७.१ प्रस्तावना

आपल्या आयुष्याच्या सुरुवातीच्या काळातच, सर्व भौतिक वस्तूंचा पृथ्वीकडे आकर्षित होण्याचा कल आपल्याला जाणवू लागतो. वर फेकलेली कोणतीही वस्तू पृथ्वीकडे खाली येते, डोंगर चढणे खाली येण्यापेक्षा खूप अधिक थकवणारे असते, वरच्या ढगांतून पावसाच्या थेंब पृथ्वीकडे पडतात आणि अशा अनेक घटना आहेत. ऐतिहासिकदृष्ट्या ही गोष्ट ओळखणारे इटालियन भौतिकशास्त्रज्ञ गॅलिलिओ (१५६४-१६४२) होते, ज्यांनी हे तथ्य ओळखले की सर्व वस्तू, त्यांच्या वस्तुमानाची पर्वा न करता, स्थिर त्वरणाने पृथ्वीकडे वेगवान होतात. असे म्हटले जाते की त्यांनी ही गोष्ट सार्वजनिकरित्या प्रात्यक्षिक केली. सत्य शोधण्यासाठी, त्यांनी नक्कीच कलत्या समतलांवरून खाली येणाऱ्या वस्तूंवर प्रयोग केले आणि गुरुत्वाकर्षणामुळे होणाऱ्या त्वरणाचे मूल्य प्राप्त केले जे नंतर मिळालेल्या अधिक अचूक मूल्याच्या जवळ होते.

एक वेगळीशी दिसणारी घटना, ताऱ्यांचे, ग्रहांचे आणि त्यांच्या गतीचे निरीक्षण हे प्राचीन काळापासून अनेक देशांमध्ये लक्षाचा विषय राहिला आहे. प्राचीन काळापासूनच्या निरीक्षणांमध्ये असे तारे ओळखले गेले जे वर्षानुवर्षे स्थान न बदलता आकाशात दिसत. अधिक मनोरंजक वस्तू म्हणजे ग्रह जे ताऱ्यांच्या पार्श्वभूमीवर नियमित गती करताना दिसतात. सुमारे २००० वर्षांपूर्वी टॉलेमीने मांडलेला ग्रहांच्या गतींचा सर्वात प्राचीन नोंदवलेला आकृतिबंध हा एक ‘भूकेंद्री’ आकृतिबंध होता ज्यामध्ये सर्व खगोलीय वस्तू, तारे, सूर्य आणि ग्रह, सर्व पृथ्वीभोवती फिरत होते. खगोलीय वस्तूंसाठी शक्य असलेली एकमेव गती म्हणजे वर्तुळाकार गती असे मानले जात होते. ग्रहांच्या निरीक्षित गतीचे वर्णन करण्यासाठी टॉलेमीने गतीच्या गुंतागुंतीच्या योजना मांडल्या. ग्रहांचे वर्णन वर्तुळांमध्ये फिरणारे म्हणून केले गेले ज्यामध्ये त्या वर्तुळांचे केंद्र स्वतः मोठ्या वर्तुळांमध्ये फिरत होते. सुमारे ४०० वर्षांनंतर भारतीय ज्योतिष्यांनीही अशाच सिद्धांतांचा पुरस्कार केला. तथापि, एक अधिक मोहक आकृतिबंध ज्यामध्ये सूर्य हे केंद्र होते ज्याभोवती ग्रह फिरत होते - ‘सूर्यकेंद्री’ आकृतिबंध - आर्यभट्ट ( शतक इ.स.) यांनी आपल्या ग्रंथात आधीच उल्लेख केला होता. हजार वर्षांनंतर, निकोलस कोपर्निकस (१४७३-१५४३) नावाच्या पोलिश साधूने एक निश्चित आकृतिबंध मांडला ज्यामध्ये ग्रह एका स्थिर मध्यवर्ती सूर्याभोवती वर्तुळांमध्ये फिरत होते. त्याचा सिद्धांत चर्चने दुर्लक्षित केला, परंतु त्याच्या समर्थकांमध्ये गॅलिलिओ प्रसिद्ध होते ज्याला त्याच्या विश्वासांसाठी राज्याकडून खटला भरण्याचा सामना करावा लागला.

