ज्याप्रमाणे पर्वतारोहक पर्वत चढतो - कारण तो तिथे आहे, त्याचप्रमाणे एक चांगला गणिताचा विद्यार्थी नवीन विषयाचा अभ्यास करतो कारण तो तिथे आहे. - जेम्स बी. ब्रिस्टल

७.१ परिचय

विकलन कलन हे व्युत्पन्नाच्या संकल्पनेवर केंद्रित आहे. व्युत्पन्नाची मूळ प्रेरणा ही फलनांच्या आलेखांना स्पर्शिका रेषा परिभाषित करण्याची समस्या आणि अशा रेषांचा उतार काढणे ही होती. समाकलन कलन हे फलनांच्या आलेखाने बांधलेल्या प्रदेशाचे क्षेत्रफळ परिभाषित करण्याच्या आणि काढण्याच्या समस्येमुळे प्रेरित आहे.

जर एखादे फलन $f$ अंतराल $I$ मध्ये विकलनीय असेल, म्हणजेच त्याचे व्युत्पन्न $f$ ’ $I$ च्या प्रत्येक बिंदूवर अस्तित्वात असेल, तर एक नैसर्गिक प्रश्न उद्भवतो की $f^{\prime}$ I च्या प्रत्येक बिंदूवर दिले असता, आपण फलन ठरवू शकतो का? ज्या फलनांना दिलेल्या फलनाचे व्युत्पन्न म्हणून संभाव्यता असू शकते त्यांना फलनाचे प्रतिव्युत्पन्न (किंवा आदिम) म्हणतात. पुढे, जे सूत्र देत

जी.डब्ल्यू. लाइब्निझ (१६४६ - १७१६)

या सर्व प्रतिव्युत्पन्नांना फलनाचे अनिश्चित समाकलन म्हणतात आणि अशा प्रतिव्युत्पन्न शोधण्याच्या प्रक्रियेस समाकलन म्हणतात. अशा प्रकारच्या समस्या अनेक व्यावहारिक परिस्थितींमध्ये उद्भवतात. उदाहरणार्थ, जर आपल्याला एखाद्या वस्तूचा कोणत्याही क्षणी तात्कालिक वेग माहित असेल, तर एक नैसर्गिक प्रश्न उद्भवतो, म्हणजे, आपण वस्तूची स्थिती कोणत्याही क्षणी ठरवू शकतो का? अशा अनेक व्यावहारिक आणि सैद्धांतिक परिस्थिती आहेत जिथे समाकलनाची प्रक्रिया समाविष्ट आहे. समाकलन कलनाचा विकास खालील प्रकारच्या समस्या सोडवण्याच्या प्रयत्नांतून होतो:

(अ) जेव्हा त्याचे व्युत्पन्न दिले जाते तेव्हा फलन शोधण्याची समस्या,

(ब) काही विशिष्ट अटींखाली फलनाच्या आलेखाने बांधलेले क्षेत्रफळ शोधण्याची समस्या.

या दोन समस्या समाकलनाच्या दोन स्वरूपांकडे नेतात, उदा., अनिश्चित आणि निश्चित समाकलन, जे एकत्रितपणे समाकलन कलन बनवतात.

अनिश्चित समाकलन आणि निश्चित समाकलन यांच्यातील संबंध, ज्याला कलनाचे मूलभूत प्रमेय म्हणून ओळखले जाते, तो निश्चित समाकलनाला विज्ञान आणि अभियांत्रिकीसाठी एक व्यावहारिक साधन बनवतो. अर्थशास्त्र, वित्त आणि संभाव्यता यासारख्या विविध विषयांमधील अनेक मनोरंजक समस्या सोडवण्यासाठी निश्चित समाकलनाचा वापर केला जातो.

या प्रकरणात, आपण अनिश्चित आणि निश्चित समाकलन आणि त्यांच्या मूलभूत गुणधर्मांपुरते मर्यादित राहू, ज्यामध्ये समाकलनाच्या काही तंत्रांचा समावेश आहे.

