गणिताचे सार त्याच्या स्वातंत्र्यात आहे. - कँटर

3.1 प्रस्तावना

गणिताच्या विविध शाखांमध्ये सारण्यांचे ज्ञान आवश्यक आहे. सारण्या हे गणितातील सर्वात शक्तिशाली साधनांपैकी एक आहेत. इतर सरळ पद्धतींच्या तुलनेत हे गणिती साधन आपले कार्य मोठ्या प्रमाणात सोपे करते. रेषीय समीकरणांची प्रणाली सोडवण्याच्या संक्षिप्त आणि सोप्या पद्धती मिळवण्याच्या प्रयत्नातून सारणी संकल्पनेचा विकास झाला आहे. सारण्यांचा उपयोग केवळ रेषीय समीकरणांच्या प्रणालीतील गुणांकांचे प्रतिनिधित्व करण्यासाठीच नाही, तर त्यांची उपयुक्तता त्या वापरापेक्षा खूपच जास्त आहे. वैयक्तिक संगणकासाठी इलेक्ट्रॉनिक स्प्रेडशीट प्रोग्राममध्ये सारणी संकेतन आणि क्रिया वापरल्या जातात, ज्याचा वापर बजेटिंग, विक्री प्रक्षेपण, खर्च अंदाज, प्रयोगाच्या निकालांचे विश्लेषण इत्यादी व्यवसाय आणि विज्ञानाच्या विविध क्षेत्रांमध्ये केला जातो. तसेच, भौतिक क्रिया जसे की विस्तार, परिवलन आणि समतलातून प्रतिबिंब हे गणितीयदृष्ट्या सारण्यांद्वारे दर्शविले जाऊ शकते. सारण्यांचा उपयोग गुप्तलेखनातही केला जातो. हे गणिती साधन केवळ विज्ञानाच्या काही शाखांमध्येच नाही तर आनुवंशिकता, अर्थशास्त्र, समाजशास्त्र, आधुनिक मानसशास्त्र आणि औद्योगिक व्यवस्थापनातही वापरले जाते.

या प्रकरणात, आपल्याला सारणी आणि सारणी बीजगणिताच्या मूलभूत गोष्टींशी परिचित होणे मनोरंजक वाटेल.

3.2 सारणी

समजा आपल्याला राधाकडे 15 नोटबुक आहेत ही माहिती व्यक्त करायची आहे. आपण ती [15] अशी व्यक्त करू शकतो, या आशयाने की [ ] मधील संख्या राधाकडे असलेल्या नोटबुकची संख्या आहे. आता, जर आपल्याला हे व्यक्त करायचे असेल की राधाकडे 15 नोटबुक आणि 6 पेन आहेत. आपण ते $\begin{bmatrix}15 & 6\end{bmatrix}$ अशी व्यक्त करू शकतो, या आशयाने की [ ] मधील पहिली संख्या नोटबुकची संख्या आहे तर दुसरी संख्या राधाकडे असलेल्या पेनची संख्या आहे. आता समजा आपल्याला राधा आणि तिच्या दोन मैत्रिणी फौजिया आणि सिमरन यांच्याकडील नोटबुक आणि पेनच्या ताब्याची माहिती खालीलप्रमाणे व्यक्त करायची आहे:

$$ \begin{array}{llllll} \text { Radha } & \text { has } & 15 & \text { notebooks } & \text { and } & 6 \text { pens, } \\ \text { Fauzia } & \text { has } & 10 & \text { notebooks } & \text { and } & 2 \text { pens, } \\ \text { Simran } & \text { has } & 13 & \text { notebooks } & \text { and } & 5 \text { pens. } \end{array} $$

आता हे खालील सारणीच्या रूपात मांडता येईल:

$$ \begin{array}{lcc} & \text { Notebooks } & \text { Pens } \\ \text { Radha } & 15 & 6 \\ \text { Fauzia } & 10 & 2 \\ \text { Simran } & 13 & 5 \end{array} $$

किंवा

जे खालीलप्रमाणे व्यक्त केले जाऊ शकते:

