८.१ प्रस्तावना

अध्याय ६ मध्ये, आपण वस्तूंच्या परिभ्रमणाचा अभ्यास केला आणि नंतर हे लक्षात आले की वस्तूची गती ही त्या वस्तूमध्ये द्रव्यमान कसे वितरित केलेले आहे यावर अवलंबून असते. आपण कठोर वस्तूंच्या सोप्या परिस्थितींपुरते मर्यादित राहिलो. कठोर वस्तू म्हणजे सामान्यतः निश्चित आकार आणि आकारमान असलेली कठीण घन वस्तू. परंतु प्रत्यक्षात, वस्तूंना ताणले, दाबले आणि वाकवले जाऊ शकते. लक्षणीय कठोर असलेली स्टीलची पट्टी देखील जेव्हा त्यावर पुरेशी मोठी बाह्य शक्ती प्रयुक्त केली जाते तेव्हा ती विकृत होऊ शकते. याचा अर्थ घन पदार्थ पूर्णपणे कठोर नसतात.

घन पदार्थाला निश्चित आकार आणि आकारमान असते. वस्तूचा आकार किंवा आकारमान बदलण्यासाठी (किंवा विकृत करण्यासाठी) शक्तीची आवश्यकता असते. जर तुम्ही हळूवारपणे टोके ओढून हेलिकल स्प्रिंग ताणली तर स्प्रिंगची लांबी किंचित वाढते. जेव्हा तुम्ही स्प्रिंगची टोके सोडता तेव्हा ती पुन्हा त्याचे मूळ आकारमान आणि आकार प्राप्त करते. एखाद्या वस्तूचा जो गुणधर्म असतो की ज्यामुळे प्रयुक्त शक्ती काढून टाकली जाते तेव्हा ती वस्तू पुन्हा त्याचे मूळ आकारमान आणि आकार प्राप्त करण्याचा प्रयत्न करते, त्याला लवचिकता म्हणतात आणि त्यामुळे निर्माण झालेल्या विकृतीला लवचिक विकृती म्हणतात. तथापि, जर तुम्ही पुट्टीच्या गोळ्यावर किंवा चिखलावर शक्ती प्रयुक्त केली तर त्यांना त्यांचा मागील आकार परत मिळवण्याची कोणतीही स्पष्ट प्रवृत्ती नसते आणि ते कायमस्वरूपी विकृत होतात. अशा पदार्थांना प्लॅस्टिक म्हणतात आणि या गुणधर्मास प्लॅस्टिसिटी म्हणतात. पुट्टी आणि चिखल हे आदर्श प्लॅस्टिक्सच्या जवळ आहेत.

साहित्याच्या लवचिक वर्तनाचा अभियांत्रिकी डिझाइनमध्ये महत्त्वाचा भूमिका आहे. उदाहरणार्थ, इमारत डिझाइन करताना, स्टील, काँक्रीट इत्यादी साहित्यांच्या लवचिक गुणधर्मांचे ज्ञान आवश्यक असते. पूल, ऑटोमोबाईल्स, रोपवे इत्यादींच्या डिझाइनमध्येही हेच खरे आहे. एखाद्याला असेही विचारू शकता: आपण अशी विमानाची रचना करू शकतो का जी खूप हलकी पण पुरेशी मजबूत असेल? आपण असे कृत्रिम अवयव डिझाइन करू शकतो का जे हलके पण मजबूत असतील? रेल्वे ट्रॅकचा आकार विशिष्ट I आकाराचा का असतो? काच भंगुर का असते तर पितळ भंगुर का नसते? अशा प्रश्नांची उत्तरे विविध घन पदार्थांना विकृत करण्यासाठी तुलनेने सोप्या प्रकारचे भार किंवा शक्ती कशा प्रकारे कार्य करतात याच्या अभ्यासापासून सुरू होतात. या अध्यायात, आपण घन पदार्थांचे लवचिक वर्तन आणि यांत्रिक गुणधर्म यांचा अभ्यास करू ज्यामुळे अशा अनेक प्रश्नांची उत्तरे मिळतील.

