जगात कुरूप गणितासाठी कायमची जागा नाही … . गणितीय सौंदर्याची व्याख्या करणे कदाचित खूप कठीण असू शकते, परंतु कोणत्याही प्रकारच्या सौंदर्याबद्दल हे तितकेच खरे आहे, आपल्याला एक सुंदर कविता म्हणजे काय याचा अर्थ कदाचित नीट समजत नाही, परंतु ते आपल्याला ती वाचताना ओळखण्यापासून रोखत नाही. - जी. एच. हार्डी

१.१ परिचय

इयत्ता अकरावी मध्ये संबंध आणि फलने, प्रांत, सहप्रांत आणि परिसर या संकल्पनांची ओळख करून देण्यात आली होती, तसेच विविध प्रकारची विशिष्ट वास्तव मूल्यी फलने आणि त्यांचे आलेख देण्यात आले होते. गणितातील ‘संबंध’ या शब्दाची संकल्पना इंग्रजी भाषेतील संबंध या अर्थावरून घेण्यात आली आहे, त्यानुसार दोन वस्तू किंवा राशी संबंधित आहेत जर त्या दोन वस्तू किंवा राशींमध्ये ओळखता येण्याजोगा संबंध किंवा दुवा असेल. A हा एका शाळेतील इयत्ता बारावीच्या विद्यार्थ्यांचा संच असू द्या आणि B हा त्याच शाळेतील इयत्ता अकरावीच्या विद्यार्थ्यांचा संच असू द्या. तर $A$ पासून $B$ पर्यंतच्या संबंधांची काही उदाहरणे आहेत

(i) $\{(a, b) \in A \times B: \text{a is brother of b}\}$

(ii) $\{(a, b) \in A \times B: \text{a is sister of b}\}$,

लेज्यून डिरिचले (१८०५-१८५९)

(iii) $\{(a, b) \in A \times B : \text{age of a is greater than age of b}\}$,

(iv) $\{(a, b) \in A \times B$ : a ने अंतिम परीक्षेत मिळवलेले एकूण गुण b ने अंतिम परीक्षेत मिळवलेल्या एकूण गुणांपेक्षा कमी आहेत $\}$

(v) $\{(a, b) \in A \times B: a$ $b\}$ च्याच परिसरात राहतो. तथापि, यातून गणितीयदृष्ट्या आपण $A$ पासून $B$ पर्यंतचा संबंध $R$ हा $A \times B$ चा एक अनियंत्रित उपसंच म्हणून व्याख्यित करतो.

जर $(a, b) \in R$, तर आपण म्हणतो की $a$ हा $b$ शी संबंध $R$ अंतर्गत संबंधित आहे आणि आपण $a R b$ असे लिहितो. सामान्यतः, $(a, b) \in R$, $a$ आणि $b$ यांच्यात ओळखता येण्याजोगा संबंध किंवा दुवा आहे की नाही याची आपल्याला चिंता नसते. इयत्ता अकरावी मध्ये पाहिल्याप्रमाणे, फलने ही एक विशेष प्रकारची संबंध आहेत.

या प्रकरणात, आपण विविध प्रकारचे संबंध आणि फलने, फलनांची संयोजने, व्युत्क्रमीय फलने आणि द्विपद क्रिया यांचा अभ्यास करू.

१.२ संबंधांचे प्रकार

या विभागात, आपण विविध प्रकारचे संबंध अभ्यासू इच्छितो. आपल्याला माहित आहे की संच $A$ मधील एक संबंध $A \times A$ चा एक उपसंच असतो. अशाप्रकारे, रिकामा संच $\phi$ आणि $A \times A$ हे दोन अतिरेकी संबंध आहेत. उदाहरणार्थ, संच $A=\{1,2,3,4\}$ मध्ये दिलेला संबंध $R$ विचारात घ्या, जो $R=\{(a, b): a-b=10\}$ द्वारे दिलेला आहे. हा रिकामा संच आहे, कारण कोणतेही जोड $(a, b)$ अट $a-b=10$ पूर्ण करत नाही. त्याचप्रमाणे, $R^{\prime}=\{(a, b):|a-b| \geq 0\}$ हा संपूर्ण संच $A \times A$ आहे, कारण A $\times$ A मधील सर्व जोड $(a, b)$ $|a-b| \geq 0$ पूर्ण करतात. ही दोन अतिरेकी उदाहरणे आपल्याला पुढील व्याख्यांकडे नेतात.