पहिल्या मांडणीमध्ये पहिल्या स्तंभातील नोंदी अनुक्रमे राधा, फौजिया आणि सिमरन यांच्याकडील नोटबुकची संख्या दर्शवतात आणि दुसऱ्या स्तंभातील नोंदी अनुक्रमे राधा, फौजिया आणि सिमरन यांच्याकडील पेनची संख्या दर्शवतात. त्याचप्रमाणे, दुसऱ्या मांडणीमध्ये, पहिल्या पंक्तीतील नोंदी अनुक्रमे राधा, फौजिया आणि सिमरन यांच्याकडील नोटबुकची संख्या दर्शवतात. दुसऱ्या पंक्तीतील नोंदी अनुक्रमे राधा, फौजिया आणि सिमरन यांच्याकडील पेनची संख्या दर्शवतात. वरील प्रकारची मांडणी किंवा प्रदर्शन याला सारणी म्हणतात. औपचारिकपणे, आपण सारणीची व्याख्या खालीलप्रमाणे करतो:

व्याख्या 1 संख्या किंवा फलनांच्या क्रमबद्ध आयताकृती सारणीस सारणी म्हणतात. संख्या किंवा फलनांना सारणीचे घटक किंवा नोंदी म्हणतात.

आपण सारण्या दर्शवण्यासाठी कॅपिटल अक्षरे वापरतो. खालील काही सारण्यांची उदाहरणे आहेत:

$$ A=\begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 0 & \sqrt{5} \\ 3 & 6 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 2+i & 3 & -\frac{1}{2} \\ 3.5 & -1 & 2 \\ \sqrt{3} & 5 & \frac{5}{7} \end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix} 1+x & x^{3} & 3 \\ \cos x & \sin x+2 & \tan x \end{bmatrix} $$

वरील उदाहरणांमध्ये, घटकांच्या आडव्या रेषांना सारणीच्या पंक्ती आणि घटकांच्या उभ्या रेषांना सारणीचे स्तंभ असे म्हणतात. अशाप्रकारे $A$ मध्ये 3 पंक्ती आणि 2 स्तंभ आहेत, $B$ मध्ये 3 पंक्ती आणि 3 स्तंभ आहेत तर $C$ मध्ये 2 पंक्ती आणि 3 स्तंभ आहेत.

3.2.1 सारणीची कोटी

$m$ पंक्ती आणि $n$ स्तंभ असलेल्या सारणीस $m \times n$ कोटीची सारणी किंवा फक्त $m \times n$ सारणी म्हणतात ($m$ ने $n$ सारणी म्हणून वाचा). त्यामुळे वरील सारण्यांच्या उदाहरणांचा संदर्भ देताना, आपल्याकडे $A$ ही $3 \times 2$ सारणी, $B$ ही $3 \times 3$ सारणी आणि $C$ ही $2 \times 3$ सारणी आहे. आपण पाहतो की $A$ मध्ये $3 \times 2=6$ घटक आहेत, $B$ आणि $C$ मध्ये अनुक्रमे 9 आणि 6 घटक आहेत.

सर्वसाधारणपणे, $m \times n$ सारणीची खालील आयताकृती सारणी असते:

$ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & a_{i3} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} _{m \times n} $

किंवा $ A=[a_{i j}]_{m \times n}, 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n \quad i, j \in N $

अशाप्रकारे $i^{\text {th }}$ पंक्तीमध्ये $a_{i 1}, a_{i 2}, a_{i 3}, \ldots, a_{i n}$ घटक असतात, तर $j^{\text {th }}$ स्तंभामध्ये $a_{1 j}, a_{2 j}, a_{3 j}, \ldots, a_{m j}$ घटक असतात,

सर्वसाधारणपणे $a_{i j}$, हा $i^{\text {th }}$ पंक्ती आणि $j^{\text {th }}$ स्तंभात असलेला घटक आहे. आपण त्याला $(i, j)^{\text {th }}$ चा $A$ घटक असेही म्हणू शकतो. $m \times n$ सारणीतील घटकांची संख्या $m n$ इतकी असेल.

टीप या प्रकरणात

1. आपण $A=[a_{i j}]_{m \times n}$ हे संकेतन वापरू, ज्याचा अर्थ $A$ ही $m \times n$ कोटीची सारणी आहे.

