीही अदिश राशी आहे. दुसरे उदाहरण घ्या: एखाद्या विशिष्ट दिवशी कमाल आणि किमान तापमान अनुक्रमे ३५.६ °C आणि २४.२ °C आहे. तर, दोन तापमानांमधील फरक ११.४ °C आहे. त्याचप्रमाणे, जर १० सेमी बाजू असलेल्या अॅल्युमिनियमच्या एकसमान घनाचे वस्तुमान २.७ किलो असेल, तर त्याचे आकारमान १०–३ मी३ (अदिश) आणि त्याची घनता २.७×१०३ किलो मी–३ (अदिश) असेल. सदिश राशी ही अशी राशी आहे जिचे परिमाण आणि दिशा दोन्ही असतात आणि ती बेरीजच्या त्रिकोण नियमाचे किंवा समांतरभुज चौकोन नियमाचे पालन करते. म्हणून, सदिश हा त्याचे परिमाण संख्येद्वारे आणि त्याची दिशा देऊन निर्दिष्ट केला जातो. विस्थापन, वेग, त्वरण आणि बल हे काही भौतिक राशी आहेत ज्यांचे प्रतिनिधित्व सदिशांद्वारे केले जाते.

सदिश दर्शवण्यासाठी, या पुस्तकात आपण ठळक टाइपचा वापर करतो. अशाप्रकारे, वेग सदिशाला v या चिन्हाने दर्शवले जाऊ शकते. ठळक टाइप तयार करणे कठीण असल्याने, हस्तलिखित करताना सदिश हा सहसा अक्षरावर ठेवलेल्या बाणाने दर्शवला जातो, उदा. rv . अशाप्रकारे, v आणि rv दोन्ही वेग सदिशाचे प्रतिनिधित्व करतात. सदिशाच्या परिमाणाला बहुतेक वेळा त्याचे निरपेक्ष मूल्य म्हणतात, जे |v| = v ने दर्शवले जाते. अशाप्रकारे, सदिश हा ठळक टाइपने दर्शवला जातो, उदा. A, a, p, q, r, … x, y, त्यांची संबंधित परिमाणे हलक्या टाइपने A, a, p, q, r, … x, y ने दर्शवली जातात.

३.२.१ स्थिती सदिश आणि विस्थापन सदिश

समतलात गतिमान वस्तूची स्थिती वर्णन करण्यासाठी, आपल्याला एक सोयीस्कर बिंदू निवडणे आवश्यक आहे, उदा. O हा मूलबिंदू म्हणून. वस्तूची स्थिती अनुक्रमे t आणि t′ वेळी P आणि P′ असू द्या [आकृती ३.१(a)]. आपण O आणि P यांना सरळ रेषेने जोडतो. तर, OP हा t वेळी वस्तूचा स्थिती सदिश आहे. या रेषेच्या शिरोबिंदूवर एक बाण चिन्हांकित केला आहे. तो r या चिन्हाने दर्शविला जातो, म्हणजे OP = r. बिंदू P′ हा दुसऱ्या स्थिती सदिशाने दर्शविला जातो, OP′ हा r′ ने दर्शविला जातो. सदिश r ची लांबी ही सदिशाचे परिमाण दर्शवते आणि त्याची दिशा म्हणजे O पासून पाहिल्यास P ज्या दिशेला आहे ती दिशा आहे. जर वस्तू P वरून P′ वर जात असेल, तर सदिश PP′ (शेपटी P वर आणि टोक P′ वर) हा बिंदू P (वेळ t) ते बिंदू P′ (वेळ t′) या गतीशी संबंधित विस्थापन सदिश म्हणून ओळखला जातो.

आकृती ३.१ (a) स्थिती सदिश आणि विस्थापन सदिश. (b) विस्थापन सदिश PQ आणि गतीचे वेगवेगळे मार्ग.

