गणितीय शोधाची चालक शक्ती तर्क नसून कल्पनाशक्ती आहे. - ए.डीमॉर्गन

11.1 प्रस्तावना

इयत्ता अकरावीत, द्विमितीय विश्लेषणात्मक भूमितीचा अभ्यास करताना आणि त्रिमितीय भूमितीच्या प्रस्तावनेत, आपण केवळ कार्टेशियन पद्धतींपुरतेच मर्यादित होतो. या पुस्तकाच्या मागील प्रकरणात, आपण सदिशांच्या काही मूलभूत संकल्पनांचा अभ्यास केला आहे. आता आपण सदिश बीजगणिताचा उपयोग त्रिमितीय भूमितीसाठी करू. 3-मितीय भूमितीकडे या दृष्टिकोनाचा हेतू असा आहे की यामुळे अभ्यास सोपा आणि सुरेख* होतो.

या प्रकरणात, आपण दोन बिंदूंना जोडणाऱ्या रेषेच्या दिक्कोसाइन आणि दिक्गुणोत्तरांचा अभ्यास करू आणि अवकाशातील रेषा आणि समतलांची समीकरणे विविध परिस्थितींत, दोन रेषांमधील कोन, दोन समतलांमधील कोन, एक रेषा आणि एक समतल यांच्यातील कोन, दोन विषम रेषांमधील किमान अंतर आणि एका बिंदूपासून समतलापर्यंतचे अंतर याबद्दल देखील चर्चा करू. वरीलपैकी बहुतेक निकाल सदिश रूपात मिळतात. तरीही, आपण हे निकाल कार्टेशियन रूपात देखील भाषांतरित करू, जे काही वेळा परिस्थितीची अधिक स्पष्ट भौमितिक आणि विश्लेषणात्मक प्रतिमा सादर करते.

लिओनहार्ड यूलर $(\mathbf{1 7 0 7 - 1 7 8 3 })$

11.2 रेषेची दिक्कोसाइन आणि दिक्गुणोत्तरे

प्रकरण 10 मधून आठवा, की जर मूळबिंदूतून जाणारी एक दिग्दर्शित रेषा $L$ अनुक्रमे $\alpha, \beta$ आणि $\gamma$ कोन $x, y$ आणि $z$-अक्षांशी करते, ज्यांना दिक्कोन म्हणतात, तर या कोनांचे कोसाइन, म्हणजेच $\cos \alpha, \cos \beta$ आणि $\cos \gamma$ यांना दिग्दर्शित रेषेची दिक्कोसाइन $L$ म्हणतात.

जर आपण $L$ ची दिशा उलट केली, तर दिक्कोन त्यांच्या पूरक कोनांनी बदलले जातात, म्हणजेच $\pi-\alpha, \pi-\beta$ आणि $\pi-\gamma$. अशा प्रकारे, दिक्कोसाइनची चिन्हे उलट होतात.

आकृती 11.1

लक्षात घ्या की अवकाशातील दिलेली रेषा दोन विरुद्ध दिशांमध्ये वाढवता येते आणि म्हणून तिच्याकडे दिक्कोसाइनचे दोन संच असतात. अवकाशातील दिलेल्या रेषेसाठी दिक्कोसाइनचा एक अद्वितीय संच मिळवण्यासाठी, आपण दिलेली रेषा दिग्दर्शित रेषा म्हणून घेतली पाहिजे. या अद्वितीय दिक्कोसाइन्सना $l, m$ आणि $n$ ने दर्शविले जाते.

टिप्पणी जर अवकाशातील दिलेली रेषा मूळबिंदूतून जात नसेल, तर तिची दिक्कोसाइन शोधण्यासाठी, आपण मूळबिंदूतून जाणारी रेषा काढतो आणि ती दिलेल्या रेषेसोबत समांतर असते. आता मूळबिंदूपासून एक दिग्दर्शित रेषा घ्या आणि तिची दिक्कोसाइन शोधा कारण दोन समांतर रेषांमध्ये दिक्कोसाइनचा समान संच असतो.

ज्या कोणत्याही तीन संख्या रेषेच्या दिक्कोसाइनशी प्रमाणबद्ध असतात त्यांना रेषेची दिक्गुणोत्तरे म्हणतात. जर $l, m, n$ दिक्कोसाइन असतील आणि $a, b, c$ रेषेची दिक्गुणोत्तरे असतील, तर $a=\lambda l, b=\lambda m$ आणि $c=\lambda n$, कोणत्याही शून्येतर $\lambda \in \mathbf{R}$ साठी.

