“कॅल्क्युलस ही किल्ली म्हणून वापरून, गणिताचा निसर्गाच्या क्रियेच्या स्पष्टीकरणासाठी यशस्वीरित्या उपयोग करता येतो.” - व्हाईटहेड

6.1 परिचय

अध्याय 5 मध्ये, आपण संयुक्त फलने, व्यस्त त्रिकोणमितीय फलने, अस्पष्ट फलने, घातांकीय फलने आणि लॉगरिदमिक फलने यांचे अवकलज कसे काढायचे ते शिकलो. या अध्यायात, आपण अवकलजाचे विविध शाखांमध्ये होणारे उपयोग अभ्यासू, उदा., अभियांत्रिकी, विज्ञान, सामाजिक विज्ञान आणि इतर अनेक क्षेत्रांमध्ये. उदाहरणार्थ, अवकलजाचा उपयोग (i) राशींच्या बदलाचा दर ठरवण्यासाठी, (ii) एखाद्या वक्रावरील बिंदूवर स्पर्शिका आणि अभिलंब यांची समीकरणे शोधण्यासाठी, (iii) फलनाच्या आलेखावरील वळणाचे बिंदू शोधण्यासाठी केला जातो, ज्यामुळे फलनाचे स्थानिकरित्या सर्वात मोठे किंवा सर्वात लहान मूल्य (स्थानिक) कोणत्या बिंदूंवर येते हे शोधण्यास मदत होते. तसेच, फलन कोणत्या अंतरालांवर वाढत आहे किंवा कमी होत आहे हे शोधण्यासाठी देखील आपण अवकलजाचा उपयोग करू. शेवटी, काही राशींची अंदाजे किंमत शोधण्यासाठी आपण अवकलजाचा उपयोग करू.

6.2 राशींच्या बदलाचा दर

आठवा की अवकलज $\\ \frac{ds}{dt} $ द्वारे, आपला अर्थ असा होतो की अंतर $s$ चा काल $t$ च्या संदर्भात बदलाचा दर. त्याच प्रकारे, जेव्हा एक राशी $y$ दुसऱ्या राशी $x$ बरोबर बदलते, काही नियम $y=f(x)$ चे समाधान करत असताना, तर $\frac{d y}{d x}$ (किंवा $f^{\prime}(x)$) $y$ चा $x$ च्या संदर्भात बदलाचा दर दर्शवते आणि $\frac{d y}{d x} _{x=x_0}(.$ किंवा $.f^{\prime}(x_0))$ $y$ चा $x$ च्या संदर्भात $x=x_0$ वर बदलाचा दर दर्शवते.

पुढे, जर दोन चल $x$ आणि $y$ दुसऱ्या चल $t$ च्या संदर्भात बदलत असतील, म्हणजेच, जर $x=f(t)$ आणि $y=g(t)$, तर साखळी नियमानुसार

$$ \frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d t} / \frac{d x}{d t}, \text{ if } \frac{d x}{d t} \neq 0 $$

अशाप्रकारे, $y$ चा $x$ च्या संदर्भात बदलाचा दर $y$ आणि $x$ या दोन्हींचा $t$ च्या संदर्भात बदलाचा दर वापरून काढता येतो.

चला काही उदाहरणे पाहू.

उदाहरण 1 वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाचा त्रिज्या $r$ च्या संदर्भात प्रति सेकंद बदलाचा दर शोधा, जेव्हा $r=5 cm$.

उकल त्रिज्या $r$ असलेल्या वर्तुळाचे क्षेत्रफळ A हे $A=\pi r^{2}$ द्वारे दिलेले आहे. म्हणून, क्षेत्रफळ A चा त्रिज्या $r$ च्या संदर्भात बदलाचा दर $\frac{d A}{d r}=\frac{d}{d r}(\pi r^{2})=2 \pi r$ द्वारे दिला जातो. जेव्हा $r=5 cm, \frac{d A}{d r}=10 \pi$. अशाप्रकारे, वर्तुळाचे क्षेत्रफळ $10 \pi cm^{2} / s$ या दराने बदलत आहे.