७.२ विकलनाची व्यस्त प्रक्रिया म्हणून समाकलन

समाकलन ही विकलनाची व्यस्त प्रक्रिया आहे. एखादे फलन वेगळे करण्याऐवजी, आपल्याला फलनाचे व्युत्पन्न दिले जाते आणि त्याचे आदिम, म्हणजेच मूळ फलन शोधण्यास सांगितले जाते. अशा प्रक्रियेस समाकलन किंवा प्रतिविकलन म्हणतात. चला खालील उदाहरणे विचारात घेऊया:

$\text{ आपल्याला माहित आहे की }\quad \begin{equation*} \frac{d}{d x}(\sin x)=\cos x \tag{1} \end{equation*} $

$$ \begin{equation*} \frac{d}{d x}\left(\frac{x^{3}}{3}\right)=x^{2} \tag{2} \end{equation*} $$

$\text{ आणि }\quad \begin{equation*} \frac{d}{d x}\left(e^{x}\right)=e^{x} \tag{3} \end{equation*} $

आपण पाहतो की (1) मध्ये, फलन $\cos x$ हे $\sin x$ चे व्युत्पन्न फलन आहे. आपण म्हणतो की $\sin x$ हे $\cos x$ चे प्रतिव्युत्पन्न (किंवा समाकलन) आहे. त्याचप्रमाणे, (2) आणि (3) मध्ये, $\frac{x^{3}}{3}$ आणि $e^{x}$ हे अनुक्रमे $x^{2}$ आणि $e^{x}$ चे प्रतिव्युत्पन्न (किंवा समाकलन) आहेत. पुन्हा, आपण लक्षात घेतो की कोणत्याही वास्तव संख्येसाठी $C$, स्थिर फलन म्हणून विचारात घेतल्यास, त्याचे व्युत्पन्न शून्य आहे आणि म्हणून, आपण (1), (2) आणि (3) खालीलप्रमाणे लिहू शकतो:

$$ \frac{d}{d x}(\sin x+C)=\cos x, \frac{d}{d x}(\frac{x^{3}}{3}+C)=x^{2} \text{ and } \frac{d}{d x}(e^{x}+C)=e^{x} $$

अशाप्रकारे, वरील नमूद केलेल्या फलनांची प्रतिव्युत्पन्न (किंवा समाकलन) अद्वितीय नाहीत. खरेतर, यापैकी प्रत्येक फलनाची असंख्य प्रतिव्युत्पन्ने आहेत जी $C$ ला वास्तव संख्यांच्या संचातून अनियंत्रितपणे निवडून मिळवता येतात. या कारणास्तव $C$ ला सामान्यतः अनियंत्रित स्थिरांक म्हणून संबोधले जाते. खरेतर, $C$ हे पॅरामीटर आहे ज्यामध्ये बदल करून दिलेल्या फलनाची भिन्न प्रतिव्युत्पन्न (किंवा समाकलन) मिळतात.

अधिक सामान्यपणे, जर एखादे फलन $F$ असेल की $\frac{d}{d x} F(x)=f(x), \forall x \in I$ (अंतराल), तर कोणत्याही अनियंत्रित वास्तव संख्येसाठी $C$, (समाकलनाचा स्थिरांक देखील म्हणतात)

$ \frac{d}{d x}[F(x)+C]=f(x), x \in I $

अशाप्रकारे, $\qquad\{F+C, C \in \mathbf{R}\} \text{ denotes a family of anti derivatives of } f \text{. }$

टिप्पणी समान व्युत्पन्न असलेली फलने एका स्थिरांकाने भिन्न असतात. हे दर्शवण्यासाठी, $g$ आणि $h$ ही दोन फलने घेऊ ज्यांचे अंतराल I वर समान व्युत्पन्न आहेत.

फलन $f=g-h$ विचारात घ्या जे $f(x)=g(x)-h(x), \forall x \in I$ द्वारे परिभाषित केले आहे

मग $\qquad \frac{d f}{d x}=f^{\prime}=g^{\prime}-h^{\prime} \text{ giving } f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)-h^{\prime}(x) \forall x \in I$

किंवा $\qquad f^{\prime}(x)=0, \forall x \in I \text{ by hypothesis, }$

म्हणजेच, $f$ चा $x$ च्या संदर्भात बदलाचा दर $I$ वर शून्य आहे आणि म्हणून $f$ स्थिर आहे.