व्याख्या 1 संच $A$ मधील एक संबंध $R$ रिकामा संबंध म्हटले जाते, जर $A$ चा कोणताही घटक $A$ च्या कोणत्याही घटकाशी संबंधित नसेल, म्हणजेच, $R=\phi \subset A \times A$.

व्याख्या 2 संच $A$ मधील एक संबंध $R$ सार्वत्रिक संबंध म्हटले जाते, जर $A$ चा प्रत्येक घटक $A$ च्या प्रत्येक घटकाशी संबंधित असेल, म्हणजेच, $R=A \times A$.

रिकामा संबंध आणि सार्वत्रिक संबंध हे दोन्ही कधीकधी क्षुल्लक संबंध म्हणून ओळखले जातात.

उदाहरण 1 $A$ हा एका मुलांच्या शाळेतील सर्व विद्यार्थ्यांचा संच असू द्या. दाखवा की $A$ मधील संबंध $R$ द्वारे दिलेला आहे $R=\{(a, b): a$ ही $b\}$ ची बहीण आहे हा रिकामा संबंध आहे आणि $R^{\prime}=\{(a, b):$ $a$ आणि $b$ च्या उंचीतील फरक 3 मीटरपेक्षा कमी आहे $\}$ हा सार्वत्रिक संबंध आहे.

उकल शाळा मुलांची शाळा असल्यामुळे, शाळेतील कोणताही विद्यार्थी शाळेतील कोणत्याही विद्यार्थ्याची बहीण असू शकत नाही. म्हणून, $R=\phi$, जे दाखवते की $R$ हा रिकामा संबंध आहे. हे देखील स्पष्ट आहे की शाळेतील कोणत्याही दोन विद्यार्थ्यांच्या उंचीतील फरक 3 मीटरपेक्षा कमी असणे आवश्यक आहे. हे दाखवते की $R^{\prime}=A \times A$ हा सार्वत्रिक संबंध आहे.

टिप्पणी इयत्ता अकरावी मध्ये, आपण संबंध दर्शविण्याचे दोन मार्ग पाहिले आहेत, म्हणजे रास्टर पद्धत आणि संच निर्मिती पद्धत. तथापि, संच $\{1,2,3,4\}$ मध्ये $R$ $=\{(a, b): b=a+1\}$ द्वारे व्याख्यित केलेला संबंध $R$ हा अनेक लेखकांद्वारे $a R b$ जर आणि फक्त जर $b=a+1$ असे देखील व्यक्त केला जातो. आपण हे संकेतन देखील, सोयीस्कर तेव्हा वापरू शकतो.

जर $(a, b) \in R$, तर आपण म्हणतो की $a$ हा $b$ शी संबंधित आहे आणि आपण ते $a R b$ असे दर्शवतो.

गणितात महत्त्वपूर्ण भूमिका बजावणारा, सर्वात महत्त्वाच्या संबंधांपैकी एक म्हणजे तुल्यता संबंध. तुल्यता संबंधाचा अभ्यास करण्यासाठी, आपण प्रथम तीन प्रकारचे संबंध विचारात घेतो, म्हणजे स्वविक्षेपी, सममितीय आणि संक्रामक.

व्याख्या 3 संच $A$ मधील एक संबंध $R$ असे म्हटले जाते

(i) स्वविक्षेपी, जर $(a, a) \in R$, प्रत्येक $a \in A$ साठी,

(ii) सममितीय, जर $(a_{1}, a_{2}) \in R$ सूचित करते की $(a_{2}, a_{1}) \in R$, सर्व $a_{1}, a_{2} \in A$ साठी.

(iii) संक्रामक, जर $(a_{1}, a_{2}) \in R$ आणि $(a_{2}, a_{3}) \in R$ सूचित करते की $(a_{1}, a_{3}) \in R$, सर्व $a_{1}, a_{2}$, $a_{3} \in A$ साठी.

