गणिताचा अभ्यास केला पाहिजे कारण गणिताद्वारेच निसर्गाची कल्पना सुसंगत स्वरूपात केली जाऊ शकते. - बिरखॉफ

८.१ प्रस्तावना

भूमितीमध्ये, आपण त्रिकोण, आयत, समलंब चौकोन आणि वर्तुळांसह विविध भूमितीय आकृत्यांचे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी सूत्रे शिकलो आहोत. अशी सूत्रे गणिताचे अनेक वास्तव जीवनातील समस्यांवर उपयोग करण्यासाठी मूलभूत आहेत. प्राथमिक भूमितीची सूत्रे आपल्याला अनेक सोप्या आकृत्यांचे क्षेत्रफळ काढण्यास अनुमती देतात. तथापि, वक्रांनी बंदिस्त केलेल्या क्षेत्रांची गणना करण्यासाठी ती अपुरी आहेत. त्यासाठी आपल्याला समाकलन कलनाच्या काही संकल्पनांची आवश्यकता असेल.

मागील प्रकरणात, आपण वक्र $y=f(x)$, कोटि रेषा $x=a$, $x=b$ आणि $x$-अक्ष यांनी बांधलेले क्षेत्रफळ, निश्चित समाकलनाची बेरीज म्हणून मर्यादा शोधण्यासाठी अभ्यासले आहे. येथे, या प्रकरणात, आपण साध्या वक्रांच्या खालील क्षेत्रफळ, रेषा आणि वर्तुळांच्या कंसांमधील क्षेत्रफळ, परवलय आणि

ए.एल. कॉशी (१७८९-१८५७) लंबवर्तुळ (केवळ प्रमाणित स्वरूपे) शोधण्यासाठी समाकलनांच्या विशिष्ट उपयोगाचा अभ्यास करू. वरील वक्रांनी बांधलेले क्षेत्रफळ शोधण्याशी देखील आपण व्यवहार करू.

८.२ साध्या वक्रांच्या खालील क्षेत्रफळ

मागील प्रकरणात, आपण निश्चित समाकलनाची बेरीज म्हणून मर्यादा म्हणून अभ्यासले आहे आणि मूलभूत प्रमेय कलन वापरून निश्चित समाकलनाचे मूल्यमापन कसे करायचे ते शिकलो आहोत. आता, आपण वक्र $y=f(x), x$-अक्ष आणि कोटि रेषा $x=a$ आणि $x=b$ यांनी बांधलेले क्षेत्रफळ शोधण्याचा सोपा आणि सहज मार्ग विचारात घेतो. आकृती ८.१ वरून, आपण वक्राखालील क्षेत्रफळाचा विचार अनेक अतिशय पातळ उभ्या पट्ट्यांनी बनलेले म्हणून करू शकतो. उंची $y$ आणि रुंदी $d x$ असलेली एक अनियंत्रित पट्टी विचारात घ्या, तर $d A$ (प्राथमिक पट्टीचे क्षेत्रफळ) $=y d x$, जिथे, $y=f(x)$.

हे क्षेत्रफळ प्राथमिक क्षेत्रफळ म्हणून ओळखले जाते जे प्रदेशातील एका अनियंत्रित स्थानावर स्थित आहे जे $x$ च्या काही मूल्याद्वारे निर्दिष्ट केले जाते जे $a$ आणि $b$ यांच्या दरम्यान आहे. आपण $x$-अक्ष, कोटि रेषा $x=a, x=b$ आणि वक्र $y=f(x)$ यांच्या दरम्यानच्या प्रदेशाचे एकूण क्षेत्रफळ A हे PQRSP प्रदेशातील पातळ पट्ट्यांची प्राथमिक क्षेत्रफळे जोडून मिळवलेले परिणाम म्हणून विचार करू शकतो. चिन्हात्मकपणे, आपण व्यक्त करतो

$$ \mathrm{A}=\int _{a}^{b} d \mathrm{~A}=\int _{a}^{b} y d x=\int _{a}^{b} f(x) d x $$

वक्र $x=g(y), y$-अक्ष आणि रेषा $y=c$, $y=d$ यांनी बांधलेल्या प्रदेशाचे क्षेत्रफळ $A$ खालीलप्रमाणे दिले आहे

$$ \mathrm{A}=\int _{c}^{d} x d y=\int _{c}^{d} g(y) d y $$

येथे, आपण आकृती ८.२ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे क्षैतिज पट्ट्यांचा विचार करतो

आकृती ८.२

टिप्पणी जर विचाराधीन वक्राची स्थिती $x$-अक्षाच्या खाली असेल, तर $f(x)<0$ $x=a$ ते $x=b$ पर्यंत असल्याने, आकृती ८.३ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे, वक्र, $x$-अक्ष आणि कोटि रेषा $x=a, x=b$ यांनी बांधलेले क्षेत्रफळ ऋणात्मक येते. परंतु, केवळ क्षेत्रफळाचे संख्यात्मक मूल्यच विचारात घेतले जाते. अशाप्रकारे, जर क्षेत्रफळ ऋणात्मक असेल, तर आपण त्याचे निरपेक्ष मूल्य घेतो, म्हणजेच $|\int_a^{b} f(x) d x|$.