हे लक्षात घेणे महत्त्वाचे आहे की विस्थापन सदिश हा प्रारंभिक आणि अंतिम स्थानांना जोडणारी सरळ रेषा असते आणि तो दोन स्थानांदरम्यान वस्तूने घेतलेल्या वास्तविक मार्गावर अवलंबून नसतो. उदाहरणार्थ, आकृती ४.१(b) मध्ये, प्रारंभिक आणि अंतिम स्थाने P आणि Q दिली आहेत, विस्थापन सदिश हा वेगवेगळ्या प्रवास मार्गांसाठी समान PQ आहे, उदा. PABCQ, PDQ, आणि PBEFQ. म्हणून, विस्थापनाचे परिमाण हे दोन बिंदूंदरम्यान वस्तूच्या मार्गलांबीपेक्षा कमी किंवा समान असते. सरळ रेषेतील गतीची चर्चा करताना मागील प्रकरणातही या तथ्यावर भर दिला होता.

३.२.२ सदिशांची समानता

दोन सदिश A आणि B समान असल्याचे म्हटले जाते जर आणि फक्त जर त्यांचे परिमाण समान असेल आणि दिशा समान असेल.**

आकृती ३.२ (a) दोन समान सदिश A आणि B. (b) दोन सदिश A′ आणि B′ असमान आहेत जरी त्यांची लांबी समान आहे.

आकृती ३.२(a) मध्ये दोन समान सदिश A आणि B दाखवले आहेत. आपण त्यांची समानता सहजपणे तपासू शकतो. B ला स्वतःला समांतर हलवा जेथपर्यंत त्याचा शेपटी Q हा A च्या शेपटीशी एकरूप होत नाही, म्हणजे Q हा O शी एकरूप होतो. त्यानंतर, त्यांची टोके S आणि P देखील एकरूप झाल्यामुळे, दोन्ही सदिश समान आहेत असे म्हटले जाते. सर्वसाधारणपणे, समानता A = B अशी दर्शविली जाते. लक्षात घ्या की आकृती ३.२(b) मध्ये, सदिश A′ आणि B′ चे परिमाण समान आहे परंतु ते समान नाहीत कारण त्यांची दिशा वेगवेगळी आहे. जरी आपण B′ ला स्वतःला समांतर हलवले तरी जेणेकरून त्याचा शेपटी Q′ हा A′ च्या शेपटी O′ शी एकरूप होईल, तरी B′ चे टोक S′ हे A′ च्या टोक P′ शी एकरूप होत नाही.

३.३ सदिशांचा वास्तव संख्यांनी गुणाकार

धन संख्या λ ने सदिश A चा गुणाकार केल्यास एक सदिश मिळतो ज्याचे परिमाण λ या घटकाने बदलले जाते परंतु दिशा A च्या दिशेप्रमाणेच असते:

$$ |\lambda \mathbf{A}|=\lambda|\mathbf{A}| \text { if } \lambda=0 $$

उदाहरणार्थ, जर A चा २ ने गुणाकार केला, तर परिणामी सदिश 2A हा A च्या दिशेप्रमाणेच असतो आणि त्याचे परिमाण |A| च्या दुप्पट असते जसे आकृती ३.३(a) मध्ये दाखवले आहे. ऋण संख्या −λ ने सदिश A चा गुणाकार केल्यास दुसरा सदिश मिळतो ज्याची दिशा A च्या दिशेच्या विरुद्ध असते आणि ज्याचे परिमाण |A| च्या λ पट असते.

दिलेल्या सदिश A चा ऋण संख्यांनी, उदा. –१ आणि –१.५, गुणाकार केल्यास आकृती ३.३(b) मध्ये दाखवल्याप्रमाणे सदिश मिळतात. ज्या घटक λ द्वारे सदिश A चा गुणाकार केला जातो तो स्वतःचे भौतिक परिमाण असलेला अदिश असू शकतो. तर, λ A चे परिमाण हे λ आणि A च्या परिमाणांचा गुणाकार असते. उदाहरणार्थ, जर आपण स्थिर वेग सदिशाचा कालावधी (वेळेचा) ने गुणाकार केला, तर आपल्याला विस्थापन सदिश मिळतो.