व्याख्या 4 संच $A$ मधील एक संबंध $R$ तुल्यता संबंध आहे असे म्हटले जाते जर $R$ स्वविक्षेपी, सममितीय आणि संक्रामक असेल.

उदाहरण 2 $T$ हा एका समतलातील सर्व त्रिकोणांचा संच असू द्या आणि $T$ मधील संबंध $R$ द्वारे दिलेला आहे $R=\{(T_{1}, T_{2}): T_{1}.$ हा $.T_{2}\}$ शी एकरूप आहे. दाखवा की $R$ हा एक तुल्यता संबंध आहे.

उकल $R$ हा स्वविक्षेपी आहे, कारण प्रत्येक त्रिकोण स्वतःशी एकरूप आहे. पुढे, $(T_{1}, T_{2}) \in R \Rightarrow T_{1}$ हा $T_{2} \Rightarrow T_{2}$ शी एकरूप आहे म्हणजे $T_{1} \Rightarrow(T_{2}, T_{1}) \in R$ शी एकरूप आहे. म्हणून, $R$ हा सममितीय आहे. शिवाय, $(T_{1}, T_{2}),(T_{2}, T_{3}) \in R \Rightarrow T_{1}$ हा $T_{2}$ शी एकरूप आहे आणि $T_{2}$ हा $T_{3} \Rightarrow T_{1}$ शी एकरूप आहे म्हणजे $T_{3} \Rightarrow(T_{1}, T_{3}) \in R$ शी एकरूप आहे. म्हणून, $R$ हा एक तुल्यता संबंध आहे.

उदाहरण 3 $ Let L$ हा एका समतलातील सर्व रेषांचा संच असू द्या आणि $L$ मधील संबंध $R$ द्वारे व्याख्यित केला आहे $R=\{(L_{1}, L_{2}): L_{1}.$ ही $.L_{2}\}$ ला लंब आहे. दाखवा की $R$ हा सममितीय आहे परंतु ना स्वविक्षेपी आहे आणि ना संक्रामक आहे.

उकल $R$ हा स्वविक्षेपी नाही, कारण एक रेषा $L_{1}$ स्वतःला लंब असू शकत नाही, म्हणजेच, $(L_{1}, L_{1})$ $\notin R$. R हा सममितीय आहे कारण $(L_{1}, L_{2}) \in R$

$$ \begin{array}{ll} \Rightarrow & L_{1} \text { is perpendicular to } L_{2} \\ \Rightarrow & L_{2} \text { is perpendicular to } L_{1} \\ \Rightarrow & (L_{2}, L_{1}) \in R . \end{array} $$

$R$ हा संक्रामक नाही. खरंच, जर $L_{1}$ ही $L_{2}$ ला लंब असेल आणि $L_{2}$ ही $L_{3}$ ला लंब असेल, तर $L_{1}$ ही कधीही $L_{3}$ ला लंब असू शकत नाही. खरं तर, $L_{1}$ ही $L_{3}$ ला समांतर आहे, म्हणजेच, $(L_{1}, L_{2}) \in R,(L_{2}, L_{3}) \in R$ परंतु $(L_{1}, L_{3}) \notin R$.

आकृती 1.1

उदाहरण 4 दाखवा की संच $\{1,2,3\}$ मधील संबंध $R$ द्वारे दिलेला आहे R=$\{(1,1),(2,2), (3,3),(1,2),(2,3)\}$ हा स्वविक्षेपी आहे परंतु ना सममितीय आहे आणि ना संक्रामक आहे.

उकल $R$ हा स्वविक्षेपी आहे, कारण $(1,1),(2,2)$ आणि $(3,3)$ $R$ मध्ये आहेत. तसेच, $R$ हा सममितीय नाही, कारण $(1,2) \in R$ परंतु $(2,1) \notin R$. त्याचप्रमाणे, $R$ हा संक्रामक नाही, कारण $(1,2) \in R$ आणि $(2,3) \in R$ परंतु $(1,3) \notin R$.