2. आपण केवळ त्या सारण्यांचाच विचार करू ज्यांचे घटक वास्तव संख्या आहेत किंवा वास्तव मूल्ये घेणारी फलने आहेत.

आपण समतलातील कोणताही बिंदू $(x, y)$ सारणी (स्तंभ किंवा पंक्ती) म्हणून $\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}$ (किंवा $.[x, y]$) असे दर्शवू शकतो. उदाहरणार्थ बिंदू $P(0,1)$ चे सारणी प्रतिनिधित्व खालीलप्रमाणे दिले जाऊ शकते

$$ \mathbf{P}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \text { or }\begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} $$

लक्षात घ्या की या प्रकारे आपण बंद सरळ रेषीय आकृतीचे शिरोबिंदू सारणीच्या रूपात व्यक्त करू शकतो. उदाहरणार्थ, शिरोबिंदू A $(1,0), B(3,2), C(1,3), D(-1,2)$ असलेला चौकोन $A B C D$ विचारात घ्या.

आता, सारणी रूपातील चौकोन $ABCD$ खालीलप्रमाणे दर्शविला जाऊ शकतो

अशाप्रकारे, समतलातील भूमितीय आकृत्यांचे शिरोबिंदू दर्शवण्यासाठी सारण्यांचा वापर केला जाऊ शकतो.

आता, काही उदाहरणे विचारात घेऊ.

उदाहरण 1 कारखाना I, II आणि III मधील पुरुष आणि महिला कामगारांच्या संख्येसंबंधी खालील माहिती विचारात घ्या

वरील माहिती $3 \times 2$ सारणीच्या रूपात दर्शवा. तिसऱ्या पंक्ती आणि दुसऱ्या स्तंभातील नोंद काय दर्शवते?

उकल माहिती $3 \times 2$ सारणीच्या रूपात खालीलप्रमाणे दर्शविली आहे:

$$ A=\begin{bmatrix} 30 & 25 \\ 25 & 31 \\ 27 & 26 \end{bmatrix} $$

तिसऱ्या पंक्ती आणि दुसऱ्या स्तंभातील नोंद कारखाना III मधील महिला कामगारांची संख्या दर्शवते.

उदाहरण 2 जर एखाद्या सारणीमध्ये 8 घटक असतील, तर तिच्या शक्य कोटी काय असू शकतात?

उकल आपल्याला माहित आहे की जर सारणी $m \times n$ कोटीची असेल, तर तिला $m n$ घटक असतात. त्यामुळे, 8 घटक असलेल्या सारणीच्या सर्व शक्य कोटी शोधण्यासाठी, आपण नैसर्गिक संख्यांच्या सर्व क्रमबद्ध जोड्या शोधू ज्यांचा गुणाकार 8 आहे.

अशाप्रकारे, सर्व शक्य क्रमबद्ध जोड्या $(1,8),(8,1),(4,2),(2,4)$ आहेत म्हणून, शक्य कोटी $1 \times 8,8 \times 1,4 \times 2,2 \times 4$ आहेत

उदाहरण 3 $3 \times 2$ सारणी तयार करा जिचे घटक $a_{i j}=\frac{1}{2}|i-3 j|$ दिले आहेत.

उकल सर्वसाधारणपणे $3 \times 2$ सारणी $A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{bmatrix}$ द्वारे दिली जाते.

आता $\quad$ $a_{i j}=\frac{1}{2}|i-3 j|, i=1,2,3 \text { and } j=1,2$

म्हणून $\quad a_{11}=\frac{1}{2}|1-3 \times 1|=1 \quad a_{12}=\frac{1}{2}|1-3 \times 2|=\frac{5}{2}$

$$ \begin{matrix} a_{21}= \frac{1}{2}|2-3 \times 1|=\frac{1}{2} & a_{22}=\frac{1}{2}|2-3 \times 2|=2 \\ \\ a_{31} =\frac{1}{2}|3-3 \times 1|=0 & a_{32} =\frac{1}{2}|3-3 \times 2|=\frac{3}{2} \end{matrix} $$

म्हणून आवश्यक सारणी $A=\begin{bmatrix}1 & \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} & 2 \\ 0 & \frac{3}{2}\end{bmatrix}$ द्वारे दिली आहे.