८.२ ताण आणि ताण

जेव्हा एखाद्या वस्तूवर शक्ती अशा प्रकारे प्रयुक्त केल्या जातात की वस्तू अजूनही स्थिर समतोलात असते, तेव्हा ती वस्तूच्या साहित्याच्या स्वरूपावर आणि विकृत करणाऱ्या शक्तीच्या तीव्रतेवर अवलंबून लहान किंवा मोठ्या प्रमाणात विकृत होते. अनेक साहित्यांमध्ये ही विकृती दृश्यमानपणे लक्षात येणारी नसू शकते पण ती तिथे असते. जेव्हा एखाद्या वस्तूवर विकृत करणारी शक्ती प्रयुक्त केली जाते, तेव्हा त्या वस्तूमध्ये एक पुनर्संचयित शक्ती निर्माण होते. ही पुनर्संचयित शक्ती प्रयुक्त शक्तीच्या तीव्रतेत समान पण दिशेने विरुद्ध असते. प्रति एकक क्षेत्रफळाची पुनर्संचयित शक्ती याला ताण म्हणतात. जर $F$ ही क्रॉस-सेक्शनला लंब प्रयुक्त केलेली शक्ती असेल आणि $A$ हे वस्तूचे क्रॉस-सेक्शनचे क्षेत्रफळ असेल

$$ \text{Magnitude of the stress} =F / A \tag{8.1}$$

ताणाचे SI एकक $\mathrm{N} \mathrm{m}^{-2}$ किंवा पास्कल $(\mathrm{Pa})$ आहे आणि त्याचे आकारमान सूत्र $\left[\mathrm{ML}^{-1} \mathrm{~T}^{-2}\right]$ आहे.

जेव्हा एखाद्या घन पदार्थावर बाह्य शक्ती कार्य करते तेव्हा त्याची परिमाणे बदलण्याचे तीन मार्ग आहेत. हे आकृती ८.१ मध्ये दाखवले आहेत. आकृती ८.१(a) मध्ये, सिलिंडरला त्याच्या क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्रफळाला लंब प्रयुक्त केलेल्या दोन समान शक्तींद्वारे ताणले जाते. या प्रकरणात प्रति एकक क्षेत्रफळाची पुनर्संचयित शक्ती याला तन्य ताण म्हणतात. जर सिलिंडर प्रयुक्त शक्तींच्या क्रियेखाली संकुचित केला गेला तर, प्रति एकक क्षेत्रफळाची पुनर्संचयित शक्ती याला संपीडक ताण म्हणतात. तन्य किंवा संपीडक ताण याला अनुदैर्ध्य ताण असेही म्हणता येते.

दोन्ही प्रकरणांमध्ये, सिलिंडरच्या लांबीत बदल होतो. लांबीतील बदल $\Delta L$ ते वस्तूची (या प्रकरणात सिलिंडर) मूळ लांबी $L$ यांच्या गुणोत्तराला अनुदैर्ध्य ताण म्हणतात.

$$ \begin{equation*} \text { Longitudinal strain }=\frac{\Delta L}{L} \tag{8.2} \end{equation*} $$

तथापि, जर आकृती ८.१(b) मध्ये दाखवल्याप्रमाणे सिलिंडरच्या क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्रफळाच्या समांतर दोन समान आणि विरुद्ध विकृत करणाऱ्या शक्ती प्रयुक्त केल्या गेल्या, तर सिलिंडरच्या विरुद्ध चेहऱ्यांमध्ये सापेक्ष विस्थापन होते. प्रयुक्त स्पर्शिका शक्तीमुळे निर्माण झालेल्या प्रति एकक क्षेत्रफळाच्या पुनर्संचयित शक्तीला स्पर्शिका किंवा कर्तन ताण म्हणतात. प्रयुक्त स्पर्शिका शक्तीच्या परिणामी, आकृती ८.१(b) मध्ये दाखवल्याप्रमाणे सिलिंडरच्या विरुद्ध चेहऱ्यांमध्ये सापेक्ष विस्थापन $\Delta x$ होते. यामुळे निर्माण झालेल्या ताणाला कर्तन ताण म्हणतात आणि ते चेहऱ्यांच्या सापेक्ष विस्थापनाचे $\Delta x$ ते सिलिंडरच्या लांबी $L$ यांचे गुणोत्तर म्हणून परिभाषित केले जाते.

