गणित, सर्वसाधारणपणे, नमुन्यांचे आणि संबंधांचे मूलभूत विज्ञान आहे. — फेलिक्स क्लाइन

2.1 प्रस्तावना

प्रकरण 1 मध्ये, आपण अभ्यासले आहे की फलन $f$ चे प्रतिलोम, $f^{-1}$ ने दर्शविलेले, अस्तित्वात आहे जर $f$ एक-एक आणि आच्छादक असेल. अनेक फलने आहेत जी एक-एक, आच्छादक किंवा दोन्हीही नाहीत आणि म्हणून आपण त्यांच्या प्रतिलोमांबद्दल बोलू शकत नाही. इयत्ता 11 वी मध्ये, आपण अभ्यासले की त्रिकोणमितीय फलने त्यांच्या नैसर्गिक प्रदेश आणि परिसरांवर एक-एक आणि आच्छादक नाहीत आणि म्हणून त्यांचे प्रतिलोम अस्तित्वात नाहीत. या प्रकरणात, आपण त्रिकोणमितीय फलनांवरील प्रदेश आणि परिसरांवरील निर्बंधांचा अभ्यास करू जे त्यांच्या प्रतिलोमांचे अस्तित्व सुनिश्चित करतात आणि आलेखीय प्रतिनिधित्वाद्वारे त्यांचे वर्तन निरीक्षण करू. याशिवाय, काही प्राथमिक गुणधर्मांची देखील चर्चा केली जाईल. प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलने कलनामध्ये महत्त्वाची भूमिका बजावतात कारण ती अनेक समाकलनांची व्याख्या करण्यासाठी कामी येतात. प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनांच्या संकल्पना विज्ञान आणि अभियांत्रिकीमध्ये देखील वापरल्या जातात.

आर्यभट

($476-550$ इ.स.)

2.2 मूलभूत संकल्पना

इयत्ता 11 वी मध्ये, आपण त्रिकोणमितीय फलनांचा अभ्यास केला आहे, जी खालीलप्रमाणे परिभाषित केली आहेत:

साइन फलन, म्हणजे, साइन : $\mathbf{R} \rightarrow[-1,1]$

कोसाइन फलन, म्हणजे, $\cos : \mathbf{R} \rightarrow[-1,1]$

टॅन्जंट फलन, म्हणजे, $\tan : \mathbf{R}-\{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}$

कोटॅन्जंट फलन, म्हणजे, $\cot : \mathbf{R}-\{x: x=n \pi, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}$

सेकंट फलन, म्हणजे, सेक : $\mathbf{R}-\{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}-(-1,1)$

कोसेकंट फलन, म्हणजे, $cosec: \mathbf{R}-\{x: x=n \pi, n \in \mathbf{Z}\} \rightarrow \mathbf{R}-(-1,1)$

आपण प्रकरण 1 मध्ये हे देखील शिकलो आहेत की जर $f: X \rightarrow Y$ असे की $f(x)=y$ एक-एक आणि आच्छादक असेल, तर आपण एक अद्वितीय फलन $g: Y \rightarrow X$ परिभाषित करू शकतो जसे की $g(y)=x$, जेथे $x \in X$ आणि $y=f(x), y \in$ Y. येथे, $g=$ चा प्रदेश = $f$ चा परिसर आणि $g=$ चा परिसर = $f$ चा प्रदेश. फलन $g$ ला $f$ चे प्रतिलोम म्हणतात आणि $f^{-1}$ ने दर्शविले जाते. पुढे, $g$ देखील एक-एक आणि आच्छादक आहे आणि $g$ चे प्रतिलोम $f$ आहे. अशाप्रकारे, $g^{-1}=(f^{-1})^{-1}=f$. आपल्याकडे देखील आहे

आणि $$ (f^{-1} \circ f)(x)=f^{-1}(f(x))=f^{-1}(y)=x $$ $$ (f \circ f^{-1})(y)=f(f^{-1}(y))=f(x)=y $$