आकृती ३.३ (a) सदिश A आणि धन संख्या २ ने A चा गुणाकार केल्यानंतर मिळणारा परिणामी सदिश. (b) सदिश A आणि ऋण संख्या –१ आणि –१.५ ने त्याचा गुणाकार केल्यानंतर मिळणारे परिणामी सदिश.

३.४ सदिशांची बेरीज आणि वजाबाकी — आलेखी पद्धत

कलम ३.२ मध्ये नमूद केल्याप्रमाणे, व्याख्येनुसार, सदिश बेरीजच्या त्रिकोण नियमाचे किंवा समांतरभुज चौकोन नियमाचे पालन करतात. आता आपण हा बेरीजचा नियम आलेखी पद्धत वापरून वर्णन करू. आकृती ३.४(a) मध्ये दाखवल्याप्रमाणे समतलात असलेले दोन सदिश A आणि B विचारात घेऊ. या सदिशांचे प्रतिनिधित्व करणाऱ्या रेषाखंडांची लांबी सदिशांच्या परिमाणाच्या प्रमाणात असते. बेरीज A + B शोधण्यासाठी, आपण सदिश B अशा प्रकारे ठेवतो की त्याचा शेपटी हा सदिश A च्या शिरोबिंदूवर असेल, जसे आकृती ३.४(b) मध्ये आहे. नंतर, आपण A चा शेपटी B च्या शिरोबिंदूशी जोडतो. ही रेषा OQ ही सदिश R चे प्रतिनिधित्व करते, म्हणजेच सदिश A आणि B ची बेरीज. सदिश बेरीजच्या या प्रक्रियेत, सदिश शिरोबिंदू ते शेपटी अशा क्रमाने मांडले जातात, म्हणून या आलेखी पद्धतीला शिरोबिंदू-ते-शेपटी पद्धत म्हणतात. दोन सदिश आणि त्यांचा परिणामी सदिश हे त्रिकोणाच्या तीन बाजू बनवतात, म्हणून या पद्धतीला सदिश बेरीजची त्रिकोण पद्धत असेही म्हणतात. जर आपण आकृती ३.४(c) मध्ये दाखवल्याप्रमाणे B + A चा परिणामी सदिश शोधला, तर समान सदिश R मिळते. अशाप्रकारे, सदिश बेरीज क्रमनिरपेक्ष आहे:

A + B = B + A $\quad \quad \quad$ (3.1)

आकृती ३.४ (a) सदिश A आणि B. (b) सदिश A आणि B ची आलेखी बेरीज. (c) सदिश B आणि A ची आलेखी बेरीज. (d) सदिश बेरीजचा सहयोगी नियम स्पष्ट करणारी आकृती.

सदिश बेरीज ही सहयोगी नियमाचे देखील पालन करते जसे आकृती ३.४(d) मध्ये स्पष्ट केले आहे. प्रथम सदिश A आणि B ची बेरीज करून नंतर सदिश C ची बेरीज करण्याचा परिणाम हा प्रथम B आणि C ची बेरीज करून नंतर सदिश A ची बेरीज करण्याच्या परिणामासारखाच असतो:

$$ \begin{equation*} (\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C}=\mathbf{A}+(\mathbf{B}+\mathbf{C}) \tag{3.2} \end{equation*} $$

दोन समान आणि विरुद्ध दिशेच्या सदिशांची बेरीज करण्याचा परिणाम काय असतो? आकृती ३.३(b) मध्ये दाखवलेले दोन सदिश A आणि –A विचारात घ्या. त्यांची बेरीज A + (–A) आहे. दोन्ही सदिशांचे परिमाण समान असले तरी, दिशा विरुद्ध असल्यामुळे, परिणामी सदिशाचे परिमाण शून्य असते आणि तो 0 ने दर्शविला जातो ज्याला शून्य सदिश किंवा नल सदिश म्हणतात:

$$\mathbf{A}-\mathbf{A}=\mathbf{0} \qquad |\mathbf{0}|=0 \tag{3.3}$$

शून्य सदिशाचे परिमाण शून्य असल्यामुळे, त्याची दिशा निर्दिष्ट करता येत नाही. जेव्हा आपण सदिश A चा शून्य संख्येने गुणाकार करतो तेव्हाही शून्य सदिश मिळतो. 0 चे मुख्य गुणधर्म आहेत:

$$ \begin{align*} & \mathbf{A}+\mathbf{0}=\mathbf{A} \\ & \lambda \mathbf{0}=\mathbf{0} \\ & 0 \mathbf{A}=\mathbf{0} \tag{3.4} \end{align*} $$