$$ \begin{equation*} \text { Shearing strain }=\frac{\Delta x}{L}=\tan \theta \tag{8.3} \end{equation*} $$

जेथे $\theta$ हे सिलिंडरचे उभ्या (सिलिंडरची मूळ स्थिती) पासूनचे कोनीय विस्थापन आहे. सामान्यतः $\theta$ खूपच लहान असते, $\tan \theta$ हे कोन $\theta$ च्या जवळपास समान असते, (जर $\theta=10^{\circ}$, उदाहरणार्थ, $\theta$ आणि $\tan \theta$ मध्ये फक्त $1 \%$ चा फरक आहे). हे देखील कल्पना करता येऊ शकते, जेव्हा एखादे पुस्तक हाताने दाबले जाते आणि आडवे ढकलले जाते, जसे आकृती ८.२ (c) मध्ये दाखवले आहे.

$$\text{Thus, shearing strain } =\tan \theta \approx \theta \tag{8.4}$$

आकृती ८.१ (d) मध्ये, उच्च दाबाखाली द्रवपदार्थात ठेवलेला एक घन गोल सर्व बाजूंनी एकसमानपणे संकुचित केला जातो. द्रवपदार्थाद्वारे प्रयुक्त केलेली शक्ती पृष्ठभागाच्या प्रत्येक बिंदूवर लंब दिशेने कार्य करते आणि वस्तू हायड्रॉलिक कॉम्प्रेशन अंतर्गत आहे असे म्हटले जाते. यामुळे त्याच्या भौमितिक आकारात कोणताही बदल न करता त्याच्या आकारमानात घट होते.

आकृती ८.१ (a) तन्य ताणाखाली असलेला एक दंडगोलाकार वस्तू ∆L ने लांब होतो (b) सिलिंडरवरील कर्तन ताण त्याला θ कोनाने विकृत करतो (c) कर्तन ताणाखाली असलेला वस्तू (d) प्रत्येक बिंदूवर पृष्ठभागाला लंब असलेल्या ताणाखाली असलेला घन वस्तू (हायड्रॉलिक ताण). व्हॉल्यूमेट्रिक ताण ∆V/V आहे, पण आकारात कोणताही बदल नाही.

वस्तू अंतर्गत पुनर्संचयित शक्ती निर्माण करते ज्या द्रवपदार्थाद्वारे प्रयुक्त केलेल्या शक्तींच्या समान आणि विरुद्ध असतात (वस्तू द्रवपदार्थातून बाहेर काढली जाते तेव्हा ती पुन्हा त्याचा मूळ आकार आणि आकारमान प्राप्त करते). या प्रकरणात प्रति एकक क्षेत्रफळाची अंतर्गत पुनर्संचयित शक्ती याला हायड्रॉलिक ताण म्हणतात आणि तीव्रतेत ती हायड्रॉलिक दाबाच्या (प्रति एकक क्षेत्रफळाची प्रयुक्त शक्ती) समान असते.

हायड्रॉलिक दाबामुळे निर्माण झालेल्या ताणाला आकारमान ताण म्हणतात आणि ते आकारमानातील बदल $(\Delta V)$ ते मूळ आकारमान $(V)$ यांचे गुणोत्तर म्हणून परिभाषित केले जाते.

$$ \begin{equation*} \text { Volume Strain }=\frac{\Delta V}{V} \tag{8.5} \end{equation*} $$

ताण हे परिमाणातील बदलाचे मूळ परिमाणाशी असलेले गुणोत्तर असल्यामुळे, त्याला कोणतीही एकके किंवा आकारमान सूत्र नसते.

८.३ हुकचा नियम

आकृती (८.१) मध्ये दर्शविलेल्या परिस्थितींमध्ये ताण आणि ताण यांचे स्वरूप भिन्न असते. लहान विकृतींसाठी ताण आणि ताण एकमेकांच्या प्रमाणात असतात. याला हुकचा नियम म्हणतात.

अशाप्रकारे,

ताण $\propto$ ताण

$$ \begin{equation*} \text { stress }=k \times \text { strain } \tag{8.6} \end{equation*} $$

जेथे $k$ हा आनुपातिकता स्थिरांक आहे आणि त्याला लवचिकता मापांक म्हणतात.