उदाहरण 5 दाखवा की पूर्णांकांच्या संच $\mathbf{Z}$ मधील संबंध $R$ द्वारे दिलेला आहे $R=\{(a, b): 2 \text { divides } a-b\}$ हा एक तुल्यता संबंध आहे.

उकल $R$ हा स्वविक्षेपी आहे, कारण 2 हा $(a-a)$ ला विभाजित करतो सर्व $a \in \mathbf{Z}$ साठी. पुढे, जर $(a, b) \in R$, तर 2 हा $a-b$ ला विभाजित करतो. म्हणून, 2 हा $b-a$ ला विभाजित करतो. म्हणून, $(b, a) \in R$, जे दाखवते की $R$ हा सममितीय आहे. त्याचप्रमाणे, जर $(a, b) \in R$ आणि $(b, c) \in R$, तर $a-b$ आणि $b-c$ हे 2 ने विभाज्य आहेत. आता, $a-c=(a-b)+(b-c)$ हा सम आहे (का?). म्हणून, $(a-c)$ हा 2 ने विभाज्य आहे. हे दाखवते की $R$ हा संक्रामक आहे. अशाप्रकारे, $R$ हा $\mathbf{Z}$ मधील एक तुल्यता संबंध आहे.

उदाहरण 5 मध्ये, लक्षात घ्या की सर्व सम पूर्णांक शून्याशी संबंधित आहेत, कारण $(0, \pm 2),(0, \pm 4)$ इत्यादी, $R$ मध्ये आहेत आणि कोणताही विषम पूर्णांक 0 शी संबंधित नाही, कारण $(0, \pm 1),(0, \pm 3)$ इत्यादी, $R$ मध्ये नाहीत. त्याचप्रमाणे, सर्व विषम पूर्णांक एकाशी संबंधित आहेत आणि कोणताही सम पूर्णांक एकाशी संबंधित नाही. म्हणून, सर्व सम पूर्णांकांचा संच $E$ आणि सर्व विषम पूर्णांकांचा संच $O$ हे $\mathbf{Z}$ चे उपसंच आहेत जे पुढील अटी पूर्ण करतात:

(i) $E$ चे सर्व घटक एकमेकांशी संबंधित आहेत आणि $O$ चे सर्व घटक एकमेकांशी संबंधित आहेत.

(ii) $E$ चा कोणताही घटक $O$ च्या कोणत्याही घटकाशी संबंधित नाही आणि त्याउलट.

(iii) $E$ आणि $O$ हे विभाजित आहेत आणि $\mathbf{Z}=E \cup O$.

उपसंच $E$ ला शून्य असलेली तुल्यता वर्ग म्हटले जाते आणि ते [0] ने दर्शवले जाते. त्याचप्रमाणे, $O$ हा 1 असलेला तुल्यता वर्ग आहे आणि तो [1] ने दर्शवला जातो. लक्षात घ्या की $[0] \neq[1],[0]=[2 r]$ आणि $[1]=[2 r+1], r \in \mathbf{Z}$. खरं तर, वर आपण जे पाहिले ते संच $X$ मधील एक अनियंत्रित तुल्यता संबंध $R$ साठी खरे आहे. एका अनियंत्रित संच $X, R$ मध्ये एक अनियंत्रित तुल्यता संबंध $R$ दिल्यास $X$ ला परस्पर विभाजित उपसंच $A_{i}$ मध्ये विभागते ज्याला $X$ चे विभाजन किंवा उपविभाग म्हणतात जे पुढील गोष्टी पूर्ण करतात:

(i) $A_{i}$ चे सर्व घटक एकमेकांशी संबंधित आहेत, सर्व $i$ साठी.

(ii) $A_{i}$ चा कोणताही घटक $A_{j}, i \neq j$ च्या कोणत्याही घटकाशी संबंधित नाही.

(iii) $\cup A_{j}=X$ आणि $A_{i} \cap A_{j}=\phi, i \neq j$.