शून्य सदिशाचा भौतिक अर्थ काय आहे? आकृती ३.१(a) मध्ये दाखवल्याप्रमाणे समतलातील स्थिती सदिश आणि विस्थापन सदिश विचारात घ्या. आता असे समजा की t वेळी P वर असलेली वस्तू P′ वर जाते आणि नंतर P वर परत येते. तर, तिचे विस्थापन काय आहे? प्रारंभिक आणि अंतिम स्थाने एकरूप झाल्यामुळे, विस्थापन हा “शून्य सदिश” आहे.

सदिशांची वजाबाकी ही सदिशांच्या बेरीजच्या संदर्भात परिभाषित केली जाऊ शकते. आपण दोन सदिश A आणि B चा फरक हा दोन सदिश A आणि –B ची बेरीज म्हणून परिभाषित करतो:

$$ \begin{equation*} \mathbf{A}-\mathbf{B}=\mathbf{A}+(-\mathbf{B}) \tag{3.5} \end{equation*} $$

हे आकृती ३.५ मध्ये दाखवले आहे. सदिश $-\mathbf{B}$ हा सदिश $\mathbf{A}$ मध्ये जोडला जातो जेणेकरून $\mathbf{R} _{2}=(\mathbf{A}-\mathbf{B})$ मिळेल. तुलनेसाठी समान आकृतीत सदिश $\mathbf{R} _{1}=\mathbf{A}+\mathbf{B}$ देखील दाखवला आहे. दोन सदिशांची बेरीज शोधण्यासाठी आपण समांतरभुज चौकोन पद्धत देखील वापरू शकतो. समजा आपल्याकडे दोन सदिश $\mathbf{A}$ आणि $\mathbf{B}$ आहेत. या सदिशांची बेरीज करण्यासाठी, आपण त्यांचे शेपटी एका सामाईक मूलबिंदू $\mathrm{O}$ वर आणतो जसे आकृती ३.६(a) मध्ये दाखवले आहे. नंतर आपण $\mathbf{A}$ च्या शिरोबिंदूपासून $\mathbf{B}$ ला समांतर रेषा काढतो आणि B च्या शिरोबिंदूपासून A ला समांतर दुसरी रेषा काढून समांतरभुज चौकोन OQSP पूर्ण करतो. आता आपण या दोन रेषांच्या छेदनबिंदूला मूलबिंदू O शी जोडतो. परिणामी सदिश R हा सामाईक मूलबिंदू O पासून समांतरभुज चौकोनाच्या कर्ण (OS) बाजूने निर्देशित केला जातो [आकृती ३.६(b)]. आकृती ३.६(c) मध्ये, A आणि B चा परिणामी सदिश मिळवण्यासाठी त्रिकोण नियम वापरला आहे आणि आपण पाहतो की दोन्ही पद्धतींनी समान परिणाम मिळतो. अशाप्रकारे, दोन्ही पद्धती समतुल्य आहेत.

आकृती ३.५ (a) दोन सदिश A आणि B, – B देखील दाखवले आहे. (b) सदिश A मधून सदिश B वजा करणे – परिणाम R2 आहे. तुलनेसाठी, सदिश A आणि B ची बेरीज, म्हणजे R1 देखील दाखवली आहे.