टीप काही लेखक दिक्गुणोत्तरांना दिक्संख्या म्हणून देखील संबोधतात.

समजा $a, b, c$ ही रेषेची दिक्गुणोत्तरे आहेत आणि $l, m$ आणि $n$ ही रेषेची दिक्कोसाइन (d.c’s) आहेत. तर

$$ \frac{l}{a}=\frac{m}{b}=\frac{n}{c}=k \text{ (say), } k \text{ being a constant. } $$

म्हणून $ \qquad l=a k, m=b k, n=c k $

परंतु $ \qquad l^{2}+m^{2}+n^{2}=1 $

म्हणून $ \qquad k^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=1 $

किंवा $ \qquad k= \pm \frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} $

म्हणून, (1) वरून, रेषेची d.c’s आहेत $ \qquad l= \pm \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}, m= \pm \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}, n= \pm \frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} $

जेथे, $k$ चे इच्छित चिन्ह यावर अवलंबून, एकतर धनात्मक किंवा ऋणात्मक चिन्ह $l, m$ आणि $n$ साठी घ्यावे लागेल. कोणत्याही रेषेसाठी, जर $a, b, c$ ही रेषेची दिक्गुणोत्तरे असतील, तर $k a, k b, k c ; k \neq 0$ हा देखील दिक्गुणोत्तरांचा एक संच आहे. म्हणून, रेषेचे कोणतेही दोन दिक्गुणोत्तर संच देखील प्रमाणबद्ध असतात. तसेच, कोणत्याही रेषेसाठी दिक्गुणोत्तरांचे असंख्य संच असतात.

11.2.1 दोन बिंदूंमधून जाणाऱ्या रेषेची दिक्कोसाइन

एक आणि फक्त एक रेषा दोन दिलेल्या बिंदूंमधून जात असल्याने, आपण दिलेल्या बिंदूंमधून जाणाऱ्या रेषेची दिक्कोसाइन $P(x_1, y_1, z_1)$ आणि $Q(x_2, y_2, z_2)$ खालीलप्रमाणे ठरवू शकतो (आकृती 11.2 (a)).

आकृती 11.2

समजा $l, m, n$ ही रेषा PQ ची दिक्कोसाइन आहेत आणि ती अनुक्रमे $\alpha, \beta$ आणि $\gamma$ कोन $x, y$ आणि $z$-अक्षाशी करते.

$P$ आणि $Q$ वरून लंब काढा $XY$-समतलाला भेटण्यासाठी $R$ आणि $S$ वर. $P$ वरून एक लंब काढा $QS$ ला भेटण्यासाठी $N$ वर. आता, काटकोन त्रिकोणात $PNQ, \angle PQN=\gamma$ (आकृती 11.2 (b)).

$$ \begin{aligned} & \cos \gamma=\frac{\mathrm{NQ}}{\mathrm{PQ}}=\frac{z _{2}-z _{1}}{\mathrm{PQ}} \\ & \cos \alpha=\frac{x _{2}-x _{1}}{\mathrm{PQ}} \text { और } \cos \beta=\frac{y _{2}-y _{1}}{\mathrm{PQ}} \end{aligned} $$

म्हणून म्हणून, बिंदूंना जोडणाऱ्या रेषाखंडाची दिक्कोसाइन $P(x_1, y_1, z_1)$ आणि $Q(x_2, y_2, z_2)$ आहेत

$$ \frac{x_2-x_1}{PQ}, \frac{y_2-y_1}{PQ}, \frac{z_2-z_1}{PQ} $$

जेथे $ \qquad PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $

टीप रेषाखंडाची दिक्गुणोत्तरे जोडणारी $P(x_1, y_1, z_1)$ आणि $Q(x_2, y_2, z_2)$ अशी घेतली जाऊ शकतात

$$ x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1 \text{ or } x_1-x_2, y_1-y_2, z_1-z_2 $$

उदाहरण 1 जर एक रेषा कोन करते $90^{\circ}, 60^{\circ}$ आणि $30^{\circ}$ च्या धनात्मक दिशेसह $x, y$ आणि $z$-अक्ष अनुक्रमे, तिची दिक्कोसाइन शोधा.

उकल समजा $d . c$. रेषांचे ’ $s$ आहेत $l, m, n$. तर $l=\cos 90^{\circ}=0, m=\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$, $n=\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

उदाहरण 2 जर एका रेषेची दिक्गुणोत्तरे 2, - 1, - 2 असतील, तर तिची दिक्कोसाइन ठरवा.