3.3 सारण्यांचे प्रकार

या विभागात, आपण विविध प्रकारच्या सारण्यांची चर्चा करू.

(i) स्तंभ सारणी

जर एखाद्या सारणीमध्ये फक्त एक स्तंभ असेल तर तिला स्तंभ सारणी म्हणतात.

उदाहरणार्थ, $A=\begin{bmatrix}{c}0 \\ \sqrt{3} \\ -1 \\ 1 / 2\end{bmatrix}$ ही $4 \times 1$ कोटीची स्तंभ सारणी आहे.

सर्वसाधारणपणे, $A=[a_{i j}]_{m \times 1}$ ही $m \times 1$ कोटीची स्तंभ सारणी आहे.

(ii) पंक्ती सारणी

जर एखाद्या सारणीमध्ये फक्त एक पंक्ती असेल तर तिला पंक्ती सारणी म्हणतात.

उदाहरणार्थ, $B=[\begin{bmatrix}-\frac{1}{2} & \sqrt{5} & 2 & 3\end{bmatrix}]_{1 \times 4}$ ही पंक्ती सारणी आहे.

सर्वसाधारणपणे, $B=[b_{i j}]_{1 \times n}$ ही $1 \times n$ कोटीची पंक्ती सारणी आहे.

(iii) वर्ग सारणी

ज्या सारणीमध्ये पंक्तींची संख्या स्तंभांच्या संख्येइतकी असते, तिला वर्ग सारणी म्हणतात. अशाप्रकारे $m \times n$ सारणीला वर्ग सारणी म्हटले जाते जर $m=n$ आणि ती ‘$n$’ कोटीची वर्ग सारणी म्हणून ओळखली जाते.

उदाहरणार्थ $A=\begin{bmatrix}3 & -1 & 0 \\ \frac{3}{2} & 3 \sqrt{2} & 1 \\ 4 & 3 & -1\end{bmatrix}$ ही 3 कोटीची वर्ग सारणी आहे.

सर्वसाधारणपणे, $A=[a_{i j}]_{m \times m}$ ही $m$ कोटीची वर्ग सारणी आहे.

टीप जर $A=[a_{i j}]$ ही $n$ कोटीची वर्ग सारणी असेल, तर घटक (नोंदी) $a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{n n}$

यांना सारणी A चा कर्ण म्हणतात. अशाप्रकारे, जर $A=\begin{bmatrix}1 & -3 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \\ 3 & 5 & 6\end{bmatrix}$.

तर A च्या कर्णाचे घटक 1, 4, 6 आहेत.

(iv) विकर्ण सारणी

चौरस सारणी $B=[b_{ij}]_ {m\times m} $ ला विकर्ण सारणी म्हटले जाते जर तिचे सर्व अविकर्ण घटक शून्य असतील, म्हणजेच सारणी $B=[b_{ij}]_ {m\times m} $ ला विकर्ण सारणी म्हटले जाते जर $b_{i j}=0$, जेव्हा $i \neq j$.

उदाहरणार्थ, $A=[4], B=\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix}-1.1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}$, अनुक्रमे 1,2,3 कोटीच्या विकर्ण सारण्या आहेत.

(v) अदिश सारणी

विकर्ण सारणीला अदिश सारणी म्हटले जाते जर तिचे विकर्ण घटक समान असतील, म्हणजेच, चौरस सारणी $B=[b_{i j}]_{n \times n}$ ला अदिश सारणी म्हटले जाते जर

$$ \begin{aligned} & b_{i j}=0, \quad \text { when } i \neq j \\ & b_{i j}=k, \quad \text { when } i=j, \text { for some constant } k . \end{aligned} $$

उदाहरणार्थ $A=[3], \quad B=[\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}], \quad C=\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{3}\end{bmatrix}$

अनुक्रमे 1,2 आणि 3 कोटीच्या अदिश सारण्या आहेत.