हुकचा नियम हा एक अनुभवजन्य नियम आहे आणि बहुतेक साहित्यांसाठी वैध आढळतो. तथापि, काही साहित्य अशी आहेत जी हे रेषीय संबंध प्रदर्शित करत नाहीत.

८.४ ताण-ताण वक्र

तन्य ताणाखाली दिलेल्या साहित्यासाठी ताण आणि ताण यांच्यातील संबंध प्रायोगिकरित्या शोधता येतो. तन्य गुणधर्मांच्या मानक चाचणीमध्ये, चाचणी सिलिंडर किंवा तार प्रयुक्त शक्तीद्वारे ताणली जाते. लांबीतील अंशात्मक बदल (ताण) आणि ताण निर्माण करण्यासाठी आवश्यक प्रयुक्त शक्ती नोंदवली जाते. प्रयुक्त शक्ती हळूहळू पायऱ्यांमध्ये वाढवली जाते आणि लांबीतील बदल नोंदवला जातो. ताण (जो प्रति एकक क्षेत्रफळाच्या प्रयुक्त शक्तीच्या तीव्रतेत समान असतो) आणि निर्माण झालेला ताण यांच्यात आलेख काढला जातो. धातूसाठी एक ठराविक आलेख आकृती ८.२ मध्ये दाखवला आहे. संपीडन आणि कर्तन ताणासाठी समान आलेख देखील मिळू शकतात. ताण-ताण वक्र साहित्यानुसार बदलतात. हे वक्र आपल्याला दिलेले साहित्य वाढत्या भारांसह कशा प्रकारे विकृत होते हे समजून घेण्यास मदत करतात. आलेखावरून, आपण पाहू शकतो की $\mathrm{O}$ ते $\mathrm{A}$ या प्रदेशात, वक्र रेषीय आहे. या प्रदेशात, हुकचा नियम पाळला जातो. प्रयुक्त शक्ती काढून टाकली जाते तेव्हा वस्तू पुन्हा त्याची मूळ परिमाणे प्राप्त करते. या प्रदेशात, घन पदार्थ लवचिक वस्तूप्रमाणे वागतो.

आकृती ८.२ धातूसाठी ठराविक ताण-ताण वक्र.

A ते B या प्रदेशात, ताण आणि ताण प्रमाणात नसतात. तरीही, भार काढून टाकला जातो तेव्हा वस्तू पुन्हा त्याच्या मूळ परिमाणापर्यंत परत येते. वक्रातील $\mathrm{B}$ बिंदूला यील्ड पॉइंट (लवचिक मर्यादा म्हणूनही ओळखले जाते) म्हणतात आणि संबंधित ताणाला साहित्याची यील्ड स्ट्रेंथ $\left(\sigma_{y}\right)$ म्हणतात.

जर भार पुढे वाढवला गेला तर, निर्माण झालेला ताण यील्ड स्ट्रेंथपेक्षा जास्त होतो आणि ताणातील लहान बदलासाठी देखील ताण झपाट्याने वाढतो. $B$ आणि $D$ यांच्यातील वक्राचा भाग हे दर्शवितो. जेव्हा भार काढला जातो, उदाहरणार्थ $\mathrm{B}$ आणि $\mathrm{D}$ यांच्यातील काही बिंदू $\mathrm{C}$ वर, तेव्हा वस्तू पुन्हा त्याचे मूळ परिमाण प्राप्त करत नाही. या प्रकरणात, ताण शून्य असला तरीही, ताण शून्य नसतो. साहित्याला कायमस्वरूपी सेट असल्याचे म्हटले जाते. विकृतीला प्लॅस्टिक विकृती म्हणतात. आलेखावरील $D$ बिंदू हा साहित्याचा अंतिम तन्य सामर्थ्य $\left(\sigma_{u}\right)$ आहे. या बिंदूपलीकडे, कमी केलेल्या प्रयुक्त शक्तीद्वारे देखील अतिरिक्त ताण निर्माण होतो आणि $\mathrm{E}$ बिंदूवर फ्रॅक्चर होते. जर अंतिम सामर्थ्य आणि फ्रॅक्चर पॉइंट्स $\mathrm{D}$ आणि $\mathrm{E}$ जवळ असतील तर, साहित्य भंगुर आहे असे म्हटले जाते. जर ते दूर असतील तर, साहित्य लवचिक आहे असे म्हटले जाते.