उकल दिक्कोसाइन आहेत

$$ \frac{2}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}, \frac{-1}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}}, \frac{-2}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}} $$

किंवा $\qquad \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}, \frac{-2}{3}$

उदाहरण 3 दोन बिंदूंमधून जाणाऱ्या रेषेची दिक्कोसाइन शोधा $(-2,4,-5)$ आणि $(1,2,3)$.

उकल आपल्याला माहित आहे की दोन बिंदूंमधून जाणाऱ्या रेषेची दिक्कोसाइन $P(x_1, y_1, z_1)$ आणि $Q(x_2, y_2, z_2)$ द्वारे दिली जातात

जेथे $ \qquad \frac{x_2-x_1}{PQ}, \frac{y_2-y_1}{PQ}, \frac{z_2-z_1}{PQ} $

$$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}} $$

येथे $P$ आहे $(-2,4,-5)$ आणि $Q$ आहे $(1,2,3)$.

तर $ \qquad P Q=\sqrt{(1-(-2))^{2}+(2-4)^{2}+(3-(-5))^{2}}=\sqrt{77} $

म्हणून, दोन बिंदूंना जोडणाऱ्या रेषेची दिक्कोसाइन आहेत

$ \qquad \frac{3}{\sqrt{77}}, \frac{-2}{\sqrt{77}}, \frac{8}{\sqrt{77}} $

उदाहरण 4 ची दिक्कोसाइन शोधा $x, y$ आणि $z$-अक्ष.

उकल $x$-अक्ष कोन करतो $0^{\circ}, 90^{\circ}$ आणि $90^{\circ}$ अनुक्रमे $x, y$ आणि $z$-अक्षासह. म्हणून, ची दिक्कोसाइन $x$-अक्ष आहेत $\cos 0^{\circ}, \cos 90^{\circ}, \cos 90^{\circ}$ म्हणजेच, $1,0,0$. त्याचप्रमाणे, ची दिक्कोसाइन $y$-अक्ष आणि $z$-अक्ष आहेत $0,1,0$ आणि $0,0,1$ अनुक्रमे.

उदाहरण 5 दाखवा की बिंदू A $(2,3,-4), B(1,-2,3)$ आणि $C(3,8,-11)$ समरेख आहेत.

उकल A आणि B ला जोडणाऱ्या रेषेची दिक्गुणोत्तरे आहेत

$1-2,-2-3,3+4$ म्हणजेच, $-1,-5,7$.

रेषा जोडणाऱ्या दिक्गुणोत्तरे $B$ आणि $C$ आहेत $3-1,8+2,-11-3$, म्हणजेच, $2,10,-14$.

हे स्पष्ट आहे की दिक्गुणोत्तर $AB$ आणि $BC$ प्रमाणबद्ध आहेत, म्हणून, $AB$ समांतर आहे $BC$. पण मुद्दा $B$ दोन्ही सामान्य आहे $AB$ आणि $BC$. म्हणून, $A, B, C$ समरेख बिंदू आहेत.

11.3 अवकाशातील रेषेचे समीकरण

आपण इयत्ता अकरावीत द्विमितीत रेषांची समीकरणे अभ्यासली आहेत, आता आपण अवकाशातील रेषेची सदिश आणि कार्टेशियन समीकरणे अभ्यासू.

एक रेषा अद्वितीयपणे निश्चित केली जाते जर

(i) ती दिलेल्या बिंदूतून जाते आणि तिला दिलेली दिशा असते, किंवा

(ii) ती दोन दिलेल्या बिंदूंमधून जाते.

11.3.1 दिलेल्या बिंदूतून जाणारी रेषा आणि समांतर $\vec{a}$ दिलेला सदिश $\vec{b}$

समजा $\vec{a}$ हा दिलेल्या बिंदू A चा स्थान सदिश आहे आयताकृती निर्देशांक प्रणालीच्या मूळ $O$ च्या संदर्भात. समजा $l$ ही रेषा आहे जी बिंदूमधून जाते $A$ आणि दिलेल्या सदिशाच्या समांतर आहे $\vec{b}$. समजा $\vec{r}$ हा रेषेवरील अनियंत्रित बिंदूचा स्थान सदिश आहे $P$ (आकृती 11.3).

तर $\overrightarrow{{}AP}$ सदिशाच्या समांतर आहे $\vec{b}$, म्हणजेच, $\overrightarrow{{}AP}=\lambda \vec{b}$, जेथे $\lambda$ काही वास्तविक संख्या आहे.