(vi) तत्समक सारणी

ज्या चौरस सारणीमध्ये कर्णातील घटक सर्व 1 असतात आणि उर्वरित सर्व शून्य असतात तिला तत्समक सारणी म्हणतात. दुसऱ्या शब्दांत, चौरस सारणी $A=[a_{i j}]_{n \times n}$ ही

तत्समक सारणी आहे, जर $a_{ij}=\begin{cases}1 & \text { if } & i=j \\ 0 & \text { if } & i \neq j\end{cases}.$.

आपण $n$ कोटीची तत्समक सारणी $I_{n}$ द्वारे दर्शवतो. जेव्हा कोटी संदर्भातून स्पष्ट होते, तेव्हा आपण ती फक्त I अशी लिहितो.

उदाहरणार्थ [1], $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}\sqrt 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt 3\end{bmatrix}$ अनुक्रमे 1, 2 आणि 3 कोटीच्या तत्समक सारण्या आहेत.

लक्षात घ्या की अदिश सारणी ही तत्समक सारणी असते जेव्हा $k=1$. परंतु प्रत्येक तत्समक सारणी स्पष्टपणे अदिश सारणी असते.

(vii) शून्य सारणी

ज्या सारणीचे सर्व घटक शून्य असतात तिला शून्य सारणी किंवा रिक्त सारणी म्हणतात.

उदाहरणार्थ, $[0],\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix},[0,0]$ सर्व शून्य सारण्या आहेत. आपण शून्य सारणी $O$ द्वारे दर्शवतो. तिची कोटी संदर्भातून स्पष्ट होईल.

3.3.1 सारण्यांची समानता

व्याख्या 2 दोन सारण्या $A=[a_{i j}]$ आणि $B=[b_{i j}]$ समान आहेत असे म्हटले जाते जर

(i) त्या समान कोटीच्या असतील

(ii) $A$ चा प्रत्येक घटक $B$ च्या संबंधित घटकाइतका असेल, म्हणजेच $a_{i j}=b_{i j}$ सर्व $i$ आणि $j$ साठी.

उदाहरणार्थ, $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ आणि $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ समान सारण्या आहेत परंतु $\begin{bmatrix}3 & 2 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ आणि $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ समान सारण्या नाहीत. चिन्हात्मकपणे, जर दोन सारण्या $A$ आणि $B$ समान असतील, तर आपण $A=B$ असे लिहितो.

$ \text { जर }\begin{bmatrix} x & y \\ z & a \\ b & c \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1.5 & 0 \\ 2 & \sqrt{6} \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \text {, तर }$ $x=-1.5, y=0, z=2, a=\sqrt{6}, b=3, c=2 $

उदाहरण 4 जर $\begin{bmatrix}x+3 & z+4 & 2 y-7 \\ -6 & a-1 & 0 \\ b-3 & -21 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 6 & 3 y-2 \\ -6 & -3 & 2 c+2 \\ 2 b+4 & -21 & 0\end{bmatrix}$

$a, b, c, x, y$ आणि $z$ ची मूल्ये शोधा.

उकल दिलेल्या सारण्या समान असल्यामुळे, त्यांचे संबंधित घटक समान असणे आवश्यक आहे. संबंधित घटकांची तुलना करून, आपल्याला मिळते

$$ \begin{aligned} & x+3=0, \\ & z+4=6 \\ & 2 y-7=3 y-2 \\ & a-1=-3, \\ & 0=2 c+2 \\ & b-3=2 b+4 \text {, } \end{aligned} $$

सोपे करून, आपल्याला मिळते

$$ a=-2, b=-7, c=-1, x=-3, y=-5, z=2 $$

उदाहरण 5 खालील समीकरणावरून $a, b, c$, आणि $d$ ची मूल्ये शोधा:

$$ \begin{bmatrix} 2 a+b & a-2 b \\ 5 c-d & 4 c+3 d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 11 & 24 \end{bmatrix} $$

उकल दोन सारण्यांच्या समानतेनुसार, संबंधित घटकांची बरोबरी करून, आपल्याला मिळते

$$ \begin{bmatrix} 2 a+b & =4 & 5 c-d & =11 \\ a-2 b & =-3 & 4 c+3 d & =24 \end{bmatrix} $$

ही समीकरणे सोडवून, आपल्याला मिळते

$$ a=1, b=2, c=3 \text { and } d=4 $$

3.4 सारण्यांवरील क्रिया

या विभागात, आपण सारण्यांवर काही क्रिया सादर करू, म्हणजे, सारण्यांची बेरीज, सारणीचा अदिशाने गुणाकार, सारण्यांची वजाबाकी आणि गुणाकार.

