“संपूर्ण विज्ञान हे दैनंदिन विचारांचे परिष्करण आहे.” - अल्बर्ट आइनस्टाइन

5.1 प्रस्तावना

हे प्रकरण मूलतः इयत्ता अकरावी मध्ये आपण केलेल्या फलनांच्या अवकलनाच्या अभ्यासाची निरंतरता आहे. आपण काही फलने जसे की बहुपदी फलने आणि त्रिकोणमितीय फलने यांचे अवकलन करायला शिकलो होतो. या प्रकरणात, आपण सातत्यता, अवकलनीयता आणि त्यांच्यातील संबंध या अतिशय महत्त्वाच्या संकल्पना सादर करू. आपण व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनांचे अवकलन देखील शिकू. पुढे, आपण घातांकीय आणि लॉगरिदमिक फलने या नवीन वर्गाची फलने सादर करू. ही फलने अवकलनाच्या शक्तिशाली पद्धतींकडे नेतात. आपण अवकलन गणिताद्वारे काही भौमितिकदृष्ट्या स्पष्ट अटी स्पष्ट करू. या प्रक्रियेत, आपण या क्षेत्रातील काही मूलभूत प्रमेये शिकू.

5.2 सातत्यता

आपण हा विभाग दोन अनौपचारिक उदाहरणांसह सुरू करतो जेणेकरून सातत्यतेची जाणीव होईल. फलनाचा विचार करा

$$ f(x)=\begin{cases} 1, \text{ if } x \leq 0 \\ 2, \text{ if } x>0 \end{cases}. $$

हे फलन अर्थातच वास्तव रेषेच्या प्रत्येक बिंदूवर परिभाषित केले आहे. या फलनाचा आलेख आकृती 5.1 मध्ये दिला आहे. आलेखावरून असा निष्कर्ष काढता येतो की $x$-अक्षावरील समीप बिंदूंवरील फलनाची किंमत एकमेकांच्या जवळ राहते, $x=0$ वगळता. 0 च्या जवळ आणि डावीकडील बिंदूंवर, म्हणजेच $-0.1,-0.01,-0.001$ सारख्या बिंदूंवर, फलनाची किंमत 1 आहे. 0 च्या जवळ आणि उजवीकडील बिंदूंवर, म्हणजेच $0.1,0.01$ सारख्या बिंदूंवर,

0.001 , फलनाची किंमत 2 आहे. डाव्या आणि उजव्या हाताच्या सीमांच्या भाषेचा वापर करून, आपण असे म्हणू शकतो की $f$ ची 0 वरील डावी (अनुक्रमे उजवी) हाताची सीमा 1 (अनुक्रमे 2) आहे. विशेषतः, डाव्या आणि उजव्या हाताच्या सीमा एकरूप होत नाहीत. आपण हे देखील पाहतो की $x=0$ वरील फलनाची किंमत डाव्या हाताच्या सीमेशी जुळते. लक्षात घ्या की जेव्हा आपण आलेख काढण्याचा प्रयत्न करतो, तेव्हा आपण तो एका ओळीत काढू शकत नाही, म्हणजेच, कागदाच्या समतलातून पेन न उचलता, आपण या फलनाचा आलेख काढू शकत नाही. खरं तर, डावीकडून 0 वर आल्यावर आपल्याला पेन उचलावे लागते. हे $x=0$ वर फलन सातत नसण्याचे एक उदाहरण आहे.

आता, फलनाचा विचार करा जे अशी परिभाषित केले आहे

$$ f(x)=\begin{cases} & 1, \text{ if } x \neq 0 \\ & 2, \text{ if } x=0 \end{cases} $$

हे फलन देखील प्रत्येक बिंदूवर परिभाषित केले आहे. $x=0$ वरील डाव्या आणि उजव्या हाताच्या सीमा दोन्ही 1 च्या समान आहेत. परंतु $x=0$ वरील फलनाची किंमत 2 आहे जी डाव्या आणि उजव्या हाताच्या सीमांच्या सामाईक किमतीशी जुळत नाही. पुन्हा, आपण लक्षात घेतो की पेन न उचलता आपण फलनाचा आलेख काढू शकत नाही. हे $x=0$ वर फलन सातत नसण्याचे आणखी एक उदाहरण आहे.

साधारणपणे, आपण असे म्हणू शकतो की एखादे फलन एखाद्या निश्चित बिंदूवर सातत आहे जर त्या बिंदूभोवती आपण कागदाच्या समतलातून पेन न उचलता फलनाचा आलेख काढू शकतो.