वरील टिप्पणीच्या दृष्टीने, $\{F+C, C \in \mathbf{R}\}$ हे कुटुंब $f$ ची सर्व संभाव्य प्रतिव्युत्पन्ने प्रदान करते असे अनुमान काढणे न्याय्य आहे.

आपण एक नवीन चिन्ह सादर करतो, म्हणजे, $\int f(x) d x$ जे $f$ च्या संदर्भात $x$ च्या संपूर्ण वर्गाचे प्रतिनिधित्व करेल, $f$ चे अनिश्चित समाकलन म्हणून वाचले जाईल.

चिन्हात्मकपणे, आपण $\int f(x) d x=F(x)+C$ लिहितो.

संकेत दिले आहे की $\frac{d y}{d x}=f(x)$, आपण $y=\int f(x) d x$ लिहितो.

सोयीसाठी, आपण खालील चिन्हे/संज्ञा/वाक्प्रचार खाली नमूद करतो

सारणी ७.१

आपल्याला आधीच अनेक महत्त्वाच्या फलनांच्या व्युत्पन्नांसाठी सूत्रे माहित आहेत. या सूत्रांवरून, आपण ताबडतोब या फलनांच्या समाकलनांसाठी संबंधित सूत्रे (मानक सूत्रे म्हणून संदर्भित) खाली सूचीबद्ध केल्याप्रमाणे लिहू शकतो, ज्यांचा वापर इतर फलनांची समाकलने शोधण्यासाठी केला जाईल.

$ \begin{array}{ll} \text{व्युत्पन्न} & \text{समाकलन (प्रतिव्युत्पन्न)} \\ \\ \text{(i)} \frac{d}{d x}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=x^{n} & \int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+\mathrm{C}, n \neq-1 \\ \\ \text{विशेषतः, आपण लक्षात घेतो की} & \\ \\ \frac{d}{d x}(x)=1 & \int d x=x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(ii)} \frac{d}{d x}(\sin x)=\cos x & \int \cos x d x=\sin x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(iii)} \frac{d}{d x}(-\cos x)=\sin x & \int \sin x d x=-\cos x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(iv)} \frac{d}{d x}(\tan x)=\sec ^{2} x & \int \sec ^{2} x d x=\tan x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(v)} \frac{d}{d x}(-\cot x)=\operatorname{cosec}^{2} x & \int \operatorname{cosec}^{2} x d x=-\cot x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(vi)} \frac{d}{d x}(\sec x)=\sec x \tan x & \int \operatorname{cosec} x \cot x d x=-\operatorname{cosec} x+\mathrm{C} \\ \\ \text{(vii)} \frac{d}{d x}(-\operatorname{cosec} x)=\operatorname{cosec} x \cot x & \int \sec x \tan x d x=\sec x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (viii) } \frac{d}{d x}\left(\sin ^{-1} x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} & \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=\sin ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (ix) } \frac{d}{d x}\left(-\cos ^{-1} x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} & \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}}}=-\cos ^{-1} x+\mathrm{C} \end{array} $

$ \begin{array}{ll} \text { (x) } \frac{d}{d x}\left(\tan ^{-1} x\right)=\frac{1}{1+x^{2}} & \int \frac{d x}{1+x^{2}}=\tan ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xi) } \frac{d}{d x}\left(-\cot ^{-1} x\right)=\frac{1}{1+x^{2}} & \int \frac{d x}{1+x^{2}}=-\cot ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xii) } \frac{d}{d x}\left(\sec ^{-1} x\right)=\frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} & \int \frac{d x}{x \sqrt{x^{2}-1}}=\sec ^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xiii) } \frac{d}{d x}\left(-\operatorname{cosec}^{-1} x\right)=\frac{1}{x \sqrt{x^{2}-1}} & \int \frac{d x}{x \sqrt{x^{2}-1}}=-\operatorname{cosec}^{-1} x+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xiv) } \frac{d}{d x}\left(e^{x}\right)=e^{x} & \int e^{x} d x=e^{x}+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xv) } \frac{d}{d x}(\log |x|)=\frac{1}{x} & \int \frac{1}{x} d x=\log |x|+\mathrm{C} \\ \\ \text { (xvi) } \frac{d}{d x}\left(\frac{a^{x}}{\log a}\right)=a^{x} & \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\log a}+\mathrm{C} \end{array} $

सूचना सराव मध्ये, आपण सामान्यतः विविध फलने कोणत्या अंतरालावर परिभाषित केली आहेत हे नमूद करत नाही. तथापि, कोणत्याही विशिष्ट समस्येमध्ये ते लक्षात ठेवावे लागते.