3.4.1 सारण्यांची बेरीज

समजा फातिमाकडे A आणि B ठिकाणी दोन कारखाने आहेत. प्रत्येक कारखाना मुला आणि मुलींसाठी 1,2 आणि 3 अशा तीन वेगवेगळ्या किंमत श्रेणींमध्ये स्पोर्ट शूज तयार करतो. प्रत्येक कारखान्याने तयार केलेल्या प्रमाणांचे प्रतिनिधित्व खालीलप्रमाणे सारण्यांमध्ये केले आहे:

समजा फातिमाला प्रत्येक किंमत श्रेणीतील स्पोर्ट शूजचे एकूण उत्पादन जाणून घ्यायचे आहे. तर एकूण उत्पादन

श्रेणी 1 मध्ये : मुलांसाठी $(80+90)$, मुलींसाठी $(60+50)$

श्रेणी 2 मध्ये : मुलांसाठी $(75+70)$, मुलींसाठी $(65+55)$

श्रेणी 3 मध्ये : मुलांसाठी $(90+75)$, मुलींसाठी $(85+75)$

हे सारणी रूपात खालीलप्रमाणे दर्शविले जाऊ शकते

$\begin{bmatrix}80+90 & 60+50 \\ 75+70 & 65+55 \\ 90+75 & 85+75\end{bmatrix}$.

ही नवीन सारणी वरील दोन सारण्यांची बेरीज आहे. आपण पाहतो की दोन सारण्यांची बेरीज म्हणजे दिलेल्या सारण्यांचे संबंधित घटक जोडून मिळणारी सारणी. शिवाय, दोन्ही सारण्यांची कोटी समान असणे आवश्यक आहे.

अशाप्रकारे, जर $A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\end{bmatrix}$ ही $2 \times 3$ सारणी असेल आणि $B=\begin{bmatrix}b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23}\end{bmatrix}$ ही दुसरी

$2 \times 3$ सारणी असेल. तर, आपण $A+B=\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23}\end{bmatrix}$ व्याख्या करतो.

सर्वसाधारणपणे, जर $A=[a_{i j}]$ आणि $B=[b_{i j}]$ ह्या समान कोटीच्या दोन सारण्या असतील, म्हणा $m \times n$. तर, दोन सारण्या A आणि B ची बेरीज ही $= [c _{ij}] _{m \times n} $ सारणी म्हणून परिभाषित केली जाते, जिथे $ c _{i j} = a _{ij} + b _{ij} $, i आणि j च्या सर्व शक्य मूल्यांसाठी.

उदाहरण 6 दिलेले $A=\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 0\end{bmatrix}$ आणि $B=\begin{bmatrix}2 & \sqrt{5} & 1 \\ -2 & 3 & \frac{1}{2}\end{bmatrix}$, तर $A+B$ शोधा

A, B ह्या समान कोटीच्या $2 \times 3$ असल्यामुळे. त्यामुळे, A आणि B ची बेरीज परिभाषित आहे आणि ती खालीलप्रमाणे दिली आहे

$$ A+B=\begin{bmatrix} 2+\sqrt{3} & 1+\sqrt{5} & 1-1 \\ 2-2 & 3+3 & 0+\frac{1}{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2+\sqrt{3} & 1+\sqrt{5} & 0 \\ 0 & 6 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} $$

टीप

1. आपण यावर भर देतो की जर A आणि B समान कोटीच्या नसतील, तर A + B परिभाषित नाही. उदाहरणार्थ जर $A=\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 1 & 0\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1\end{bmatrix}$, तर $A+B$ परिभाषित नाही.

2. आपण पाहू शकतो की सारण्यांची बेरीज हे समान कोटीच्या सारण्यांच्या संचावरील द्विपद क्रियेचे उदाहरण आहे.