परंतु $$ \overrightarrow{{}AP}=\overrightarrow{{}OP}-\overrightarrow{{}OA} $$

म्हणजे $$\lambda \vec{b}=\vec{r}-\vec{a}$$

याउलट, पॅरामीटरच्या प्रत्येक मूल्यासाठी $\lambda$, हे समीकरण बिंदूचा स्थान सदिश देतो $P$ रेषेवर. म्हणून, रेषेचे सदिश समीकरण द्वारे दिले जाते

$$ \begin{equation*} \vec{r}=\vec{a}+\lambda \vec{b} \tag{1} \end{equation*} $$

टिप्पणी जर $\vec{b}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}$, तर $a, b, c$ ही रेषेची दिक्गुणोत्तरे आहेत आणि त्याउलट, जर $a, b, c$ ही रेषेची दिक्गुणोत्तरे असतील, तर $\vec{b}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k}$ रेषेच्या समांतर असेल. येथे, $b$ गोंधळात पडू नये $|\vec{b}|$. सदिश रूपातून कार्टेशियन रूपाची व्युत्पत्ती

दिलेल्या बिंदूचे निर्देशांक असू द्या $A$ असू द्या $(x_1, y_1, z_1)$ आणि रेषेची दिक्गुणोत्तरे असू द्या $a, b, c$. कोणत्याही बिंदूचे निर्देशांक विचारात घ्या $P$ असू द्या $(x, y, z)$. तर

$$ \overrightarrow{{}r}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k} ; \overrightarrow{{}a}=x_1 \hat{i}+y_1 \hat{j}+z_1 \hat{k} $$

आणि $$ \vec{b}=a \hat{i}+b \hat{j}+c \hat{k} $$

ही मूल्ये (1) मध्ये बदलून आणि गुणांकांची बरोबरी करून $\hat{i}, \hat{j}$ आणि $\hat{k}$, आपल्याला मिळते

$$ \begin{equation*} x=x _{1}+\lambda a ; \quad y=y _{1}+\lambda b ;\quad z=z _{1}+\lambda c \tag{2} \end{equation*} $$

हे रेषेची पॅरामेट्रिक समीकरणे आहेत. पॅरामीटर काढून टाकणे $\lambda$ (2) पासून, आपल्याला मिळते

$$ \begin{equation*} \frac{x-x _{1}}{a}=\frac{y-y _{1}}{b}=\frac{z-z _{1}}{c} \tag{3} \end{equation*} $$

हे रेषेचे कार्टेशियन समीकरण आहे.

टीप जर $l, m, n$ ही रेषेची दिक्कोसाइन असतील, तर रेषेचे समीकरण आहे

$$ \frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n} $$

उदाहरण 6 बिंदूमधून जाणाऱ्या रेषेचे सदिश आणि कार्टेशियन समीकरण शोधा $(5,2,-4)$ आणि जे सदिशाच्या समांतर आहे $3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k}$.

उकल आपल्याकडे आहे

$$ \vec{a}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k} \text{ and } \vec{b}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k} $$

म्हणून, रेषेचे सदिश समीकरण आहे

$$ \vec{r}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k}) $$

आता, $\vec{r}$ हा कोणत्याही बिंदूचा स्थान सदिश आहे $P(x, y, z)$ रेषेवर.

म्हणून, $$\quad x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}=5 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(3 \hat{i}+2 \hat{j}-8 \hat{k})$$ $$ =(5+3 \lambda) \hat{i}+(2+2 \lambda) \hat{j}+(-4-8 \lambda) \hat{k} $$

काढून टाकणे $\lambda$, आपल्याला मिळते

$$ \frac{x-5}{3}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+4}{-8} $$

जे कार्टेशियन स्वरूपात रेषेचे समीकरण आहे.

11.4 दोन रेषांमधील कोन

द्या $L_1$ आणि $L_2$ दोन रेषा मूळबिंदूतून जाणाऱ्या आणि दिक्गुणोत्तरांसह असू द्या $a_1, b_1, c_1$ आणि $a_2, b_2, c_2$, अनुक्रमे. द्या $P$ वर एक बिंदू असू द्या $L_1$ आणि $Q$ वर एक बिंदू असू द्या $L_2$. दिग्दर्शित रेषा विचारात घ्या $OP$ आणि $OQ$ आकृती 11.6 मध्ये दिल्याप्रमाणे. द्या $\theta$ OP आणि OQ मधील लघुकोन असू द्या. आता आठवा की दिग्दर्शित रेषाखंड OP आणि OQ हे घटकांसह सदिश आहेत $a_1, b_1, c_1$ आणि $a_2, b_2, c_2$, अनुक्रमे. म्हणून, कोन $\theta$ त्यांच्यामध्ये द्वारे दिले जाते $\cos \theta=\left|\frac{a _{1} a _{2}+b _{1} b _{2}+c _{1} c _{2}}{\sqrt{a _{1}^{2}+b _{1}^{2}+c _{1}^{2}} \sqrt{a _{2}^{2}+b _{2}^{2}+c _{2}^{2}}}\right|$