उपसंच $A_{i}$ ला तुल्यता वर्ग म्हणतात. परिस्थितीचा मनोरंजक भाग म्हणजे आपण उलटही जाऊ शकतो. उदाहरणार्थ, संच $\mathbf{Z}$ चे तीन परस्पर विभाजित उपसंच $A_{1}, A_{2}$ आणि $A_{3}$ द्वारे दिलेले विभाजन विचारात घ्या ज्यांचे एकत्रीकरण $\mathbf{Z}$ आहे

$$ \begin{aligned} & A_{1}=\{x \in \mathbf{Z}: x \text { is a multiple of } 3\}=\{\ldots,-6,-3,0,3,6, \ldots\} \\ & A_{2}=\{x \in \mathbf{Z}: x-1 \text { is a multiple of } 3\}=\{\ldots,-5,-2,1,4,7, \ldots\} \\ & A_{3}=\{x \in \mathbf{Z}: x-2 \text { is a multiple of } 3\}=\{\ldots,-4,-1,2,5,8, \ldots\} \end{aligned} $$

संच $\mathbf{Z}$ मध्ये एक संबंध $R$ व्याख्यित करा द्वारे दिलेला आहे $R=\{(a, b): 3$ विभाजित करतो $a-b\}$. उदाहरण 5 मध्ये वापरल्या गेलेल्या युक्तिवादांसारखेच युक्तिवाद अनुसरण करून, आपण दाखवू शकतो की $R$ हा एक तुल्यता संबंध आहे. तसेच, $A_{1}$ हा $\mathbf{Z}$ मधील सर्व पूर्णांकांच्या संचाशी एकरूप आहे जे शून्याशी संबंधित आहेत, $A_{2}$ हा सर्व पूर्णांकांच्या संचाशी एकरूप आहे जे 1 शी संबंधित आहेत आणि $A_{3}$ हा $\mathbf{Z}$ मधील सर्व पूर्णांकांच्या संचाशी एकरूप आहे जे 2 शी संबंधित आहेत. अशाप्रकारे, $A_{1}=[0], A_{2}=[1]$ आणि $A_{3}=[2]$. खरं तर, $A_{1}=[3 r], A_{2}=[3 r+1]$ आणि $A_{3}=[3 r+2]$, सर्व $r \in \mathbf{Z}$ साठी.

उदाहरण 6 संच $A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ मध्ये व्याख्यित केलेला संबंध $R$ असू द्या द्वारे दिलेला आहे R=$\{(a, b) :$ a आणि b दोन्ही एकतर विषम आहेत किंवा सम आहेत $\}$. दाखवा की $R$ हा एक तुल्यता संबंध आहे. पुढे, दाखवा की उपसंच $\{1,3,5,7\}$ चे सर्व घटक एकमेकांशी संबंधित आहेत आणि उपसंच $\{2,4,6\}$ चे सर्व घटक एकमेकांशी संबंधित आहेत, परंतु उपसंच $\{1,3,5,7\}$ चा कोणताही घटक उपसंच $\{2,4,6\}$ च्या कोणत्याही घटकाशी संबंधित नाही.

उकल A मधील कोणताही घटक $a$ दिल्यास, $a$ आणि $a$ दोन्ही एकतर विषम किंवा सम असणे आवश्यक आहे, जेणेकरून $(a, a) \in R$. पुढे, $(a, b) \in R \Rightarrow$ $a$ आणि $b$ दोन्ही एकतर विषम किंवा सम असणे आवश्यक आहे $\Rightarrow(b, a) \in R$. त्याचप्रमाणे, $(a, b) \in R$ आणि $(b, c) \in R \Rightarrow$ सर्व घटक $a, b, c$, एकाच वेळी एकतर सम किंवा विषम असणे आवश्यक आहे $\Rightarrow(a, c) \in R$. म्हणून, $R$ हा एक तुल्यता संबंध आहे. पुढे, $\{1,3,5,7\}$ चे सर्व घटक एकमेकांशी संबंधित आहेत, कारण या उपसंचातील सर्व घटक विषम आहेत. त्याचप्रमाणे, उपसंच $\{2,4,6\}$ चे सर्व घटक एकमेकांशी संबंधित आहेत, कारण ते सर्व सम आहेत. तसेच, उपसंच $\{1,3,5,7\}$ चा कोणताही घटक $\{2,4,6\}$ च्या कोणत्याही घटकाशी संबंधित होऊ शकत नाही, कारण $\{1,3,5,7\}$ चे घटक विषम आहेत, तर $\{2,4,6\}$ चे घटक सम आहेत.