उदाहरण 2 एका घनाचे घनफळ 9 घन सेंटीमीटर प्रति सेकंद या दराने वाढत आहे. जेव्हा कडेची लांबी 10 सेंटीमीटर असते, तेव्हा पृष्ठभागाचे क्षेत्रफळ किती वेगाने वाढत आहे?

उकल समजा $x$ ही बाजूची लांबी, $V$ हे घनफळ आणि $S$ हे घनाचे पृष्ठभाग क्षेत्रफळ आहे. तर, $V=x^{3}$ आणि $S=6 x^{2}$, जेथे $x$ हे काल $t$ चे फलन आहे.

आता $ \qquad \frac{d V}{d t}=9 cm^{3} / s$ (दिलेले)

म्हणून $ \qquad 9=\frac{d V}{d t}=\frac{d}{d t}(x^{3})=\frac{d}{d x}(x^{3}) \cdot \frac{d x}{d t} \quad(\text{ By Chain Rule })$

किंवा $ \qquad =3 x^{2} \cdot \frac{d x}{d t} $

आता $ \qquad \frac{d x}{d t}=\frac{3}{x^{2}} \tag{1}$

$$ \begin{array}{rlr} \frac{d S}{d t} & =\frac{d}{d t}\left(6 x^{2}\right)=\frac{d}{d x}\left(6 x^{2}\right) \cdot \frac{d x}{d t} & \text { (By Chain Rule) } \\ & =12 x \cdot\left(\frac{3}{x^{2}}\right)=\frac{36}{x} & \text { (Using (1) ) } \end{array} $$

म्हणून, जेव्हा $ x=10 \mathrm{~cm}, \frac{d S}{d t}=3.6 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} $

उदाहरण 3 एक दगड शांत सरोवरात टाकला जातो आणि वर्तुळाकार तरंग $4 cm$ प्रति सेकंद या वेगाने पसरतात. ज्या क्षणी वर्तुळाकार तरंगाची त्रिज्या $10 cm$ आहे, तेव्हा वेढलेले क्षेत्रफळ किती वेगाने वाढत आहे?

उकल त्रिज्या $A$ असलेल्या वर्तुळाचे क्षेत्रफळ $r$ हे $A=\pi r^{2}$ द्वारे दिलेले आहे. म्हणून, क्षेत्रफळ A चा काल $t$ च्या संदर्भात बदलाचा दर आहे

$$ \frac{d \mathrm{~A}}{d t}=\frac{d}{d t}\left(\pi r^{2}\right)=\frac{d}{d r}\left(\pi r^{2}\right) \cdot \frac{d r}{d t}=2 \pi r \frac{d r}{d t} $$

हे दिलेले आहे की $\frac{d r}{d t}=4 \mathrm{~cm}$

म्हणून, $ r=10 \mathrm{~cm} $ $ \frac{d \mathrm{~A}}{d t}=2 \pi(10)(4)=80 \pi $

अशाप्रकारे, वेढलेले क्षेत्रफळ $80 \pi cm^{2} / s$ या दराने वाढत आहे, जेव्हा $r=10 cm$.

टीप $\frac{d y}{d x}$ धन आहे जर $y$ वाढत असताना $x$ वाढत असेल आणि ऋण आहे जर $y$ वाढत असताना $x$ कमी होत असेल.

उदाहरण 4 आयताची लांबी $x$ $3 cm /$ प्रति मिनिट या दराने कमी होत आहे आणि रुंदी $y$ $2 cm /$ प्रति मिनिट या दराने वाढत आहे. जेव्हा $x=10 cm$ आणि $y=6 cm$, तेव्हा (a) परिमिती आणि (b) आयताच्या क्षेत्रफळाच्या बदलाचा दर शोधा.