७.२.१ अनिश्चित समाकलनाचे काही गुणधर्म

या उप-भागात, आपण अनिश्चित समाकलनाचे काही गुणधर्म मिळवू.

(I) विकलन आणि समाकलन या प्रक्रिया खालील निकालांच्या अर्थाने एकमेकांच्या व्यस्त आहेत:

$$ \frac{d}{d x} \int f(x) d x=f(x) $$

आणि $\qquad \int f^{\prime}(x) d x=f(x)+C \text{, where } C \text{ is any arbitrary constant. }$

सिद्धता $F$ ला $f$ चे कोणतेही प्रतिव्युत्पन्न मानू, म्हणजे,

$$ \frac{d}{d x} F(x)=f(x) $$

$$ \text{ }\qquad \int f(x) d x=F(x)+C $$

$ \text{ म्हणून }\qquad \begin{aligned} \frac{d}{d x} \int f(x) d x & =\frac{d}{d x}(F(x)+C) \\ & =\frac{d}{d x} F(x)=f(x) \end{aligned} $

त्याचप्रमाणे, आपण लक्षात घेतो की

$$ f^{\prime}(x)=\frac{d}{d x} f(x) $$

आणि म्हणून $\qquad \int f^{\prime}(x) d x=f(x)+C$

जिथे $C$ हा अनियंत्रित स्थिरांक आहे ज्याला समाकलनाचा स्थिरांक म्हणतात.

(II) समान व्युत्पन्न असलेली दोन अनिश्चित समाकलने समान वक्र कुटुंबाकडे नेतात आणि म्हणून ती समतुल्य असतात.

सिद्धता $f$ आणि $g$ ही दोन फलने असू द्या जसे की

$$\frac{d}{d x} \int f(x) d x=\frac{d}{d x} \int g(x) d x$$

किंवा $\qquad \frac{d}{d x}[\int f(x) d x-\int g(x) d x]=0$

म्हणून $\quad \int f(x) d x-\int g(x) d x=C$, जिथे $C$ ही कोणतीही वास्तव संख्या आहे

किंवा $\qquad \int f(x) d x=\int g(x) d x+C$

म्हणून वक्रांची कुटुंबे $\{\int f(x) d x+C_1, C_1 \in R\}$

आणि $\qquad\{\int g(x) d x+C_2, C_2 \in R\} \text{ are identical. }$

म्हणून, या अर्थाने, $\int f(x) d x$ आणि $\int g(x) d x$ समतुल्य आहेत.

सूचना कुटुंबांची समतुल्यता $\{\int f(x) d x+C_1, C_1 \in \mathbf{R}\}$ आणि $\{\int g(x) d x+\mathbf{C} _2, \mathbf{C} _2 \in \mathbf{R}\}$ ही सामान्यतः $\int f(x) d x=\int g(x) d x$ लिहून व्यक्त केली जाते, पॅरामीटरचा उल्लेख न करता.

(III) $\int[f(x)+g(x)] d x=\int f(x) d x+\int g(x) d x$

सिद्धता गुणधर्म (I) द्वारे, आपल्याकडे आहे

$ \frac{d}{d x}[\int[f(x)+g(x)] d x]=f(x)+g(x) $

दुसरीकडे, आपल्याला असे आढळते की

$ \begin{aligned} \frac{d}{d x}[\int f(x) d x+\int g(x) d x] & =\frac{d}{d x} \int f(x) d x+\frac{d}{d x} \int g(x) d x \\ & =f(x)+g(x) \end{aligned} $

अशाप्रकारे, गुणधर्म (II) च्या दृष्टीने, (1) आणि (2) द्वारे ते अनुसरण करते

$$ \int(f(x)+g(x)) d x=\int f(x) d x+\int g(x) d x . $$

(IV) कोणत्याही वास्तव संख्येसाठी $k, \int k f(x) d x=k \int f(x) d x$

सिद्धता गुणधर्म (I) द्वारे, $\frac{d}{d x} \int k f(x) d x=k f(x)$.