१.३ फलनांचे प्रकार

इयत्ता अकरावी मध्ये फलनाची संकल्पना तसेच काही विशेष फलने जसे की तत्सम फलन, अचर फलन, बहुपदी फलन, परिमेय फलन, मापांक फलन, चिन्ह फलन इत्यादी त्यांच्या आलेखांसह देण्यात आली होती.

दोन फलनांची बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार आणि भागाकार देखील अभ्यासली गेली होती. गणितात आणि इतर विषयांमध्ये देखील फलनाची संकल्पना अत्यंत महत्त्वाची असल्यामुळे, आपण आधी समाप्त केलेल्या ठिकाणापासून फलनाबद्दलचा आपला अभ्यास वाढवू इच्छितो. या विभागात, आपण विविध प्रकारची फलने अभ्यासू इच्छितो.

खालील आकृत्यांद्वारे दिलेली फलने $f_{1}, f_{2}, f_{3}$ आणि $f_{4}$ विचारात घ्या.

आकृती 1.2 मध्ये, आपण पाहतो की $X_{1}$ च्या वेगवेगळ्या घटकांचे प्रतिबिंब फलन $f_{1}$ अंतर्गत वेगळे आहेत, परंतु $X_{1}$ च्या दोन वेगवेगळ्या घटक 1 आणि 2 चे प्रतिबिंब $f_{2}$ अंतर्गत समान आहे, म्हणजेच $b$. पुढे, $X_{2}$ मध्ये $e$ आणि $f$ सारखे काही घटक आहेत जे $X_{1}$ च्या कोणत्याही घटकाचे प्रतिबिंब $f_{1}$ अंतर्गत नाहीत, तर $X_{3}$ चे सर्व घटक $X_{1}$ च्या काही घटकांचे प्रतिबिंब $f_{3}$ अंतर्गत आहेत. वरील निरीक्षणे पुढील व्याख्यांकडे नेतात:

व्याख्या 5 $ A$ फलन $f: X \rightarrow Y$ एक-एक (किंवा एकैक) म्हणून व्याख्यित केले जाते, जर $X$ च्या वेगवेगळ्या घटकांचे प्रतिबिंब $f$ अंतर्गत वेगळे असतील, म्हणजेच, प्रत्येक $x_{1}, x_{2} \in X, f(x_{1})=f(x_{2})$ साठी $x_{1}=x_{2}$ सूचित करते. अन्यथा, $f$ ला अनेक-एक म्हटले जाते.

आकृती 1.2 (i) आणि (iv) मधील फलने $f_{1}$ आणि $f_{4}$ एक-एक आहेत आणि आकृती 1.2 (ii) आणि (iii) मधील फलने $f_{2}$ आणि $f_{3}$ अनेक-एक आहेत.

व्याख्या 6 एक फलन $f: X \rightarrow Y$ अंतःक्षेपी (किंवा आच्छादक) आहे असे म्हटले जाते, जर $Y$ चा प्रत्येक घटक $X$ च्या काही घटकाचे प्रतिबिंब $f$ अंतर्गत असेल, म्हणजेच, प्रत्येक $y \in Y$ साठी, $X$ मध्ये एक घटक $x$ अस्तित्वात आहे जसे की $f(x)=y$.

आकृती 1.2 (iii), (iv) मधील फलने $f_{3}$ आणि $f_{4}$ अंतःक्षेपी आहेत आणि आकृती 1.2 (i) मधील फलन $f_{1}$ अंतःक्षेपी नाही कारण $X_{2}$ मधील घटक $e, f$ हे $X_{1}$ मधील कोणत्याही घटकाचे प्रतिबिंब $f_{1}$ अंतर्गत नाहीत.

आकृती 1.2 (i) ते (iv)

टिप्पणी $f: X \rightarrow Y$ हे अंतःक्षेपी आहे जर आणि फक्त जर $f=Y$ चा परिसर.

व्याख्या 7 एक फलन $f: X \rightarrow Y$ एक-एक आणि अंतःक्षेपी (किंवा द्विभेदी) आहे असे म्हटले जाते, जर $f$ हे एक-एक आणि अंतःक्षेपी दोन्ही असेल.

