विद्यार्थ्याचा गणितीय अनुभव अपूर्ण आहे जर त्याला कधीही स्वतः शोधलेली समस्या सोडवण्याची संधी मिळाली नसेल. - जी. पोल्या

12.1 परिचय

मागील वर्गांमध्ये, आपण रेषीय समीकरणांची प्रणाली आणि दैनंदिन समस्यांमधील त्यांचे उपयोग यांची चर्चा केली आहे. इयत्ता अकरावी मध्ये, आपण रेषीय असमानता आणि दोन चलांमधील रेषीय असमानतांची प्रणाली आणि आलेखीय पद्धतीने त्यांची उकले यांचा अभ्यास केला आहे. गणितातील अनेक उपयोगांमध्ये असमानता/समीकरणांच्या प्रणालींचा समावेश होतो. या प्रकरणात, आपण खालील प्रकारच्या काही वास्तविक जीवनातील समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी रेषीय असमानता/समीकरणांच्या प्रणाली लागू करू:

एक फर्निचर व्यापारी फक्त दोन वस्तूंमध्ये व्यवहार करतो - टेबल आणि खुर्च्या. त्याच्याकडे गुंतवणूकीसाठी 50,000 रुपये आहेत आणि जास्तीत जास्त 60 वस्तूंसाठी साठवण जागा आहे. एका टेबलाची किंमत 2500 रुपये आणि एका खुर्चीची 500 रुपये आहे. त्याचा अंदाज आहे की एक टेबल विकून, त्याला 250 रुपये नफा मिळू शकतो आणि एक

एल. कँटोरोविच खुर्ची विकून 75 रुपये नफा मिळू शकतो. उपलब्ध रकमेतून त्याने किती टेबल आणि खुर्च्या खरेदी केल्या पाहिजेत जेणेकरून त्याचा एकूण नफा वाढवता येईल, असे त्याला जाणून घ्यायचे आहे, असे गृहीत धरून की त्याने खरेदी केलेल्या सर्व वस्तू तो विकू शकतो. नफा (किंवा, खर्च) वाढवण्याचा (किंवा, कमी करण्याचा) प्रयत्न करणाऱ्या अशा प्रकारच्या समस्यांना ऑप्टिमायझेशन समस्या म्हणतात. अशाप्रकारे, ऑप्टिमायझेशन समस्येमध्ये कमाल नफा, किमान खर्च किंवा संसाधनांचा किमान वापर शोधणे यांचा समावेश असू शकतो.

ऑप्टिमायझेशन समस्यांचा एक विशेष परंतु अतिशय महत्त्वाचा वर्ग म्हणजे रेषीय प्रोग्रॅमिंग समस्या. वर नमूद केलेली ऑप्टिमायझेशन समस्या ही रेषीय प्रोग्रॅमिंग समस्येचे उदाहरण आहे. रेषीय प्रोग्रॅमिंग समस्या उद्योग, व्यापार, व्यवस्थापन शास्त्र इत्यादीमध्ये त्यांच्या व्यापक उपयोगितेमुळे खूपच महत्त्वाच्या आहेत.

या प्रकरणात, आपण काही रेषीय प्रोग्रॅमिंग समस्या आणि फक्त आलेखीय पद्धतीने त्यांची उकले यांचा अभ्यास करू, जरी अशा समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी इतरही अनेक पद्धती आहेत.

12.2 रेषीय प्रोग्रॅमिंग समस्या आणि तिचे गणितीय सूत्रीकरण

आपण फर्निचर व्यापाऱ्याच्या वरील उदाहरणापासून आपली चर्चा सुरू करू ज्यामुळे दोन चलांमधील समस्येचे गणितीय सूत्रीकरण होईल. या उदाहरणात, आपण पाहतो

(i) व्यापारी त्याचे पैसे टेबल किंवा खुर्च्या किंवा त्यांच्या मिश्रणात खरेदी करण्यासाठी गुंतवू शकतो. शिवाय, वेगवेगळ्या गुंतवणूक धोरणांचे अनुसरण करून त्याला वेगवेगळा नफा मिळेल.

