बहुतेक विज्ञानांमध्ये एक पिढी दुसरी पिढी जे बांधते ते पाडून टाकते आणि एकाने स्थापित केलेल्या गोष्टी दुसरा नष्ट करतो. गणितामध्ये एकट्याच प्रत्येक पिढी जुन्या रचनेवर नवीन मजला बांधते. - हर्मन हँकेल

10.1 परिचय

आपल्या दैनंदिन जीवनात, आपल्याला अनेक प्रश्नांचा सामना करावा लागतो जसे की - तुमची उंची किती? फुटबॉल खेळाडूने चेंडूवर कसा प्रहार करावा जेणेकरून त्याच्या संघातील दुसऱ्या खेळाडूला पास देता येईल? लक्षात घ्या की पहिल्या प्रश्नाचे संभाव्य उत्तर 1.6 मीटर असू शकते, हे एक प्रमाण आहे ज्यामध्ये फक्त एक मूल्य (परिमाण) असते जे वास्तव संख्या आहे. अशा प्रमाणांना अदिश म्हणतात. तर, दुसऱ्या प्रश्नाचे उत्तर हे एक प्रमाण (ज्याला बल म्हणतात) आहे ज्यामध्ये स्नायूंची ताकद (परिमाण) आणि दिशा (ज्या दिशेने दुसरा खेळाडू स्थित आहे) यांचा समावेश असतो. अशा प्रमाणांना सदिश म्हणतात. गणित, भौतिकशास्त्र आणि अभियांत्रिकीमध्ये, आपल्याला वारंवार दोन्ही प्रकारच्या प्रमाणांचा सामना करावा लागतो, उदा., अदिश प्रमाणे जसे लांबी, वस्तुमान, वेळ, अंतर, गती, क्षेत्रफळ, घनफळ, तापमान, कार्य, पैसा, व्होल्टता, घनता, रोध इ. आणि सदिश प्रमाणे जसे विस्थापन, वेग, त्वरण, बल, वजन, संवेग, विद्युत क्षेत्र तीव्रता इ.

डब्ल्यू.आर. हॅमिल्टन $(1805-1865)$

या प्रकरणात, आपण सदिशांबद्दलच्या काही मूलभूत संकल्पना, सदिशांवरील विविध क्रिया आणि त्यांचे बीजगणितीय आणि भूमितीय गुणधर्म यांचा अभ्यास करू. हे दोन प्रकारचे गुणधर्म, एकत्रितपणे विचारात घेतल्यास, सदिशांच्या संकल्पनेची पूर्ण जाणीव देते आणि वर नमूद केल्याप्रमाणे विविध क्षेत्रांमध्ये त्यांच्या महत्त्वाच्या उपयोगितेकडे नेतात.

10.2 काही मूलभूत संकल्पना

‘$l$’ ही समतल किंवा त्रिमितीय आकाशातील कोणतीही सरळ रेषा असू द्या. या रेषेला बाणांच्या शीर्षांच्या साहाय्याने दोन दिशा दिल्या जाऊ शकतात. यापैकी एक दिशा निश्चित केलेल्या रेषेला दिग्दर्शित रेषा म्हणतात (आकृती 10.1 (i), (ii)).

आकृती 10.1

आता लक्षात घ्या की जर आपण रेषा $l$ ला रेषाखंड AB पर्यंत मर्यादित केले, तर रेषा $l$ वर दोन दिशांपैकी एक दिशा असलेले परिमाण निश्चित केले जाते, जेणेकरून आपल्याला एक दिग्दर्शित रेषाखंड मिळेल (आकृती 10.1(iii)). अशाप्रकारे, दिग्दर्शित रेषाखंडाला परिमाण तसेच दिशा असते.

व्याख्या 1 ज्या प्रमाणाला परिमाण तसेच दिशा असते त्याला सदिश म्हणतात.

लक्षात घ्या की दिग्दर्शित रेषाखंड हा एक सदिश आहे (आकृती 10.1(iii)), ज्याला $\overrightarrow{{}AB}$ किंवा फक्त $\vec{a}$ असे दर्शविले जाते आणि ‘सदिश $\overrightarrow{{}AB}$’ किंवा ‘सदिश $\vec{a}$’ असे वाचले जाते.

