5.1 प्रस्तावना

‘कार्य’, ‘ऊर्जा’ आणि ‘शक्ती’ हे शब्द दैनंदिन भाषेत वारंवार वापरले जातात. शेतकरी शेत नांगरतो, बांधकाम कामगार विटा वाहतो, स्पर्धा परीक्षेसाठी अभ्यास करणारा विद्यार्थी, सुंदर निसर्गदृश्य रंगवणारा कलाकार, या सर्वांना कार्य करत आहे असे म्हटले जाते. मात्र, भौतिकशास्त्रात ‘कार्य’ या शब्दाचा एक निश्चित आणि अचूक अर्थ आहे. जो कोणी दिवसातून 14-16 तास काम करण्याची क्षमता ठेवतो त्याला मोठी सहनशक्ती किंवा ऊर्जा असल्याचे म्हटले जाते. आपण लांब पल्ल्याच्या धावपटूची तिच्या सहनशक्ती किंवा ऊर्जेसाठी प्रशंसा करतो. अशाप्रकारे, ऊर्जा ही आपली कार्य करण्याची क्षमता आहे. भौतिकशास्त्रातही, ‘ऊर्जा’ हा शब्द या अर्थाने कार्याशी संबंधित आहे, परंतु वर म्हटल्याप्रमाणे ‘कार्य’ हा शब्द स्वतःच अधिक अचूकपणे परिभाषित केला जातो. ‘शक्ती’ हा शब्द दैनंदिन जीवनात वेगवेगळ्या छटांनी वापरला जातो. कराटे किंवा बॉक्सिंगमध्ये आपण ‘शक्तिशाली’ प्रहारांबद्दल बोलतो. हे प्रहार खूप मोठ्या वेगाने केले जातात. या अर्थाची छट भौतिकशास्त्रात वापरल्या जाणाऱ्या ‘शक्ती’ या शब्दाच्या अर्थाच्या जवळ आहे. आपल्याला असे आढळून येईल की भौतिक व्याख्या आणि हे शब्द आपल्या मनात निर्माण करतात त्या शारीरिक चित्रांमध्ये जास्तीत जास्त सैल सहसंबंध आहे. या तीन भौतिक राशींची समज विकसित करणे हा या अध्यायाचा उद्देश आहे. आपण या कार्यात पुढे जाण्यापूर्वी, आपल्याला एक गणितीय पूर्वअट विकसित करणे आवश्यक आहे, म्हणजे दोन सदिशांचा अदिश गुणाकार.

5.1.1 अदिश गुणाकार

आपण सदिश आणि त्यांचा वापर याबद्दल अध्याय 3 मध्ये शिकलो आहोत. विस्थापन, वेग, त्वरण, बल इत्यादी भौतिक राशी सदिश आहेत. सदिश कसे जोडले किंवा वजा केले जातात हे देखील आपण शिकलो आहोत. आता आपल्याला सदिश कसे गुणाकारले जातात हे जाणून घेणे आवश्यक आहे. सदिशांचा गुणाकार करण्याचे दोन मार्ग आहेत ज्यांच्याशी आपण परिचित होऊ: एक मार्ग ज्याला अदिश गुणाकार म्हणतात तो दोन सदिशांपासून एक अदिश देते आणि दुसरा ज्याला सदिश गुणाकार म्हणतात तो दोन सदिशांपासून एक नवीन सदिश निर्माण करतो. आपण सदिश गुणाकाराकडे अध्याय 6 मध्ये पाहू. येथे आपण दोन सदिशांचा अदिश गुणाकार घेऊ. कोणत्याही दोन सदिश A आणि B चा अदिश गुणाकार किंवा बिंदू गुणाकार, A.B असे दर्शविला जातो (वाचा $\mathbf{A} \operatorname{dot} \mathbf{B}$) हे खालीलप्रमाणे परिभाषित केले आहे

$$ \begin{equation*} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=A B \cos \theta \tag{5.1a} \end{equation*} $$

येथे $\theta$ हा दोन सदिशांमधील कोन आहे जसे आकृती 5.1(a) मध्ये दाखवले आहे. $A, B$ आणि $\cos \theta$ हे अदिश असल्याने, $\mathbf{A}$ आणि $\mathbf{B}$ चा बिंदू गुणाकार ही एक अदिश राशी आहे. प्रत्येक सदिश, $\mathbf{A}$ आणि $\mathbf{B}$, ची एक दिशा असते परंतु त्यांच्या अदिश गुणाकाराची दिशा नसते.