साइन फलनाचा प्रदेश सर्व वास्तव संख्यांचा संच असल्याने आणि परिसर हा संवृत्त अंतराल $[-1,1]$ आहे. जर आपण त्याचा प्रदेश $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ वर मर्यादित केला, तर ते एक-एक आणि आच्छादक बनते आणि परिसर $[-1,1]$ होतो. प्रत्यक्षात, साइन फलन कोणत्याही अंतरालांवर मर्यादित केले $[\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}], [\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}], [\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]$ इ., ते एक-एक आहे आणि त्याचा परिसर $[-1,1]$ आहे. म्हणून, आपण यापैकी प्रत्येक अंतरालात साइन फलनाचे प्रतिलोम परिभाषित करू शकतो. आपण साइन फलनाचे प्रतिलोम $\sin ^{-1}$ (आर्क साइन फलन) ने दर्शवतो. अशाप्रकारे, $\sin ^{-1}$ हे एक फलन आहे ज्याचा प्रदेश $[-1,1]$ आहे आणि परिसर $[\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}],[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ किंवा $[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]$, इत्यादीपैकी कोणताही अंतराल असू शकतो. अशा प्रत्येक अंतरालाशी संबंधित, आपल्याला $\sin ^{-1}$ फलनाची एक शाखा मिळते. $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ परिसर असलेल्या शाखेला मुख्य मूल्य शाखा म्हणतात, तर इतर अंतराल परिसर म्हणून $\sin ^{-1}$ च्या भिन्न शाखा देतात. जेव्हा आपण $\sin ^{-1}$ फलनाचा संदर्भ घेतो, तेव्हा आपण ते असे फलन म्हणून घेतो ज्याचा प्रदेश $[-1,1]$ आहे आणि परिसर $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ आहे. आपण लिहितो $\sin ^{-1}:[-1,1] \rightarrow[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$

प्रतिलोम फलनांच्या व्याख्येवरून असे दिसून येते की $\sin (\sin ^{-1} x)=x$ जर $-1 \leq x \leq 1$ आणि $\sin ^{-1}(\sin x)=x$ जर $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$. दुसऱ्या शब्दांत, जर $y=\sin ^{-1} x$, तर $\sin y=x$.

टिपा

(i) आपण प्रकरण 1 वरून जाणतो की, जर $y=f(x)$ हे एक व्यस्त फलन असेल, तर $x=f^{-1}(y)$. अशाप्रकारे, $\sin^{-1}$ फलनाचा आलेख मूळ फलनाच्या आलेखावरून $x$ आणि $y$ अक्षांची अदलाबदल करून मिळवता येतो, म्हणजे, जर $(a, b)$ हा साइन फलनाच्या आलेखावरील एक बिंदू असेल, तर $(b, a)$ हा साइन फलनाच्या प्रतिलोमाच्या आलेखावरील संबंधित बिंदू बनतो. अशाप्रकारे, $y=\sin ^{-1} x$ फलनाचा आलेख $y=\sin x$ च्या आलेखावरून $x$ आणि $y$ मूल्यांची अदलाबदल करून मिळवता येतो. $y=\sin x$ आणि $y=\sin ^{-1} x$ चे आलेख आकृती 2.1 (i), (ii), (iii) मध्ये दिले आहेत. $y=\sin ^{-1} x$ च्या आलेखाचा गडद भाग मुख्य मूल्य शाखेचे प्रतिनिधित्व करतो.

(ii) हे दाखवता येते की प्रतिलोम फलनाचा आलेख मूळ फलनाच्या संबंधित आलेखावरून रेषा $y=x$ बाजूने आरशाची प्रतिमा (म्हणजे, प्रतिबिंब) म्हणून मिळवता येतो. हे $y=\sin x$ आणि $y=\sin ^{-1} x$ चे आलेख समान अक्षांवर (आकृती 2.1 (iii)) पाहून कल्पना करता येते.