ज्या बिंदू $A$ पासून सदिश $\overrightarrow{{}AB}$ सुरू होतो त्याला त्याचा प्रारंभ बिंदू म्हणतात आणि ज्या बिंदू $B$ वर तो संपतो त्याला त्याचा अंतिम बिंदू म्हणतात. सदिशाच्या प्रारंभ आणि अंतिम बिंदूंमधील अंतराला सदिशाचे परिमाण (किंवा लांबी) म्हणतात, ज्याला $|\overrightarrow{{}AB}|$, किंवा $|\vec{a}|$, किंवा $a$ असे दर्शविले जाते. बाण सदिशाची दिशा दर्शवितो.

टीप लांबी कधीही ऋण नसल्यामुळे, $|\vec{a}|<0$ या संकेताला काही अर्थ नाही.

स्थान सदिश

इयत्ता XI वरून, त्रिमितीय उजव्या हाताची आयताकृती निर्देशक पद्धत (आकृती 10.2(i)) आठवा. आकाशातील एक बिंदू $P$ विचारात घ्या, ज्याचे मूळ $O(0,0,0)$ च्या संदर्भात निर्देशांक $(x, y, z)$ आहेत. तर, सदिश $\overrightarrow{{}OP}$ ज्याचे प्रारंभ आणि अंतिम बिंदू अनुक्रमे $O$ आणि $P$ आहेत, त्याला बिंदू $P$ चा मूळ $O$ च्या संदर्भात स्थान सदिश म्हणतात. अंतर सूत्र (इयत्ता XI वरून) वापरून, $\overrightarrow{{}OP}$ (किंवा $\vec{r}$) चे परिमाण खालीलप्रमाणे दिले जाते

$$ |\overrightarrow{{}OP}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} $$

सरावात, बिंदू $A, B, C$ इत्यादींचे मूळ $O$ च्या संदर्भातील स्थान सदिश अनुक्रमे $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इत्यादीने दर्शविले जातात (आकृती 10.2 (ii)).

आकृती 10.2

दिक्कोसाइन (दिशा कोन कोसाइन)

आकृती 10.3 मधील बिंदू $P(x, y, z)$ चा स्थान सदिश $\overrightarrow{{}OP}$ (किंवा $\vec{r}$) विचारात घ्या. सदिश $\vec{r}$ ने $x, y$ आणि $z$-अक्षांच्या धन दिशांसह केलेल्या कोनांना $\alpha$, $\beta, \gamma$ अनुक्रमे त्याचे दिशा कोन म्हणतात. या कोनांच्या कोसाइन मूल्यांना, म्हणजेच $\cos \alpha, \cos \beta$ आणि $\cos \gamma$ यांना सदिश $\vec{r}$ चे दिक्कोसाइन म्हणतात, आणि सामान्यतः त्यांना अनुक्रमे $l, m$ आणि $n$ असे दर्शविले जाते.

आकृती 10.3 वरून, लक्षात येईल की त्रिकोण OAP हा काटकोन त्रिकोण आहे, आणि त्यात आपल्याकडे $\cos \alpha=\frac{x}{r}(r$ आहे ($|\vec{r}|)$ साठी उभे आहे). त्याचप्रमाणे, काटकोन त्रिकोण OBP आणि OCP वरून, आपण $\cos \beta=\frac{y}{r}$ आणि $\cos \gamma=\frac{z}{r}$ लिहू शकतो. अशाप्रकारे, बिंदू P चे निर्देशांक $(l r, m r, n r)$ असे देखील व्यक्त केले जाऊ शकतात. दिक्कोसाइन्सच्या प्रमाणात असलेल्या संख्यांना $l r, m r$ आणि $n r$ यांना सदिश $\vec{r}$ चे दिशा गुणोत्तर म्हणतात, आणि त्यांना अनुक्रमे $a, b$ आणि $c$ असे दर्शविले जाते.

टीप लक्षात घ्या की $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$ परंतु सामान्यतः $a^{2}+b^{2}+c^{2} \neq 1$.