तसेच $\quad \frac{d}{d x}[k \int f(x) d x]=k \frac{d}{d x} \int f(x) d x=k f(x)$

म्हणून, गुणधर्म (II) वापरून, आपल्याकडे $\int k f(x) d x=k \int f(x) d x$ आहे.

(V) गुणधर्म (III) आणि (IV) हे मर्यादित संख्येच्या फलनांपर्यंत $f_1, f_2, \ldots, f_n$ आणि वास्तव संख्यांपर्यंत $k_1, k_2, \ldots, k_n$ सामान्यीकृत केले जाऊ शकतात, देत

$$ \begin{aligned} & \int[k_1 f_1(x)+k_2 f_2(x)+\ldots+k_n f_n(x)] d x \\ & =k_1 \int f_1(x) d x+k_2 \int f_2(x) d x+\ldots+k_n \int f_n(x) d x . \end{aligned} $$

दिलेल्या फलनाचे प्रतिव्युत्पन्न शोधण्यासाठी, आपण अंतर्ज्ञानाने अशा फलनाचा शोध घेतो ज्याचे व्युत्पन्न दिलेले फलन आहे. प्रतिव्युत्पन्न शोधण्यासाठी आवश्यक फलनाचा शोध हे निरीक्षण पद्धतीने समाकलन म्हणून ओळखले जाते. आपण ते काही उदाहरणांद्वारे स्पष्ट करतो.

उदाहरण १ निरीक्षण पद्धतीचा वापर करून खालील प्रत्येक फलनासाठी एक प्रतिव्युत्पन्न लिहा:

(i) $\cos 2 x$

(ii) $3 x^{2}+4 x^{3}$

(iii) $\frac{1}{x}, x \neq 0$

उकल

(i) आपण अशा फलनाचा शोध घेतो ज्याचे व्युत्पन्न $\cos 2 x$ आहे. आठवा की

$ \begin{gathered} \frac{d}{d x} \sin 2 x=2 \cos 2 x \\ \end{gathered} $

किंवा $\cos 2 x=\frac{1}{2} \frac{d}{d x}(\sin 2 x)=\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{2} \sin 2 x\right)$

म्हणून, $\cos 2 x$ चे एक प्रतिव्युत्पन्न $\frac{1}{2} \sin 2 x$ आहे.

(ii) आपण अशा फलनाचा शोध घेतो ज्याचे व्युत्पन्न $3 x^{2}+4 x^{3}$ आहे. लक्षात घ्या की

$ \frac{d}{d x}(x^{3}+x^{4})=3 x^{2}+4 x^{3} $

म्हणून, $3 x^{2}+4 x^{3}$ चे एक प्रतिव्युत्पन्न $x^{3}+x^{4}$ आहे.

(iii) आपल्याला माहित आहे की

$\frac{d}{d x}(\log x)=\frac{1}{x}, x>0$ आणि $\frac{d}{d x}[\log (-x)]=\frac{1}{-x}(-1)=\frac{1}{x}, x<0$

वरील गोष्टी एकत्र करून, आपल्याला $\frac{d}{d x}(\log |x|)=\frac{1}{x}, x \neq 0$ मिळते

म्हणून, $\int \frac{1}{x} d x=\log |x|$ हे $\frac{1}{x}$ च्या प्रतिव्युत्पन्नांपैकी एक आहे.

उदाहरण २ खालील समाकलने शोधा:

(i) $\int \frac{x^{3}-1}{x^{2}} d x$

(ii) $\int(x^{\frac{2}{3}}+1) d x$

(iii) $\int(x^{\frac{3}{2}}+2 e^{x}-\frac{1}{x}) d x$

उकल

(i) आपल्याकडे आहे

$$ \begin{aligned} \int \frac{x^{3}-1}{x^{2}} & d x=\int x d x-\int x^{-2} d x \quad(\text{ by Property } V) \\ = & (\frac{x^{1+1}}{1+1}+C_1)-(\frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C_2) ; C_1, C_2 \text{ are constants of integration } \\ & =\frac{x^{2}}{2}+C_1-\frac{x^{-1}}{-1}-C_2=\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x}+C_1-C_2 \\ & =\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x}+C \text{, where } C=C_1-C_2 \text{ is another constant of integration. } \end{aligned} $$

सूचना आतापासून पुढे, आपण अंतिम उत्तरात फक्त एक समाकलन स्थिरांक लिहू.