समीकरण (5.1a) वरून, आपल्याकडे आहे

$$ \begin{aligned} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} & =A(B \cos \theta) \\ & =B(A \cos \theta) \end{aligned} $$

भौमितिकदृष्ट्या, $B \cos \theta$ हे आकृती 5.1 (b) मधील $\mathbf{B}$ वर $\mathbf{A}$ चे प्रक्षेपण आहे आणि $A \cos \theta$ हे आकृती 5.1 (c) मधील $\mathbf{A}$ वर $\mathbf{B}$ चे प्रक्षेपण आहे. तर, A.B हे $\mathbf{A}$ च्या परिमाणाचा आणि A च्या बाजूने $\mathbf{B}$ च्या घटकाचा गुणाकार आहे. किंवा, तो $\mathbf{B}$ च्या परिमाणाचा आणि $\mathbf{A}$ च्या बाजूने $\mathbf{B}$ च्या घटकाचा गुणाकार आहे.

समीकरण (5.1a) दर्शवते की अदिश गुणाकार क्रमविनिमेय नियमाचे पालन करतो:

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}$

अदिश गुणाकार वितरणात्मक नियमाचे पालन करतो:

$\mathbf{A} \cdot(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}+\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}$

पुढे, $\quad \mathbf{A} \cdot(\lambda \mathbf{B})=\lambda(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})$

जेथे $\lambda$ ही एक वास्तव संख्या आहे.

वरील समीकरणांची पुरावे तुमच्यासाठी व्यायाम म्हणून सोडले आहेत.

एकक सदिश $\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}$ साठी आपल्याकडे आहे

$$ \begin{aligned} & \hat{\mathbf{i}} \cdot \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}} \cdot \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}} \cdot \hat{\mathbf{k}}=1 \\ & \hat{\mathbf{i}} \cdot \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{j}} \cdot \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{k}} \cdot \hat{\mathbf{i}}=0 \end{aligned} $$

दोन सदिश दिले आहेत

$$ \begin{aligned} & \mathbf{A}=A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \hat{\mathbf{k}} \\ & \mathbf{B}=B_{x} \hat{\mathbf{i}}+B_{y} \hat{\mathbf{j}}+B_{z} \hat{\mathbf{k}} \end{aligned} $$

त्यांचा अदिश गुणाकार आहे

$$ \begin{align*} & \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=\left(A_{x} \hat{\mathbf{i}}+A_{y} \hat{\mathbf{j}}+A_{z} \hat{\mathbf{k}}\right) \cdot\left(B_{x} \hat{\mathbf{i}}+B_{y} \hat{\mathbf{j}}+B_{z} \hat{\mathbf{k}}\right) \\ & =A_{x} B_{x}+A_{y} B_{y}+A_{z} B_{z} \tag{5.1b} \end{align*} $$

अदिश गुणाकाराच्या व्याख्येवरून आणि (समीकरण 5.1b) वरून आपल्याकडे आहे:

$$ \begin{equation*} \text{(i)} \quad \quad \quad \quad \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}=A_{x} A_{x}+A_{y} A_{y}+A_{z} A_{z} \end{equation*} $$

$$\text{Or, } \quad\quad\quad\quad A^{2}=A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2} \tag{5.1c}$$

कारण $\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}=|\mathbf{A}||\mathbf{A}| \cos 0=A^{2}$.

(ii) $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=0$, जर $\mathbf{A}$ आणि $\mathbf{B}$ लंब असतील.