10.3 सदिशांचे प्रकार

शून्य सदिश ज्या सदिशाचे प्रारंभ आणि अंतिम बिंदू एकरूप होतात, त्याला शून्य सदिश (किंवा रिक्त सदिश) म्हणतात, आणि $\overrightarrow{{}0}$ असे दर्शविले जाते. शून्य सदिशाला शून्य परिमाण असल्यामुळे निश्चित दिशा दिली जाऊ शकत नाही. किंवा, पर्यायीरित्या, त्याला कोणतीही दिशा असल्याचे मानले जाऊ शकते. सदिश $\overrightarrow{{}AA}, \overrightarrow{{}BB}$ शून्य सदिश दर्शवतात,

एकक सदिश ज्या सदिशाचे परिमाण एक (म्हणजेच 1 एकक) असते त्याला एकक सदिश म्हणतात. दिलेल्या सदिश $\vec{a}$ च्या दिशेतील एकक सदिशाला $\hat{a}$ ने दर्शविले जाते.

सहप्रारंभिक सदिश दोन किंवा अधिक सदिश ज्यांचा प्रारंभ बिंदू समान असतो त्यांना सहप्रारंभिक सदिश म्हणतात.

समरेख सदिश दोन किंवा अधिक सदिशांना समरेख म्हटले जाते जर ते त्यांच्या परिमाण आणि दिशेपासून स्वतंत्रपणे समान रेषेला समांतर असतील.

समान सदिश दोन सदिश $\vec{a}$ आणि $\vec{b}$ समान असल्याचे म्हटले जाते, जर त्यांचे परिमाण आणि दिशा समान असतील, त्यांच्या प्रारंभ बिंदूंच्या स्थानाकडे दुर्लक्ष करून, आणि $\vec{a}=\vec{b}$ असे लिहिले जाते.

सदिशाचा ऋण ज्या सदिशाचे परिमाण दिलेल्या सदिशाच्या (म्हणा, $\overrightarrow{{}AB}$) परिमाणासारखेच असते, परंतु दिशा त्याच्या विरुद्ध असते, त्याला दिलेल्या सदिशाचा ऋण म्हणतात. उदाहरणार्थ, सदिश $\overrightarrow{{}BA}$ हा सदिश $\overrightarrow{{}AB}$ चा ऋण आहे, आणि $\overrightarrow{{}BA}=-\overrightarrow{{}AB}$ असे लिहिले जाते.

शेरा वर परिभाषित केलेले सदिश असे आहेत की त्यापैकी कोणत्याही सदिशाला त्याचे परिमाण आणि दिशा न बदलता समांतर विस्थापन केले जाऊ शकते. अशा सदिशांना मुक्त सदिश म्हणतात. या संपूर्ण प्रकरणात, आपण फक्त मुक्त सदिशांशीच व्यवहार करू.

उदाहरण 1 दक्षिणेच्या पश्चिमेस $40 km, 30^{\circ}$ विस्थापनाचे आलेखीय निरूपण करा.

उकल सदिश $\overrightarrow{{}OP}$ आवश्यक विस्थापन दर्शवतो (आकृती 10.4).

आकृती 10.4

उदाहरण 2 खालील मापांचे वर्गीकरण अदिश आणि सदिश म्हणून करा.

(i) $5 \mathrm{~s}$

(ii) $1000 \mathrm{~cm}^{3}$

(iii) $10 \mathrm{~N}$

(iv) $30 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$

(v) $10 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}$

(vi) $20 m / s$ उत्तरेकडे

उकल

(i) काळ - अदिश

(ii) घनफळ - अदिश

(iii) बल - सदिश

(iv) गती - अदिश

(v) घनता - अदिश

(vi) वेग - सदिश

उदाहरण 3 आकृती 10.5 मध्ये, कोणते सदिश आहेत:

(i) समरेख

(ii) समान

(iii) सहप्रारंभिक

उकल

(i) समरेख सदिश: $\vec{a}, \vec{c}$ आणि $\vec{d}$.

(ii) समान सदिश: $\vec{a}$ आणि $\vec{c}$.

(iii) सहप्रारंभिक सदिश: $\vec{b}, \vec{c}$ आणि $\vec{d}$.