आकृती ८.३ हृदयातून रक्त वाहून नेणाऱ्या मोठ्या नलिकेच्या (वाहिनी) महाधमनीच्या लवचिक ऊतीसाठी ताण-ताण वक्र.

आधी सांगितल्याप्रमाणे, ताण-ताण वर्तन साहित्यानुसार बदलते. उदाहरणार्थ, रबर त्याच्या मूळ लांबीच्या अनेक पटींपर्यंत ओढली जाऊ शकते आणि तरीही ती पुन्हा त्याच्या मूळ आकारापर्यंत परत येते. आकृती ८.३ हृदयात असलेल्या महाधमनीच्या लवचिक ऊतीसाठी ताण-ताण वक्र दर्शवते. लक्षात घ्या की जरी लवचिक प्रदेश खूप मोठा असला तरी, बहुतांश प्रदेशात साहित्य हुकच्या नियमाचे पालन करत नाही. दुसरे म्हणजे, कोणताही स्पष्टपणे परिभाषित प्लॅस्टिक प्रदेश नाही. महाधमनीचे ऊतक, रबर इत्यादी पदार्थ ज्यांना मोठे ताण निर्माण करण्यासाठी ताणले जाऊ शकते त्यांना इलास्टोमर्स म्हणतात.

८.५ लवचिकता मापांक

ताण-ताण वक्राच्या लवचिक मर्यादेतील आनुपातिक प्रदेश (आकृती ८.२ मधील OA प्रदेश) संरचनात्मक आणि उत्पादन अभियांत्रिकी डिझाइनसाठी खूप महत्त्वाचा आहे. ताण आणि ताण यांच्या गुणोत्तराला, लवचिकता मापांक म्हणतात, ते साहित्याचे वैशिष्ट्य असल्याचे आढळते.

८.५.१ यंगचे मापांक

प्रायोगिक निरीक्षण दर्शविते की दिलेल्या साहित्यासाठी, ताण तन्य किंवा संपीडक असो तरी निर्माण झालेल्या ताणाची तीव्रता समान असते. तन्य (किंवा संपीडक) ताण $(\sigma)$ ते अनुदैर्ध्य ताण $(\varepsilon)$ यांच्या गुणोत्तराला यंगचे मापांक म्हणून परिभाषित केले जाते आणि ते $Y$ या चिन्हाने दर्शविले जाते.

$$ \begin{equation*} Y=\frac{\sigma}{\varepsilon} \tag{8.7} \end{equation*} $$

समीकरण (८.१) आणि (८.२) वरून, आपल्याकडे आहे

$$ \begin{align*} Y & =(F / A) /(\Delta L / L) \\ & =(F \times L) /(A \times \Delta L) \tag{8.8} \end{align*} $$

ताण हे आकारमानरहित प्रमाण असल्यामुळे, यंगच्या मापांकाचे एकक ताणाच्या एककासारखेच असते म्हणजेच $\mathrm{N} \mathrm{m}^{-2}$ किंवा पास्कल (Pa). सारणी ८.१ काही साहित्यांच्या यंगच्या मापांकाची आणि यील्ड स्ट्रेंथची मूल्ये दर्शवते.

सारणी ८.१ मध्ये दिलेल्या डेटावरून, हे लक्षात येते की धातूंसाठी यंगचे मापांक मोठे असतात.

