सर्व गणितीय सत्ये सापेक्ष आणि सशर्त आहेत - सी.पी. स्टाइनमेट्झ

४.१ परिचय

मागील प्रकरणात, आपण आव्यूह आणि आव्यूहांचे बीजगणित याबद्दल अभ्यास केला आहे. आपण हे देखील शिकलो आहोत की बीजगणितीय समीकरणांची एक प्रणाली आव्यूहांच्या रूपात व्यक्त केली जाऊ शकते. याचा अर्थ असा की,

$$ \begin{aligned} & a _{1} x+b _{1} y=c _{1} \\ & a _{2} x+b _{2} y=c _{2} \end{aligned} $$

सारख्या रेषीय समीकरणांच्या प्रणालीचे प्रतिनिधित्व $\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}\begin{vmatrix}x \\ y\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}c_1 \\ c_2\end{vmatrix}$ म्हणून केले जाऊ शकते. आता, या समीकरण प्रणालीला एक अद्वितीय उत्तर आहे की नाही, हे $a_1 b_2-a_2 b_1$ या संख्येने ठरवले जाते. (आठवा की जर $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$ किंवा, $a_1 b_2-a_2 b_1 \neq 0$, तर रेषीय

पी.एस. लाप्लास $(1749-1827)$ समीकरणांना एक अद्वितीय उत्तर आहे). $a_1 b_2-a_2 b_1$ ही संख्या, जी उत्तराची विशिष्टता ठरवते, ती $A=\begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{vmatrix}$ या आव्यूहाशी संबंधित आहे आणि त्याला A चा निश्चयक किंवा det A म्हणतात. निश्चयकांचा अभियांत्रिकी, विज्ञान, अर्थशास्त्र, सामाजिक विज्ञान इत्यादी क्षेत्रांमध्ये मोठ्या प्रमाणावर उपयोग होतो.

या प्रकरणात, आपण केवळ वास्तव प्रविष्ट्यांसह तीनव्या क्रमापर्यंतच्या निश्चयकांचा अभ्यास करू. तसेच, आपण निश्चयकांचे विविध गुणधर्म, लघु निश्चयक, सहघटक आणि त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधण्यात, चौरस आव्यूहाचे सहसंलग्न आणि व्यस्त आव्यूह, रेषीय समीकरण प्रणालीची सुसंगतता आणि असुसंगतता आणि आव्यूहाच्या व्यस्ताचा वापर करून दोन किंवा तीन चलांमधील रेषीय समीकरणांचे निराकरण करण्यात निश्चयकांच्या उपयोगांचा अभ्यास करू.

४.२ निश्चयक

प्रत्येक चौरस आव्यूह $A=[a _{i j}]$, ज्याचा क्रम $n$ आहे, त्याच्याशी आपण एक संख्या (वास्तव किंवा सम्मिश्र) संबद्ध करू शकतो ज्याला चौरस आव्यूह A चा निश्चयक म्हणतात, जिथे $a _{i j}=(i, j)^{\text{th }}$ हे A चे घटक आहे.

हे एक फलन मानले जाऊ शकते जे प्रत्येक चौरस आव्यूहाला एका अद्वितीय संख्येशी (वास्तव किंवा सम्मिश्र) जोडते. जर $M$ हा चौरस आव्यूहांचा संच असेल, $K$ हा संख्यांचा (वास्तव किंवा सम्मिश्र) संच असेल आणि $f: M \to K$ हे $f(A)=k$ द्वारे परिभाषित केले असेल, जिथे $A \in M$ आणि $k \in K$, तर $f(A)$ ला $A$ चा निश्चयक म्हणतात. याला $|A|$ किंवा $det A$ किंवा $\Delta$ असेही दर्शविले जाते.

जर $A=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$, तर A चा निश्चयक $|A|=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=det(A) $ असे लिहिला जातो.

टिपा

(i) आव्यूह A साठी, $|A|$ हे $A$ चा निश्चयक म्हणून वाचले जाते आणि $A$ चा मापांक म्हणून नाही.