10.4 सदिशांची बेरीज

सदिश $\overrightarrow{{}AB}$ चा अर्थ फक्त बिंदू A पासून बिंदू $B$ पर्यंतचे विस्थापन होय. आता एक परिस्थिती विचारात घ्या की एक मुलगी $A$ वरून $B$ वर आणि नंतर $B$ वरून $C$ वर जाते (आकृती 10.7). मुलगीने बिंदू $A$ पासून बिंदू $C$ पर्यंत केलेले निव्वळ विस्थापन, सदिश $\overrightarrow{{}AC}$ द्वारे दिले जाते आणि खालीलप्रमाणे व्यक्त केले जाते

आकृती 10.7

$ \overrightarrow{{}AC}=\overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC} $

याला सदिश बेरीजचा त्रिकोण नियम म्हणतात.

सामान्यतः, जर आपल्याकडे दोन सदिश $\vec{a}$ आणि $\vec{b}$ असतील (आकृती 10.8 (i)), तर त्यांची बेरीज करण्यासाठी, त्यांना अशा प्रकारे ठेवले जाते की एकाचा प्रारंभ बिंदू दुसऱ्याच्या अंतिम बिंदूशी एकरूप होतो (आकृती 10.8(ii)).

आकृती 10.8

उदाहरणार्थ, आकृती 10.8 (ii) मध्ये, आपण सदिश $\vec{b}$ ला त्याचे परिमाण आणि दिशा न बदलता अशा प्रकारे हलवले आहे की त्याचा प्रारंभ बिंदू $\vec{a}$ च्या अंतिम बिंदूशी एकरूप होतो. तर, सदिश $\vec{a}+\vec{b}$, जो त्रिकोण $ABC$ च्या तिसऱ्या बाजू $AC$ द्वारे दर्शविला जातो, आपल्याला सदिश $\vec{a}$ आणि $\vec{b}$ ची बेरीज (किंवा परिणामी) देतो, म्हणजेच, त्रिकोण $ABC$ मध्ये (आकृती 10.8 (ii)), आपल्याकडे आहे

$ \overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC}=\overrightarrow{{}AC} $

आता पुन्हा, $\overrightarrow{{}AC}=-\overrightarrow{{}CA}$ पासून, वरील समीकरणावरून, आपल्याकडे आहे

$$ \overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC}+\overrightarrow{{}CA}=\overrightarrow{{}AA}=\overrightarrow{{}0} $$

याचा अर्थ असा की जेव्हा त्रिकोणाच्या बाजू क्रमाने घेतल्या जातात, तेव्हा त्या शून्य परिणामी सदिशाकडे नेतात कारण प्रारंभ आणि अंतिम बिंदू एकरूप होतात (आकृती 10.8(iii)).

आता, एक सदिश $\overrightarrow{{}BC^{\prime}}$ अशा प्रकारे रचा की त्याचे परिमाण सदिश $\overrightarrow{{}BC}$ सारखेच असेल, परंतु दिशा त्याच्या विरुद्ध असेल (आकृती 10.8 (iii)), म्हणजे, $ \overrightarrow{{}BC^{\prime}}=-\overrightarrow{{}BC} $ तर, आकृती 10.8 (iii) वरून त्रिकोण नियम लागू केल्यास, आपल्याकडे आहे $ \overrightarrow{{}AC^{\prime}}=\overrightarrow{{}AB}+\overrightarrow{{}BC^{\prime}}=\overrightarrow{{}AB}+(-\overrightarrow{{}BC})=\vec{a}-\vec{b} $

सदिश $\overrightarrow{{}AC^{\prime}}$ हा $\vec{a}$ आणि $\vec{b}$ चा फरक दर्शवितो असे म्हटले जाते.

आता, नदीतील एक बोट विचारात घ्या जी नदीच्या प्रवाहाच्या दिशेला लंब असलेल्या दिशेने नदीच्या एका काठावरून दुसऱ्या काठावर जात आहे. तर, तिच्यावर दोन वेग सदिशांचा प्रभाव पडतो - एक बोटीला तिच्या इंजिनाद्वारे दिलेला वेग आणि दुसरा नदीच्या पाण्याच्या प्रवाहाचा वेग. या दोन वेगांच्या एकाचवेळी प्रभावाखाली, बोट प्रत्यक्षात वेगळ्या वेगाने प्रवास करू लागते. बोटीच्या प्रभावी गती आणि दिशेबद्दल (म्हणजेच, परिणामी वेग) अचूक कल्पना मिळवण्यासाठी, आपल्याकडे सदिश बेरीजचा खालील नियम आहे.