उदाहरण 5.1 बल $\mathbf{F}=(3 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}}-5 \hat{\mathbf{k}})$ एकक आणि विस्थापन $\mathbf{d}=(5 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}}+3 \hat{\mathbf{k}})$ एकक यांच्यातील कोन शोधा. तसेच $\mathbf{F}$ चे $\mathbf{d}$ वर प्रक्षेपण शोधा.

उत्तर $\mathbf{F} \cdot \mathbf{d}=F_{x} d_{x}+F_{y} d_{y}+F_{z} d_{z}$

$$ \begin{aligned} & =3(5)+4(4)+(-5)(3) \\ & =16 \text { unit } \end{aligned} $$

म्हणून $\mathbf{F} \cdot \mathbf{d}=F d \cos \theta=16$ एकक

आता $\mathbf{F} \cdot \mathbf{F}$ $$ =F^{2}=F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2} $$

$$ \begin{aligned} & =9+16+25 \\ & =50 \text { unit } \end{aligned} $$

आणि $\mathbf{d} \cdot \mathbf{d} \quad=d^{2}=d_{x}^{2}+d_{y}^{2}+d_{z}^{2}$

$$ =25+16+9 $$

$$ =50 \text { unit } $$

$\therefore \cos \theta=\frac{16}{\sqrt{50} \sqrt{50}}=\frac{16}{50}=0.32$,

$\theta=\cos ^{-1} 0.32$

आकृती 5.1 (a) दोन सदिश A आणि B चा अदिश गुणाकार हा एक अदिश आहे: A.B = A B cos θ. (b) B cos θ हे B चे A वर प्रक्षेपण आहे. (c) A cos θ हे A चे B वर प्रक्षेपण आहे.

5.2 कार्य आणि गतिज ऊर्जेच्या संकल्पना: कार्य-ऊर्जा प्रमेय

स्थिर त्वरण $a$ अंतर्गत रेषीय गतीसाठी खालील संबंध अध्याय 3 मध्ये आढळला आहे,

$$ \begin{equation*} v^{2}-u^{2}=2 a s \tag{5.2} \end{equation*} $$

जेथे $u$ आणि $v$ ही प्रारंभिक आणि अंतिम गती आहेत आणि $s$ हे कापलेले अंतर आहे. दोन्ही बाजूंना $m / 2$ ने गुणाकार केल्यास, आपल्याकडे आहे

$$ \begin{equation*} \frac{1}{2} m v^{2}-\frac{1}{2} m u^{2}=m a s=F s \tag{5.2a} \end{equation*} $$

जेथे शेवटची पायरी न्यूटनच्या दुसऱ्या नियमावरून येते. आपण सदिश वापरून समीकरण (5.2) चे त्रिमितीय रूपांतर करू शकतो

$$ v^{2}-u^{2}=2 \text { a.d } $$

येथे $\mathbf{a}$ आणि $\mathbf{d}$ अनुक्रमे वस्तूचे त्वरण आणि विस्थापन सदिश आहेत. पुन्हा एकदा दोन्ही बाजूंना $\mathrm{m} / 2$ ने गुणाकार केल्यास, आपल्याला मिळते

$$ \begin{equation*} \frac{1}{2} m v^{2}-\frac{1}{2} m u^{2}=m \mathbf{a} \cdot \mathbf{d}=\mathbf{F} . \mathbf{d} \tag{5.2b} \end{equation*} $$