साइन फलनाप्रमाणे, कोसाइन फलन हे एक असे फलन आहे ज्याचा प्रदेश सर्व वास्तव संख्यांचा संच आहे आणि परिसर संच $[-1,1]$ आहे. जर आपण कोसाइन फलनाचा प्रदेश $[0, \pi]$ वर मर्यादित केला, तर ते एक-एक आणि आच्छादक बनते आणि परिसर $[-1,1]$ होतो. प्रत्यक्षात, कोसाइन फलन कोणत्याही अंतरालांवर मर्यादित केले $[-\pi, 0],[0, \pi],[\pi, 2 \pi]$ इ., ते द्विभाजक आहे आणि परिसर $[-1,1]$ आहे. म्हणून, आपण यापैकी प्रत्येक अंतरालात कोसाइन फलनाचे प्रतिलोम परिभाषित करू शकतो. आपण कोसाइन फलनाचे प्रतिलोम $\cos ^{-1}$ (आर्क कोसाइन फलन) ने दर्शवतो. अशाप्रकारे, $\cos ^{-1}$ हे एक फलन आहे ज्याचा प्रदेश $[-1,1]$ आहे आणि परिसर $[-\pi, 0],[0, \pi],[\pi, 2 \pi]$ इत्यादीपैकी कोणताही अंतराल असू शकतो. अशा प्रत्येक अंतरालाशी संबंधित, आपल्याला $\cos ^{-1}$ फलनाची एक शाखा मिळते. $[0, \pi]$ परिसर असलेल्या शाखेला $\cos ^{-1}$ फलनाची मुख्य मूल्य शाखा म्हणतात. आपण लिहितो

$$ \cos ^{-1}:[-1,1] \rightarrow[0, \pi] . $$

$y=\cos ^{-1} x$ द्वारे दिलेल्या फलनाचा आलेख $y=\sin ^{-1} x$ बद्दल चर्चा केल्याप्रमाणेच काढता येतो. $y=\sin x$ आणि $y=\cos ^{-1} x$ चे आलेख आकृती 2.2 (i) आणि (ii) मध्ये दिले आहेत.

आकृती. 2.2 (i)

आकृती 2.2 (ii)

आता आपण $\csc^{-1} x$ आणि $\sec^{-1} x$ ची खालीलप्रमाणे चर्चा करूया:

कारण, $cosec x=\frac{1}{\sin x}$, कोसेक फलनाचा प्रदेश संच $\{x: x \in \mathbf{R}$ आणि $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ आहे आणि परिसर संच $\{y: y \in \mathbf{R}, y \geq 1$ किंवा $y \leq -1\}$ आहे म्हणजेच संच $\mathbf{R}-(-1,1)$ आहे. याचा अर्थ $y=cosec x$ $-1<y<1$ वगळता सर्व वास्तव मूल्ये घेते आणि $\pi$ च्या पूर्णांक गुणाकारांसाठी परिभाषित नाही. जर आपण कोसेक फलनाचा प्रदेश $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-\{0\}$ वर मर्यादित केला, तर ते एक-एक आणि आच्छादक आहे आणि त्याचा परिसर संच $\mathbf{R}-(-1,1)$ आहे. प्रत्यक्षात, कोसेक फलन कोणत्याही अंतरालांवर मर्यादित केले $[\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}]-\{-\pi\},[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-\{0\}$, $[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]-\{\pi\}$ इ., ते द्विभाजक आहे आणि त्याचा परिसर सर्व वास्तव संख्यांचा संच $\mathbf{R}-(-1,1)$ आहे. अशाप्रकारे $cosec^{-1}$ हे एक फलन म्हणून परिभाषित केले जाऊ शकते ज्याचा प्रदेश $\mathbf{R}-(-1,1)$ आहे आणि परिसर $[-\frac{3 \pi}{2}, -\frac{\pi}{2}]-{-\pi}, [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-{0}, [\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}]-{\pi}$ इत्यादीपैकी कोणताही अंतराल असू शकतो. $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-{0}$ परिसराशी संबंधित फलनाला $cosec^{-1}$ ची मुख्य मूल्य शाखा म्हणतात. अशाप्रकारे आपल्याकडे मुख्य शाखा आहे

$$ cosec^{-1}: \mathbf{R}-(-1,1) \rightarrow[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-{0} $$

$y=\csc x$ आणि $y=\csc^{-1} x$ चे आलेख आकृती 2.3 (i), (ii) मध्ये दिले आहेत.