जर आपल्याकडे दोन सदिश $\vec{a}$ आणि $\vec{b}$ समांतरभुज चौकोनाच्या दोन लगतच्या बाजूंद्वारे परिमाण आणि दिशेने दर्शविलेले असतील (आकृती 10.9), तर त्यांची बेरीज $\vec{a}+\vec{b}$ ही त्यांच्या सामाईक बिंदूतून जाणाऱ्या समांतरभुज चौकोनाच्या कर्णाद्वारे परिमाण आणि दिशेने दर्शविली जाते. याला सदिश बेरीजचा समांतरभुज चौकोन नियम म्हणतात.

आकृती 10.9

टीप आकृती 10.9 वरून, त्रिकोण नियम वापरून, लक्षात येईल की

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ किंवा $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ (कारण $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$)

जो समांतरभुज चौकोन नियम आहे. अशाप्रकारे, आपण असे म्हणू शकतो की सदिश बेरीजचे दोन्ही नियम एकमेकांशी समतुल्य आहेत.

सदिश बेरीजचे गुणधर्म

गुणधर्म 1 कोणत्याही दोन सदिशांसाठी $\vec{a}$ आणि $\vec{b}$,

$ \vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a} $

(क्रमविनिमेय गुणधर्म) सिद्धता समांतरभुज चौकोन $ABCD$ विचारात घ्या (आकृती 10.10). $\overrightarrow{{}AB}=\vec{a}$ आणि $\overrightarrow{{}BC}=\vec{b}$ असू द्या, तर त्रिकोण नियम वापरून, त्रिकोण $ABC$ वरून, आपल्याकडे आहे $ \overrightarrow{{}AC}=\vec{a}+\vec{b} $

आता, समांतरभुज चौकोनाच्या विरुद्ध बाजू समान आणि समांतर असल्यामुळे, आकृती 10.10 वरून, आपल्याकडे आहे, $\overrightarrow{{}AD}=\overrightarrow{{}BC}=\vec{b}$ आणि $\overrightarrow{{}DC}=\overrightarrow{{}AB}=\vec{a}$. पुन्हा त्रिकोण नियम वापरून,

आकृती 10.10 त्रिकोण $ADC$ वरून, आपल्याकडे आहे

$ \overrightarrow{{}AC}=\overrightarrow{{}AD}+\overrightarrow{{}DC}=\vec{b}+\vec{a} $

म्हणून

$ \vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a} $

गुणधर्म 2 कोणत्याही तीन सदिशांसाठी $a, b$ आणि $c$

$ (\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c}) $

सिद्धता सदिश $\vec{a}, \vec{b}$ आणि $\vec{c}$ ला अनुक्रमे $\overrightarrow{{}PQ}, \overrightarrow{{}QR}$ आणि $\overrightarrow{{}RS}$ द्वारे दर्शवू द्या, जसे आकृती 10.11(i) आणि (ii) मध्ये दाखवले आहे.

आकृती 10.11

तर $$\quad\quad\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{{}PQ}+\overrightarrow{{}QR}=\overrightarrow{{}PR}$$

आणि $$ \quad\quad\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{{}QR}+\overrightarrow{{}RS}=\overrightarrow{{}QS}$$

म्हणून $$ \quad\quad(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\overrightarrow{{}PR}+\overrightarrow{{}RS}=\overrightarrow{{}PS}$$

आणि $$\quad \quad\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})=\overrightarrow{{}PQ}+\overrightarrow{{}QS}=\overrightarrow{{}PS}$$

म्हणून $$\quad(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$$

शेरा सदिश बेरीजचा साहचर्य गुणधर्म आपल्याला तीन सदिशांची बेरीज $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ कंस न वापरता $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ असे लिहिण्यास सक्षम करतो.