वरील समीकरण कार्य आणि गतिज ऊर्जेच्या व्याख्यांसाठी एक प्रेरणा देते. समीकरणाची डावी बाजू ही ‘अर्ध्या वस्तुमानाचा वेगाच्या वर्गाचा’ या राशीतील त्याच्या प्रारंभिक मूल्यापासून अंतिम मूल्यापर्यंतची फरक आहे. आपण यापैकी प्रत्येक राशीला ‘गतिज ऊर्जा’ म्हणतो, जी $K$ ने दर्शविली जाते. उजवी बाजू ही विस्थापनाचा आणि विस्थापनाच्या दिशेतील बलाच्या घटकाचा गुणाकार आहे. या राशीला ‘कार्य’ म्हणतात आणि ती W ने दर्शविली जाते. समीकरण (5.2b) मग आहे

$$ \begin{equation*} K_{f}-K_{i}=W \tag{5.3} \end{equation*} $$

जेथे $K_{i}$ आणि $K_{f}$ अनुक्रमे वस्तूची प्रारंभिक आणि अंतिम गतिज ऊर्जा आहेत. कार्य हे बल आणि त्यावर कार्य करणाऱ्या विस्थापनाशी संबंधित आहे. बलाद्वारे वस्तूवर ठराविक विस्थापनावर कार्य केले जाते.

समीकरण (5.2) हे देखील कार्य-ऊर्जा (WE) प्रमेयाचे एक विशेष प्रकरण आहे: कणाच्या गतिज ऊर्जेतील बदल हा त्यावर कार्य करणाऱ्या निव्वळ बलाने केलेल्या कार्याएवढा असतो. आपण वरील व्युत्पत्तीचे नंतरच्या विभागात चल बलासाठी सामान्यीकरण करू.

उदाहरण 5.2 हे सर्वज्ञात आहे की पावसाचा थेंब खालच्या गुरुत्वाकर्षण बलाच्या आणि विरोधी प्रतिरोधक बलाच्या प्रभावाखाली पडतो. नंतरचे बल थेंबाच्या गतीच्या प्रमाणात असते परंतु अन्यथा निश्चित नसते असे माहीत आहे. $1.00 \mathrm{~g}$ वस्तुमानाचा एक थेंब $1.00 \mathrm{~km}$ उंचीवरून पडत आहे असे विचारात घ्या. तो जमिनीवर $50.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ गतीने आदळतो. (a) गुरुत्वाकर्षण बलाने केलेले कार्य किती? अज्ञात प्रतिरोधक बलाने केलेले कार्य किती?

उत्तर (a) थेंबाच्या गतिज ऊर्जेतील बदल आहे

$$ \begin{aligned} & \Delta K=\frac{1}{2} m v^{2}-0 \\ & =\frac{1}{2} \times 10^{-3} \times 50 \times 50 \\ & =1.25 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

जेथे आपण असे गृहीत धरले आहे की थेंब सुरुवातीला विराम अवस्थेत आहे. $g$ हे $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ मूल्य असलेले स्थिरांक आहे असे गृहीत धरून, गुरुत्वाकर्षण बलाने केलेले कार्य आहे,

$$ \begin{aligned} W_{g} & =m g h \\ & =10^{-3} \times 10 \times 10^{3} \\ & =10.0 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

(b) कार्य-ऊर्जा प्रमेयावरून

$$ \Delta K=W_{g}+W_{r} $$

जेथे $W_{r}$ हे पावसाच्या थेंबावर प्रतिरोधक बलाने केलेले कार्य आहे. अशाप्रकारे

$$ \begin{aligned} W_{r} & =\Delta K-W_{g} \\ & =1.25-10 \\ & =-8.75 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

ऋण आहे.

5.3 कार्य

आधी पाहिल्याप्रमाणे, कार्य हे बल आणि त्यावर कार्य करणाऱ्या विस्थापनाशी संबंधित आहे. $m$ वस्तुमानाच्या वस्तूवर कार्य करणारे स्थिर बल $\mathbf{F}$ विचारात घ्या. वस्तू आकृती 5.2 मध्ये दाखवल्याप्रमाणे धन $x$-दिशेने $\mathbf{d}$ विस्थापन अनुभवते.

आकृती 5.2 एक वस्तू बल F च्या प्रभावाखाली विस्थापन d अनुभवते.