(ii) आपल्याकडे आहे $$ \begin{aligned} \int(x^{\frac{2}{3}}+1) d x & =\int x^{\frac{2}{3}} d x+\int d x \\ & =\frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1}+x+C=\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}+x+C \end{aligned} $$

(iii) आपल्याकडे आहे $\int(x^{\frac{3}{2}}+2 e^{x}-\frac{1}{x}) d x=\int x^{\frac{3}{2}} d x+\int 2 e^{x} d x-\int \frac{1}{x} d x$

$$ \begin{aligned} & =\frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+2 e^{x}-\log |x|+C \\ & =\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}+2 e^{x}-\log |x|+C \end{aligned} $$

उदाहरण ३ खालील समाकलने शोधा:

(i) $\int(\sin x+\cos x) d x$

(ii) $\int cosec x(cosec x+\cot x) d x$

(iii) $\int \frac{1-\sin x}{\cos ^{2} x} d x$

उकल

(i) आपल्याकडे आहे $$ \begin{aligned} \int(\sin x+\cos x) d x & =\int \sin x d x+\int \cos x d x \\ & =-\cos x+\sin x+C \end{aligned} $$

(ii) आपल्याकडे आहे $$ \begin{aligned} \int(cosec x(cosec x+\cot x) d x & =\int cosec^{2} x d x+\int cosec x \cot x d x \\ & =-\cot x-cosec x+C \end{aligned} $$

(iii) आपल्याकडे आहे $$ \begin{aligned} \int \frac{1-\sin x}{\cos ^{2} x} d x & =\int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x-\int \frac{\sin x}{\cos ^{2} x} d x \\ & =\int \sec ^{2} x d x-\int \tan x \sec x d x \\ & =\tan x-\sec x+C \end{aligned} $$

उदाहरण ४ $F$ द्वारे परिभाषित केलेल्या $f$ चे प्रतिव्युत्पन्न $f(x)=4 x^{3}-6$ शोधा, जिथे $F(0)=3$

उकल $f(x)$ चे एक प्रतिव्युत्पन्न $x^{4}-6 x$ आहे कारण

$$ \frac{d}{d x}(x^{4}-6 x)=4 x^{3}-6 $$

$$ F(x)=x^{4}-6 x+C \text{, where } C \text{ is constant. } $$

म्हणून, प्रतिव्युत्पन्न $F$ द्वारे दिले जाते

दिले आहे $$ \begin{aligned} F(0) & =3, \text{ which gives } \\ 3 & =0-6 \times 0+C \text{ or } C=3 \end{aligned} $$

म्हणून, आवश्यक प्रतिव्युत्पन्न हे अद्वितीय फलन $F$ आहे जे द्वारे परिभाषित केले आहे $\mathrm{F}(x)=x^{4}-6 x+3$

टिप्पण्या

(i) आपण पाहतो की जर $F$ हे $f$ चे प्रतिव्युत्पन्न असेल, तर $F+C$ देखील आहे, जिथे $C$ हा कोणताही स्थिरांक आहे. अशाप्रकारे, जर आपल्याला $F$ फलनाचे एक प्रतिव्युत्पन्न $f$ माहित असेल, तर आपण $f$ ला कोणताही स्थिरांक जोडून $F$ द्वारे व्यक्त केलेल्या $F(x)+C, C \in \mathbf{R}$ ची असंख्य प्रतिव्युत्पन्ने लिहू शकतो. अनुप्रयोगांमध्ये, अनेकदा एक अतिरिक्त अट पूर्ण करणे आवश्यक असते जी नंतर $C$ चे विशिष्ट मूल्य ठरवते जे दिलेल्या फलनाचे अद्वितीय प्रतिव्युत्पन्न देते.