आकृती ३.६ (a) दोन सदिश A आणि B त्यांचे शेपटी सामाईक मूलबिंदूवर आणले आहेत. (b) समांतरभुज चौकोन पद्धत वापरून मिळालेली बेरीज A + B. (c) सदिश बेरीजची समांतरभुज चौकोन पद्धत ही त्रिकोण पद्धतीच्या समतुल्य आहे.

उदाहरण ३.१ पाऊस ३५ मी से–१ या वेगाने उभ्या खाली पडत आहे. काही वेळानंतर वारा १२ मी से–१ या वेगाने पूर्वेकडून पश्चिमेकडे वाहू लागतो. बस स्थानकावर वाट पाहणाऱ्या मुलाने आपला छत्री कोणत्या दिशेने धरावा?

उत्तर पावसाचा वेग आणि वाऱ्याचा वेग हे अनुक्रमे आकृती ३.७ मधील सदिश $\mathbf{v_r}$ आणि $\mathbf{v_w}$ द्वारे दर्शविले आहेत आणि ते समस्येमध्ये निर्दिष्ट केलेल्या दिशेने आहेत. सदिश बेरीजचा नियम वापरून, आपण पाहतो की $\mathbf{v_r}$ आणि $\mathbf{v_w}$ चा परिणामी सदिश $\mathrm{R}$ आहे जसे आकृतीत दाखवले आहे. $\mathrm{R}$ चे परिमाण आहे

$$ R=\sqrt{v _{r}^{2}+v _{w}^{2}}=\sqrt{35^{2}+12^{2}} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}=37 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} $$

$\theta$ ही दिशा ज्यामुळे $R$ उभ्याशी कोन करते ती दिली आहे:

$$ \tan \theta=\frac{v _{w}}{v _{r}}=\frac{12}{35}=0.343 $$

किंवा, $\theta=\tan ^{-1}(0.343)=19^{\circ}$

म्हणून, मुलाने आपला छत्री उभ्या समतलात उभ्याशी सुमारे $19^{\circ}$ चा कोन करून पूर्वेकडे धरावा.

३.५ सदिशांचे विभाजन

a आणि b हे समतलातील कोणतेही दोन शून्येतर सदिश असू द्या ज्यांच्या दिशा वेगवेगळ्या आहेत आणि A हा त्या समतलातील दुसरा सदिश असू द्या (आकृती ३.८). A हा दोन सदिशांची बेरीज म्हणून व्यक्त केला जाऊ शकतो — एक a चा वास्तव संख्येने गुणाकार करून मिळवलेला आणि दुसरा b चा दुसऱ्या वास्तव संख्येने गुणाकार करून मिळवलेला. हे पाहण्यासाठी, O आणि P हे अनुक्रमे सदिश A चा शेपटी आणि शिरोबिंदू असू द्या. नंतर, O मधून a ला समांतर सरळ रेषा काढा आणि P मधून b ला समांतर सरळ रेषा काढा. त्या Q वर छेदतील अशा प्रकारे काढा. तर, आपल्याकडे आहे

$$ \begin{equation*} \mathbf{A}=\mathbf{O P}=\mathbf{O} \mathbf{Q}+\mathbf{Q P} \tag{3.6} \end{equation*} $$

परंतु OQ हा a ला समांतर आहे आणि QP हा b ला समांतर आहे, म्हणून आपण लिहू शकतो:

$$ \begin{equation*} \mathbf{O} \mathbf{Q}=\lambda \mathbf{a} \text { तथा } \mathbf{Q P}=\mu \mathbf{b} \tag{3.7} \end{equation*} $$

जेथे λ आणि µ ही वास्तव संख्या आहेत.

म्हणून,

$$\mathbf{A}=\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{b}\tag{3.8}$$

आकृती ३.८ (a) दोन नैकरेखीय सदिश a आणि b. (b) सदिश A चे a आणि b या सदिशांच्या दृष्टीने विभाजन.