बलाने केलेले कार्य हे विस्थापनाच्या दिशेतील बलाच्या घटकाचा आणि या विस्थापनाच्या परिमाणाचा गुणाकार म्हणून परिभाषित केले जाते. अशाप्रकारे

$$ \begin{equation*} W=(F \cos \theta) d=\mathbf{F} \cdot \mathbf{d} \tag{5.4} \end{equation*} $$

आपण पाहतो की जर कोणतेही विस्थापन नसेल, तर बल मोठे असले तरीही कोणतेही कार्य केले जात नाही. अशाप्रकारे, जेव्हा आपण कठीण विटांच्या भिंतीवर जोर लावता, तेव्हा आपण भिंतीवर लावलेले बल कोणतेही कार्य करत नाही. तरीही, आपल्या स्नायू आळीपाळीने आकुंचन पावत आहेत आणि शिथिल होत आहेत आणि अंतर्गत ऊर्जा वापरली जात आहे आणि आपण खरोखर थकतो. अशाप्रकारे, भौतिकशास्त्रातील कार्याचा अर्थ दैनंदिन भाषेतील वापरापेक्षा वेगळा आहे.

कार्य केले जात नाही जर:

(i) वरील उदाहरणात पाहिल्याप्रमाणे विस्थापन शून्य असेल. एक वेटलिफ्टर 150 $\mathrm{kg}$ वस्तुमान $30 \mathrm{~s}$ साठी त्याच्या खांद्यावर स्थिरपणे धरून ठेवतो तेव्हा या कालावधीत तो भारावर कोणतेही कार्य करत नाही.

(ii) बल शून्य असेल. गुळगुळीत आडव्या टेबलावर फिरणाऱ्या ब्लॉकवर कोणतेही आडवे बल कार्य करत नाही (कारण घर्षण नाही), परंतु तो मोठे विस्थापन अनुभवू शकतो.

(iii) बल आणि विस्थापन परस्पर लंब असतील. हे असे आहे कारण, $\theta=\pi / 2 \mathrm{rad}$ $\left(=90^{\circ}\right), \cos (\pi / 2)=0$ साठी. गुळगुळीत आडव्या टेबलावर फिरणाऱ्या ब्लॉकसाठी, गुरुत्वाकर्षण बल $m g$ कोणतेही कार्य करत नाही कारण ते विस्थापनाला काटकोनात कार्य करते. जर आपण असे गृहीत धरले की चंद्राची पृथ्वीभोवतीची कक्षा पूर्णपणे वर्तुळाकार आहे तर पृथ्वीचे गुरुत्वाकर्षण बल कोणतेही कार्य करत नाही. चंद्राचे तात्काळ विस्थापन स्पर्शिक असते तर पृथ्वीचे बल अंतर्मुख त्रिज्यीय असते आणि $\theta=\pi / 2$.

कार्य धनात्मक आणि ऋणात्मक दोन्ही असू शकते. जर $\theta$ हा $0^{\circ}$ आणि $90^{\circ}, \cos \theta$ च्या दरम्यान असेल तर समीकरण (5.4) मधील $\theta$ धनात्मक आहे. जर $90^{\circ}$ हा $180^{\circ}, \cos \theta$ आणि $\theta=180^{\circ}$ च्या दरम्यान असेल तर $\left(\cos 180^{\circ}=-1\right)$ ऋणात्मक आहे. अनेक उदाहरणांमध्ये घर्षण बल विस्थापनाला विरोध करते आणि $\left[\mathrm{ML}^{2} \mathrm{~T}^{-2}\right]$. तर घर्षणाने केलेले कार्य ऋणात्मक $\mathrm{J}$ असते.

समीकरण (5.4) वरून हे स्पष्ट आहे की कार्य आणि ऊर्जेची परिमाणे समान आहेत, $10^{-7} \mathrm{~J}$. याचे SI एकक ज्युल (J) आहे, जे प्रसिद्ध ब्रिटिश भौतिकशास्त्रज्ञ जेम्स प्रेस्कॉट ज्युल (1811-1869) यांच्या नावावर आहे. कार्य आणि ऊर्जा भौतिक संकल्पना म्हणून इतक्या व्यापकपणे वापरली जात असल्याने, पर्यायी एकक विपुल आहेत आणि त्यापैकी काही टेबल 5.1 मध्ये सूचीबद्ध केली आहेत.