गॅलिलिओच्या जवळजवळ त्याच काळात, डेन्मार्कचे टायको ब्राहे (१५४६-१६०१) नावाचे एक सरदार होते, ज्यांनी आपले संपूर्ण आयुष्य नग्न डोळ्यांनी ग्रहांची निरीक्षणे नोंदवण्यात घालवले. त्यांच्या संकलित डेटाचे विश्लेषण नंतर त्यांच्या सहाय्यक जोहान्स केप्लर (१५७१-१६४०) यांनी केले. त्यांनी डेटामधून तीन मोहक नियम काढू शकले जे आता केप्लरचे नियम म्हणून ओळखले जातात. हे नियम न्यूटनला माहित होते आणि त्यांनी त्यांना त्यांचा सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षणाचा नियम मांडण्यात एक मोठी वैज्ञानिक उडी घेण्यास सक्षम केले.

७.२ केप्लरचे नियम

केप्लरचे तीन नियम पुढीलप्रमाणे सांगता येतील:

१. कक्षेचा नियम : सर्व ग्रह लंबवर्तुळाकार कक्षांमध्ये फिरतात ज्यामध्ये सूर्य लंबवर्तुळाच्या (आकृती ७.१अ) एका केंद्रबिंदूवर स्थित असतो (आकृती ७.१अ). हा नियम कोपर्निकन आकृतिबंधापासूनचे विचलन होते ज्यामध्ये केवळ वर्तुळाकार कक्षांचीच परवानगी होती. लंबवर्तुळ, ज्याचा वर्तुळ हा एक विशेष प्रकार आहे, ही एक बंद वक्र रेषा आहे जी खालीलप्रमाणे अगदी सोप्या पद्धतीने काढता येते.

<img src=" width=“300px”>

आकृती ७.१(अ) सूर्याभोवती ग्रहाने काढलेले लंबवर्तुळ. सर्वात जवळचा बिंदू P आहे आणि सर्वात दूरचा बिंदू A आहे, P ला उपसूर्य बिंदू म्हणतात आणि A ला अपसूर्य बिंदू म्हणतात. अर्धदीर्घ अक्ष हे AP अंतराच्या निम्मे आहे

<img src=">

आकृती ७.१(ब) लंबवर्तुळ काढणे. एक दोरीचे टोक F1 आणि F2 येथे निश्चित केले आहे. पेन्सिलची टीप दोरी ताणून धरते आणि भोवती फिरवली जाते

दोन बिंदू आणि निवडा. दोरीची एक लांबी घ्या आणि त्याची टोके आणि येथे खिळ्यांनी निश्चित करा. पेन्सिलच्या टोकाने दोरी ताणून धरा आणि नंतर दोरी संपूर्ण ताणून ठेवून पेन्सिल हलवून एक वक्र रेषा काढा (आकृती ७.१(ब)). तुम्हाला मिळालेल्या बंद वक्र रेषेला लंबवर्तुळ म्हणतात. स्पष्टपणे लंबवर्तुळावरील कोणत्याही बिंदू साठी, आणि पासूनच्या अंतरांची बेरीज ही एक स्थिरांक असते. यांना केंद्रबिंदू म्हणतात. बिंदू आणि जोडा आणि रेषेचा विस्तार करून ती लंबवर्तुळाला बिंदू आणि येथे छेदते असे दाखवल्याप्रमाणे (आकृती ७.१(ब)). रेषा PA चा मध्यबिंदू हे लंबवर्तुळाचे केंद्र आहे आणि लांबी AO ला लंबवर्तुळाचा अर्धदीर्घ अक्ष म्हणतात. वर्तुळासाठी, दोन केंद्रबिंदू एकत्र येतात आणि अर्धदीर्घ अक्ष वर्तुळाची त्रिज्या बनतो.

२. क्षेत्रफळाचा नियम : कोणत्याही ग्रहाला सूर्याशी जोडणारी रेषा समान कालावधीत समान क्षेत्रफळे ओलांडते (आकृती ७.२). हा नियम या निरीक्षणावरून येतो की ग्रह सूर्यापासून दूर असताना त्यांची गती कमी दिसते आणि जेव्हा ते जवळ असतात तेव्हा अधिक वेगवान दिसतात.

<img src=" width=“400px”>

आकृती ७.२ ग्रह P सूर्याभोवती लंबवर्तुळाकार कक्षेत फिरतो. छायांकित क्षेत्र हे लहान कालावधी Δt मध्ये ओलांडलेले क्षेत्रफळ ΔA आहे.

३. आवर्तकालाचा नियम : ग्रहाच्या परिभ्रमणाच्या कालावधीचा वर्ग हा ग्रहाने काढलेल्या लंबवर्तुळाच्या अर्धदीर्घ अक्षाच्या घनाच्या प्रमाणात असतो.