(ii) काही प्राबल्य असलेल्या अटी किंवा निर्बंध आहेत, म्हणजे, त्याची गुंतवणूक जास्तीत जास्त 50,000 रुपये आणि त्याची साठवण जागा जास्तीत जास्त 60 वस्तूंसाठी आहे.

समजा त्याने फक्त टेबल आणि खुर्च्या न खरेदी करण्याचा निर्णय घेतला, म्हणून तो $50000 \div 2500$, म्हणजेच 20 टेबल खरेदी करू शकतो. या प्रकरणात त्याचा नफा $(250 \times 20)$ रुपये, म्हणजेच $\mathbf{5 0 0 0}$ रुपये असेल.

समजा त्याने फक्त खुर्च्या आणि टेबल न खरेदी करण्याची निवड केली. 50,000 रुपयांच्या भांडवलासह, तो $50000 \div 500$, म्हणजेच 100 खुर्च्या खरेदी करू शकतो. परंतु तो फक्त 60 वस्तू साठवू शकतो. म्हणून, त्याला फक्त 60 खुर्च्या खरेदी करण्यास भाग पाडले जाते ज्यामुळे त्याला एकूण $(60 \times 75)$ रुपये, म्हणजेच 4500 रुपये नफा मिळेल.

इतर अनेक शक्यता आहेत, उदाहरणार्थ, तो 10 टेबल आणि 50 खुर्च्या खरेदी करण्याची निवड करू शकतो, कारण तो फक्त 60 वस्तू साठवू शकतो. या प्रकरणात एकूण नफा $(10 \times 250+50 \times 75)$ रुपये, म्हणजेच $\mathbf{6 2 5 0}$ रुपये इत्यादी असेल.

अशाप्रकारे, आपल्याला आढळते की व्यापारी त्याचे पैसे वेगवेगळ्या प्रकारे गुंतवू शकतो आणि वेगवेगळ्या गुंतवणूक धोरणांचे अनुसरण करून त्याला वेगवेगळा नफा मिळेल.

आता समस्या अशी आहे: कमाल नफा मिळवण्यासाठी त्याने त्याचे पैसे कशाप्रकारे गुंतवले पाहिजेत? या प्रश्नाचे उत्तर देण्यासाठी, समस्येचे गणितीय सूत्रीकरण करण्याचा प्रयत्न करूया.

12.2.1 समस्येचे गणितीय सूत्रीकरण

समजा $x$ ही टेबलांची संख्या आणि $y$ ही खुर्च्यांची संख्या आहे जी व्यापारी खरेदी करतो. स्पष्टपणे, $x$ आणि $y$ हे ऋणेतर असणे आवश्यक आहे, म्हणजे,

$$ \begin{align*} & x \geq 0 \tag{1}\\ & y \geq 0 \tag{2} \end{align*} \text { (Non-negative constraints) } $$

व्यापारी जास्तीत जास्त रक्कम (येथे ती 50,000 रुपये आहे) आणि जास्तीत जास्त वस्तू ज्या तो साठवू शकतो (येथे ती 60 आहे) यांद्वारे मर्यादित आहे.

गणितीय भाषेत सांगितले तर,

किंवा $$ \begin{array}{rlrl} 2500 x+500 y & \leq 50,000 & \text { (investment constraint ) } \\ 5 x+y & \leq 100 & & \\ x+y & \leq 60 & & \text { (storage constraint) } \tag{4} \end{array} $$

व्यापारी अशा प्रकारे गुंतवणूक करू इच्छितो जेणेकरून त्याचा नफा वाढवता येईल, समजा, $Z$ जी $x$ आणि $y$ चे फलन म्हणून दिलेली आहे