गणितीयदृष्ट्या, ते अचूकपणे पुढीलप्रमाणे सांगितले जाऊ शकते:

व्याख्या 1 समजा $f$ हे वास्तव संख्यांच्या उपसंचावरील एक वास्तव फलन आहे आणि $c$ हा $f$ च्या प्रदेशातील एक बिंदू आहे. तर $f$ हे $c$ वर सातत आहे जर

$$ \lim _{x \to c} f(x)=f(c) $$

अधिक सविस्तरपणे, जर डाव्या हाताची सीमा, उजव्या हाताची सीमा आणि $x=c$ वरील फलनाची किंमत अस्तित्वात असेल आणि एकमेकांशी समान असेल, तर $f$ हे $x=c$ वर सातत आहे असे म्हटले जाते. आठवा की जर $x=c$ वरील उजव्या हाताची आणि डाव्या हाताची सीमा एकरूप होत असेल, तर आपण असे म्हणतो की ती सामाईक किंमत ही $x=c$ वरील फलनाची सीमा आहे. म्हणून आपण सातत्यतेची व्याख्या पुढीलप्रमाणे देखील सांगू शकतो: एक फलन $x=c$ वर सातत आहे जर ते फलन $x=c$ वर परिभाषित केले असेल आणि जर $x=c$ वरील फलनाची किंमत $x=c$ वरील फलनाच्या सीमेइतकी असेल. जर $f$ हे $c$ वर सातत नसेल, तर आपण म्हणतो की $f$ हे $c$ वर असातत आहे आणि $c$ ला $f$ चा असातत्य बिंदू म्हणतात.

उदाहरण 1 $f$ द्वारे दिलेल्या $f(x)=2 x+3$ या फलनाची $x=1$ वर सातत्यता तपासा.

उपाय प्रथम लक्षात घ्या की दिलेल्या बिंदू $x=1$ वर फलन परिभाषित केले आहे आणि त्याची किंमत 5 आहे. नंतर $x=1$ वरील फलनाची सीमा शोधा. स्पष्टपणे

$$ \lim _{x \to 1} f(x)=\lim _{x \to 1}(2 x+3)=2(1)+3=5 $$

अशाप्रकारे $\qquad \lim _{x \to 1} f(x)=5=f(1)$

म्हणून, $f$ हे $x=1$ वर सातत आहे.

उदाहरण 2 $f$ द्वारे दिलेल्या $f(x)=x^{2}$ या फलनाची $x=0$ वर सातत्यता तपासा.

उपाय प्रथम लक्षात घ्या की दिलेल्या बिंदू $x=0$ वर फलन परिभाषित केले आहे आणि त्याची किंमत 0 आहे. नंतर $x=0$ वरील फलनाची सीमा शोधा. स्पष्टपणे

$$ \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} x^{2}=0^{2}=0 $$

अशाप्रकारे $\qquad \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0=f(0)$

म्हणून, $f$ हे $x=0$ वर सातत आहे.

उदाहरण 3 $f$ द्वारे दिलेल्या $f(x)=|x|$ या फलनाची $x=0$ वर सातत्यता चर्चा करा.

उपाय व्याख्येनुसार

$$ f(x)= \begin{cases}-x, & \text{ if } x<0 \\ x, & \text{ if } x \geq 0\end{cases} $$

स्पष्टपणे फलन 0 वर परिभाषित केले आहे आणि $f(0)=0$. $f$ ची 0 वरील डाव्या हाताची सीमा आहे

$$ \lim _{x \to 0^{-}} f(x)=\lim _{x \to 0^{-}}(-x)=0 $$

त्याचप्रमाणे, $f$ ची 0 वरील उजव्या हाताची सीमा आहे

$$ \lim _{x \to 0^{+}} f(x)=\lim _{x \to 0^{+}} x=0 $$

अशाप्रकारे, डाव्या हाताची सीमा, उजव्या हाताची सीमा आणि फलनाची किंमत $x=0$ वर एकरूप होतात. म्हणून, $f$ हे $x=0$ वर सातत आहे.

उदाहरण 4 $f$ द्वारे दिलेले फलन

$$ f(x)= \begin{cases}x^{3}+3, & \text{ if } x \neq 0 \\ 1, & \text{ if } x=0\end{cases} $$

हे $x=0$ वर सातत नाही हे दाखवा.