(ii) केवळ चौरस आव्यूहांमध्येच निश्चयक असतात.

४.२.१ पहिल्या क्रमाच्या आव्यूहाचा निश्चयक

समजा $A=[a]$ हा पहिल्या क्रमाचा आव्यूह आहे, तर $A$ चा निश्चयक $a$ च्या बरोबरीने परिभाषित केला जातो.

४.२.२ दुसऱ्या क्रमाच्या आव्यूहाचा निश्चयक

$\text{समजा}\qquad A=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{21} & a _{22} \end{vmatrix} \text{ हा } 2 \times 2 \text{ क्रमाचा आव्यूह आहे, } $

तर $A$ चा निश्चयक खालीलप्रमाणे परिभाषित केला जातो:

$ det(A)=|A|=\Delta=\begin{vmatrix} a _{11} & & a _{12} \\ a _{21} & & a _{22} \end{vmatrix}=a _{11} a _{22}-a _{21} a _{12} $

उदाहरण १ $\begin{vmatrix}2 & 4 \\ -1 & 2\end{vmatrix}$ ची किंमत काढा.

उकल आपल्याकडे $\begin{vmatrix}2 & 4 \\ -1 & 2\end{vmatrix}=2(2)-4(-1)=4+4=8$ आहे.

उदाहरण २ $\begin{vmatrix}x & x+1 \\ x-1 & x\end{vmatrix}$ ची किंमत काढा.

उकल आपल्याकडे

$ \begin{vmatrix} x & x+1 \\ x-1 & x \end{vmatrix}=x(x)-(x+1)(x-1)=x^{2}-(x^{2}-1)=x^{2}-x^{2}+1=1 $

४.२.३ $3 \times 3$ क्रमाच्या आव्यूहाचा निश्चयक

तिसऱ्या क्रमाच्या आव्यूहाचा निश्चयक त्याचा दुसऱ्या क्रमाच्या निश्चयकांच्या रूपात व्यक्त करून ठरवता येतो. याला एखाद्या पंक्ती (किंवा स्तंभ) बाजूने निश्चयकाचा विस्तार म्हणून ओळखले जाते. तिसऱ्या क्रमाचा निश्चयक विस्तृत करण्याचे सहा मार्ग आहेत

जे तीन पंक्ती $(R_1, R_2.$ आणि $.R_3)$ आणि तीन स्तंभ $(C_1, C_2.$ आणि $C_3)$ या प्रत्येकाशी संबंधित आहेत आणि खाली दर्शविल्याप्रमाणे समान मूल्य देतात.

चौरस आव्यूह $A=[a _{i j}] _{3 \times 3}$ चा निश्चयक विचारात घ्या.

$\text{म्हणजे}\qquad |A|=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $

पहिल्या पंक्ती बाजूने विस्तार $(\mathbf{R} _1)$

पायरी १ $\mathbf{R} _ {1}$ चा पहिला घटक $ a _ {11}$ याला $(-1)^{(1+1)}[(-1)^{.\text{sum of suffixes in } a _ {11}}.$ ने गुणा आणि $|A|$ ची पहिली पंक्ती $(R_1)$ आणि पहिला स्तंभ $(C _ {1})$ हटवून मिळालेला दुसऱ्या क्रमाचा निश्चयक घ्या कारण $a _ {11}$ हा $ R _ {1} $ आणि $ C _ {1} $ मध्ये आहे,

$\text{म्हणजे,}\qquad (-1)^{1+1} a _{11}\left|\begin{array}{ll} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right| $

पायरी २ $R_1$ चा दुसरा घटक $a _{12}$ याला $(-1)^{1+2}[(-1)^{\text{sum of suffixes in } a _{12}}]$ ने गुणा आणि $|A|$ ची पहिली पंक्ती $(R_1)$ आणि दुसरा स्तंभ $(C_2)$ हटवून मिळालेला दुसऱ्या क्रमाचा निश्चयक घ्या कारण $a _{12}$ हा $R_1$ आणि $C_2$ मध्ये आहे,