तसेच, कारण $\sec x=\frac{1}{\cos x}$, $y=\sec x$ चा प्रदेश संच $\mathbf{R}-\left{x: x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}\right}$, $n \in \mathbf{Z}$ आहे आणि परिसर संच $\mathbf{R}-(-1,1)$ आहे. याचा अर्थ सेक (सेकंट फलन) $-1<y<1$ वगळता सर्व वास्तव मूल्ये घेते आणि $\frac{\pi}{2}$ च्या विषम गुणाकारांसाठी परिभाषित नाही. जर आपण सेकंट फलनाचा प्रदेश $[0, \pi]-\left{\frac{\pi}{2}\right}$ वर मर्यादित केला, तर ते एक-एक आणि आच्छादक आहे आणि त्याचा परिसर संच $\mathbf{R}-(-1,1)$ आहे. प्रत्यक्षात, सेकंट फलन कोणत्याही अंतरालांवर मर्यादित केले $[-\pi, 0]-{\frac{-\pi}{2}},[0, \pi]-{\frac{\pi}{2}},[\pi, 2 \pi]-{\frac{3 \pi}{2}}$ इ., ते द्विभाजक आहे आणि त्याचा परिसर $\mathbf{R}-{-1,1}$ आहे. अशाप्रकारे $\sec ^{-1}$ हे एक फलन म्हणून परिभाषित केले जाऊ शकते ज्याचा प्रदेश $\mathbf{R}-(-1,1)$ आहे आणि परिसर $[-\pi, 0]-{\frac{-\pi}{2}},[0, \pi]-{\frac{\pi}{2}},[\pi, 2 \pi]-{\frac{3 \pi}{2}}$ इत्यादीपैकी कोणताही अंतराल असू शकतो. यापैकी प्रत्येक अंतरालाशी संबंधित, आपल्याला $sec^{-1}$ फलनाची भिन्न शाखा मिळते. $[0, \pi]-{\frac{\pi}{2}}$ परिसर असलेल्या शाखेला $sec^{-1}$ फलनाची मुख्य मूल्य शाखा म्हणतात. अशाप्रकारे आपल्याकडे आहे

$$ \sec ^{-1}: \mathbf{R}-(-1,1) \rightarrow[0, \pi]-\{\frac{\pi}{2}\} $$

$y=\sec x$ आणि $y=\sec^{-1} x$ फलनांचे आलेख आकृती 2.4 (i), (ii) मध्ये दिले आहेत.

शेवटी, आता आपण $\tan ^{-1}$ आणि $\cot ^{-1}$ ची चर्चा करू

आपल्याला माहित आहे की टॅन फलनाचा (टॅन्जंट फलन) प्रदेश संच $\{x: x \in \mathbf{R}, x \neq(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbf{Z}\}$ आहे आणि परिसर $\mathbf{R}$ आहे. याचा अर्थ फलन $\frac{\pi}{2}$ च्या विषम गुणाकारांसाठी परिभाषित नाही. जर आपण टॅन्जंट फलनाचा प्रदेश मर्यादित केला $(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, तर ते एक-एक आणि आच्छादक आहे आणि त्याचा परिसर $\mathbf{R}$ आहे. प्रत्यक्षात, टॅन्जंट फलन कोणत्याही अंतरालांवर मर्यादित केले $(\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}),(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}),(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2})$ इ., ते द्विभाजक आहे आणि त्याचा परिसर $\mathbf{R}$ आहे. अशाप्रकारे $\tan ^{-1}$ हे एक फलन म्हणून परिभाषित केले जाऊ शकते ज्याचा प्रदेश $\mathbf{R}$ आहे आणि परिसर $(\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}),(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}),(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2})$ इत्यादीपैकी कोणताही अंतराल असू शकतो. हे अंतराल $\tan ^{-1}$ फलनाच्या भिन्न शाखा देतात. $(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ परिसर असलेल्या शाखेला $\tan ^{-1}$ फलनाची मुख्य मूल्य शाखा म्हणतात. अशाप्रकारे आपल्याकडे आहे

$$ \tan ^{-1}: \mathbf{R} \rightarrow(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $$

$y=\tan x$ आणि $y=\arctan x$ फलनांचे आलेख आकृती 2.5 (i), (ii) मध्ये दिले आहेत.