उपाय फलन $x=0$ वर परिभाषित केले आहे आणि $x=0$ वर त्याची किंमत 1 आहे. जेव्हा $x \neq 0$, तेव्हा फलन बहुपदीद्वारे दिलेले आहे. म्हणून,

$$ \lim _{x \to 0} f(x)=\lim _{x \to 0}(x^{3}+3)=0^{3}+3=3 $$

$f$ ची $x=0$ वरील सीमा $f(0)$ शी एकरूप होत नसल्यामुळे, फलन $x=0$ वर सातत नाही. लक्षात घ्यावे की $x=0$ हा या फलनासाठी असातत्याचा एकमेव बिंदू आहे.

उदाहरण 5 स्थिर फलन $f(x)=k$ कोणत्या बिंदूंवर सातत आहे ते तपासा.

उपाय फलन सर्व वास्तव संख्यांवर परिभाषित केले आहे आणि व्याख्येनुसार, कोणत्याही वास्तव संख्येची त्याची किंमत $k$ इतकी आहे. समजा $c$ ही कोणतीही वास्तव संख्या आहे. तर

$$ \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} k=k $$

कोणत्याही वास्तव संख्येसाठी $f(c)=k=\lim _{x \to c} f(x)$ असल्यामुळे, फलन $c$ हे प्रत्येक वास्तव संख्येवर सातत आहे.

उदाहरण 6 $f$ द्वारे दिलेली वास्तव संख्यांवरील तत्सम फलन प्रत्येक वास्तव संख्येवर सातत आहे हे सिद्ध करा.

उपाय फलन स्पष्टपणे प्रत्येक बिंदूवर परिभाषित केले आहे आणि प्रत्येक वास्तव संख्येसाठी $f(x)=x$ आहे.

तसेच, $f(c)=c$

अशाप्रकारे, $c$ आणि म्हणून फलन प्रत्येक वास्तव संख्येवर सातत आहे.

दिलेल्या बिंदूवर फलनाची सातत्यता परिभाषित केल्यानंतर, आता आपण फलनाची सातत्यता चर्चा करण्यासाठी या व्याख्येचे एक नैसर्गिक विस्तार करतो.

व्याख्या 2 एक वास्तव फलन $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} x=c$ हे सातत आहे असे म्हटले जाते जर ते $\lim _{x \to c} f(x)=c=f(c)$ च्या प्रदेशातील प्रत्येक बिंदूवर सातत असेल. या व्याख्येसाठी थोडे स्पष्टीकरण आवश्यक आहे. समजा $f$ हे एक बंद अंतराल $f$ वर परिभाषित केलेले फलन आहे, तर $f$ सातत असण्यासाठी, त्याला $[a, b]$ मधील प्रत्येक बिंदूवर सातत असणे आवश्यक आहे, ज्यामध्ये अंतिम बिंदू $f$ आणि $[a, b]$ समाविष्ट आहेत. $a$ वर $b$ ची सातत्यता म्हणजे आणि $f$ वर $a$ ची सातत्यता म्हणजे

$$ \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=f(a) $$

$$ \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=f(b) $$

लक्षात घ्या की $f$ आणि $b$ यांना अर्थ नाही. या व्याख्येच्या परिणामी, जर f फक्त एका बिंदूवर परिभाषित केले असेल, तर ते तेथे सातत आहे, म्हणजेच, जर $\lim _{x \to a^{-}} f(x)$ चा प्रदेश एकल असेल, तर $\lim _{x \to b^{+}} f(x)$ हे एक सतत फलन आहे.

उदाहरण 7 $f$ द्वारे परिभाषित केलेले फलन, एक सतत फलन आहे का?

उपाय आपण $f$ असे पुन्हा लिहू शकतो

$ f(x)= \begin{cases}-x, & \text{ if } x<0 \\ x, & \text{ if } x \geq 0\end{cases} $

उदाहरण 3 द्वारे, आपल्याला माहित आहे की $f(x)=|x|$ हे $f$ वर सातत आहे.

समजा $f$ ही एक वास्तव संख्या आहे जसे की $x=0$. तर $c$.

तसेच $$\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(-x)=-c$$

$c<0$ असल्यामुळे हे सर्व ऋण वास्तव संख्यांवर सातत आहे.

आता, समजा $f(c)=-c$ ही एक वास्तव संख्या आहे जसे की $\lim _{x \to c} f(x)=f(c), f$. तर $c$. तसेच

$$ \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c} x=c $$

$c>0$ असल्यामुळे हे सर्व धन वास्तव संख्यांवर सातत आहे. म्हणून, $f(c)=c$ हे सर्व बिंदूंवर सातत आहे.