च्या दृष्टीने रेषांमधील कोन $\sin \theta$ द्वारे दिले जातो

$$ \begin{aligned} \sin \theta & =\sqrt{1-\cos ^{2} \theta} \\ & =\sqrt{1-\frac{(a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2)^{2}}{(a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2})(a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2})}} \\ & =\frac{\sqrt{(a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2})(a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2})-(a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2)^{2}}}{\sqrt{(a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2})} \sqrt{(a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2})}} \\ & =\frac{\sqrt{(a_1 b_2-a_2 b_1)^{2}+(b_1 c_2-b_2 c_1)^{2}+(c_1 a_2-c_2 a_1)^{2}}}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2}} \sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2}}} \end{aligned} $$

टीप जर रेषा $L_1$ आणि $L_2$ मूळबिंदूतून जात नाहीत, तर आपण रेषा घेऊ शकतो $L_1^{\prime}$ आणि $L_2^{\prime}$ जे समांतर आहेत $L_1$ आणि $L_2$ अनुक्रमे आणि मूळबिंदूतून जा.

जर रेषांसाठी दिक्गुणोत्तरांऐवजी $L_1$ आणि $L_2$, दिक्कोसाइन, म्हणजे, $l_1, m_1, n_1$ साठी $L_1$ आणि $l_2, m_2, n_2$ साठी $L_2$ दिले आहेत, तर (1) आणि (2) खालील फॉर्म घेतात:

$$ \cos \theta=|l_1 l_2+m_1 m_2+n_1 n_2| \quad(\text{ as } l_1^{2}+m_1^{2}+n_1^{2}=1=l_2^{2}+m_2^{2}+n_2^{2}) $$

आणि $$ \sin \theta=\sqrt{(l_1 m_2-l_2 m_1)^{2}-(m_1 n_2-m_2 n_1)^{2}+(n_1 l_2-n_2 l_1)^{2}} $$

दिक्गुणोत्तरांसह दोन रेषा $a_1, b_1, c_1$ आणि $a_2, b_2, c_2$ आहेत

(i) लंब म्हणजेच जर $\theta=90^{\circ}$ (1) द्वारे

$$ a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2=0 $$

(ii) समांतर म्हणजेच जर $\theta=0$ (2) द्वारे

$$\frac{\boldsymbol{a} _{\mathbf{1}}}{\boldsymbol{a} _{2}}=\frac{\boldsymbol{b} _{\mathbf{1}}}{\boldsymbol{b} _{\mathbf{2}}}=\frac{\boldsymbol{c} _{\mathbf{1}}}{\boldsymbol{c} _{\mathbf{2}}}$$

आता, जेव्हा त्यांची समीकरणे दिली जातात तेव्हा आपल्याला दोन रेषांमधील कोन सापडतो. जर $\theta$ लघुकोन असेल तर रेषांमधील कोन $\vec{r}=\vec{a} _{1}+\lambda \vec{b} _{1}$ आणि $\vec{r}=\vec{a} _{2}+\mu \vec{b} _{2}$ कार्टेशियन स्वरूपात, जर $\theta$ रेषांमधील कोन असेल

तर $$ \begin{aligned} \cos \theta & =\left|\frac{\vec{b}_1 \cdot \vec{b}_2}{\left|\vec{b}_1\right|\left|\vec{b}_2\right|}\right|
\end{aligned} $$

$$ \frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1} \tag{1} $$

आणि $$ \frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2} \tag{2} $$

जेथे, $a_1, b _{1,} c_1$ आणि $a _{2,}, b_2, c_2$ ही रेषांची दिक्गुणोत्तरे आहेत (1) आणि (2), अनुक्रमे, तर

$$ \cos \theta=|\frac{a_1 a_2+b_1 b_2+c_1 c_2}{\sqrt{a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2}} \sqrt{a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2}}}| $$

उदाहरण 7 दिलेल्या रेषांच्या जोडीमधील कोन शोधा

$$ \vec{r}=3 \hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}) $$

आणि $$ \vec{r}=5 \hat{i}-2 \hat{j}+\mu(3 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}) $$

उकल येथे $ \vec{b} _ {1}=\hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k} $ आणि $ \vec{b} _ {2}=3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k} $