सारणी ८.१ काही साहित्यांचे यंगचे मापांक आणि यील्ड स्ट्रेंथ

संपीडनाखाली चाचणी केलेला पदार्थ

म्हणून, या साहित्यांना लांबीत लहान बदल निर्माण करण्यासाठी मोठ्या शक्तीची आवश्यकता असते. $0.1 \mathrm{~cm}^{2}$ क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्रफळ असलेल्या पातळ स्टीलच्या तारेची लांबी $0.1 \%$ ने वाढवण्यासाठी, $2000 \mathrm{~N}$ ची शक्ती आवश्यक आहे. समान क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्रफळ असलेल्या अॅल्युमिनियम, पितळ आणि तांब्याच्या तारांमध्ये समान ताण निर्माण करण्यासाठी आवश्यक शक्ती अनुक्रमे $690 \mathrm{~N}$, $900 \mathrm{~N}$ आणि $1100 \mathrm{~N}$ आहे. याचा अर्थ स्टील हे तांबे, पितळ आणि अॅल्युमिनियमपेक्षा अधिक लवचिक आहे. याच कारणासाठी जड-ड्यूटी मशीन आणि संरचनात्मक डिझाइनमध्ये स्टीलला प्राधान्य दिले जाते. लाकूड, हाड, काँक्रीट आणि काच यांचे यंगचे मापांक बऱ्यापैकी लहान असतात.

उदाहरण ८.१ एका संरचनात्मक स्टील रॉडची त्रिज्या $10 \mathrm{~mm}$ आणि लांबी $1.0 \mathrm{~m}$ आहे. एक $100 \mathrm{kN}$ ची शक्ती त्याच्या लांबीच्या बाजूने ताणते. (a) ताण, (b) वाढ आणि (c) रॉडवरील ताण याची गणना करा. संरचनात्मक स्टीलचे यंगचे मापांक $2.0 \times 10^{11} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}$ आहे.

उत्तर आपण असे गृहीत धरतो की रॉड एका टोकाला क्लॅम्पने धरलेली आहे आणि शक्ती $F$ दुसऱ्या टोकाला, रॉडच्या लांबीच्या समांतर प्रयुक्त केली जाते. तर रॉडवरील ताण दिला जातो

$$ \begin{aligned} \text { Stress } & =\frac{F}{A}=\frac{F}{\pi r^{2}} \\ & =\frac{100 \times 10^{3} \mathrm{~N}}{3.14 \times\left(10^{-2} \mathrm{~m}\right)^{2}} \\ & =3.18 \times 10^{8} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2} \end{aligned} $$

वाढ,

$$ \begin{aligned} \Delta L & =\frac{(F / A) L}{Y} \\ & =\frac{\left(3.18 \times 10^{8} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}\right)(1 \mathrm{~m})}{2 \times 10^{11} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}} \\ & =1.59 \times 10^{-3} \mathrm{~m} \\ & =1.59 \mathrm{~mm} \end{aligned} $$

ताण दिला जातो

$$ \begin{aligned} \text{Strain }& = \Delta L / L \\ & =\left(1.59 \times 10^{-3} \mathrm{~m}\right) /(1 \mathrm{~m}) \\ & =1.59 \times 10^{-3} \\ & =0.16 \% \end{aligned} $$

उदाहरण ८.२ लांबी $2.2 \mathrm{~m}$ ची तांब्याची तार आणि लांबी $1.6 \mathrm{~m}$ ची स्टीलची तार, दोन्ही व्यास $3.0 \mathrm{~mm}$ च्या, टोकापासून टोकापर्यंत जोडलेल्या आहेत. जेव्हा भाराने ताणली जाते, तेव्हा निव्वळ वाढ $0.70 \mathrm{~mm}$ आढळते. प्रयुक्त केलेला भार मिळवा.

उत्तर तांब्याची आणि स्टीलची तार तन्य ताणाखाली आहेत कारण त्यांच्यात समान ताण (भार $W$ च्या समान) आणि समान क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्रफळ $A$ आहे. समीकरण (८.७) वरून आपल्याकडे ताण $=$ ताण $\times$ यंगचे मापांक आहे. म्हणून

$$ W / A=Y_{c} \times\left(\Delta L_{c} / L_{c}\right)=Y_{s} \times\left(\Delta L_{s} / L_{s}\right) $$

जेथे सबस्क्रिप्ट्स $c$ आणि $s$ अनुक्रमे तांबे आणि स्टेनलेस स्टीलचा संदर्भ देतात. किंवा,

$$ \Delta L_{c} / \Delta L_{s}=\left(Y_{s} / Y_{c}\right) \times\left(L_{c} / L_{s}\right) $$

दिलेले $$ L_{c}=2.2 \mathrm{~m}, L_{s}=1.6 \mathrm{~m} , $$

सारणी $$9.1 Y_{c}=1.1 \times 10^{11} \mathrm{~N}^{-2}$$ वरून, आणि

$$ Y_{s}^{c}=2.0 \times 10^{11} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m}^{-2} . $$

$$\Delta L_{c} / \Delta L_{s}=\left(2.0 \times 10^{11} / 1.1 \times 10^{11}\right) \times(2.2 / 1.6)=2.5$$.