उदाहरण 8 $\lim _{x \to c} f(x)=f(c), f$ द्वारे दिलेल्या $f$ या फलनाची सातत्यता चर्चा करा.

उपाय स्पष्टपणे $f$ हे प्रत्येक वास्तव संख्या $f(x)=x^{3}+x^{2}-1$ वर परिभाषित केले आहे आणि $f$ वर त्याची किंमत $c$ आहे. आपल्याला हे देखील माहित आहे की

$$ \lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c}\left(x^{3}+x^{2}-1\right)=c^{3}+c^{2}-1 $$

अशाप्रकारे $c$, आणि म्हणून $c^{3}+c^{2}-1$ हे प्रत्येक वास्तव संख्येवर सातत आहे. याचा अर्थ $\lim _{x \to c} f(x)=f(c)$ हे एक सतत फलन आहे.

उदाहरण 9 $f$ द्वारे परिभाषित केलेल्या $f$ या फलनाची सातत्यता चर्चा करा.

उपाय कोणतीही शून्येतर वास्तव संख्या $f$ निश्चित करा, आपल्याकडे आहे

$$ \lim _{x \rightarrow c} f(x)=\lim _{x \rightarrow c} \frac{1}{x}=\frac{1}{c} $$

तसेच, $f(x)=\frac{1}{x}, x \neq 0$ साठी, आपल्याकडे $c$ आहे आणि म्हणून, $c \neq 0, f(c)=\frac{1}{c}$ हे $\lim _{x \to c} f(x)=f(c)$ च्या प्रदेशातील प्रत्येक बिंदूवर सातत आहे. अशाप्रकारे $f$ हे एक सतत फलन आहे.

आपण ही संधी अनंताची संकल्पना स्पष्ट करण्यासाठी वापरतो. हे आपण $f$ च्या जवळ $f$ या फलनाचे विश्लेषण करून करतो. हे विश्लेषण करण्यासाठी आपण 0 च्या जवळील वास्तव संख्यांवरील फलनाची किंमत शोधण्याची नेहमीची युक्ती वापरतो. मूलतः आपण $f(x)=\frac{1}{x}$ ची 0 वरील उजव्या हाताची सीमा शोधण्याचा प्रयत्न करत आहोत. आपण हे खालील (सारणी 5.1) मध्ये सारणीबद्ध करतो.

सारणी 5.1

आपण पाहतो की जेव्हा $x$ उजवीकडून 0 च्या जवळ येते, तेव्हा $f(x)$ ची किंमत वाढते. हे पुढीलप्रमाणे सांगितले जाऊ शकते: $f(x)$ ची किंमत कोणतीही दिलेली संख्या पेक्षा मोठी करता येते, जर 0 च्या अगदी जवळ एक धन वास्तव संख्या निवडली तर. चिन्हांमध्ये, आपण लिहितो

$$ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=+\infty $$

(वाचा: $f(x)$ ची 0 वरील उजव्या हाताची सीमा अधिक अनंत आहे). आपण यावर भर द्यावा की $+\infty$ ही वास्तव संख्या नाही आणि म्हणून $f$ ची 0 वरील उजव्या हाताची सीमा (वास्तव संख्या म्हणून) अस्तित्वात नाही.

त्याचप्रमाणे, $f$ ची 0 वरील डाव्या हाताची सीमा शोधता येते. खालील सारणी स्वतःस्पष्ट आहे.

सारणी 5.2

सारणी 5.2 वरून, आपण असा निष्कर्ष काढतो की $f(x)$ ची किंमत कोणतीही दिलेली संख्या पेक्षा लहान करता येते, जर 0 च्या अगदी जवळ एक ऋण वास्तव संख्या निवडली तर. चिन्हांमध्ये, आपण लिहितो

$$ \lim _{x \to 0^{-}} f(x)=-\infty $$

(वाचा: $f(x)$ ची 0 वरील डाव्या हाताची सीमा वजा अनंत आहे). पुन्हा, आपण यावर भर द्यावा की $-\infty$ ही वास्तव संख्या नाही आणि म्हणून $f$ ची 0 वरील डाव्या हाताची सीमा (वास्तव संख्या म्हणून) अस्तित्वात नाही. आकृती 5.3 मध्ये दिलेला व्यस्त फलनाचा आलेख ही वरील उल्लेखित तथ्यांची भौमितिक प्रतिनिधित्व आहे.