3.4.2 सारणीचा अदिशाने गुणाकार

आता समजा की फातिमाने सर्व श्रेणींमध्ये कारखाना A वरील उत्पादन दुप्पट केले आहे (3.4.1 पहा).

पूर्वी कारखाना A द्वारे तयार केलेली प्रमाणे (मानक एककांमध्ये) होती

कारखाना $A$ द्वारे तयार केलेली सुधारित प्रमाणे खालीलप्रमाणे आहेत:

हे सारणी रूपात $\begin{bmatrix}160 & 120 \\ 150 & 130 \\ 180 & 170\end{bmatrix}$ असे दर्शविले जाऊ शकते. आपण पाहतो की

नवीन सारणी मागील सारणीच्या प्रत्येक घटकाला 2 ने गुणून मिळवली आहे.

सर्वसाधारणपणे, आपण सारणीचा अदिशाने गुणाकार खालीलप्रमाणे परिभाषित करू शकतो: जर $ A=[a_{ij}]_{m\times n} $ ही सारणी असेल आणि k हा अदिश असेल, तर k A ही दुसरी सारणी आहे जी A च्या प्रत्येक घटकाला अदिश k ने गुणून मिळवली जाते.

दुसऱ्या शब्दांत, $ kA = k[a_{ij}]_ {m\times n} $ $ =[k(a _{ij})] _{m\times n} $ म्हणजेच, kA चा $ (i,j)^{th} $ घटक $ka _ {ij} $ आहे i आणि j च्या सर्व शक्य मूल्यांसाठी

उदाहरणार्थ, जर $A=\begin{bmatrix}3 & 1 & 1.5 \\ \sqrt{5} & 7 & -3 \\ 2 & 0 & 5\end{bmatrix}$, तर

$$ 3 A=3[\begin{bmatrix} 3 & 1 & 1.5 \\ \sqrt{5} & 7 & -3 \\ 2 & 0 & 5 \end{bmatrix}]=[\begin{bmatrix} 9 & 3 & 4.5 \\ 3 \sqrt{5} & 21 & -9 \\ 6 & 0 & 15 \end{bmatrix}] $$

सारणीचा ऋणात्मक सारणीचा ऋणात्मक $-A$ द्वारे दर्शविला जातो. आपण $-A=(-1) A$ व्याख्या करतो. उदाहरणार्थ, समजा $$ \begin{aligned} A & =\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -5 & x \end{bmatrix}, \text { then }-A \text { is given by } \\ -A & =(-1) A=(-1)\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -5 & x \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -3 & -1 \\ 5 & -x \end{bmatrix} \end{aligned} $$

सारण्यांची वजाबाकी जर $A=[a_{i j}], B=[b_{i j}]$ ह्या समान कोटीच्या दोन सारण्या असतील, म्हणा $m \times n$, तर वजाबाकी $A-B$ ही $D=[d_{i j}]$ सारणी म्हणून परिभाषित केली जाते,

जिथे $d_{i j}=a_{i j}-b_{i j}$, $i$ आणि $j$ च्या सर्व मूल्यांसाठी. दुसऱ्या शब्दांत, $D=A-B=A+(-1) B$, म्हणजेच सारणी $A$ आणि सारणी - B ची बेरीज.

उदाहरण 7 जर $A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1\end{bmatrix}$ आणि $B=\begin{bmatrix}3 & -1 & 3 \\ -1 & 0 & 2\end{bmatrix}$, तर $2 A-B$ शोधा.

उकल आपल्याकडे आहे

$$ \begin{aligned} & 2 A-B=2 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 3 & -1 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \end{bmatrix} \\ & =\begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 6 & 2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -3 & 1 & -3 \\ 1 & 0 & -2 \end{bmatrix} \\ & \begin{bmatrix} 2-3 & 4+1 & 6-3 \\ 4+1 & 6+0 & 2-2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 5 & 3 \\ 5 & 6 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} $$

3.4.3 सारणी बेरीजचे गुणधर्म

सारण्यांच्या बेरजेमध्ये खालील गुणधर्म आहेत:

(i) क्रमविनिमेय नियम जर $A=[a_{i j}], B=[b_{i j}]$ ह्या समान कोटीच्या सारण्या असतील, म्हणा $m \times n$, तर $A+B=B+A$.