आपण असे म्हणतो की A चे a आणि b या दिशांमध्ये अनुक्रमे λ a आणि µ b या दोन घटक सदिशांमध्ये विभाजन केले गेले आहे. या पद्धतीचा वापर करून, दिलेल्या सदिशाचे दोन सदिशांच्या संचाच्या दिशेमध्ये दोन घटक सदिशांमध्ये विभाजन केले जाऊ शकते - तिन्ही समान समतलात असतात. एकक परिमाणाचे सदिश वापरून आयताकृती निर्देशक पद्धतीच्या अक्षांवर सामान्य सदिशाचे विभाजन करणे सोयीचे असते. यांना एकक सदिश म्हणतात ज्याची आपण आता चर्चा करू. एकक सदिश हा एकक परिमाणाचा सदिश असतो आणि विशिष्ट दिशेने निर्देशित केला जातो. त्याला परिमाण आणि एकक नसते. तो फक्त दिशा निर्दिष्ट करण्यासाठी वापरला जातो. आयताकृती निर्देशक पद्धतीच्या x-, y- आणि z-अक्षांवरील एकक सदिश अनुक्रमे $\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}} \text{ and }\hat{\mathbf{k}}$ ने दर्शविले जातात, जसे आकृती ३.९(a) मध्ये दाखवले आहे. हे एकक सदिश असल्यामुळे, आपल्याकडे आहे

$$ \begin{equation*} |\hat{\mathbf{i}}|=\hat{\mathbf{j}}|=\hat{\mathbf{k}}|=1 \tag{3.9} \end{equation*} $$

हे एकक सदिश परस्पर लंब असतात. या मजकुरात, त्यांना इतर सदिशांपासून वेगळे करण्यासाठी ठळक टाइपमध्ये कॅप (^) सह छापले आहे. या प्रकरणात आपण दोन मितींमधील गतीचा विचार करत असल्याने, आपल्याला फक्त दोन एकक सदिशांचा वापर करणे आवश्यक आहे. जर आपण एकक सदिश, उदा. $\hat{\mathbf{n}}$ चा अदिशाने गुणाकार केला, तर परिणाम सदिश $\lambda = \lambda\hat{\mathbf{n}}$ असतो. सर्वसाधारणपणे, सदिश A असे लिहिता येते

$$ \begin{equation*} \mathbf{A}=|\mathbf{A}| \hat{\mathbf{n}} \tag{3.10} \end{equation*} $$

जेथे $\hat{\mathbf{n}}$ हा A बाजूने असलेला एकक सदिश आहे. आता आपण सदिश A चे एकक सदिश $\hat{\mathbf{i}}$ आणि $\hat{\mathbf{j}}$ बाजूने असलेल्या घटक सदिशांच्या दृष्टीने विभाजन करू शकतो. आकृती ३.९(b) मध्ये दाखवल्याप्रमाणे x-y समतलात असलेला सदिश A विचारात घ्या. आकृती ३.९(b) मध्ये दाखवल्याप्रमाणे आपण A च्या शिरोबिंदूपासून निर्देशक अक्षांना लंब रेषा काढतो आणि सदिश $\mathbf{A_1}$ आणि $\mathbf{A_2}$ मिळवतो जसे की $\mathbf{A_1} + \mathbf{A_2} = \mathbf{A}$. $\mathbf{A_1}$ हा $\hat{\mathbf{i}}$ ला समांतर आहे आणि $\mathbf{A_2}$ हा $\hat{\mathbf{j}}$ ला समांतर आहे, म्हणून आपल्याकडे आहे:

आकृती ३.९ (a) एकक सदिश ɵ i , ɵ j आणि ɵk हे x-, y-, आणि z-अक्षांवर असतात. (b) सदिश A चे x-, आणि y- अक्षांवर Ax आणि Ay घटकांमध्ये विभाजन केले आहे. (c) A1 आणि A2 हे ɵ i आणि ɵ j च्या दृष्टीने व्यक्त केले आहेत.

$$ \begin{equation*} \mathbf{A} _{1}=A _{x} \hat{\mathbf{i}}, \mathbf{A} _{2}=A _{y} \hat{\mathbf{j}} \tag{3.11} \end{equation*} $$

जेथे $A_x$ आणि $A_y$ ही वास्तव संख्या आहेत