आकृती 5.3

उदाहरण 10 $f$ द्वारे परिभाषित केलेल्या फलनाची सातत्यता चर्चा करा

$$ f(x)=\begin{cases} x+2, \text{ if } x \leq 1 \\ x-2, \text{ if } x1 > 1 \\ \end{cases}. $$

उपाय फलन $f$ हे वास्तव रेषेच्या सर्व बिंदूंवर परिभाषित केले आहे.

प्रकरण 1 जर $c<1$, तर $f(c)=c+2$. म्हणून, $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(x+2)=c+2$

अशाप्रकारे, $f$ हे 1 पेक्षा कमी असलेल्या सर्व वास्तव संख्यांवर सातत आहे.

प्रकरण 2 जर $c>1$, तर $f(c)=c-2$. म्हणून,

$ \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(x-2)=c-2=f(c) $

अशाप्रकारे, $f$ हे सर्व बिंदू $x>1$ वर सातत आहे.

प्रकरण 3 जर $c=1$, तर $f$ ची $x=1$ वरील डाव्या हाताची सीमा आहे

$$ \lim _{x \to 1^{-}} f(x)=\lim _{x \to 1^{-}}(x+2)=1+2=3 $$

$f$ ची $x=1$ वरील उजव्या हाताची सीमा आहे

$$ \lim _{x \to 1^{+}} f(x)=\lim _{x \to 1^{+}}(x-2)=1-2=-1 $$

$f$ च्या $x=1$ वरील डाव्या आणि उजव्या हाताच्या सीमा एकरूप होत नसल्यामुळे, $f$ हे $x=1$ वर सातत नाही. म्हणून

आकृती 5.4

$x=1$ हा $f$ चा असातत्याचा एकमेव बिंदू आहे. फलनाचा आलेख आकृती 5.4 मध्ये दिला आहे.

उदाहरण 11 $f$ द्वारे परिभाषित केलेल्या फलनाचे सर्व असातत्य बिंदू शोधा

$$ f(x)=\begin{cases} x+2, \text{ if } x<1 \\ 0, \text{ if } \quad x=1 \\ x-2, \text{ if } x>1 \end{cases}. $$

उपाय मागील उदाहरणाप्रमाणे आपल्याला असे आढळते की $f$ हे सर्व वास्तव संख्या $x \neq 1$ वर सातत आहे. $f$ ची $x=1$ वरील डाव्या हाताची सीमा आहे

$ \lim _{x \to 1^{-}} f(x)=\lim _{x \to 1^{-}}(x+2)=1+2=3 $

$f$ ची $x=1$ वरील उजव्या हाताची सीमा आहे

$ \lim _{x \to 1^{+}} f(x)=\lim _{x \to 1^{+}}(x-2)=1-2=-1 $

$f$ च्या $x=1$ वरील डाव्या आणि उजव्या हाताच्या सीमा एकरूप होत नसल्यामुळे, $f$ हे $x=1$ वर सातत नाही. म्हणून $x=1$ हा $f$ चा असातत्याचा एकमेव बिंदू आहे. फलनाचा आलेख आकृती 5.5 मध्ये दिला आहे.

आकृती 5.5

उदाहरण 12 खालीलप्रमाणे परिभाषित केलेल्या फलनाची सातत्यता चर्चा करा

$$ f(x)=\begin{cases} x+2, \text{ if } x<0 \\ -x+2, \text{ if } x>0 \end{cases}. $$

उपाय लक्षात घ्या की फलन 0 वगळता सर्व वास्तव संख्यांवर परिभाषित केले आहे. या फलनाच्या व्याख्येचा प्रदेश आहे

$ \begin{aligned} D_1 \cup D_2 \text{ where } D_1 & =\{x \in \mathbf{R}: x<0\} \text{ and } \\ & D_2=\{x \in \mathbf{R}: x>0\} \end{aligned} $

प्रकरण 1

जर $\lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(x+2) \text= c + 2 = f (c)$ आणि म्हणून $f$ हे $D_1$ मध्ये सातत आहे

प्रकरण 2

$ If c \in D_2, then \lim _{x \to c} f(x)=\lim _{x \to c}(-x+2) =-c+2=f(c) $

आणि म्हणून $f$ हे $D_2$ मध्ये सातत आहे. $f$ हे $f$ च्या प्रदेशातील सर्व बिंदूंवर सातत असल्यामुळे, आपण असा निष्कर्ष काढतो की $f$ हे सातत आहे. या फलनाचा आलेख आकृती 5.6 मध्ये दिला आहे. लक्षात घ्या की हे फलन आलेखित करण्यासाठी आपल्याला कागदाच्या समतलातून पेन उचलावे लागेल,

आकृती 5.6 परंतु आपल्याला ते फक्त त्या बिंदूंसाठी करावे लागेल जेथे फलन परिभाषित केलेले नाही.