लक्षात घ्या की कोणत्याही सदिश $a$ साठी, आपल्याकडे आहे

$$ \vec{a}+\overrightarrow{{}0}=\overrightarrow{{}0}+\vec{a}=\vec{a} $$

येथे, शून्य सदिश $\overrightarrow{{}0}$ ला सदिश बेरीजसाठी संकलनात्मक तत्समक म्हणतात.

10.5 सदिशाचा अदिशाने गुणाकार

$\vec{a}$ हा दिलेला सदिश असू द्या आणि $\lambda$ हा एक अदिश असू द्या. तर सदिश $\vec{a}$ चा अदिश $\lambda$ ने केलेल्या गुणाकाराला, ज्याला $\lambda \vec{a}$ असे दर्शविले जाते, सदिश $\vec{a}$ चा अदिश $\lambda$ ने गुणाकार म्हणतात. लक्षात घ्या की, $\lambda \vec{a}$ हा देखील एक सदिश आहे, जो सदिश $\vec{a}$ शी समरेख आहे. सदिश $\lambda \vec{a}$ ची दिशा सदिश $\vec{a}$ च्या दिशेसारखीच (किंवा विरुद्ध) असते ज्यानुसार $\lambda$ चे मूल्य धन (किंवा ऋण) असते. तसेच, सदिश $\lambda \vec{a}$ चे परिमाण हे सदिश $|\lambda|$ च्या परिमाणाच्या $\vec{a}$ पट असते, म्हणजेच,

$$ |\lambda \vec{a}|=|\lambda||\vec{a}| $$

सदिशाचा अदिशाने गुणाकार याची भूमितीय दृश्यकल्पना आकृती 10.12 मध्ये दिली आहे.

आकृती 10.12

जेव्हा $\lambda=-1$, तेव्हा $\lambda \vec{a}=-\vec{a}$, जो एक सदिश आहे ज्याचे परिमाण $\vec{a}$ च्या परिमाणाएवढे असते आणि दिशा $\vec{a}$ च्या दिशेच्या विरुद्ध असते. सदिश $-\vec{a}$ ला सदिश $\vec{a}$ चा ऋण (किंवा संकलनात्मक व्यस्त) म्हणतात आणि आपल्याकडे नेहमीच असते

$ \vec{a}+(-\vec{a})=(-\vec{a})+\vec{a}=\overrightarrow{{}0} $

तसेच, जर $\lambda=\frac{1}{|a|}$, जर $\vec{a} \neq 0$ म्हणजेच $\vec{a}$ हा रिक्त सदिश नसेल,

तर $$ |\lambda \vec{a}|=|\lambda||\vec{a}|=\frac{1}{|\vec{a}|}|\vec{a}|=1 $$

म्हणून, $\lambda \vec{a}$ हा $\vec{a}$ च्या दिशेतील एकक सदिश दर्शवतो. आपण ते असे लिहितो

$$ \hat{a}=\frac{1}{|\vec{a}|} \vec{a} $$

टीप कोणत्याही अदिश $k, k \overrightarrow{{}0}=\overrightarrow{{}0}$ साठी.

10.5.1 सदिशाचे घटक

आपण $x$-अक्ष, $y$-अक्ष आणि $z$-अक्षावर अनुक्रमे बिंदू $A(1,0,0), B(0,1,0)$ आणि $C(0,0,1)$ घेऊ. तर, स्पष्टपणे

$$ |\overrightarrow{{}OA}|=1,|\overrightarrow{{}OB}|=1 \text{ and }|\overrightarrow{{}OC}|=1 $$

सदिश $\overrightarrow{{}OA}, \overrightarrow{{}OB}$ आणि $\overrightarrow{{}OC}$, प्रत्येकाचे परिमाण 1 आहे, यांना अनुक्रमे $OX, OY$ आणि $OZ$ अक्षांसह एकक सदिश म्हणतात, आणि त्यांना अनुक्रमे $\hat{i}, \hat{j}$ आणि $\hat{k}$ असे दर्शविले जाते (आकृती 10.13).