म्हणजे, $\quad(-1)^{1+2} a _{12}\begin{vmatrix}a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33}\end{vmatrix}$

पायरी ३ $R_1$ चा तिसरा घटक $a _{13}$ याला $(-1)^{1+3}[(-1)^{\text{sum of suffixes in } a _{13}}]$ ने गुणा आणि $|A|$ ची पहिली पंक्ती $(R_1)$ आणि तिसरा स्तंभ $(C_3)$ हटवून मिळालेला दुसऱ्या क्रमाचा निश्चयक घ्या कारण $a _{13}$ हा $R_1$ आणि $C_3$ मध्ये आहे,

म्हणजे, $\quad(-1)^{1+3} a _{13}\begin{vmatrix}a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32}\end{vmatrix}$

पायरी ४ आता A च्या निश्चयकाचा विस्तार, म्हणजेच $|A|$, हा वरील पायरी 1,2 आणि 3 मध्ये मिळालेल्या तिन्ही पदांची बेरीज म्हणून दिला आहे:

$$ \begin{aligned} & \operatorname{det} \mathrm{A}=|\mathrm{A}|=(-1)^{1+1} a _{11}\left|\begin{array}{ll} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{array}\right|+(-1)^{1+2} \quad a _{12}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33} \end{array}\right| \\ & +(-1)^{1+3} a _{13}\left|\begin{array}{ll} a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32} \end{array}\right| \end{aligned} $$

$ \begin{align*} \text{किंवा} \qquad |\mathrm{A}|= & a _{11}\left(a _{22} a _{33}-a _{32} a _{23}\right)-a _{12}\left(a _{21} a _{33}-a _{31} a _{23}\right) \\ & +a _{13}\left(a _{21} a _{32}-a _{31} a _{22}\right) \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{32} a _{23}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{31} a _{23}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \tag{1} \end{align*} $

सूचना आपण सर्व चार पायऱ्या एकत्र लागू करू.

दुसऱ्या पंक्ती बाजूने विस्तार $(\mathbf{R} _2)$

$$ |A|=\begin{vmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {31} & a_ {32} & a_ {33} \end{vmatrix} $$

$R_2$ बाजूने विस्तार करून, आपल्याला मिळते

$ \begin{aligned} |A|= & (-1)^{2+1} a _{21}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+(-1)^{2+2} a _{22}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{13} \\ a _{31} & a _{33} \end{vmatrix} \\ & +(-1)^{2+3} a _{23}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{31} & a _{32} \end{vmatrix} \\ = & -a _{21}(a _{12} a _{33}-a _{32} a _{13})+a _{22}(a _{11} a _{33}-a _{31} a _{13}) \\ & -a _{23}(a _{11} a _{32}-a _{31} a _{12}) \\ |A|= & -a _{21} a _{12} a _{33}+a _{21} a _{32} a _{13}+a _{22} a _{11} a _{33}-a _{22} a _{31} a _{13}-a _{23} a _{11} a _{32} \\ & +a _{23} a _{31} a _{12} \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{23} a _{31}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \end{aligned} $

पहिल्या स्तंभ बाजूने विस्तार $(C_1)$

$$ |A|=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $$

$C_1$ बाजूने विस्तार करून, आपल्याला मिळते

$ \begin{aligned} |A|= & a _{11}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+a _{21}(-1)^{2+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} \\ & +a _{31}(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{22} & a _{23} \end{vmatrix} \\ = & a _{11}(a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32})-a _{21}(a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32})+a _{31}(a _{12} a _{23}-a _{13} a _{22}) \end{aligned} $ $ \begin{aligned} |A|= & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{21} a _{12} a _{33}+a _{21} a _{13} a _{32}+a _{31} a _{12} a _{23} \\ & -a _{31} a _{13} a _{22} \\ = & a _{11} a _{22} a _{33}-a _{11} a _{23} a _{32}-a _{12} a _{21} a _{33}+a _{12} a _{23} a _{31}+a _{13} a _{21} a _{32} \\ & -a _{13} a _{31} a _{22} \end{aligned} $

स्पष्टपणे, (1), (2) आणि (3) मधील $|A|$ ची मूल्ये समान आहेत. $R_3, C_2$ आणि $C_3$ बाजूने विस्तार करून $|A|$ ची मूल्ये (1), (2) किंवा (3) मध्ये मिळालेल्या $|A|$ च्या मूल्याइतकीच आहेत हे सत्यापित करणे वाचकाच्या सरावासाठी सोडले आहे.