आपल्याला माहित आहे की कॉट फलनाचा (कोटॅन्जंट फलन) प्रदेश संच $\{x: x \in \mathbf{R}$ आणि $x \neq n \pi, n \in \mathbf{Z}\}$ आहे आणि परिसर $\mathbf{R}$ आहे. याचा अर्थ कोटॅन्जंट फलन $\pi$ च्या पूर्णांक गुणाकारांसाठी परिभाषित नाही. जर आपण कोटॅन्जंट फलनाचा प्रदेश $(0, \pi)$ वर मर्यादित केला, तर ते द्विभाजक आहे आणि परिसर $\mathbf{R}$ आहे. खरं तर, कोटॅन्जंट फलन कोणत्याही अंतरालांवर मर्यादित केले $(-\pi, 0),(0, \pi),(\pi, 2 \pi)$ इ., ते द्विभाजक आहे आणि त्याचा परिसर $\mathbf{R}$ आहे. अशाप्रकारे $\cot ^{-1}$ हे एक फलन म्हणून परिभाषित केले जाऊ शकते ज्याचा प्रदेश $\mathbf{R}$ आहे आणि परिसर $(-\pi, 0),(0, \pi),(\pi, 2 \pi)$ इत्यादीपैकी कोणताही अंतराल आहे. हे अंतराल $\cot ^{-1}$ फलनाच्या भिन्न शाखा देतात. $(0, \pi)$ परिसर असलेल्या फलनाला $\cot ^{-1}$ फलनाची मुख्य मूल्य शाखा म्हणतात. अशाप्रकारे आपल्याकडे आहे

$$ \cot ^{-1}: \mathbf{R} \rightarrow(0, \pi) $$

$y=\cot x$ आणि $y=\cot^{-1} x$ चे आलेख आकृती 2.6 (i), (ii) मध्ये दिले आहेत.

खालील सारणी प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलने (मुख्य मूल्य शाखा) त्यांचे प्रदेश आणि परिसरांसह देते.

सूचना

1. $\sin ^{-1} x$ ची गोंधळ $(\sin x)^{-1}$ शी होऊ नये. प्रत्यक्षात $(\sin x)^{-1}=\frac{1}{\sin x}$ आणि इतर त्रिकोणमितीय फलनांसाठी समान.

2. जेव्हा प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनाची कोणतीही शाखा नमूद केली जात नाही, तेव्हा आपण त्या फलनाची मुख्य मूल्य शाखा समजतो.

3. प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनाचे जे मूल्य मुख्य शाखेच्या परिसरात येते त्याला त्या प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनाचे मुख्य मूल्य म्हणतात.

आता आपण काही उदाहरणे विचारात घेऊ:

उदाहरण 1 $\sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})$ चे मुख्य मूल्य शोधा.

उपाय $\sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})=y$ समजा. तर, $\sin y=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

आपल्याला माहित आहे की $\sin ^{-1}$ च्या मुख्य मूल्य शाखेचा परिसर $\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}$ आहे आणि $\sin (\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sqrt{2}}$. म्हणून, $\sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})$ चे मुख्य मूल्य $\frac{\pi}{4}$ आहे

उदाहरण 2 $\cot ^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})$ चे मुख्य मूल्य शोधा

उपाय $\cot ^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})=y$ समजा. तर,

$$ \cot y=\frac{-1}{\sqrt{3}}=-\cot (\frac{\pi}{3})=\cot (\pi-\frac{\pi}{3})=\cot (\frac{2 \pi}{3}) $$

आपल्याला माहित आहे की $\cot ^{-1}$ च्या मुख्य मूल्य शाखेचा परिसर $(0, \pi)$ आहे आणि $\cot (\frac{2 \pi}{3})=\frac{-1}{\sqrt{3}}$. म्हणून, $\cot ^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})$ चे मुख्य मूल्य $\frac{2 \pi}{3}$ आहे

2.3 प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनांचे गुणधर्म

या विभागात, आपण प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनांचे काही महत्त्वाचे गुणधर्म सिद्ध करू. येथे हे नमूद केले पाहिजे की हे परिणाम संबंधित प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनांच्या मुख्य मूल्य शाखांमध्ये आणि जेथे ते परिभाषित आहेत तेथे वैध आहेत. काही परिणाम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनांच्या प्रदेशांच्या सर्व मूल्यांसाठी वैध नसतील. प्रत्यक्षात, ते केवळ $x$ च्या काही मूल्यांसाठी वैध असतील ज्यासाठी प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलने परिभाषित आहेत. आपण प्रदेशातील $x$ च्या या मूल्यांच्या तपशिलात जाणार नाही कारण ही चर्चा या पाठ्यपुस्तकाच्या व्याप्तीबाहेर जाते.