आता $$ \begin{aligned} A+B & =[a_{i j}]+[b_{i j}]=[a_{i j}+b_{i j}] \\ & =[b_{i j}+a_{i j}] \text { (addition of numbers is commutative) } \\ & =([b_{i j}]+[a_{i j}])=B+A \end{aligned} $$

(ii) साहचर्य नियम समान कोटीच्या कोणत्याही तीन सारण्या $A=[a_{i j}], B=[b_{i j}], C=[c_{i j}]$ साठी, म्हणा $m \times n,(A+B)+C=A+(B+C)$.

आता $$ \begin{aligned} (A+B)+C & =([a_{i j}]+[b_{i j}])+[c_{i j}] \\ & =[a_{i j}+b_{i j}]+[c_{i j}]=[(a_{i j}+b_{i j})+c_{i j}] \\ & =[a_{i j}+(b_{i j}+c_{i j})] \quad(\text { Why? }) \\ & =[a_{i j}]+[(b_{i j}+c_{i j})]=[a_{i j}]+([b_{i j}]+[c_{i j}])=A+(B+C) \end{aligned} $$

(iii) बेरीजात्मक तत्समकाचे अस्तित्व समजा $A=[a_{i j}]$ ही $m \times n$ सारणी आहे आणि $O$ ही $m \times n$ शून्य सारणी आहे, तर $A+O=O+A=A$. दुसऱ्या शब्दांत, $O$ हे सारणी बेरीजसाठी बेरीजात्मक तत्समक आहे.

(iv) बेरीजात्मक व्यस्ताचे अस्तित्व समजा $A=[a_{ij}]_{m \times n}$
ही कोणतीही सारणी आहे, तर आपल्याकडे दुसरी सारणी

$-A=[-a_{ij}]_{m \times n}$ अशी आहे की $A+(-A)=(-A)+A=O$. त्यामुळे $-A$ हे $A$ चे बेरीजात्मक व्यस्त किंवा $A$ चा ऋणात्मक आहे.

3.4.4 सारणीच्या अदिश गुणाकाराचे गुणधर्म

जर $A=[a_{i j}]$ आणि $B=[b_{i j}]$ ह्या समान कोटीच्या दोन सारण्या असतील, म्हणा $m \times n$, आणि $k$ आणि $l$ हे अदिश असतील, तर

(i) $k(A+B)=k A+k B$, (ii) $(k+l) A=k A+l A$

(iii) $k(A+B)=k([a_{i j}]+[b_{i j}])$

$$ \begin{aligned} & =k[a_{i j}+b_{i j}]=[k(a_{i j}+b_{i j})]=[(k a_{i j})+(k b_{i j})] \\ & =[k a_{i j}]+[k b_{i j}]=k[a_{i j}]+k[b_{i j}]=k A+k B \end{aligned} $$

(iv) $(k+l) A=(k+l)[a_{i j}]$

$$ =[(k+l) a_{i j}]+[k a_{i j}]+[l a_{i j}]=k[a_{i j}]+l[a_{i j}]=k A+l A $$

उदाहरण 8 जर $A=\begin{bmatrix}8 & 0 \\ 4 & -2 \\ 3 & 6\end{bmatrix}$ आणि $B=\begin{bmatrix}2 & -2 \\ 4 & 2 \\ -5 & 1\end{bmatrix}$, तर

सारणी $X$ शोधा, जसे की $2 A+3 X=5 B$.

उकल आपल्याकडे $2 A+3 X=5 B$ आहे

किंवा $\hspace{17 mm}2 A-2 A+3 X=5 B-2 A$ $\quad \quad$ (सारणी बेरीज क्रमविनिमेय आहे)

किंवा $\hspace{17 mm}3 X=5 B-2 A$ $\hspace{25 mm}$(O हे बेरीजात्मक तत्समक आहे)

किंवा $\hspace{17 mm}$$X=\frac{1}{3}(5 B-2 A)$

$$ X=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}5\begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix}-2\begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 4 & -2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}\end{pmatrix}=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}\begin{bmatrix} 10 & -10 \\ 20 & 10 \\ -25 & 5 \end