उकल लांबी $x$ कालाच्या संदर्भात कमी होत असल्याने आणि रुंदी $y$ वाढत असल्याने, आपल्याकडे आहे

$$ \frac{d x}{d t}=-3 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} \text { or } \frac{d y}{d t}=2 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} $$

(a) आयताची परिमिती $P$ ही खालीलप्रमाणे दिली आहे

$$ \mathrm{P}=2(x+y) $$

म्हणून $ \frac{d \mathrm{P}}{d t}=2\left(\frac{d x}{d t}+\frac{d y}{d t}\right)=2(-3+2)=-2 \mathrm{~cm} / \mathrm{min} $

(b) आयताचे क्षेत्रफळ $A$ हे खालीलप्रमाणे दिले आहे

$ A=x \cdot y $

म्हणून $ \begin{aligned} \frac{d \mathrm{~A}}{d t} & =\frac{d x}{d t} \cdot y+x \cdot \frac{d y}{d t} \\ & =-3(6)+10(2)(\text { कारण } x=10 \mathrm{~cm} \text { आणि } y=6 \mathrm{~cm}) \\ & =2 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{min} \end{aligned} $

उदाहरण 5 $x$ एकक वस्तूंच्या उत्पादनाशी संबंधित एकूण खर्च $C(x)$ रुपयांमध्ये, खालीलप्रमाणे दिला आहे

$$ C(x)=0.005 x^{3}-0.02 x^{2}+30 x+5000 $$

3 एकके उत्पादित झाल्यावर सीमांत खर्च शोधा, जेथे सीमांत खर्च म्हणजे कोणत्याही स्तरावरील उत्पादनासाठी एकूण खर्चाचा तात्कालिक बदलाचा दर.

उकल सीमांत खर्च हा एकूण खर्चाचा उत्पादनाच्या संदर्भात बदलाचा दर असल्याने, आपल्याकडे आहे

$ \begin{aligned} \text{ सीमांत } \qquad \mathrm{MC} & =\frac{d \mathrm{C}}{d x}=0.005\left(3 x^{2}\right)-0.02(2 x)+30 \\ \text{ जेव्हा } \qquad \mathrm{MC} & =0.015\left(3^{2}\right)-0.04(3)+30 \\ & =0.135-0.12+30=30.015 \end{aligned} $

म्हणून, आवश्यक सीमांत खर्च ₹ 30.02 (अंदाजे) आहे.

उदाहरण 6 $x$ एकक उत्पादनांच्या विक्रीतून मिळणारे एकूण उत्पन्न $R(x)=3 x^{2}+36 x+5$ रुपयांमध्ये दिलेले आहे. सीमांत उत्पन्न शोधा, जेव्हा $x=5$, जेथे सीमांत उत्पन्न म्हणजे एखाद्या क्षणी विकल्या गेलेल्या वस्तूंच्या संख्येच्या संदर्भात एकूण उत्पन्नाच्या बदलाचा दर.

उकल सीमांत उत्पन्न हे एकूण उत्पन्नाच्या विकल्या गेलेल्या एककांच्या संख्येच्या संदर्भात बदलाचा दर असल्याने, आपल्याकडे आहे

$ \begin{aligned} \text{ सीमांत उत्पन्न } \qquad (MR) & =\frac{d R}{d x}=6 x+36 \end{aligned} $ $ \begin{aligned} \text{ जेव्हा } \qquad x & =5, MR=6(5)+36=66 \end{aligned} $

म्हणून, आवश्यक सीमांत उत्पन्न ₹ 66 आहे.

6.3 वाढणारी आणि कमी होणारी फलने

या विभागात, आपण अवकलनाचा उपयोग करून एखादे फलन वाढत आहे की कमी होत आहे किंवा नाही हे शोधू.

$f$ द्वारे दिलेले $f(x)=x^{2}, x \in \mathbf{R}$ हे फलन विचारात घ्या. या फलनाचा आलेख आकृती 6.1 मध्ये दिल्याप्रमाणे एक परवलय आहे.

मूळच्या डावीकडील मूल्ये

आपण डावीकडून उजवीकडे जाताना, आलेखाची उंची कमी होते

आपण डावीकडून उजवीकडे जाताना, आलेखाची उंची वाढते मूळच्या उजवीकडील मूल्ये

प्रथम मूळच्या उजवीकडील आलेख (आकृती 6.1) विचारात घ्या. लक्षात घ्या की आपण आलेखावर डावीकडून उजवीकडे जाताना, आलेखाची उंची सतत वाढत आहे. या कारणास्तव, फलन वास्तव संख्या $x>0$ साठी वाढत आहे असे म्हटले जाते.