सारणी ७.१ मध्ये आठ* ग्रहांचे सूर्याभोवतीच्या परिभ्रमणाचे अंदाजे कालावधी त्यांच्या अर्धदीर्घ अक्षांच्या मूल्यांसह दिले आहेत.

सारणी ७.१

खाली दिलेल्या ग्रहीय गतींच्या मापनातील डेटा केप्लरच्या आवर्तकालाच्या नियमाची पुष्टी करतात

क्षेत्रफळाचा नियम हा कोणत्याही केंद्रीय बलासाठी वैध असलेल्या कोनीय संवेगाच्या संवर्धनाचा परिणाम म्हणून समजू शकतो. केंद्रीय बल असे असते की ग्रहावरील बल हे सूर्य आणि ग्रह यांना जोडणाऱ्या सदिशाच्या दिशेने असते. सूर्य मूळ बिंदूवर असू द्या आणि ग्रहाचे स्थान आणि संवेग अनुक्रमे आणि ने दर्शवू. तर वस्तुमान असलेल्या ग्रहाने कालावधी मध्ये ओलांडलेले क्षेत्रफळ (आकृती ७.२) आहे जे दिलेले आहे

म्हणून

जेथे हा वेग आहे, हा कोनीय संवेग आहे जो च्या बरोबरीचा आहे. केंद्रीय बलासाठी, जे च्या दिशेने निर्देशित केलेले असते, ते ग्रह भोवती फिरत असताना एक स्थिरांक असते. म्हणून, शेवटच्या समीकरणानुसार हा एक स्थिरांक आहे. हा क्षेत्रफळाचा नियम आहे. गुरुत्वाकर्षण हे एक केंद्रीय बल आहे आणि म्हणून क्षेत्रफळाचा नियम अनुसरण करतो.

उदाहरण ७.१ आकृती ७.१(अ) मधील उपसूर्य बिंदू येथील ग्रहाचा वेग असू द्या आणि सूर्य-ग्रह अंतर SP हे असू द्या. चा अपसूर्य बिंदू येथील संबंधित राशींशी संबंध जोडा. ग्रहाला आणि ओलांडण्यासाठी समान वेळ लागेल का?

उत्तर येथील कोनीय संवेगाचे परिमाण आहे, कारण निरीक्षण आपल्याला सांगते की आणि परस्पर लंब आहेत. त्याचप्रमाणे, . कोनीय संवेग संवर्धनापासून

किंवा

कारण .

ने बांधलेले क्षेत्रफळ आणि त्रिज्या सदिश आणि हे आकृती ७.१ मधील पेक्षा मोठे आहे. केप्लरच्या दुसऱ्या नियमानुसार, समान क्षेत्रफळे समान कालावधीत ओलांडली जातात. म्हणून ग्रहाला ओलांडण्यासाठी पेक्षा जास्त वेळ लागेल.

७.३ गुरुत्वाकर्षणाचा सार्वत्रिक नियम

आख्यायिकेनुसार, झाडावरून पडणाऱ्या सफरचंदाचे निरीक्षण करून, न्यूटन प्रेरित झाले आणि त्यांनी गुरुत्वाकर्षणाचा एक सार्वत्रिक नियम मांडला ज्यामुळे पार्थिव गुरुत्वाकर्षणाचे तसेच केप्लरच्या नियमांचे स्पष्टीकरण मिळाले. न्यूटनचा तर्क असा होता की त्रिज्या च्या कक्षेत फिरणारा चंद्र पृथ्वीच्या गुरुत्वाकर्षणामुळे होणाऱ्या अभिकेंद्री त्वरणाच्या अधीन होता ज्याचे परिमाण

जेथे हा चंद्राचा वेग आहे जो कालावधी शी संबंधित आहे जो संबंध द्वारे दिलेला आहे. कालावधी सुमारे २७.३ दिवसांचा आहे आणि तेव्हापासून सुमारे आहे हे आधीच माहित होते. जर आपण ही संख्या समीकरण (७.३) मध्ये ठेवल्या, तर आपल्याला चे मूल्य मिळेल जे पृथ्वीच्या पृष्ठभागावरील गुरुत्वाकर्षणामुळे होणाऱ्या त्वरणाच्या मूल्य पेक्षा खूपच लहान आहे, जे पृथ्वीच्या गुरुत्वाकर्षणाच्या आकर्षणामुळेही निर्माण होते. हे स्पष्टपणे दर्शवते की पृथ्वीच्या गुरुत्वाकर्षणामुळे होणारे बल अंतराबरोबर कमी होते. जर असे गृहीत धरले की पृथ्वीच्या केंद्रापासूनच्या अंतराच्या वर्गाच्या व्यस्त प्रमाणात पृथ्वीचे गुरुत्वाकर्षण बल कमी होते, तर आपल्याकडे असेल आणि आपल्याला मिळेल