$Z=250 x+75 y$ (उद्दिष्ट फलन म्हणून ओळखले जाते)

गणितीय दृष्ट्या, दिलेली समस्या आता खालीलप्रमाणे कमी होते:

$Z=250 x+75 y$ वाढवा

या निर्बंधांना अधीन:

$$ \begin{aligned} 5 x+y & \leq 100 \\ x+y & \leq 60 \\ x \geq 0, y & \geq 0 \end{aligned} $$

म्हणून, आपल्याला रेषीय फलन $Z$ काही रेषीय असमानतांच्या संचाद्वारे निर्धारित केलेल्या विशिष्ट अटींना अधीन वाढवावे लागेल. काही इतर समस्या देखील आहेत जिथे आपल्याला चल ऋणेतर असलेल्या रेषीय असमानतांच्या संचाद्वारे निर्धारित केलेल्या विशिष्ट अटींना अधीन रेषीय फलन कमी करावे लागते. अशा समस्यांना रेषीय प्रोग्रॅमिंग समस्या म्हणतात.

अशाप्रकारे, रेषीय प्रोग्रॅमिंग समस्या ही अशी आहे जी अनेक चलांच्या (समजा $x$ आणि $y$) रेषीय फलनाचे (उद्दिष्ट फलन म्हणून ओळखले जाते) इष्टतम मूल्य (कमाल किंवा किमान मूल्य) शोधण्याशी संबंधित आहे, या अटीला अधीन की चले ऋणेतर आहेत आणि रेषीय असमानतांच्या संचाचे (रेषीय निर्बंध म्हणून ओळखले जातात) समाधान करतात. ‘रेषीय’ या शब्दाचा अर्थ असा आहे की समस्येमध्ये वापरलेले सर्व गणितीय संबंध रेषीय संबंध आहेत तर ‘प्रोग्रॅमिंग’ हा शब्द विशिष्ट कार्यक्रम किंवा कृती योजना निश्चित करण्याच्या पद्धतीचा संदर्भ देतो.

आपण पुढे जाण्यापूर्वी, आता आपण काही संज्ञा (ज्या वर वापरल्या गेल्या आहेत) औपचारिकपणे परिभाषित करू ज्या आपण रेषीय प्रोग्रॅमिंग समस्यांमध्ये वापरणार आहोत:

उद्दिष्ट फलन रेषीय फलन $Z=a x+b y$, जेथे $a, b$ स्थिरांक आहेत, ज्याला वाढवायचे किंवा कमी करायचे आहे त्याला रेषीय उद्दिष्ट फलन म्हणतात.

वरील उदाहरणात, $Z=250 x+75 y$ हे रेषीय उद्दिष्ट फलन आहे. चले $x$ आणि $y$ यांना निर्णय चले म्हणतात.

निर्बंध रेषीय प्रोग्रॅमिंग समस्येच्या चलांवरील रेषीय असमानता किंवा समीकरणे किंवा निर्बंध यांना निर्बंध म्हणतात. अटी $x \geq 0, y \geq 0$ यांना ऋणेतर निर्बंध म्हणतात. वरील उदाहरणात, असमानता (1) ते (4) चा संच हे निर्बंध आहेत.

ऑप्टिमायझेशन समस्या अशी समस्या जी रेषीय फलन (समजा दोन चल $x$ आणि $y$ चे) रेषीय असमानतांच्या संचाद्वारे निर्धारित केलेल्या विशिष्ट निर्बंधांना अधीन वाढवण्याचा किंवा कमी करण्याचा प्रयत्न करते त्याला ऑप्टिमायझेशन समस्या म्हणतात. रेषीय प्रोग्रॅमिंग समस्या हा ऑप्टिमायझेशन समस्यांचा एक विशेष प्रकार आहे. खुर्च्या आणि टेबल खरेदी करण्यासाठी व्यापाऱ्याद्वारे दिलेली रक्कम गुंतवण्याची वरील समस्या ही ऑप्टिमायझेशन समस्येचे तसेच रेषीय प्रोग्रॅमिंग समस्येचे उदाहरण आहे.