म्हणून, कोणत्याही पंक्ती किंवा स्तंभ बाजूने निश्चयकाचा विस्तार केल्यास समान मूल्य मिळते.

टिपा

(i) सोप्या गणनेसाठी, आपण निश्चयकाचा विस्तार अशा पंक्ती किंवा स्तंभ बाजूने करू ज्यामध्ये सर्वाधिक शून्ये असतील.

(ii) विस्तार करताना, $(-1)^{i+j}$ ने गुणाकार करण्याऐवजी, आपण $(i+j)$ सम किंवा विषम आहे यानुसार +1 किंवा -1 ने गुणाकार करू शकतो.

(iii) समजा $A=\begin{vmatrix}2 & 2 \\ 4 & 0\end{vmatrix}$ आणि $B=\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 2 & 0\end{vmatrix}$. तर, $A=2 B$ हे सत्यापित करणे सोपे आहे. तसेच $|A|=0-8=-8$ आणि $|B|=0-2=-2$.

लक्षात घ्या की, $|A|=4(-2)=2^{2}|B|$ किंवा $|A|=2^{n}|B|$, जिथे $n=2$ हा चौरस आव्यूह $A$ आणि $B$ चा क्रम आहे.

सर्वसाधारणपणे, जर $A=k B$ जिथे $A$ आणि $B$ हे $n$ क्रमाचे चौरस आव्यूह आहेत, तर $|A|=k^{n}$ $|B|$, जिथे $n=1,2,3$

उदाहरण ३ निश्चयक $\Delta=\begin{vmatrix}1 & 2 & 4 \\ -1 & 3 & 0 \\ 4 & 1 & 0\end{vmatrix}$ ची किंमत काढा.

उकल लक्षात घ्या की तिसऱ्या स्तंभात, दोन प्रविष्ट्या शून्य आहेत. म्हणून तिसऱ्या स्तंभ $(C_3)$ बाजूने विस्तार करून, आपल्याला मिळते

$$ \begin{aligned} \Delta & =4\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}-0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}+0\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} \\ & =4(-1-12)-0+0=-52 \end{aligned} $$

उदाहरण ४ $\Delta=\begin{vmatrix}0 & \sin \alpha & -\cos \alpha \\ -\sin \alpha & 0 & \sin \beta \\ \cos \alpha & -\sin \beta & 0\end{vmatrix}$ ची किंमत काढा.

उकल $R_1$ बाजूने विस्तार करून, आपल्याला मिळते

$ \begin{aligned} \Delta & =0\begin{vmatrix} 0 & \sin \beta \\ -\sin \beta & 0 \end{vmatrix}-\sin \alpha\begin{vmatrix} -\sin \alpha & \sin \beta \\ \cos \alpha & 0 \end{vmatrix}-\cos \alpha\begin{vmatrix} -\sin \alpha & 0 \\ \cos \alpha & -\sin \beta \end{vmatrix} \\ & =0-\sin \alpha(0-\sin \beta \cos \alpha)-\cos \alpha(\sin \alpha \sin \beta-0) \\ & =\sin \alpha \sin \beta \cos \alpha-\cos \alpha \sin \alpha \sin \beta=0 \end{aligned} $

उदाहरण ५ $x$ ची अशी मूल्ये शोधा ज्यासाठी $\begin{vmatrix}3 & x \\ x & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 4 & 1\end{vmatrix}$.

उकल आपल्याकडे $\begin{vmatrix}3 & x \\ x & 1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}3 & 2 \\ 4 & 1\end{vmatrix}$ आहे.