(ii) कधीकधी, $F$ प्राथमिक फलनांच्या दृष्टीने व्यक्त करता येत नाही, उदा., बहुपदी, लॉगरिदमिक, घातांकीय, त्रिकोणमितीय फलने आणि त्यांचे व्यस्त इ. म्हणून आपण $\int f(x) d x$ शोधण्यासाठी अडथळा आहोत. उदाहरणार्थ, $\int e^{-x^{2}} d x$ निरीक्षणाद्वारे शोधणे शक्य नाही कारण आपल्याला असे फलन सापडत नाही ज्याचे व्युत्पन्न $e^{-x^{2}}$ आहे

(iii) जेव्हा समाकलनाचे चल $x$ व्यतिरिक्त इतर चलाद्वारे दर्शविले जाते, तेव्हा समाकलन सूत्रे त्यानुसार सुधारित केली जातात. उदाहरणार्थ

$$ \int y^{4} d y=\frac{y^{4+1}}{4+1}+C=\frac{1}{5} y^{5}+C $$

७.३ समाकलनाच्या पद्धती

मागील भागात, आपण अशा फलनांची समाकलने चर्चा केली जी काही फलनांच्या व्युत्पन्नांपासून सहज मिळवता येत होती. हे निरीक्षणावर आधारित होते, म्हणजेच, एखाद्या फलनाचा शोध $F$ ज्याचे व्युत्पन्न $f$ आहे ज्यामुळे आपण $f$ च्या समाकलनाकडे नेले. तथापि, ही पद्धत, जी निरीक्षणावर अवलंबून असते, अनेक फलनांसाठी फारशी योग्य नाही. म्हणून, आपल्याला समाकलने मानक स्वरूपात कमी करून शोधण्यासाठी अतिरिक्त तंत्रे किंवा पद्धती विकसित करण्याची आवश्यकता आहे. त्यापैकी प्रमुख आहेत:

१. प्रतिस्थापनाद्वारे समाकलन

२. आंशिक अपूर्णांक वापरून समाकलन

३. भागांद्वारे समाकलन

७.३.१ प्रतिस्थापनाद्वारे समाकलन

या भागात, आपण प्रतिस्थापनाद्वारे समाकलनाची पद्धत विचारात घेतो.

दिलेले समाकलन $\int f(x) d x$ हे स्वतंत्र चल $x$ ला $t$ मध्ये बदलून, $x=g(t)$ प्रतिस्थापित करून दुसर्या स्वरूपात रूपांतरित केले जाऊ शकते.

विचार करा $$ I=\int f(x) d x $$

$x=g(t)$ ठेवा जेणेकरून $\frac{d x}{d t}=g^{\prime}(t)$.

आपण लिहितो $$ d x=g^{\prime}(t) d t $$

अशाप्रकारे $$ I=\int f(x) d x=\int f(g(t)) g^{\prime}(t) d t $$

चल बदलण्याचे हे सूत्र आपल्यासमोर उपलब्ध असलेल्या महत्त्वाच्या साधनांपैकी एक आहे ज्याला प्रतिस्थापनाद्वारे समाकलन म्हणून ओळखले जाते. कोणते प्रतिस्थापन उपयुक्त ठरेल याचा अंदाज लावणे अनेकदा महत्त्वाचे असते. सामान्यतः, आपण अशा फलनासाठी प्रतिस्थापन करतो ज्याचे व्युत्पन्न देखील समाकल्यामध्ये उद्भवते जसे की खालील उदाहरणांमध्ये स्पष्ट केले आहे.

उदाहरण ५ $x$ च्या संदर्भात खालील फलनांचे समाकलन करा:

(i) $\sin m x$

(ii) $2 x \sin (x^{2}+1)$

(iii) $\frac{\tan ^{4} \sqrt{x} \sec ^{2} \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

(iv) $\frac{\sin (\tan ^{-1} x)}{1+x^{2}}$

उकल

(i) आपल्याला माहित आहे की $m x$ चे व्युत्पन्न $m$ आहे. अशाप्रकारे, आपण प्रतिस्थापन $m x=t$ करतो जेणेकरून $m d x=d t$.

म्हणून, $\quad \int \sin m x d x=\frac{1}{m} \int \sin t d t=-\frac{1}{m} \cos t+C=-\frac{1}{m} \cos m x+C$

(ii) $x^{2}+1$ चे व्युत्पन्न $2 x$ आहे. अशाप्रकारे, आपण प्रतिस्थापन $x^{2}+1=t$ वापरतो जेणेकरून $2 x d x=d t$.