आता आपण रेषीय प्रोग्रॅमिंग समस्येची उकल कशी शोधायची याची चर्चा करू. या प्रकरणात, आपण फक्त आलेखीय पद्धतीशी संबंधित असू.

12.2.2 रेषीय प्रोग्रॅमिंग समस्या सोडवण्याची आलेखीय पद्धत

इयत्ता अकरावी मध्ये, आपण दोन चले $x$ आणि $y$ यांचा समावेश असलेल्या रेषीय असमानतांची प्रणाली कशी आलेखित करायची आणि त्याची उकले आलेखीय पद्धतीने कशी शोधायची हे शिकलो आहोत. आपण आता विभाग 12.2 मध्ये चर्चा केलेल्या टेबल आणि खुर्च्यांमध्ये गुंतवणुकीच्या समस्येकडे वळू. आता आपण ही समस्या आलेखीय पद्धतीने सोडवू. आपण रेषीय असमानता म्हणून सांगितलेले निर्बंध आलेखित करूया:

$$ \begin{align*} 5 x+y & \leq 100 \tag{1} \\ x+y & \leq 60 \tag{2} \\ x & \geq 0 \tag{3} \\ y & \geq 0 \tag{4} \end{align*} $$

या प्रणालीचा आलेख (छायांकित प्रदेश) हा असमानता (1) ते (4) (आकृती 12.1) द्वारे निर्धारित केलेल्या सर्व अर्ध्या समतलांमधील सामान्य बिंदूंचा समावेश करतो. या प्रदेशातील प्रत्येक बिंदू टेबल आणि खुर्च्यांमध्ये गुंतवणूक करण्यासाठी व्यापाऱ्यासाठी उपलब्ध असलेली एक व्यवहार्य निवड दर्शवतो. म्हणून, या प्रदेशाला समस्येसाठी व्यवहार्य प्रदेश म्हणतात. या प्रदेशातील प्रत्येक बिंदूला समस्येचे व्यवहार्य उत्तर म्हणतात. अशाप्रकारे, आपल्याकडे आहे,

आकृती 12.1

व्यवहार्य प्रदेश रेषीय प्रोग्रॅमिंग समस्येच्या सर्व निर्बंधांसह ऋणेतर निर्बंध $x, y \geq 0$ द्वारे निर्धारित केलेल्या सामान्य प्रदेशाला समस्येसाठी व्यवहार्य प्रदेश (किंवा उत्तर प्रदेश) म्हणतात. आकृती 12.1 मध्ये, प्रदेश OABC (छायांकित) हा समस्येसाठी व्यवहार्य प्रदेश आहे. व्यवहार्य प्रदेशाव्यतिरिक्त इतर प्रदेशाला अव्यवहार्य प्रदेश म्हणतात.

व्यवहार्य उत्तरे व्यवहार्य प्रदेशाच्या आत आणि सीमेवरील बिंदू निर्बंधांची व्यवहार्य उत्तरे दर्शवतात. आकृती 12.1 मध्ये, व्यवहार्य प्रदेश $OABC$ च्या आत आणि सीमेवरील प्रत्येक बिंदू समस्येचे व्यवहार्य उत्तर दर्शवतो. उदाहरणार्थ, बिंदू $(10,50)$ हे समस्येचे व्यवहार्य उत्तर आहे आणि बिंदू $(0,60),(20,0)$ इत्यादी देखील आहेत.

व्यवहार्य प्रदेशाबाहेरील कोणत्याही बिंदूला अव्यवहार्य उत्तर म्हणतात. उदाहरणार्थ, बिंदू $(25,40)$ हे समस्येचे अव्यवहार्य उत्तर आहे.