म्हणजे $\qquad 3-x^{2}=3-8$

$\text{म्हणजे}\qquad \begin{aligned} x^{2} & =8 \\ \end{aligned} $

म्हणून $\qquad\ x= \pm 2 \sqrt{2}$

४.३ त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ

मागील वर्गांमध्ये, आपण शिकलो होतो की ज्या त्रिकोणाचे शिरोबिंदू $(x_1, y_1),(x_2, y_2)$ आणि $(x_3, y_3)$ आहेत, त्याचे क्षेत्रफळ $\frac{1}{2}[x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+.$ $.x_3(y_1-y_2)]$ या पदावलीद्वारे दिले जाते. आता ही पदावली निश्चयकाच्या रूपात खालीलप्रमाणे लिहिता येते:

$$ \Delta=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} x _{1} & y _{1} & 1 \tag{1}\\ x _{2} & y _{2} & 1 \\ x _{3} & y _{3} & 1 \end{array}\right| $$

टिपा

(i) क्षेत्रफळ ही धन राशी असल्याने, आपण नेहमी (1) मधील निश्चयकाचे निरपेक्ष मूल्य घेतो.

(ii) जर क्षेत्रफळ दिले असेल, तर गणनेसाठी निश्चयकाची धन आणि ऋण दोन्ही मूल्ये वापरा.

(iii) तीन समरेख बिंदूंनी तयार होणाऱ्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शून्य असते.

उदाहरण ६ त्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधा ज्याचे शिरोबिंदू $(3,8),(-4,2)$ आणि $(5,1)$ आहेत.

उकल त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे दिले आहे:

$$ \begin{aligned} \Delta & =\frac{1}{2}\left|\begin{array}{rrr} 3 & 8 & 1 \\ -4 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 1 \end{array}\right|=\frac{1}{2}[3(2-1)-8(-4-5)+1(-4-10)] \\ & =\frac{1}{2}(3+72-14)=\frac{61}{2} \end{aligned} $$

उदाहरण ७ $A(1,3)$ आणि $B(0,0)$ जोडणाऱ्या रेषेचे समीकरण निश्चयक वापरून शोधा आणि $k$ शोधा जर $D(k, 0)$ हा एक बिंदू असेल की त्रिकोण ABD चे क्षेत्रफळ 3 चौरस एकक आहे.

उकल समजा $P(x, y)$ हा $AB$ वरील कोणताही बिंदू आहे. तर, त्रिकोण ABP चे क्षेत्रफळ शून्य आहे (का?).

$\text{म्हणून}\qquad \frac{1}{2}\left|\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ x & y & 1 \end{array}\right|=0 $

$\text{यावरून मिळते}\qquad \frac{1}{2}(y-3 x)=0 \text { किंवा } y=3 x $

जी इच्छित रेषा $AB$ चे समीकरण आहे.

तसेच, त्रिकोण ABD चे क्षेत्रफळ 3 चौरस एकक असल्याने, आपल्याकडे

$ \frac{1}{2}\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ k & 0 & 1 \end{vmatrix}= \pm 3 $ यावरून, $\frac{-3 k}{2}= \pm 3$ मिळते, म्हणजेच, $k=\mp 2$.

४.४ लघु निश्चयक आणि सहघटक

या विभागात, आपण लघु निश्चयक आणि सहघटक वापरून निश्चयकाचा विस्तार संक्षिप्त रूपात लिहिणे शिकू.

परिभाषा १ निश्चयकातील $a _{i j}$ घटकाचा लघु निश्चयक म्हणजे ज्या $i$ व्या पंक्ती आणि $j$ व्या स्तंभात $a _{i j}$ हा घटक आहे त्या पंक्ती आणि स्तंभ हटवून मिळालेला निश्चयक होय. $a _{i j}$ घटकाचा लघु निश्चयक $M _{i j}$ ने दर्शविला जातो.

टीप $n(n \geq 2)$ क्रमाच्या निश्चयकातील घटकाचा लघु निश्चयक हा $n-1$ क्रमाचा निश्चयक असतो.