आता मूळच्या डावीकडील आलेख विचारात घ्या आणि इथे लक्षात घ्या की आपण आलेखावर डावीकडून उजवीकडे जाताना, आलेखाची उंची सतत कमी होत आहे. परिणामी, फलन वास्तव संख्या $x<0$ साठी कमी होत आहे असे म्हटले जाते.

आता आपण एखाद्या अंतरालावर वाढत किंवा कमी होत असलेल्या फलनासाठी खालील विश्लेषणात्मक व्याख्या देऊ.

व्याख्या 1 समजा I हा एक वास्तव मूल्यीय फलन $f$ च्या प्रांतात समाविष्ट केलेला अंतराल आहे. तर $f$ असे म्हटले जाते

(i) I वर वाढत आहे जर $x_1<x_2$ मध्ये $I \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ सर्व $x_1, x_2 \in I$ साठी.

(ii) $I$ वर कमी होत आहे, जर $x_1, x_2$ मध्ये $I \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ सर्व $x_1, x_2 \in I$ साठी.

(iii) $I$ वर स्थिर आहे, जर $f(x)=c$ सर्व $x \in I$ साठी, जेथे $c$ हा स्थिरांक आहे.

(iv) I वर कमी होत आहे जर $x_1<x_2$ मध्ये $I \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)$ सर्व $x_1, x_2 \in I$ साठी.

(v) I वर काटेकोरपणे कमी होत आहे जर $x_1<x_2$ मध्ये $I \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$ सर्व $x_1, x_2 \in I$ साठी.

अशा फलनांच्या आलेखीय निरूपणासाठी आकृती 6.2 पहा.

आता आपण एखादे फलन बिंदूवर वाढत आहे की कमी होत आहे हे परिभाषित करू.

व्याख्या 2 समजा $x_0$ हा वास्तव मूल्यीय फलन $f$ च्या व्याख्येच्या प्रांतातील एक बिंदू आहे. तर $f$ ला $x_0$ वर वाढत, कमी होत असे म्हटले जाते जर $x_0$ असा एक खुला अंतराल I अस्तित्वात असेल की $f$ अनुक्रमे I मध्ये वाढत, कमी होत आहे.

चला ही व्याख्या वाढत्या फलनाच्या बाबतीत स्पष्ट करू.

उदाहरण 7 दाखवा की $f(x)=7 x-3$ द्वारे दिलेले फलन $\mathbf{R}$ वर वाढत आहे.

उकल समजा $x_1$ आणि $x_2$ हे $\mathbf{R}$ मधील कोणत्याही दोन संख्या आहेत. तर

$$ \begin{aligned} x _{1}<x _{2} & \Rightarrow 7 x _{1}<7 x _{2} \\ & \Rightarrow 7 x _{1}-3<7 x _{2}-3 \\ & \Rightarrow f\left(x _{1}\right)<f\left(x _{2}\right) \end{aligned} $$

अशाप्रकारे, व्याख्या 1 नुसार, $f$ हे $\mathbf{R}$ वर काटेकोरपणे वाढत आहे.

आता आपण वाढत्या आणि कमी होणाऱ्या फलनांसाठी पहिल्या अवकलजाची चाचणी देऊ. या चाचणीच्या सिद्धतेसाठी अध्याय 5 मध्ये अभ्यासलेल्या मध्यमान प्रमेयाची आवश्यकता आहे.

प्रमेय 1 समजा $f$ हे $[a, b]$ वर सतत आहे आणि खुल्या अंतराल $(a, b)$ वर अवकलनीय आहे. तर

(a) $f$ हे $[a, b]$ मध्ये वाढत आहे जर $f^{\prime}(x)>0$ प्रत्येक $x \in(a, b)$ साठी

(b) $f$ हे $[a, b]$ मध्ये कमी होत आहे जर $f^{\prime}(x)<0$ प्रत्येक $x \in(a, b)$ साठी

(c) $f$ हे $[a, b]$ मध्ये स्थिर फलन आहे जर $f^{\prime}(x)=0$ प्रत्येक $x \in(a, b)$ साठी

सिद्धता (a) समजा $x_1, x_2 \in[a, b]$ असे आहे की $x_1<x_2$.