इष्टतम (व्यवहार्य) उत्तर: व्यवहार्य प्रदेशातील कोणताही बिंदू जो उद्दिष्ट फलनाचे इष्टतम मूल्य (कमाल किंवा किमान) देतो त्याला इष्टतम उत्तर म्हणतात.

आता, आपण पाहतो की व्यवहार्य प्रदेश $OABC$ मधील प्रत्येक बिंदू (1) ते (4) मध्ये दिलेल्या सर्व निर्बंधांचे समाधान करतो, आणि अनंत बिंदू असल्याने, उद्दिष्ट फलन $Z=250 x+75 y$ चे कमाल मूल्य देणारा बिंदू शोधण्यासाठी आपण कसे पुढे जावे हे स्पष्ट नाही. या परिस्थितीचे व्यवहार करण्यासाठी, आपण खालील प्रमेये वापरतो जी रेषीय प्रोग्रॅमिंग समस्या सोडवण्यासाठी मूलभूत आहेत. या प्रमेयांची पुरावे पुस्तकाच्या व्याप्तीबाहेर आहेत.

प्रमेय 1 समजा $R$ हा रेषीय प्रोग्रॅमिंग समस्येसाठी व्यवहार्य प्रदेश (उत्तल बहुभुज) आहे आणि समजा $Z=a x+b y$ हे उद्दिष्ट फलन आहे. जेव्हा $Z$ चे इष्टतम मूल्य (कमाल किंवा किमान) असते, जेथे चले $x$ आणि $y$ रेषीय असमानतांद्वारे वर्णन केलेल्या निर्बंधांना अधीन असतात, तेव्हा हे इष्टतम मूल्य व्यवहार्य प्रदेशाच्या कोपऱ्याच्या बिंदू* (शिरोबिंदू) येथे असणे आवश्यक आहे.

प्रमेय 2 समजा $R$ हा रेषीय प्रोग्रॅमिंग समस्येसाठी व्यवहार्य प्रदेश आहे, आणि समजा $Z=a x+b y$ हे उद्दिष्ट फलन आहे. जर $R$ बद्ध** असेल, तर उद्दिष्ट फलन $Z$ चे $R$ वर कमाल आणि किमान दोन्ही मूल्य असतात आणि यापैकी प्रत्येक R च्या कोपऱ्याच्या बिंदू (शिरोबिंदू) येथे घडते.

टिप्पणी जर $R$ अबद्ध असेल, तर उद्दिष्ट फलनाचे कमाल किंवा किमान मूल्य अस्तित्वात नसू शकते. तथापि, जर ते अस्तित्वात असेल, तर ते R च्या कोपऱ्याच्या बिंदूवर घडले पाहिजे. (प्रमेय 1 नुसार).

वरील उदाहरणात, बद्ध (व्यवहार्य) प्रदेशाचे कोपऱ्याचे बिंदू (शिरोबिंदू) आहेत: $O, A, B$ आणि $C$ आणि त्यांचे निर्देशक अनुक्रमे $(0,0),(20,0),(10,50)$ आणि $(0,60)$ म्हणून शोधणे सोपे आहे. आता या बिंदूंवर $Z$ ची मूल्ये काढू.

आपल्याकडे आहे

• व्यवहार्य प्रदेशाचा कोपऱ्याचा बिंदू म्हणजे प्रदेशातील असा बिंदू जो दोन सीमारेषांचा छेदनबिंदू आहे.

• रेषीय असमानतांच्या प्रणालीचा व्यवहार्य प्रदेश बद्ध म्हटले जाते जर तो वर्तुळात बंदिस्त केला जाऊ शकतो. अन्यथा, त्याला अबद्ध म्हणतात. अबद्ध म्हणजे व्यवहार्य प्रदेश कोणत्याही दिशेने अनिश्चित काळापर्यंत विस्तारतो.

आपण पाहतो की व्यापाऱ्याला कमाल नफा गुंतवणूक धोरण $(10,50)$ मधून मिळतो, म्हणजे 10 टेबल आणि 50 खुर्च्या खरेदी करणे.