उदाहरण ८ निश्चयक $\Delta=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{vmatrix}$ मधील घटक 6 चा लघु निश्चयक शोधा.

उकल 6 हा दुसऱ्या पंक्ती आणि तिसऱ्या स्तंभात असल्याने, त्याचा लघु निश्चयक $M _{23}$ खालीलप्रमाणे दिला आहे:

$ M _{23}=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}=8-14=-6 \text{ ( } \Delta \text{ मधील } R_2 \text{ आणि } C_3 \text{ हटवून मिळाले). } $

परिभाषा २ $a _{i j}$ घटकाचा सहघटक, जो $A _{i j}$ ने दर्शविला जातो, तो खालीलप्रमाणे परिभाषित केला जातो:

$ A _{i j}=(-1)^{i+j} M _{i j} \text{, जिथे } M _{i j} \text{ हा } a _{i j} \text{ चा लघु निश्चयक आहे. } $

उदाहरण ९ निश्चयक $\begin{vmatrix}1 & -2 \\ 4 & 3\end{vmatrix}$ च्या सर्व घटकांचे लघु निश्चयक आणि सहघटक शोधा.

उकल $a _{i j}$ घटकाचा लघु निश्चयक $M _{i j}$ आहे

इथे $a _{11}=1$. म्हणून $M _{11}=$ $a _{11}=3$ चा लघु निश्चयक

$$ \begin{aligned} & \mathrm{M} _{12}=\text { Minor of the element } a _{12} =4 \\ & \mathrm{M} _{21}=\text { Minor of the element } a _{21} =-2 \\ & \mathrm{M} _{22}=\text { Minor of the element } a _{22} =1 \end{aligned} $$

आता, $a _{i j}$ चा सहघटक $A _{i j}$ आहे. म्हणून

$$ \begin{aligned} & A _{11}=(-1)^{1+1} \quad M _{11}=(-1)^{2}(3)=3 \\ & A _{12}=(-1)^{1+2} \quad M _{12}=(-1)^{3}(4)=-4 \\ & A _{21}=(-1)^{2+1} \quad M _{21}=(-1)^{3}(-2)=2 \\ & A _{22}=(-1)^{2+2} \quad M _{22}=(-1)^{4}(1)=1 \end{aligned} $$

उदाहरण १० निश्चयक $ \Delta=\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} $ मधील $a _{11}, a _{21}$ घटकांचे लघु निश्चयक आणि सहघटक शोधा.

उकल लघु निश्चयक आणि सहघटक यांच्या व्याख्येनुसार, आपल्याकडे आहे

$a _{11}=M _{11}=\begin{vmatrix}a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33}\end{vmatrix}=a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32}$ चा लघु निश्चयक
$a _{11}=A _{11}=(-1)^{1+1} \quad M _{11}=a _{22} a _{33}-a _{23} a _{32}$ चा सहघटक
$a _{21}=M _{21}=\begin{vmatrix}a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33}\end{vmatrix}=a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32}$ चा लघु निश्चयक
$a _{21}=A _{21}=(-1)^{2+1} \quad M _{21}=(-1)(a _{12} a _{33}-a _{13} a _{32})=-a _{12} a _{33}+a _{13} a _{32}$ चा सहघटक

टीप उदाहरण २१ मधील निश्चयक $\Delta$ चा $R_1$ बाजूने विस्तार करून, आपल्याकडे आहे

$ \begin{aligned} \Delta & =(-1)^{1+1} a _{11}\begin{vmatrix} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+(-1)^{1+2} a _{12}\begin{vmatrix} a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33} \end{vmatrix}+(-1)^{1+3} a _{13}\begin{vmatrix} a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32} \end{vmatrix} \\ & =a _{11} A _{11}+a _{12} A _{12}+a _{13} A _{13} \text{, जिथे } A _{i j} \text{ हा } a _{i j} \text{ चा सहघटक आहे } \\ & = R_1 \text{ च्या घटकांचा त्यांच्या संबंधित सहघटकांशी गुणाकार करून मिळालेल्या पदांची बेरीज } \end{aligned} $

त्याचप्रमाणे, $\Delta$ ची गणना इतर पाच प्रकारे विस्तार करून करता येते, म्हणजे $R_2, R_3$, $C_1, C_2$ आणि $C_3$ बाजूने.