उदाहरण 13 $f$ द्वारे दिलेल्या फलनाची सातत्यता चर्चा करा

$$ f(x)= \begin{cases}x, & \text { or } x \geq 0 \\ x^{2}, & \text { or } x<0\end{cases} $$

उपाय स्पष्टपणे फलन प्रत्येक वास्तव संख्येवर परिभाषित केले आहे. फलनाचा आलेख आकृती 5.7 मध्ये दिला आहे. निरीक्षण करून, $f$ च्या व्याख्येच्या प्रदेशाला वास्तव रेषेच्या तीन विभक्त उपसंचांमध्ये विभाजित करणे योग्य वाटते.

समजा $\qquad \begin{aligned}& D_1={x \in \mathbf{R}: x<0}, D_2={0} \text{ and } \& D_3={x \in \mathbf{R}: x>0}\end{aligned}$

आकृती 5.7

प्रकरण 1 $D_1$ मधील कोणत्याही बिंदूवर, आपल्याकडे $f(x)=x^{2}$ आहे आणि ते तेथे सातत आहे हे पाहणे सोपे आहे (उदाहरण 2 पहा).

प्रकरण 2 $D_3$ मधील कोणत्याही बिंदूवर, आपल्याकडे $f(x)=x$ आहे आणि ते तेथे सातत आहे हे पाहणे सोपे आहे (उदाहरण 6 पहा).

प्रकरण 3 आता आपण $x=0$ वर फलनाचे विश्लेषण करतो. 0 वरील फलनाची किंमत $f(0)=0$ आहे. $f$ ची 0 वरील डाव्या हाताची सीमा आहे

$$ \lim _{x \to 0^{-}} f(x)=\lim _{x \to 0^{-}} x^{2}=0^{2}=0 $$

$f$ ची 0 वरील उजव्या हाताची सीमा आहे

$$ \lim _{x \to 0^{+}} f(x)=\lim _{x \to 0^{+}} x=0 $$

अशाप्रकारे $\lim _{x \to 0} f(x)=0=f(0)$ आणि म्हणून $f$ हे 0 वर सातत आहे. याचा अर्थ $f$ हे त्याच्या प्रदेशातील प्रत्येक बिंदूवर सातत आहे आणि म्हणून, $f$ हे एक सतत फलन आहे.

उदाहरण 14 प्रत्येक बहुपदी फलन सातत आहे हे दाखवा.

उपाय आठवा की एक फलन $p$ हे बहुपदी फलन आहे जर ते काही नैसर्गिक संख्या $p(x)=a_0+a_1 x+\ldots+a_n x^{n}$ आणि $n, a_n \neq 0$ साठी $a_i \in \mathbf{R}$ द्वारे परिभाषित केले असेल. स्पष्टपणे हे फलन प्रत्येक वास्तव संख्येसाठी परिभाषित केले आहे. एका निश्चित वास्तव संख्येसाठी $c$, आपल्याकडे आहे

$$ \lim _{x \to c} p(x)=p(c) $$

व्याख्येनुसार, $p$ हे $c$ वर सातत आहे. $c$ ही कोणतीही वास्तव संख्या असल्यामुळे, $p$ हे प्रत्येक वास्तव संख्येवर सातत आहे आणि म्हणून $p$ हे एक सतत फलन आहे.

उदाहरण 15 $f(x)=[x]$ द्वारे परिभाषित केलेल्या महत्तम पूर्णांक फलनाचे सर्व असातत्य बिंदू शोधा, जेथे $[x]$ हे $x$ पेक्षा कमी किंवा समान असलेला महत्तम पूर्णांक दर्शवते.

उपाय प्रथम लक्षात घ्या की $f$ हे सर्व वास्तव संख्यांसाठी परिभाषित केले आहे. फलनाचा आलेख आकृती 5.8 मध्ये दिला आहे. आलेखावरून असे दिसते की $f$ हे प्रत्येक पूर्णांक बिंदूवर असातत आहे. खाली आपण तपासतो की हे खरे आहे का.

<img src="/images/ncertbook/math/m12/