तर, मध्यमान प्रमेयानुसार (अध्याय 5 मधील प्रमेय 8), $c$ आणि $x_1$ यांच्यामध्ये एक बिंदू $x_2$ अस्तित्वात आहे जसे की

$$ f\left(x _{2}\right)-f\left(x _{1}\right)=f^{\prime}(c)\left(x _{2}-x _{1}\right) $$

म्हणजे $\begin{array}{ll} f\left(x _{2}\right)-f\left(x _{1}\right)>0 & \left(\text { given } f^{\prime}(c)>0\right) \end{array}$

म्हणजे $f(x_2)>f(x_1)$

अशाप्रकारे, आपल्याकडे $x_1<x_2 \quad f(x_1) \quad f(x_2), \text{ for all } x_1, x_2 \quad[a, b]$ आहे

म्हणून, $f$ हे $[a, b]$ मध्ये वाढत फलन आहे.

भाग (b) आणि (c) च्या सिद्धता सारख्याच आहेत. ते वाचकांसाठी उपक्रम म्हणून सोडले आहे.

टिपा

एक अधिक सामान्यीकृत प्रमेय आहे, जे सांगते की जर $f \phi(x)>0$ एखाद्या अंतरालातील टोकाच्या बिंदूंवर्जित $x$ साठी असेल आणि $f$ त्या अंतरालात सतत असेल, तर $f$ वाढत आहे. त्याचप्रमाणे, जर $f \phi(x)<0$ एखाद्या अंतरालातील टोकाच्या बिंदूंवर्जित $x$ साठी असेल आणि $f$ त्या अंतरालात सतत असेल, तर $f$ कमी होत आहे.

उदाहरण 8 दाखवा की $f$ द्वारे दिलेले फलन

$\mathbf{R}$ वर वाढत आहे.

$$ f(x)=x^{3}-3 x^{2}+4 x, x \in \mathbf{R} $$

उकल लक्षात घ्या की

$$ \begin{aligned} f^{\prime}(x) & =3 x^{2}-6 x+4 \\ & =3(x^{2}-2 x+1)+1 \\ & =3(x-1)^{2}+1>0, \text{ in every interval of } \mathbf{R} \end{aligned} $$

म्हणून, फलन $f$ हे $\mathbf{R}$ वर वाढत आहे.

उदाहरण 9 सिद्ध करा की $f(x)=\cos x$ द्वारे दिलेले फलन

(a) $(0, \pi)$ मध्ये कमी होत आहे

(b) $(\pi, 2 \pi)$ मध्ये वाढत आहे, आणि

(c) $(0,2 \pi)$ मध्ये वाढत नाही किंवा कमी होत नाही.

उकल लक्षात घ्या की $f^{\prime}(x)=-\sin x$

(a) प्रत्येक $x \in(0, \pi), \sin x>0$ साठी, आपल्याकडे $f^{\prime}(x)<0$ आहे आणि म्हणून $f$ हे $(0, \pi)$ मध्ये कमी होत आहे.

(b) प्रत्येक $x \in(\pi, 2 \pi)$ साठी, $\sin x<0$, आपल्याकडे $f^{\prime}(x)>0$ आहे आणि म्हणून $f$ हे $(\pi, 2 \pi)$ मध्ये वाढत आहे.

(c) वरील (a) आणि (b) नुसार स्पष्टपणे, $f$ हे $(0,2 \pi)$ मध्ये वाढत नाही किंवा कमी होत नाही.

उदाहरण 10 $f$ द्वारे दिलेले $f(x)=x^{2}-4 x+6$ हे फलन कोणत्या अंतरालांमध्ये (a) वाढत आहे (b) कमी होत आहे ते शोधा.

उकल आपल्याकडे आहे

$$ f(x)=x^{2}-4 x+6 $$ $ किंवा \qquad f^{\prime}(x)=2 x-4 $

म्हणून, $f^{\prime}(x)=0$ देते $x=2$. आता बिंदू $x=2$ वास्तव रेषेला दोन विभक्त अंतरालांमध्ये विभागतो, म्हणजे, $(-\infty, 2)$ आणि $(2, \infty)$ (आकृती 6.3). अंतराल $(-\infty, 2), f^{\prime}(x)=2 x$ मध्ये $-4<0$.

म्हणून, $f$ या अंतरालात कमी होत आहे. तसेच, अंतराल $(2, \infty), f^{\prime}(x)>0$ मध्ये आणि म्हणून फलन $f$ या अंतरालात वाढत आहे.