रेषीय प्रोग्रॅमिंग समस्या सोडवण्याच्या या पद्धतीला कोपरा पॉइंट पद्धत म्हणून संबोधले जाते. या पद्धतीमध्ये खालील चरणांचा समावेश होतो:

1. रेषीय प्रोग्रॅमिंग समस्येचा व्यवहार्य प्रदेश शोधा आणि त्याचे कोपऱ्याचे बिंदू (शिरोबिंदू) एकतर निरीक्षणाद्वारे किंवा त्या बिंदूवर छेदणाऱ्या रेषांची दोन समीकरणे सोडवून निश्चित करा.

2. प्रत्येक कोपऱ्याच्या बिंदूवर उद्दिष्ट फलन $Z=a x+b y$ चे मूल्यमापन करा. समजा $\mathbf{M}$ आणि $m$, अनुक्रमे या बिंदूंची सर्वात मोठी आणि सर्वात लहान मूल्ये दर्शवतात.

3. (i) जेव्हा व्यवहार्य प्रदेश बद्ध असतो, तेव्हा $M$ आणि $m$ ही $Z$ ची कमाल आणि किमान मूल्ये असतात.

(ii) जर व्यवहार्य प्रदेश अबद्ध असेल, तर आपल्याकडे आहे:

4. (a) $M$ हे $Z$ चे कमाल मूल्य आहे, जर $a x+b y>M$ द्वारे निर्धारित केलेल्या उघड्या अर्ध्या समतलाचा व्यवहार्य प्रदेशाशी कोणताही सामाईक बिंदू नसेल. अन्यथा, $Z$ चे कमाल मूल्य नसते.

(b) त्याचप्रमाणे, $m$ हे $Z$ चे किमान मूल्य आहे, जर $a x+b y<m$ द्वारे निर्धारित केलेल्या उघड्या अर्ध्या समतलाचा व्यवहार्य प्रदेशाशी कोणताही सामाईक बिंदू नसेल. अन्यथा, $Z$ चे किमान मूल्य नसते.

आता आपण काही उदाहरणे विचारात घेऊन कोपरा पॉइंट पद्धतीची ही चरणे स्पष्ट करू:

उदाहरण 1 खालील रेषीय प्रोग्रॅमिंग समस्या आलेखीय पद्धतीने सोडवा:

$Z=4 x+y$ वाढवा या निर्बंधांना अधीन:

$$ \begin{aligned} x+y & \leq 50 \\ 3 x+y & \leq 90 \\ x \geq 0, y & \geq 0 \end{aligned} $$

उत्तर आकृती 12.2 मधील छायांकित प्रदेश हा निर्बंध (2) ते (4) च्या प्रणालीद्वारे निर्धारित केलेला व्यवहार्य प्रदेश आहे. आपण पाहतो की व्यवहार्य प्रदेश OABC बद्ध आहे. म्हणून, आता आपण $Z$ चे कमाल मूल्य निश्चित करण्यासाठी कोपरा पॉइंट पद्धत वापरतो.

कोपऱ्याचे बिंदू $O, A, B$ आणि $C$ चे निर्देशक अनुक्रमे $(0,0),(30,0),(20,30)$ आणि $(0,50)$ आहेत. आता आपण प्रत्येक कोपऱ्याच्या बिंदूवर $Z$ चे मूल्यमापन करतो.

आकृती 12.2

म्हणून, $Z$ चे कमाल मूल्य बिंदू $(30,0)$ वर 120 आहे.