आपण आठवूया की जर $y=\sin ^{-1} x$, तर $x=\sin y$ आणि जर $x=\sin y$, तर $y=\sin ^{-1} x$. हे समतुल्य आहे

$$ \sin (\sin ^{-1} x)=x, x \in[-1,1] \text { and } \sin ^{-1}(\sin x)=x, x \in[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $$

प्रदेशातील योग्य मूल्यांसाठी, उर्वरित त्रिकोणमितीय फलनांसाठी समान परिणाम अनुसरतात. आता आपण काही उदाहरणे विचारात घेऊ.

सिद्ध करा की

(i) $\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}})=2 \sin ^{-1} x,-\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

(ii) $\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}})=2 \cos ^{-1} x, 0 \leq x \leq 1$

उपाय

(i) $x=\sin \theta$ समजा. तर $\sin ^{-1} x=\theta$, $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ साठी. आपल्याकडे आहे

$$ \begin{alignedat} \sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}}) & =\sin ^{-1}(2 \sin \theta \sqrt{1-\sin ^{2} \theta}) \\ & =\sin ^{-1}(2 \sin \theta \cos \theta)=\sin ^{-1}(\sin 2 \theta)=2 \theta \quad \text{for } \theta \in \left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right] \\ & = 2 \sin^{-1} x \end{aligned} $$

(ii) $x=\cos \theta$ घ्या, तर वर प्रमाणे पुढे जाऊन, आपल्याला मिळेल, $\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}})=2 \cos ^{-1} x$

उदाहरण 4 $\tan ^{-1} \frac{\cos x}{1-\sin x},-\frac{3 \pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$ सर्वात सोप्या रूपात व्यक्त करा.

उपाय आपण लिहितो

$$ \begin{alignedat} \tan ^{-1}(\frac{\cos x}{1-\sin x}) & =\tan ^{-1}[\frac{\cos ^{2} \frac{x}{2}-\sin ^{2} \frac{x}{2}}{\cos ^{2} \frac{x}{2}+\sin ^{2} \frac{x}{2}-2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}] \\ & =\tan ^{-1}[\frac{(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2})(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2})}{(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2})^{2}}] \\ & =\tan ^{-1}[\frac{\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}]=\tan ^{-1}[\frac{1+\tan \frac{x}{2}}{1-\tan \frac{x}{2}}] \\ & =\tan ^{-1}[\tan (\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2})]=\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2} + n\pi \text{ for some integer } n \end{aligned} $$

उदाहरण 5 $\cot ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}), x>1$ सर्वात सोप्या रूपात लिहा.

उपाय $x=\sec \theta$ समजा, तर $\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{\sec ^{2} \theta-1}=\tan \theta$

म्हणून, $\cot ^{-1} \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}=\cot ^{-1}(\cot \theta)=\theta=\sec ^{-1} x$, जे सर्वात सोपे रूप आहे.

विविध उदाहरणे

उदाहरण 6 $\sin ^{-1}(\sin \frac{3 \pi}{5})$ चे मूल्य शोधा

आपल्याला माहित आहे की $\sin ^{-1}(\sin x)=x$. म्हणून, $\sin ^{-1}(\sin \frac{3 \pi}{5})=\frac{3 \pi}{5}$

परंतु $\quad \frac{3 \pi}{5} \notin[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, जी $\sin ^{-1} x$ ची मुख्य शाखा आहे

तथापि $\quad \sin (\frac{3 \pi}{5})=\sin (\pi-\frac{3 \pi}{5})=\sin \frac{2 \pi}{5}$ आणि $\frac{2 \pi}{5} \in[0, \frac{\pi}{2}]$

म्हणून $\quad \sin ^{-1}(\sin \frac{3 \pi}{5})=\sin ^{-1}(\sin \frac{2 \pi}{5})=\frac{2 \pi}{5}$

सारांश

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनांचे प्रदेश आणि परिसर (मुख्य मूल्य शाखा) खालील सारणीत दिले आहेत:

• $\sin ^{-1} x$ ची गोंधळ $(\sin x)^{-1}$ शी होऊ नये. प्रत्यक्षात $(\sin x)^{-1}=\frac{1}{\sin x}$ आणि इतर त्रिकोणमितीय फलनांसाठी समान.
• प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनाचे जे मूल्य त्याच्या मुख्य मूल्य शाखेत येते त्याला त्या प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनाचे मुख्य मूल्य म्हणतात.