उदाहरण 11 $f$ द्वारे दिलेले $f(x)=4 x^{3}-6 x^{2}-72 x$ +30 हे फलन कोणत्या अंतरालांमध्ये (a) वाढत आहे (b) कमी होत आहे ते शोधा.

उकल आपल्याकडे आहे

$$ \text{ or } \quad \begin{aligned} f(x) & =4 x^{3}-6 x^{2}-72 x+30 \\ f^{\prime}(x) & =12 x^{2}-12 x-72 \\ & =12(x^{2}-x-6) \\ & =12(x-3)(x+2) \end{aligned} $$

म्हणून, $f^{\prime}(x)=0$ देते $x=-2,3$. बिंदू $x=-2$ आणि $x=3$ वास्तव रेषेला तीन विभक्त अंतरालांमध्ये विभागतात, म्हणजे, $(-\infty,-2),(-2,3)$

आकृती 6.4 आणि $(3, \infty)$.

अंतराल $(-\infty,-2)$ आणि $(3, \infty), f^{\prime}(x)$ मध्ये धन आहे तर अंतराल $(-2,3)$ मध्ये, $f^{\prime}(x)$ ऋण आहे. परिणामी, फलन $f$ हे अंतराल $(-\infty,-2)$ आणि $(3, \infty)$ मध्ये वाढत आहे तर फलन अंतराल $(-2,3)$ मध्ये कमी होत आहे. तथापि, $f$ हे $\mathbf{R}$ मध्ये वाढत नाही किंवा कमी होत नाही.

उदाहरण 12 $f(x)=\sin 3 x, x \in 0, \frac{\pi}{2}$ द्वारे दिलेले फलन कोणत्या अंतरालांमध्ये (a) वाढत आहे (b) कमी होत आहे ते शोधा.

उकल आपल्याकडे आहे

$f(x) =\sin 3 x $

किंवा $\quad f(x) =3 \cos 3 x$

म्हणून, $f^{\prime}(x)=0$ देते $\cos 3 x=0$ जे यामुळे $3 x=\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}$ देते (कारण $x \in 0, \frac{\pi}{2}$ चा अर्थ $3 x \in[0, \frac{3 \pi}{2}]$ आहे). म्हणून $x=\frac{\pi}{6}$ आणि $\frac{\pi}{2}$. बिंदू $x=\frac{\pi}{6}$ अंतराल $0, \frac{\pi}{2}$ ला दोन विभक्त अंतरालांमध्ये विभागतो $[0, \frac{\pi}{6})$ आणि $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}$.

आकृती 6.5

आता, $f^{\prime}(x)>0$ सर्व $x \in[0, \frac{\pi}{6})$ साठी कारण $0 \leq x<\frac{\pi}{6} \Rightarrow 0 \leq 3 x<\frac{\pi}{2}$ आणि $f^{\prime}(x)<0$ सर्व $x \in(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})$ साठी कारण $\frac{\pi}{6}<x<\frac{\pi}{2} \Rightarrow \frac{\pi}{2}<3 x<\frac{3 \pi}{2}$.

म्हणून, $f$ हे $[0, \frac{\pi}{6})$ मध्ये वाढत आहे आणि $(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})$ मध्ये कमी होत आहे.

तसेच, दिलेले फलन $x=0$ आणि $x=\frac{\pi}{6}$ वर सतत आहे. म्हणून, प्रमेय 1 नुसार, $f$ हे $ [0, \frac{\pi}{6}]$ वर वाढत आहे आणि $[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}]$ वर कमी होत आहे.

उदाहरण 13 $f$ द्वारे दिलेले फलन

$ f(x)=\sin x+\cos x, 0 \leq x \leq 2 \pi $

कोणत्या अंतरालांमध्ये वाढत आहे किंवा कमी होत आहे ते शोधा.