टेबल 5.1 $1.6 \times 10^{-19} \mathrm{~J}$ मधील कार्य/ऊर्जेची पर्यायी एकके

उदाहरण 5.3 एक सायकलस्वार $180^{\circ}$ मध्ये स्किडिंग थांबवतो. या प्रक्रियेदरम्यान, रस्त्यामुळे सायकलवरील बल $\pi \mathrm{rad}$ आहे आणि ते गतीच्या थेट विरुद्ध आहे. (a) रस्ता सायकलवर किती कार्य करतो? (b) सायकल रस्त्यावर किती कार्य करते?

उत्तर रस्त्याद्वारे सायकलवर केलेले कार्य म्हणजे रस्त्यामुळे सायकलवर कार्य करणाऱ्या थांबविणाऱ्या (घर्षण) बलाने केलेले कार्य.

(a) थांबविणारे बल आणि विस्थापन एकमेकांशी $\mathrm{B}$ ( $\mathrm{B}$) चा कोन करतात. अशाप्रकारे, रस्त्याने केलेले कार्य,

$$ \begin{aligned} W_{r} & =F d \cos \theta \\ & =200 \times 10 \times \cos \pi \\ & =-2000 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

WE प्रमेयानुसार सायकल थांबवणारे हे ऋणात्मक कार्य आहे.

(b) न्यूटनच्या तिसऱ्या नियमानुसार सायकलमुळे रस्त्यावर समान आणि विरुद्ध बल कार्य करते. त्याचे परिमाण 200 N आहे. तथापि, रस्त्यावर कोणतेही विस्थापन होत नाही. अशाप्रकारे, सायकलद्वारे रस्त्यावर केलेले कार्य शून्य आहे.

उदाहरण 5.3 चा धडा असा आहे की जरी शरीर A वर शरीर $\mathrm{A}$ द्वारे लावलेले बल नेहमीच B वर A द्वारे लावलेल्या बलाएवढे आणि विरुद्ध असते (न्यूटनचा तिसरा नियम); A वर B द्वारे केलेले कार्य आवश्यकपणे $m$ वर $\mathbf{v}$ द्वारे केलेल्या कार्याएवढे आणि विरुद्ध नसते.

5.4 गतिज ऊर्जा

आधी नमूद केल्याप्रमाणे, जर $K$ वस्तुमानाच्या वस्तूचा वेग $\left(\mathrm{m} \mathrm{s}^{-1}\right)$ असेल, तर त्याची गतिज ऊर्जा $\boldsymbol{K}(\mathbf{J})$ आहे

$$ \begin{equation*} K=\frac{1}{2} m \mathbf{v} \cdot \mathbf{v}=\frac{1}{2} m v^{2} \tag{5.5} \end{equation*} $$

टेबल 5.2 ठराविक गतिज ऊर्जा (K)

गतिज ऊर्जा ही एक अदिश राशी आहे. एखाद्या वस्तूची गतिज ऊर्जा ही त्या वस्तूच्या गतीमुळे ती वस्तू करू शकणाऱ्या कार्याचे मापन आहे. ही संकल्पना बर्याच काळापासून सहजज्ञानाने ओळखली जाते. वेगाने वाहणाऱ्या प्रवाहाची गतिज ऊर्जा धान्य दळण्यासाठी वापरली गेली आहे. पाली जहाजे वाऱ्याची गतिज ऊर्जा वापरतात. टेबल 5.2 मध्ये विविध वस्तूंसाठी गतिज ऊर्जा सूचीबद्ध केली आहे.