च्या मूल्याशी आणि समीकरण (७.३) मधील च्या मूल्याशी सुसंगत. या निरीक्षणांनी न्यूटनला पुढील सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षणाचा नियम मांडण्यास प्रेरित केले:

विश्वातील प्रत्येक वस्तू इतर प्रत्येक वस्तूला एका बलाने आकर्षित करते जे त्यांच्या वस्तुमानांच्या गुणाकाराच्या थेट प्रमाणात असते आणि त्यांच्यामधील अंतराच्या वर्गाच्या व्यस्त प्रमाणात असते.

हा उतारा मूलतः न्यूटनच्या ‘नैसर्गिक तत्त्वज्ञानाचे गणितीय सिद्धांत’ (संक्षिप्तपणे प्रिन्सिपिया) या प्रसिद्ध ग्रंथातून आहे.

गणितीयदृष्ट्या सांगितले तर, न्यूटनचा गुरुत्वाकर्षण नियम असे वाचतो: बिंदू वस्तुमान वर दुसऱ्या बिंदू वस्तुमान मुळे होणारे बल चे परिमाण

समीकरण (७.५) सदिश रूपात व्यक्त केले जाऊ शकते

जेथे हा सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक आहे, हे ते येथील एकक सदिश आहे आणि आकृती ७.३ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे आहे.

आकृती ७.३ m2 मुळे m1 वर गुरुत्वाकर्षण बल r च्या दिशेने आहे जेथे सदिश r आहे (r2 – r1).

मुळे वर गुरुत्वाकर्षण बल च्या दिशेने आहे जेथे सदिश आहे (). गुरुत्वाकर्षण बल आकर्षक आहे, म्हणजे, बल हे च्या दिशेने आहे. बिंदू वस्तुमान मुळे वरील बल न्यूटनच्या तिसऱ्या नियमानुसार नक्कीच आहे. अशाप्रकारे, वस्तू १ वर २ मुळे होणारे गुरुत्वाकर्षण बल F_१२ आणि वस्तू २ वर १ मुळे होणारे बल F_२१ यांचा संबंध

F_१२=-F_२१.

आपण समीकरण (७.५) विचारात घेतलेल्या वस्तूंवर लागू करण्यापूर्वी, आपण सावधगिरी बाळगली पाहिजे कारण नियम बिंदू वस्तुमानांसाठी आहे तर आपण मर्यादित आकाराच्या विस्तारित वस्तूंशी व्यवहार करतो. जर आपल्याकडे बिंदू वस्तुमानांचा संग्रह असेल, तर त्यापैकी कोणत्याही वस्तुमानावरील बल हे इतर बिंदू वस्तुमानांद्वारे प्रयुक्त केलेल्या गुरुत्वाकर्षण बलांची सदिश बेरीज आहे जसे आकृती ७.४ मध्ये दाखवले आहे.

<img src=" width=“400px”>

आकृती ७.४ बिंदू वस्तुमान m1 वरील एकूण गुरुत्वाकर्षण बल हे m2, m3 आणि m4 द्वारे प्रयुक्त केलेल्या गुरुत्वाकर्षण बलांची सदिश बेरीज आहे.

वर एकूण बल

उदाहरण ७.२ तीन समान वस्तुमाने प्रत्येकी समभुज त्रिकोण च्या शिरोबिंदूंवर निश्चित केली आहेत.

(अ) केंद्रक येथे ठेवलेल्या वस्तुमान वर कार्य करणारे बल काय आहे?

(ब) जर शिरोबिंदू येथील वस्तुमान दुप्पट केले तर बल काय असेल?

घ्या (आकृती ७.५ पहा)

उत्तर (अ) GC आणि धन -अक्ष यांच्यातील कोन आहे आणि GB आणि ऋण -अक्ष यांच्यातील कोनही तसाच आहे. सदिश संकेतनातील वैयक्तिक बले

<img src=">

आकृती ७.५ तीन समान वस्तुमाने ∆ ABC च्या तीन शिरोबिंदूंवर ठेवली आहेत. एक वस्तुमान 2m केंद्रक G वर ठेवले आहे.

अधिस्थापनाच्या तत्त्वापासून आणि सदिश बेरीजच्या नियमापासून, वरील परिणामी गुरुत्वाकर्षण बल आहे

वैकल्पिकरित्या, सममितीच्या आधारे अशी अपेक्षा केली जाते की परिणामी बल शून्य असावे.