आकृती 1.2 (iv) मधील फलन $f_{4}$ एक-एक आणि अंतःक्षेपी आहे.

उदाहरण 7 A हा एका शाळेतील इयत्ता $X$ च्या सर्व 50 विद्यार्थ्यांचा संच असू द्या. $f: A \rightarrow \mathbf{N}$ हे फलन $f(x)=$ द्वारे व्याख्यित करू द्या $x$ चा अनुक्रमांक. दाखवा की $f$ हे एक-एक आहे परंतु अंतःक्षेपी नाही.

उकल वर्गातील दोन वेगवेगळ्या विद्यार्थ्यांचा समान अनुक्रमांक असू शकत नाही. म्हणून, $f$ हे एक-एक असणे आवश्यक आहे. आपण कोणत्याही तोट्याशिवाय असे गृहीत धरू शकतो की विद्यार्थ्यांचे अनुक्रमांक 1 ते 50 पर्यंत आहेत. याचा अर्थ असा होतो की $\mathbf{N}$ मधील 51 हा वर्गातील कोणत्याही विद्यार्थ्याचा अनुक्रमांक नाही, जेणेकरून 51 हे $X$ च्या कोणत्याही घटकाचे प्रतिबिंब $f$ अंतर्गत असू शकत नाही. म्हणून, $f$ हे अंतःक्षेपी नाही.

उदाहरण 8 दाखवा की फलन $f: \mathbf{N}\rightarrow \mathbf{N}$, $f(x)=2 x$ द्वारे दिलेले, हे एक-एक आहे परंतु अंतःक्षेपी नाही.

उकल फलन $f$ हे एक-एक आहे, कारण $f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow 2 x_{1}=2 x_{2} \Rightarrow x_{1}=x_{2}$. पुढे, $f$ हे अंतःक्षेपी नाही, कारण $1 \in \mathbf{N}$ साठी, $\mathbf{N}$ मध्ये कोणताही $x$ अस्तित्वात नाही जसे की $f(x)=2 x=1$.

उदाहरण 9 सिद्ध करा की फलन $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, $f(x)=2 x$ द्वारे दिलेले, हे एक-एक आणि अंतःक्षेपी आहे. उकल $f$ हे एक-एक आहे, कारण $f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow 2 x_{1}=2 x_{2} \Rightarrow x_{1}=x_{2}$. तसेच, $R$ मधील कोणतीही वास्तव संख्या $y$ दिल्यास, $R$ मध्ये $\frac{y}{2}$ अस्तित्वात आहे जसे की $f(\frac{y}{2})=2 .(\frac{y}{2})=y$. म्हणून, $f$ हे अंतःक्षेपी आहे.

आकृती 1.3

उदाहरण 10 दाखवा की फलन $f: \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$, $f(1)=f(2)=1$ आणि $f(x)=x-1$ द्वारे दिलेले, प्रत्येक $x>2$ साठी, हे अंतःक्षेपी आहे परंतु एक-एक नाही.

उकल $f$ हे एक-एक नाही, कारण $f(1)=f(2)=1$. परंतु $f$ हे अंतःक्षेपी आहे, कारण कोणतेही $y \in \mathbf{N}, y \neq 1$ दिल्यास, आपण $x$ $y+1$ म्हणून निवडू शकतो जसे की $f(y+1)=y+1-1=y$. तसेच $1 \in \mathbf{N}$ साठी, आपल्याकडे $f(1)=1$ आहे.

उदाहरण 11 दाखवा की फलन $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$, $f(x)=x^{2}$ म्हणून व्याख्यित केलेले, हे ना एक-एक आहे आणि ना अंतःक्षेपी आहे.

उकल $f(-1)=1=f(1), f$ पासून हे एक-एक नाही. तसेच, सहप्रांत $\mathbf{R}$ मधील घटक -2 हा प्रांत $\mathbf{R}$ मधील कोणत्याही घटक $x$ चे प्रतिबिंब नाही (का?). म्हणून $f$ हे अंतःक्षेपी नाही.

**उदाहरण