कोन $\theta$ दोन रेषांमध्ये द्वारे दिले जाते

$$ \begin{aligned} \cos \theta & = |\frac{ \vec{b} _ {1} \cdot \vec{b} _ {2}}{| \vec{b} _ {1}|| \vec{b} _ {2}|}| = |\frac{(\hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}) \cdot(3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k})}{\sqrt{1 + 4+ 4} \sqrt{9 + 4 + 36}}| \\ & =|\frac{3+4+12}{3 \times 7}|=\frac{19}{21} ) \end{aligned} $$

म्हणून $$ \theta=\cos ^{-1}\left(\frac{19}{21}\right) $$

उदाहरण 8 रेषांच्या जोडीमधील कोन शोधा

आणि $$ \begin{aligned} & \frac{x+3}{3}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+3}{4} \\ & \frac{x+1}{1}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-5}{2} \end{aligned} $$

उकल पहिल्या रेषेची दिक्गुणोत्तरे 3, 5, 4 आहेत आणि दुसऱ्या रेषेची दिक्गुणोत्तरे आहेत $1,1,2$. जर $\theta$ त्यांच्यामधील कोन असेल, तर

$$ \cos \theta=|\frac{3.1+5.1+4.2}{\sqrt{3^{2}+5^{2}+4^{2}} \sqrt{1^{2}+1^{2}+2^{2}}}|=\frac{16}{\sqrt{50} \sqrt{6}}=\frac{16}{5 \sqrt{2} \sqrt{6}}=\frac{8 \sqrt{3}}{15} $$

म्हणून, आवश्यक कोन आहे $\cos ^{-1}(\frac{8 \sqrt{3}}{15})$.

11.5 दोन रेषांमधील किमान अंतर

जर अवकाशातील दोन रेषा एका बिंदूवर छेदतात, तर त्यांच्यातील किमान अंतर शून्य असते. तसेच, जर अवकाशातील दोन रेषा समांतर असतील, तर त्यांच्यातील किमान अंतर हे लंब अंतर असेल, म्हणजेच एका रेषेवरील बिंदूपासून दुसऱ्या रेषेवर काढलेल्या लंबाची लांबी.

याशिवाय, अवकाशात अशा रेषा असतात ज्या छेदणाऱ्या किंवा समांतर नसतात. खरेतर, अशा रेषांच्या जोड्या असमतल असतात आणि त्यांना विषम रेषा म्हणतात. उदाहरणार्थ, आकाराची एक खोली विचारात घ्या 1, 3, 2 एकके बाजूने

आकृती 11.5 $x, y$ आणि $z$-अक्ष अनुक्रमे आकृती 11.5.

छतावर तिरपे जाणारी रेषा GE आणि रेषा DB छताच्या एका कोपऱ्यातून A च्या वरच्या बाजूला जाते आणि भिंतीवर तिरपी खाली जाते. ही रेषा विषम आहेत कारण त्या समांतर नाहीत आणि कधीही भेटत नाहीत.

दोन रेषांमधील किमान अंतर म्हणजे आपण एका रेषेतील एक बिंदू दुसऱ्या रेषेवरील एका बिंदूशी जोडतो जेणेकरून मिळालेल्या विभागाची लांबी सर्वात लहान असेल. विषम रेषांसाठी, किमान अंतराची रेषा दोन्ही रेषांना लंब असेल.

11.5.1 दोन विषम रेषांमधील अंतर

आता आपण दोन विषम रेषांमधील किमान अंतर खालील प्रकारे ठरवू: द्या $l_1$ आणि $l_2$ दोन विषम रेषा समीकरणांसह असू द्या (आकृती 11.6)

आणि $$ \vec{r} = \vec{a} _ {1}+\lambda \vec{b} _ {1} \tag{1}$$ $$ \vec{r} = \vec{a} _ {2}+\mu \vec{b} _ {2} \tag{2} $$

कोणताही बिंदू घ्या $ S $ वर $l_ {1} $ स्थान सदिशासह $ \overrightarrow{{}a}_ {1} $ आणि $ T $ वर $ l_ {2} $, स्थान सदिशासह $ \overrightarrow{{}a}_ {2} $. तर किमान अंतर सदिशाची तीव्रता किमान अंतराच्या रेषेच्या दिशेने ST च्या प्रक्षेपणाइतकी असेल (10.6.2 पहा).