उकल आपल्याकडे आहे

$$ \begin{array}{lrlr} & f(x) & =\sin x+\cos x, \quad 0 \leq x \leq 2 \pi \\ \text{or }&f^{\prime}(x) & =\cos x-\sin x & \end{array} $$

आता $f^{\prime}(x)=0$ देते $\sin x=\cos x$ जे $x=\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}$ देते कारण $0 \leq x \leq 2 \pi$

बिंदू $x=\frac{\pi}{4}$ आणि $x=\frac{5 \pi}{4}$ अंतराल $[0,2 \pi]$ ला तीन विभक्त अंतरालांमध्ये विभागतात,

म्हणजे, $[0, \frac{\pi}{4}), \frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}$ आणि $(\frac{5 \pi}{4}, 2 \pi]$.

आकृती 6.6

लक्षात घ्या की $f^{\prime}(x)>0$ जर $x \in[0, \frac{\pi}{4}) \cup(\frac{5 \pi}{4}, 2 \pi]$

किंवा $\quad f$ हे अंतराल $[0, \frac{\pi}{4})$ आणि $(\frac{5 \pi}{4}, 2 \pi]$ मध्ये वाढत आहे

तसेच $\quad f^{\prime}(x)<0$ जर $x \in \frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}$

किंवा $\quad f$ हे $\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}$ मध्ये कमी होत आहे

6.4 उच्चिष्ट आणि निम्निष्ट

या विभागात, आपण विविध फलनांची कमाल किंवा किमान मूल्ये काढण्यासाठी अवकलजाची संकल्पना वापरू. खरेतर, आपण फलनाच्या आलेखावरील ‘वळणाचे बिंदू’ शोधू आणि अशाप्रकारे ते बिंदू शोधू जेथे आलेख स्थानिकरित्या सर्वोच्च (किंवा सर्वात निम्न) स्थान गाठतो. अशा बिंदूंचे ज्ञान दिलेल्या फलनाचा आलेख रेखाटण्यासाठी खूप उपयुक्त आहे. पुढे, आपण फलनाचे परम उच्चिष्ट आणि परम निम्निष्ट देखील शोधू जे अनेक लागू समस्यांच्या उकल साठी आवश्यक आहेत.

चला दैनंदिन जीवनात उद्भवणाऱ्या खालील समस्यांचा विचार करू.

(i) संत्र्याच्या झाडांच्या बागेतून मिळणारा नफा $P(x)=a x+b x^{2}$ द्वारे दिला जातो, जेथे $a, b$ हे स्थिरांक आहेत आणि $x$ ही प्रति एकर संत्र्याच्या झाडांची संख्या आहे. प्रति एकर किती झाडे असल्यास नफा कमाल असेल?

(ii) 60 मीटर उंच इमारतीवरून हवेत फेकलेला चेंडू $h(x)=60+x-\frac{x^{2}}{60}$ द्वारे दिलेल्या मार्गाने प्रवास करतो, जेथे $x$ हे इमारतीपासूनचे क्षैतिज अंतर आहे आणि $h(x)$ ही चेंडूची उंची आहे. चेंडू कोणत्या कमाल उंचीवर पोहोचेल?

(iii) शत्रूचा एक अपाचे हेलिकॉप्टर $f(x)=x^{2}+7$ द्वारे दिलेल्या वक्राच्या बाजूने उडत आहे. $(1,2)$ या बिंदूवर ठेवलेला एक सैनिक, हेलिकॉप्टर त्याच्या सर्वात जवळ असताना गोळी झाडू इच्छितो. सर्वात जवळचे अंतर काय आहे?

वरील प्रत्येक समस्येमध्ये काहीतरी सामाईक आहे, म्हणजे, आपण दिलेल्या फलनांची कमाल किंवा किमान मूल्ये शोधू इच्छितो. अशा समस्यांना हाताळण्यासाठी, आपण प्रथम फलनाची कमाल किंवा किमान मूल्ये, स्थानिक उच्चिष्ट आणि निम्निष्ट बिंदू आणि असे बिंदू ठरवण्यासाठी चाचणी औपचारिकपणे परिभाषित करू.

व्याख्या 3 समजा $f$ हे अंतराल I वर परिभाषित केलेले फलन आहे. तर

(a) $f$ ला I मध्ये कमाल मूल्य असल्याचे म्हटले जाते, जर I मध्ये एक बिंदू $c$ अस्तित्वात असेल की $f(c)>f(x)$, सर्व $x \in I$ साठी.

संख्या $f(c)$ ला