आता, बिंदू $P(x, y, z)$ चा स्थान सदिश $\overline{OP}$ विचारात घ्या आकृती 10.13 मधील आकृती 10.14 प्रमाणे. $P_1$ हा बिंदू $P$ पासून समतल XOY वर काढलेल्या लंबाचा पाया असू द्या. आपण असे पाहतो की $P_1 P$ हा $z$-अक्षाला समांतर आहे. $\hat{i}, \hat{j}$ आणि $\hat{k}$ हे अनुक्रमे $x, y$ आणि $z$-अक्षांसह एकक सदिश आहेत, आणि $P$ च्या निर्देशांकांच्या व्याख्येनुसार, आपल्याकडे $\overrightarrow{{}P_1 P}=\overrightarrow{{}OR}=z \hat{k}$ आहे. त्याचप्रमाणे, $\overrightarrow{{}QP_1}=\overrightarrow{{}OS}=y \hat{j}$ आणि $\overrightarrow{{}OQ}=x \hat{i}$.

म्हणून, त्यावरून असे दिसून येते की

$$ \begin{aligned} & \overrightarrow{{}OP_1}=\overrightarrow{{}OQ}+\overrightarrow{{}QP_1}=x \hat{i}+y \hat{j} \\ & \overrightarrow{{}OP}=\overrightarrow{{}OP_1}+\overrightarrow{{}P_1 P}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k} \end{aligned} $$

म्हणून, $P$ चा मूळ $O$ च्या संदर्भात स्थान सदिश खालीलप्रमाणे दिला जातो

$ \overrightarrow{{}OP}(\text{ किंवा } \vec{r})=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k} $

कोणत्याही सदिशाच्या या रूपाला त्याचे घटक रूप म्हणतात. येथे, $x, y$ आणि $z$ यांना $\vec{r}$ चे अदिश घटक म्हणतात, आणि $x \hat{i}, y \hat{j}$ आणि $z \hat{k}$ यांना $\vec{r}$ चे संबंधित अक्षांसह सदिश घटक म्हणतात. कधीकधी $x, y$ आणि $z$ यांना आयताकृती घटक असेही म्हटले जाते.

कोणत्याही सदिश $\vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ ची लांबी, पायथागोरसचे प्रमेय दोनदा लागू करून सहज निश्चित केली जाऊ शकते. आपण लक्षात घेतो की काटकोन त्रिकोण OQP मध्ये (आकृती 10.14) $^{\text{(F) }}$

$$ |\overrightarrow{{}OP_1}|=\sqrt{|\overrightarrow{{}OQ}|^{2}+|\overrightarrow{{}QP_1}|^{2}}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, $$

आणि काटकोन त्रिकोण $OP_1 P$ मध्ये, आपल्याकडे आहे

$$ \overrightarrow{{}OP}=\sqrt{|\overrightarrow{{}OP_1}|^{2}+|\overrightarrow{{}P_1 P}|^{2}}=\sqrt{(x^{2}+y^{2})+z^{2}} $$

म्हणून, कोणत्याही सदिश $\vec{r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ ची लांबी खालीलप्रमाणे दिली जाते $$ |\vec{r}|=|x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} $$

जर $\vec{a}$ आणि $\vec{b}$ हे दोन सदिश घटक रूपात $a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}$ आणि $b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}$ अनुक्रमे दिले असतील, तर

(i) सदिश $\vec{a}$ आणि $\vec{b}$ ची बेरीज (किंवा परिणामी) खालीलप्रमाणे दिली जाते

$$ \vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1) \hat{i}+(a_2+b_2) \hat{j}+(a_3+b_3) \hat{k} $$

(ii) सदिश $\vec{a}$ आणि $\vec{b}$ चा फरक खालीलप्रमाणे दिला जातो

$$ \vec{a}-\vec{b}=(a_1-b_1) \hat{i}+(a_2-b_2) \hat{j}+(a_3-b_3) \hat{k} $$

(iii) सदिश $\vec{a}$ आणि $\vec{b}$ समान असतील जर आणि फक्त जर

$$ a_1=b_1, a_2=b_2 \quad \text{ and } \quad a_3=b_3 $$

(iv) सदिश $\vec{a}$ चा कोणत्याही अदिश ⟦306