जर $\overrightarrow{{}PQ}$ मधील किमान अंतर सदिश असेल $l_1$ आणि $l_2$, तर तो दोन्ही ला लंब असल्याने $ \vec{b} _1$ आणि $ \vec{b} _2$, एकक सदिश $\hat{n}$ बाजूने $\overrightarrow{{}PQ}$ म्हणून असेल

आकृती 11.6

$$ \hat{n} = \frac{ \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}}{| \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}|} \tag{3} $$

तर $$ \overrightarrow{{}PQ}=d \hat{n} $$

जेथे, $d$ किमान अंतर सदिशाची तीव्रता आहे. द्या $\theta$ मधील कोन असू द्या $\overrightarrow{{}ST}$ आणि $\overrightarrow{{}PQ}$. तर

परंतु $$ \begin{aligned} PQ & = ST|\cos \theta| \\ \cos \theta & = |\frac{\overrightarrow{{}PQ} \cdot \overrightarrow{{}ST}}{|\overrightarrow{{}PQ}||\overrightarrow{{}ST}|}| \\ & = |\frac{d \hat{n} \cdot( \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1})}{d ST}| \quad(\text{ since } \overrightarrow{{}ST}= \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1}) \\ & = |\frac{( \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}) \cdot( \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1})}{ST| \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}|}| \end{aligned} $$

म्हणून, आवश्यक किमान अंतर आहे

किंवा $$ \begin{aligned} & d = PQ = ST|\cos \theta| \\ & \boldsymbol{{}d} = |\frac{(\overrightarrow{{}b}_ {1} \times \overrightarrow{{}b}_ {2}) \cdot( \vec{a} _ {2} \times \vec{a} _ {1})}{| \vec{b} _ {1} \times \vec{b} _ {2}|}| \end{aligned} $$

कार्टेशियन स्वरूप

आणि $$ l _{1}: \frac{x-x _{1}}{a _{1}}=\frac{y-y _{1}}{b _{1}}=\frac{z-z _{1}}{c _{1}} $$

आणि $$ l _{2}: \frac{x-x _{2}}{a _{2}}=\frac{y-y _{2}}{b _{2}}=\frac{z-z _{2}}{c _{2}} $$

$$ \frac{\left|\begin{array}{ccc} x _{2}-x _{1} & y _{2}-y _{1} & z _{2}-z _{1} \\ a _{1} & b _{1} & c _{1} \\ a _{2} & b _{2} & c _{2} \end{array}\right|}{\sqrt{\left(b _{1} c _{2}-b _{2} c _{1}\right)^{2}+\left(c _{1} a _{2}-c _{2} a _{1}\right)^{2}+\left(a _{1} b _{2}-a _{2} b _{1}\right)^{2}}} $$

11.5.2 समांतर रेषांमधील अंतर

जर दोन ओळी $l_1$ आणि $l_2$ समांतर आहेत, तर ते समतल आहेत. ओळी द्वारे द्या

$$ \begin{align*} & \vec{r}=\vec{a} _{1}+\lambda \vec{b} \tag{1}\\ & \vec{r}=\vec{a} _{2}+\mu \vec{b} \tag{2} \end{align*} $$

जेथे, $ \vec{a} _1$ बिंदूचा स्थान सदिश आहे $S$ वर $l_1$ आणि $ \vec{a} _2$ बिंदूचा स्थान सदिश आहे $T$ वर $l_2$ आकृती 11.7.

जसे $l_1, l_2$ समतल आहेत, जर पासून लंबाचा पाय $T$ ओळीवर $l_1$ आहे $P$, नंतर रेषांमधील अंतर $l_1$ आणि $l_2=|TP|$.

द्या $\theta$ सदिशांमधील कोन असू द्या $\overrightarrow{{}ST}$ आणि $\vec{b}$. तर

$$ \vec{b} \times \overrightarrow{{}ST}=(|\vec{b}||\overrightarrow{{}ST}| \sin \theta) \hat{n} \ldots \tag{3} $$

जेथे $\hat{n}$ रेषांच्या समतलाला लंब असलेला एकक सदिश आहे $l_1$ आणि $l_2$.

परंतु $$ \overrightarrow{{}ST} = \vec{a} _2 - \vec{a} _1 $$

म्हणून, (3) वरून, आपल्याला मिळते $$ \begin{matrix} & \quad \vec{b} \times ( \vec{a} _2 - \vec{a} _1) = \vec{b} , |PT| \hat{n} \quad (\text{since } PT = ST \sin \theta) \\ \text{i.e.,} & |\vec{b} \times ( \vec{a} _2 - \vec{a} _1)| = |\vec{b}| , |PT| \cdot 1 \quad (\text{as } |\hat{n}| = 1) \end{matrix} $$

म्हणून, दिलेल्या समांतर रेषांमधील अंतर आहे

$$ d=|\overrightarrow{{}\mathbf{P T}}| = |\frac{\vec{b} \times(\vec{a} _ {2}-\vec{a} _ {1})}{|\vec{b}|}| $$