म्हणून, $$\int 2 x \sin (x^{2}+1) d x=\int \sin t d t=-\cos t+C=-\cos (x^{2}+1)+C$$

(iii) $\sqrt{x}$ चे व्युत्पन्न $\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ आहे. अशाप्रकारे, आपण प्रतिस्थापन वापरतो

$\sqrt{x}=t$ जेणेकरून $\frac{1}{2 \sqrt{x}} d x=d t$ $d x=2 t d t$ देईल.

अशाप्रकारे, $\quad \int \frac{\tan ^{4} \sqrt{x} \sec ^{2} \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x=\int \frac{2 t \tan ^{4} t \sec ^{2} t d t}{t}=2 \int \tan ^{4} t \sec ^{2} t d t$

पुन्हा, आपण दुसरे प्रतिस्थापन $\tan t=u$ करतो जेणेकरून $\quad \sec ^{2} t d t=d u$

म्हणून,$2 \int \tan ^{4} t \sec ^{2} t d t=2 \int u^{4} d u=2 \frac{u^{5}}{5}+\mathrm{C}$ $$ \begin{aligned} & =\frac{2}{5} \tan ^{5} t+\mathrm{C}(\text { क्योंकि } u=\tan t) \\ & =\frac{2}{5} \tan ^{5} \sqrt{x}+\mathrm{C}(\text { क्योंकि } t=\sqrt{x}) \end{aligned} $$

म्हणून, $\quad \int \frac{\tan ^{4} \sqrt{x} \sec ^{2} \sqrt{x}}{\sqrt{x}} d x=\frac{2}{5} \tan ^{5} \sqrt{x}+C$

पर्यायाने, प्रतिस्थापन $\tan \sqrt{x}=t$ करा

(iv) $\tan ^{-1} x=\frac{1}{1+x^{2}}$ चे व्युत्पन्न. अशाप्रकारे, आपण प्रतिस्थापन वापरतो $ \tan ^{-1} x=t \text{ so that } \frac{d x}{1+x^{2}}=d t $

म्हणून, $\int \frac{\sin (\tan ^{-1} x)}{1+x^{2}} d x=\int \sin t d t=-\cos t+C=-\cos (\tan ^{-1} x)+C$

आता, आपण काही महत्त्वाची त्रिकोणमितीय फलने आणि त्यांची मानक समाकलने प्रतिस्थापन तंत्र वापरून चर्चा करतो. यांचा नंतर संदर्भ न देता वापर केला जाईल.

(i) $\int \tan x d x=\log |\sec x|+C$

आपल्याकडे आहे $ \int \tan x d x=\int \frac{\sin x}{\cos x} d x $

$\cos x=t$ ठेवा जेणेकरून $\sin x d x=-d t$

मग $\qquad \int \tan x d x=-\int \frac{d t}{t}=-\log |t|+C=-\log |\cos x|+C$

किंवा $\quad \int \tan x d x=\log |\sec x|+C$

(ii) $\int \cot x d x=\log |\sin x|+C$

आपल्याकडे आहे $\int \cot x d x=\int \frac{\cos x}{\sin x} d x$

$\sin x=t$ ठेवा जेणेकरून $\cos x d x=d t$

मग $$ \int \cot x d x=\int \frac{d t}{t}=\log |t|+C=\log |\sin x|+C $$

(iii) $\int \sec x d x=\log |\sec x+\tan x|+C$

आपल्याकडे आहे $ \int \sec x d x=\int \frac{\sec x(\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x} d x $

sec $x+\tan x=t$ ठेवा जेणेकरून $\sec x(\tan x+\sec x) d x=d t$

म्हणून, $\int \sec x d x=\int \frac{d t}{t}=\log |t|+C=\log |\sec x+\tan x|+C$

(iv) $\int cosec x d x=\log |cosec x-\cot x|+C$

आपल्याकडे आहे $ \int cosec x d x=\int \frac{cosec x(cosec x+\cot x)}{(cosec x+\cot x)} d x $

$cosec x+\cot x=t$ ठेवा जेणेकरून $-cosec x(cosec x+\cot x) d x=d t$

म्हणून $ \begin{aligned} \int cosec x d x & =-\int \