उदाहरण 5.4 बॅलिस्टिक्स प्रात्यक्षिकात एक पोलीस अधिकारी $2.00 \mathrm{~cm}$ वस्तुमानाची गोळी $10 \%$ गतीने (टेबल 5.2 पहा) $m v^{2} / 2=1000 \mathrm{~J}$ जाडीच्या मऊ प्लायवुडवर मारतो. गोळी केवळ त्याच्या प्रारंभिक गतिज ऊर्जेच्या $0.1 \times 1000=100 \mathrm{~J}$ सह बाहेर येते. गोळीची निर्गम गती किती आहे?

उत्तर गोळीची प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $v_{f}$ आहे. त्याची अंतिम गतिज ऊर्जा $68 \%$ आहे. जर $\Delta x$ ही गोळीची निर्गम गती असेल,

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{2} m v_{f}^{2}=100 \mathrm{~J} \\ & v_{f}=\sqrt{\frac{2 \times 100 \mathrm{~J}}{0.05 \mathrm{~kg}}} \\ & \quad=63.2 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$

गती अंदाजे $F(x)$ ने कमी होते (90 % नाही).

5.5 चल बलाद्वारे केलेले कार्य

स्थिर बल दुर्मिळ आहे. चल बल, जे अधिक सामान्यपणे आढळते. आकृती 5.3 ही एका मितीमधील चल बलाचा आलेख आहे.

जर विस्थापन $x_{i}$ लहान असेल, तर आपण बल $x_{f}$ अंदाजे स्थिर म्हणून घेऊ शकतो आणि नंतर केलेले कार्य आहे

$$ \Delta W=F(x) \Delta x $$

हे आकृती 5.3(a) मध्ये दाखवले आहे. आकृती 5.3(a) मधील सलग आयताकृती क्षेत्रे जोडून आपल्याला एकूण केलेले कार्य मिळते

$$ \begin{equation*} W \cong \sum_{x_{i}}^{x_{f}} F(x) \Delta x \tag{5.6} \end{equation*} $$

जेथे बेरीज प्रारंभिक स्थिती $\Delta x$ पासून अंतिम स्थिती $100 \mathrm{~N}$ पर्यंत आहे

जर विस्थापने शून्याकडे जाण्यास परवानगी दिली, तर बेरीजमधील पदांची संख्या मर्यादेशिवाय वाढते, परंतु बेरीज आकृती 5.3(b) मधील वक्राखालील क्षेत्राएवढी निश्चित मूल्याकडे झुकते. तर केलेले कार्य आहे

$$W =\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \sum_{x_{i}}^{x_{f}} F(x) \Delta x$$

$$=\int\limits_{x_i}^{x_f} F(x) \mathrm{d} x \tag{5.7}$$

जेथे ’lim’ हे $10 \mathrm{~m}$ शून्याकडे झुकत असताना बेरीजच्या मर्यादेसाठी उभे आहे. अशाप्रकारे, चल बलासाठी केलेले कार्य बलाचे विस्थापनावरील निश्चित पूर्णांक म्हणून व्यक्त केले जाऊ शकते (परिशिष्ट 3.1 देखील पहा).

आकृती 5.3(a)

आकृती 5.3 (a) छायांकित आयत चल बल F(x) द्वारे लहान विस्थापन ∆x वर केलेले कार्य दर्शवते, ∆W = F(x) ∆x. (b) सर्व आयतांची क्षेत्रे जोडल्यास आपल्याला आढळते की ∆x → 0 साठी, वक्राखालील क्षेत्र नेमके F(x) द्वारे केलेल्या कार्याएवढे आहे.

उदाहरण 5.5 एक महिला रेल्वे प्लॅटफॉर्मवर एक पेटी ढकलते ज्याची पृष्ठभाग खडबडीत आहे. ती $50 \mathrm{~N}$ अंतरावर $20 \mathrm{~m}$ चे बल लावते. त्यानंतर, ती हळूहळू थकते आणि तिचे लागू केलेले बल अंतराने रेषीयरित्या $50 \mathrm{~N}$ पर्यंत कमी होते. पेटी हलवलेले एकूण अंतर $20 \mathrm{~m}$ आहे. महिलेद्वारे लागू केलेले बल आणि घर्षण बल, जे $x=20 \mathrm{~m}, F=50 \mathrm{~N}(\neq 0)$ आहे, ते विस्थापनाच्या विरुद्ध प्लॉट करा. $f$ वर दोन बलांनी केलेले कार्य मोजा.