किसी प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का वह मान, जो उसकी मुख्य कोण होता है, उसे मुख्य मान कहते हैं। $y=\sin ^{-1} x \Rightarrow x=\sin y$
$x=\sin y \Rightarrow y=\sin ^{-1} x$
$\sin (\sin ^{-1} x)=x$
$\sin ^{-1}(\sin x)=x$, $x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ साठी

ऐतिहासिक पार्श्वभूमी

त्रिकोणमितीचा अभ्यास प्रथम ग्रीसमध्ये सुरू झाला. प्राचीन भारतीय गणितज्ञ, आर्यभट (476 इ.स.), ब्रह्मगुप्त (598 इ.स.), भास्कर I (600 इ.स.) आणि भास्कर II (1114 इ.स.) यांनी त्रिकोणमितीचे महत्त्वाचे निकाल मिळवले. हे सर्व ज्ञान भारतातून अरबस्थानात गेले आणि नंतर तेथून युरोपात गेले. ग्रीक लोकांनी देखील त्रिकोणमितीचा अभ्यास सुरू केला होता परंतु त्यांची पद्धत इतकी अवघड होती की जेव्हा भारतीय पद्धत ज्ञात झाली, तेव्हा ती तत्काळ संपूर्ण जगात स्वीकारली गेली.

भारतात, आधुनिक त्रिकोणमितीय फलनांचे पूर्ववर्ती, कोनाची साइन म्हणून ओळखले जाणारे, आणि साइन फलनाचा परिचय हे सिद्धांत (संस्कृत खगोलशास्त्रीय ग्रंथ) यांचे गणितातील मुख्य योगदान आहे.

भास्कर I (सुमारे 600 इ.स.) यांनी $90^{\circ}$ पेक्षा जास्त कोनांसाठी साइन फलनांची मूल्ये शोधण्यासाठी सूत्रे दिली. सोळाव्या शतकातील मल्याळम ग्रंथ युक्तिभाषा मध्ये $\sin (A+B)$ च्या विस्तारासाठी पुरावा आहे. $18^{\circ}, 36^{\circ}, 54^{\circ}, 72^{\circ}$, इत्यादी कोनांच्या साइन किंवा कोसाइनसाठी अचूक अभिव्यक्ती भास्कर II यांनी दिल्या.

$\sin ^{-1} x, \cos ^{-3} x$, इत्यादी चिन्हे $arc \sin x, arc \cos x$, इत्यादीसाठी, खगोलशास्त्रज्ञ सर जॉन एफ.डब्ल्यू. हर्शेल (1813) यांनी सुचवली होती. थेल्स (सुमारे 600 इ.स.पू.) यांचे नाव नेहमीच उंची आणि अंतर समस्यांशी जोडले जाते. त्यांनी इजिप्तमधील एका मोठ्या पिरॅमिडची उंची पिरॅमिडच्या सावल्या आणि ज्ञात उंचीच्या सहाय्यक कर्मचाऱ्याच्या (किंवा ग्नोमोन) मोजमाप करून आणि गुणोत्तरांची तुलना करून निश्चित केल्याचे श्रेय दिले जाते:

$$ \frac{H}{S}=\frac{h}{S}=\tan \left( \text{sun’s altitude} \right) $$

थेल्सने समरूप त्रिकोणांच्या बाजूंच्या प्रमाणातपणाद्वारे समुद्रातील जहाजाचे अंतर देखील काढले असे म्हटले जाते. समरूपता गुणधर्म वापरून उंची आणि अंतरावरील समस्या प्राचीन भारतीय ग्रंथांमध्ये देखील आढळतात.