उदाहरण 9 रेषांमधील किमान अंतर शोधा $l_1$ आणि $l_2$ ज्याची सदिश समीकरणे आहेत

$$ \begin{aligned} & \vec{r} =\hat{i}+\hat{j}+\lambda(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) \\ \text{ and } \qquad& \vec{r} =2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}+\mu(3 \hat{i}-5 \hat{j}+2 \hat{k}) \end{aligned} $$

उकल (1) आणि (2) ची तुलना करणे $\vec{r} = \vec{a} _ {1} + \lambda \vec{b} _ {1} $ आणि $ \overrightarrow{{}r} = \overrightarrow{{}a} _ {2} + \mu \overrightarrow{{}b} _ {2} $ अनुक्रमे, आपल्याला मिळते

$ \begin{aligned} & a _{1}=\hat{i}+\hat{j}, b _{1}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k} \\ & a _{2}=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k} \text { and } b _{2}=3 \hat{i}-5 \hat{j}+2 \hat{k} \end{aligned} $

म्हणून $\qquad a _{2}-a _{1}=\hat{i}-\hat{k}$

आणि $\qquad b _{1} \times b _{2}=(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) \times(3 \hat{i}-5 \hat{j}+2 \hat{k})$

$$ =\left|\begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & -5 & 2 \end{array}\right|=3 \hat{i}-\hat{j}-7 \hat{k} $$

तर, $$ \left|b _{1} \times b _{2}\right|=\sqrt{9+1+49}=\sqrt{59} $$

म्हणून, दिलेल्या रेषांमधील किमान अंतर द्वारे दिले जाते

$$ d=|\frac{(\overrightarrow{{}b}_ {1} \times \overrightarrow{{}b}_ {2}) \cdot(\overrightarrow{{}a}_ {2}-\overrightarrow{{}a}_ {1})}{|\overrightarrow{{}b}_ {1} \times \overrightarrow{{}b}_ {2}|}|=\frac{|3-0+7|}{\sqrt{59}}=\frac{10}{\sqrt{59}} $$

उदाहरण 10 रेषांमधील अंतर शोधा $l_1$ आणि $l_2$ द्वारे दिलेले $$ \begin{aligned} & \vec{r}=\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}+\lambda(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k}) \\ \text{ and } \qquad& \vec{r}=3 \hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k}+\mu(2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k}) \end{aligned} $$

उकल दोन रेषा समांतर आहेत (का?) आपल्याकडे आहे

$$ \overrightarrow{{}a}_ {1}=\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}, \overrightarrow{{}a}_ {2}=3 \hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k} \text{ and } \vec{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+6 \hat{k} $$

म्हणून, रेषांमधील अंतर द्वारे दिले जाते

$$ \begin{aligned} & d =\left|\frac{\vec{b} \times( \vec{a} _ {2}- \vec{a} _ {1})}{|\vec{b}|}\right| =\left|\frac{ \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 6 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} }{\sqrt{4+9+36}}\right| , \\ &=\frac{|-9 \hat{i}+14 \hat{j}-4 \hat{k}|}{\sqrt{49}}=\frac{\sqrt{293}}{\sqrt{49}}=\frac{\sqrt{293}}{7} \\ \end{aligned} $$

सारांश

• रेषेची दिक्कोसाइन ही समन्वय अक्षांच्या धनात्मक दिशांसह रेषेने केलेल्या कोनांची कोसाइन असतात.

• जर $l, m, n$ रेषेची दिक्कोसाइन असतील, तर $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$.

• दोन बिंदूंना जोडणाऱ्या रेषेची दिक्कोसाइन $P(x_1, y_1, z_1)$ आणि $Q(x_2, y_2, z_2)$ आहेत

• $ \frac{x_2-x_1}{PQ}, \frac{y_2-y_1}{PQ}, \frac{z_2-z_1}{PQ} $

जेथे $PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}}$

• $\Delta$ रेषेची दिक्गुणोत्तरे ही अशी संख्या आहेत जी रेषेच्या दिक्कोसाइनशी प्रमाणबद्ध असतात.
• जर $l, m, n$ दिक्कोसाइन असतील आणि $a, b, c$ रेषेची दिक्गुणोत्तरे असतील तर

$$ l=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} ; m=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} ; n=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}} $$

• विषम रेषा ह्या अवकाशातील रेषा आहेत ज्या समांतर किंवा छेदणाऱ्या नसतात. त्या वेगवेगळ्या समत