उदाहरण 2 खालील रेषीय प्रोग्रॅमिंग समस्या आलेखीय पद्धतीने सोडवा:

$Z=200 x+500 y$ कमी करा

या निर्बंधांना अधीन:

$$ \begin{align*} x+2 y & \geq 10 \tag{1}\\ 3 x+4 y & \leq 24 \tag{2}\\ x \geq 0, y & \geq 0 \tag{3} \end{align*} $$

उत्तर आकृती 12.3 मधील छायांकित प्रदेश हा निर्बंध (2) ते (4) च्या प्रणालीद्वारे निर्धारित केलेला व्यवहार्य प्रदेश ABC आहे, जो बद्ध आहे. कोपऱ्याचे बिंदू A, B आणि $C$ चे निर्देशक अनुक्रमे $(0,5),(4,3)$ आणि $(0,6)$ आहेत. आता आपण या बिंदूंवर $Z=200 x+500 y$ चे मूल्यमापन करतो.

आकृती 12.3

म्हणून, $Z$ चे किमान मूल्य बिंदू $(4,3)$ वर 2300 प्राप्त झाले आहे.

उदाहरण 3 खालील समस्या आलेखीय पद्धतीने सोडवा:

$Z=3 x+9 y$ कमी करा आणि वाढवा

या निर्बंधांना अधीन: $\quad x+3 y \leq 60$

$$ \begin{align*} x+3 y & \leq 60 \tag{1}\\ x+y & \geq 10 \tag{2}\\ x & \leq y \tag{3}\\ x \geq 0, y & \geq 0 \tag{4} \end{align*} $$

उत्तर सर्वप्रथम, आपण रेषीय असमानता (2) ते (5) च्या प्रणालीचा व्यवहार्य प्रदेश आलेखित करू. व्यवहार्य प्रदेश $ABCD$ आकृती 12.4 मध्ये दाखवला आहे. लक्षात घ्या की प्रदेश बद्ध आहे. कोपऱ्याचे बिंदू A, B, C आणि D चे निर्देशक अनुक्रमे $(0,10),(5,5),(15,15)$ आणि $(0,20)$ आहेत.

आकृती 12.4

आता आपण $Z$ चे किमान आणि कमाल मूल्य शोधू. सारणीवरून, आपल्याला आढळते की $Z$ चे किमान मूल्य व्यवहार्य प्रदेशाच्या बिंदू $B(5,5)$ वर 60 आहे.

व्यवहार्य प्रदेशावरील $Z$ चे कमाल मूल्य दोन कोपऱ्याच्या बिंदूंवर $C(15,15)$ आणि $D(0,20)$ घडते आणि प्रत्येक प्रकरणात ते 180 आहे.

टिप्पणी वरील उदाहरणात लक्षात घ्या की, समस्येला कोपऱ्याच्या बिंदूंवर $C$ आणि $D$ येथे अनेक इष्टतम उत्तरे आहेत, म्हणजे दोन्ही बिंदू समान कमाल मूल्य 180 देतात. अशा प्रकरणांमध्ये, आपण पाहू शकता की दोन कोपऱ्याचे बिंदू $C$ आणि $D$ जोडणाऱ्या रेषाखंड CD वरील प्रत्येक बिंदू देखील समान कमाल मूल्य देतो. जर दोन बिंदू समान किमान मूल्य देतात तर तेच खरे आहे.

उदाहरण 4 आलेखीय पद्धतीने उद्दिष्ट फलनाचे किमान मूल्य निश्चित करा

$$ Z=-50 x+20 y $$

या निर्बंधांना अधीन:

$$ \begin{aligned} & 2 x-y \geq-5 \\ & 3 x+y \geq 3 \\ & 2 x-3 y \leq 12 \\ & x \geq 0, y \geq 0 \end{aligned} $$

उत्तर सर्वप्रथम, आपण असमानता (2) ते (5) च्या प्रणालीचा व्यवहार्य प्रदेश आलेखित करू. व्यवहार्य प्रदेश (छायांकित) आकृती 12.5 मध्ये दाखवला आहे. लक्षात घ्या की व्यवहार्य प्रदेश अबद्ध आहे.

आता आपण कोपऱ्याच्या बिंदूंवर $Z$ चे मूल