(ब) आता जर शिरोबिंदू A वरील वस्तुमान दुप्पट केले तर

विस्तारित वस्तू (जसे की पृथ्वी) आणि बिंदू वस्तुमान यांच्यातील गुरुत्वाकर्षण बलासाठी, समीकरण (७.५) थेट लागू होत नाही. विस्तारित वस्तूतील प्रत्येक बिंदू वस्तुमान दिलेल्या बिंदू वस्तुमानावर एक बल प्रयुक्त करेल आणि ही सर्व बले एकाच दिशेने असणार नाहीत. एकूण बल मिळवण्यासाठी आपल्याला विस्तारित वस्तूतील सर्व बिंदू वस्तुमानांसाठी या बलांची सदिश बेरीज करावी लागेल. कलनशास्त्र वापरून हे सहज करता येते. दोन विशेष प्रकरणांसाठी, जेव्हा आपण ते करता तेव्हा एक साधा नियम प्राप्त होतो:

(१) एकसमान घनतेच्या पोकळ गोलाकार आवरण आणि बाहेर स्थित बिंदू वस्तुमान यांच्यातील आकर्षण बल हे असेच आहे जसे की आवरणाचे संपूर्ण वस्तुमान आवरणाच्या केंद्रस्थानी एकवटलेले आहे.

गुणात्मकदृष्ट्या हे खालीलप्रमाणे समजू शकते: आवरणाच्या विविध भागांमुळे होणाऱ्या गुरुत्वाकर्षण बलांमध्ये बिंदू वस्तुमानाला केंद्राशी जोडणाऱ्या रेषेसह तसेच या रेषेला लंब असलेल्या दिशेने घटक असतात. आवरणाच्या सर्व भागांवर बेरीज करताना या रेषेला लंब असलेले घटक रद्द होतात आणि फक्त बिंदूपासून केंद्रापर्यंत जोडणाऱ्या रेषेवर एक परिणामी बल राहते. या बलाचे परिमाण वर नमूद केल्याप्रमाणे कार्य करते.

(२) एकसमान घनतेच्या पोकळ गोलाकार आवरणामुळे होणारे आकर्षण बल, त्याच्या आत स्थित बिंदू वस्तुमानावर शून्य असते.

गुणात्मकदृष्ट्या, आपण हा निकाल पुन्हा समजू शकतो. गोलाकार आवरणाचे विविध भाग त्याच्या आतील बिंदू वस्तुमानाला विविध दिशांनी आकर्षित करतात. ही बले एकमेकांना पूर्णपणे रद्द करतात.

७.४ गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक

सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियमात प्रवेश करणाऱ्या गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक चे मूल्य प्रायोगिकरित्या निश्चित केले जाऊ शकते आणि हे प्रथम इंग्रजी शास्त्रज्ञ हेन्री कॅव्हेंडिश यांनी १७९८ मध्ये केले. त्यांनी वापरलेले उपकरण आकृती ७.६ मध्ये योजनाबद्धरित्या दाखवले आहे

<img src=">

आकृती ७.६ कॅव्हेंडिशच्या प्रयोगाचे योजनाबद्ध रेखाचित्र. S1 आणि S2 मोठे गोल आहेत जे A आणि B येथील वस्तुमानांच्या दोन्ही बाजूंना ठेवलेले आहेत (छायांकित दाखवले आहे). जेव्हा मोठे गोल वस्तुमानांच्या दुसऱ्या बाजूला नेले जातात (ठिपक्या वर्तुळांनी दाखवलेले), तेव्हा दंड AB थोडासा फिरतो कारण टॉर्कची दिशा उलटी होते. फिरण्याचा कोन प्रायोगिकरित्या मोजता येतो.

दंड च्या टोकांना दोन लहान शिशाचे गोल जोडलेले आहेत. दंड एका बारीक तारेने कठोर आधारावरून निलंबित केला आहे. दोन मोठे शिशाचे गोल लहान गोलांच्या जवळ आणले जातात परंतु विरुद्ध बाजूंनी दाखवल्याप्रमाणे. मोठे गोल जवळच्या लहान गोलांना समान आणि विरुद्ध बलाने आकर्षित करतात. दंडावर कोणतेही निव्वळ बल नसते परंतु फक्त एक टॉर्क असते जे स्पष्टपणे गुणिले दंडाची लांबी इतके असते, जेथे हे मोठ्या गोल आणि त्याच्या शेजारच्या लहान गोल यांच्यातील आकर्षण बल आहे. या टॉर्कमुळे, निलंबित तार वळते