उत्तर

आकृती 5.4 महिलेद्वारे लागू केलेले बल F आणि विरोधी घर्षण बल f चा विस्थापनाविरुद्धचा आलेख.

लागू केलेल्या बलाचा आलेख आकृती 5.4 मध्ये दाखवला आहे. $|\mathbf{f}|=50 \mathrm{~N}$ वर. आपल्याला दिले आहे की घर्षण बल $\mathbf{F}$ हे $W_{F} \rightarrow$ आहे. ते गतीला विरोध करते आणि $\mathrm{ABCD}+$ च्या विरुद्ध दिशेने कार्य करते. म्हणून, ते बल अक्षाच्या ऋण बाजूवर दाखवले आहे.

महिलेने केलेले कार्य आहे

$W_{f} \rightarrow$ आयत $\left(x_{i}\right)$ चे क्षेत्रफळ समलंब चौकोन CEID चे क्षेत्रफळ

$$ \begin{aligned} & W_{F}=100 \times 10+\frac{1}{2}(100+50) \times 10 \\ & =1000+750 \\ & \quad=1750 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

घर्षण बलाने केलेले कार्य आहे

$\left(x_{f}\right.$ आयत AGHI चे क्षेत्रफळ

$$ \begin{aligned} W_{f} & =(-50) \times 20 \\ & =-1000 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

बल अक्षाच्या ऋण बाजूच्या क्षेत्राला ऋण चिन्ह आहे.

5.6 चल बलासाठी कार्य-ऊर्जा प्रमेय

आता आपण चल बलासाठी कार्य-ऊर्जा प्रमेय सिद्ध करण्यासाठी कार्य आणि गतिज ऊर्जेच्या संकल्पनांशी परिचित आहोत. आपण स्वतःला एका मितीपर्यंत मर्यादित ठेवतो. गतिज ऊर्जेचा वेळेचा दर बदल आहे

$$ \frac{\mathrm{d} K}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{1}{2} m v^{2} $$ $$ \begin{aligned} & =m \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t} v \\ & =F v\text { (from Newton’s Second Law) } \\ & =F \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} \end{aligned} $$

अशाप्रकारे

$$ \mathrm{d} K=F \mathrm{~d} x $$

प्रारंभिक स्थिती $K_{i}$ पासून अंतिम स्थिती $K_{f}$ पर्यंत समाकलित केल्यास, आपल्याकडे आहे

$$ \int_{K_{i}}^{K_{f}} \mathrm{~d} K=\int_{x_{i}}^{x_{f}} F \mathrm{~d} x $$

जेथे, $x_{i}$ आणि $x_{\mathrm{f}}$ ही अनुक्रमे $m=1 \mathrm{~kg}$ आणि $V_{i}=2 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ शी संबंधित प्रारंभिक आणि अंतिम गतिज ऊर्जा आहेत.

$$ \begin{equation*} \text { or } \quad K_{f}-K_{i}=\int_{x_{i}}^{x_{f}} F \mathrm{~d} x \tag{5.8a} \end{equation*} $$

समीकरण (5.7) वरून, ते अनुसरण करते

$$ \begin{equation*} K_{f}-K_{i}=W \tag{5.8b} \end{equation*} $$

अशाप्रकारे, चल बलासाठी WE प्रमेय सिद्ध झाले आहे.

जरी WE प्रमेय विविध समस्यांमध्ये उपयुक्त आहे, तरी ते सामान्यतः न्यूटनच्या दुसऱ्या नियमाची संपूर्ण गतिमान माहिती समाविष्ट करत नाही. तो न्यूटनच्या दुसऱ्या नियमाचा अविभाज्य स्वरूप आहे. न्यूटनचा दुसरा नियम हा को