म्हणून $\Delta$ = कोणत्याही पंक्ती (किंवा स्तंभ) च्या घटकांचा त्यांच्या संबंधित सहघटकांशी गुणाकार करून मिळालेल्या पदांची बेरीज.

सूचना जर एखाद्या पंक्ती (किंवा स्तंभ) च्या घटकांचा इतर कोणत्याही पंक्ती (किंवा स्तंभ) च्या सहघटकांशी गुणाकार केला, तर त्यांची बेरीज शून्य असते. उदाहरणार्थ,

$ \begin{aligned} \Delta & =a _{11} A _{21}+a _{12} A _{22}+a _{13} A _{23} \\ & =a _{11}(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} a _{12} & a _{13} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}+a _{12}(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{13} \\ a _{31} & a _{33} \end{vmatrix}+a _{13}(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{31} & a _{32} \end{vmatrix} \\ & =\begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} \end{vmatrix}=0 \text{ कारण } R_1 \text{ आणि } R_2 \text{ एकसारख्या आहेत } \end{aligned} $

त्याचप्रमाणे, आपण इतर पंक्ती आणि स्तंभांसाठी प्रयत्न करू शकतो.

उदाहरण ११ निश्चयक

$ \begin{vmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 6 & 0 & 4 \\ 1 & 5 & -7 \end{vmatrix} \text{ च्या घटकांचे लघु निश्चयक आणि सहघटक शोधा आणि ते सत्यापित करा की } a _{11} A _{31}+a _{12} A _{32}+a _{13} A _{33}=0 $

उकल आपल्याकडे $M _{11}=\begin{vmatrix}0 & 4 \\ 5 & -7\end{vmatrix}=0-20=-20 ; A _{11}=(-1)^{1+1}(-20)=-20$ आहे.

$M _{12}=\begin{vmatrix}6 & 4 \\ 1 & -7\end{vmatrix}=-42-4=-46 ; \quad A _{12}=(-1)^{1+2}(-46)=46$

$M _{13}=\begin{vmatrix}6 & 0 \\ 1 & 5\end{vmatrix}=30-0=30 ; \quad A _{13}=(-1)^{1+3}(30)=30$

$M _{21}=\begin{vmatrix}-3 & 5 \\ 5 & -7\end{vmatrix}=21-25=-4 ; \quad A _{21}=(-1)^{2+1}(-4)=4$

$M _{22}=\begin{vmatrix}2 & 5 \\ 1 & -7\end{vmatrix}=-14-5=-19 ; \quad A _{22}=(-1)^{2+2}(-19)=-19$

$M _{23}=\begin{vmatrix}2 & -3 \\ 1 & 5\end{vmatrix}=10+3=13 ; \quad A _{23}=(-1)^{2+3}(13)=-13$

$M _{31}=\begin{vmatrix}-3 & 5 \\ 0 & 4\end{vmatrix}=-12-0=-12 ; \quad A _{31}=(-1)^{3+1}(-12)=-12$

$M _{32}=\begin{vmatrix}2 & 5 \\ 6 & 4\end{vmatrix}=8-30=-22 ; \quad A _{32}=(-1)^{3+2}(-22)=22$

आणि $\quad M _{33}=\begin{vmatrix}2 & -3 \\ 6 & 0\end{vmatrix}=0+18=18 ; \quad A _{33}=(-1)^{3+3}(18)=18$

आता $\quad a _{11}=2, a _{12}=-3, a _{13}=5 ; A _{31}=-12, A _{32}=22, A _{33}=18$

म्हणून $\quad a _{11} A _{31}+a _{12} A _{32}+a _{13} A _{33}$

$=2(-12)+(-3)(22)+5(18)=-24-66+90=0$