एकूण वाढ दिली आहे

$$ \Delta L_{c}+\Delta L_{s}=7.0 \times 10^{-4} \mathrm{~m} $$

वरील समीकरणे सोडवल्यास,

$$ \Delta L _{c}=5.0 \times 10^{-4} \mathrm{~m} \text {, and } \Delta L _{s}=2.0 \times 10^{-4} \mathrm{~m} $$

म्हणून

$W=\left(A \times Y_{c} \times \Delta L_{c}\right) / L_{c}$

$=\pi\left(1.5 \times 10^{-3}\right)^{2} \times\left[\left(5.0 \times 10^{-4} \times 1.1 \times 10^{11}\right) / 2.2\right]$

$=1.8 \times 10^{2} \mathrm{~N}$

उदाहरण ८.३ सर्कसमधील मानवी पिरॅमिडमध्ये, संतुलित गटाचे संपूर्ण वजन एका कलाकाराच्या पायांवर ठेवले जाते जो त्याच्या पाठीवर पडलेला असतो (आकृती ८.४ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे). कार्यक्रम करणाऱ्या सर्व व्यक्ती आणि त्यात समाविष्ट असलेल्या टेबल, प्लाक इत्यादींचे एकत्रित वस्तुमान $280 \mathrm{~kg}$ आहे. पिरॅमिडच्या तळाशी पाठीवर पडलेल्या कलाकाराचे वस्तुमान $60 \mathrm{~kg}$ आहे. या कलाकाराच्या प्रत्येक मांडीच्या हाडाची (फेमर) लांबी $50 \mathrm{~cm}$ आणि प्रभावी त्रिज्या $2.0 \mathrm{~cm}$ आहे. अतिरिक्त भाराखाली प्रत्येक मांडीचे हाड किती प्रमाणात संकुचित होते ते ठरवा.

आकृती ८.४ सर्कसमधील मानवी पिरॅमिड.

उत्तर सर्व कलाकार, टेबल, प्लाक इत्यादींचे एकूण वस्तुमान $\quad=280 \mathrm{~kg}$

कलाकाराचे वस्तुमान $=60 \mathrm{~kg}$

पिरॅमिडच्या तळाशी असलेल्या कलाकाराच्या पायांद्वारे समर्थित वस्तुमान

$=280-60=220 \mathrm{~kg}$

या समर्थित वस्तुमानाचे वजन

$=220 \mathrm{~kg} \mathrm{wt} .=220 \times 9.8 \mathrm{~N}=2156 \mathrm{~N}$.

कलाकाराच्या प्रत्येक मांडीच्या हाडाद्वारे समर्थित वजन $=1 / 2(2156) \mathrm{N}=1078 \mathrm{~N}$.

सारणी ९.१ वरून, हाडासाठी यंगचे मापांक दिले आहे

$$ Y=9.4 \times 10^{9} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2} \text {. } $$

प्रत्येक मांडीच्या हाडाची लांबी $L=0.5 \mathrm{~m}$ मांडीच्या हाडाची त्रिज्या $=2.0 \mathrm{~cm}$

अशाप्रकारे मांडीच्या हाडाचे क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्रफळ $A=\pi \times\left(2 \times 10^{-2}\right)^{2} \mathrm{~m}^{2}=1.26 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{2}$.

समीकरण (९.८) वापरून, प्रत्येक मांडीच्या हाडातील संपीडन $(\Delta L)$ खालीलप्रमाणे काढता येईल

$$ \begin{aligned} \Delta L & =[(F \times L) /(Y \times A)] \\ & =\left[(1078 \times 0.5) /\left(9.4 \times 10^{9} \times 1.26 \times 10^{-3}\right)\right] \\ & =4.55 \times 10^{-5} \mathrm{~m} \text { or } 4.55 \times 10^{-3} \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

हा एक खूपच लहान बदल आहे! मांडीच्या हाडातील अ