आकृती ८.३

सामान्यतः, असे होऊ शकते की वक्राचा काही भाग $x$-अक्षाच्या वर आणि काही $x$-अक्षाच्या खाली असतो जसे आकृती ८.४ मध्ये दाखवले आहे. येथे, $A_1<0$ आणि $A_2>0$. म्हणून, वक्र $y=f(x), x$-अक्ष आणि कोटि रेषा $x=a$ आणि $x=b$ यांनी बांधलेले क्षेत्रफळ A $A=|A_1|+A_2$ द्वारे दिले जाते.

आकृती ८.४

उदाहरण १ वर्तुळ $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ ने बंदिस्त केलेले क्षेत्रफळ शोधा.

उकल आकृती ८.५ वरून, दिलेल्या वर्तुळाने बंदिस्त केलेले संपूर्ण क्षेत्रफळ $=4$ (वक्र, $x$-अक्ष आणि कोटि रेषा $x=0$ आणि $x=a$ यांनी बांधलेल्या प्रदेश AOBA चे क्षेत्रफळ) [वर्तुळ $x$-अक्ष आणि $y$-अक्ष यांच्याप्रती सममितीय असल्याने]

$$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{a} y d x \text{ (taking vertical strips) } \\ & =4 \int_0^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x \end{aligned} $$

$x^{2}+y^{2}=a^{2}$ दिल्याने $\quad y= \pm \sqrt{a^{2}-x^{2}}$ मिळते

आकृती ८.५

प्रदेश AOBA पहिल्या चरणात असल्याने, $y$ धनात्मक म्हणून घेतले जाते. समाकलन करून, दिलेल्या वर्तुळाने बंदिस्त केलेले संपूर्ण क्षेत्रफळ मिळते

$ \begin{aligned} & =4[\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}]_0^{a} \\ & =4[(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0]=4(\frac{a^{2}}{2})(\frac{\pi}{2})=\pi a^{2} \end{aligned} $

पर्यायाने, आकृती ८.६ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे क्षैतिज पट्ट्यांचा विचार करता, वर्तुळाने बंदिस्त केलेल्या प्रदेशाचे संपूर्ण क्षेत्रफळ

$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{a} x d y=4 \int_0^{a} \sqrt{a^{2}-y^{2}} d y \text{(का?)} \\ & =4[\frac{y}{2} \sqrt{a^{2}-y^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{y}{a}]_0^{a} \\ & =4[(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0] \\ & =4 \frac{a^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a^{2} \end{aligned} $

आकृती ८.६

उदाहरण २ लंबवर्तुळ $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ने बंदिस्त केलेले क्षेत्रफळ शोधा

उकल आकृती ८.७ वरून, लंबवर्तुळाने बंदिस्त केलेल्या प्रदेश $ABA^{\prime} B^{\prime} A$ चे क्षेत्रफळ

$=4(\begin{matrix} \text{ area of the region } A O B A \text{ in the first quadrant bounded } \\ \text{ by the curve, } x-\text{ axis and theordinates } x=0, x=a\end{matrix} )$

(लंबवर्तुळ $x$-अक्ष आणि $y$-अक्ष यांच्याप्रती सममितीय असल्याने)

$=4 \int_0^{a} y d x \quad$ (उभ्या पट्ट्या घेऊन)

आता $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ दिल्याने $y= \pm \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}}$ मिळते, परंतु प्रदेश AOBA पहिल्या चरणात असल्याने, $y$ धनात्मक म्हणून घेतले जाते. म्हणून, आवश्यक क्षेत्रफळ आहे

$ \begin{aligned} & =4 \int _{0}^{a} \frac{b}{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x \\ & =\frac{4 b}{a}\left[\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{a}\right] _{0}^{a} \text { (का) } \\ & =\frac{4 b}{a}\left[\left(\frac{a}{2} \times 0+\frac{a^{2}}{2} \sin ^{-1} 1\right)-0\right] \\ & =\frac{4 b}{a} \frac{a^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a b \text { } \end{aligned} $

आकृती ८.७

पर्यायाने, आकृती ८.८ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे क्षैतिज पट्ट्यांचा विचार करता, लंबवर्तुळाचे क्षेत्रफळ आहे

$$ \begin{aligned} & =4 \int_0^{b} x d y=4 \frac{a}{b} \int_0^{b} \sqrt{b^{2}-y^{2}} d y \text{ (Why?) } \\ & =\frac{4 a}{b}[\frac{y}{2} \sqrt{b^{2}-y^{2}}+\frac{b^{2}}{2} \sin ^{-1} \frac{y}{b}]_0^{b} \\ & =\frac{4 a}{b}[(\frac{b}{2} \times 0+\frac{b^{2}}{2} \sin ^{-1} 1)-0] \\ & =\frac{4 a}{b} \frac{b^{2}}{2} \frac{\pi}{2}=\pi a b \end{aligned} $$

आकृती ८.८

विविध उदाहरणे

उदाहरण ३ रेषा $y=3 x+2$, $x$-अक्ष आणि कोटि रेषा $x=-1$ आणि $x=1$ यांनी बांधलेल्या प्रदेशाचे क्षेत्रफळ शोधा.

उकल आकृती ८.९ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे, रेषा $y=3 x+2$ $x$-अक्षाला $x=\frac{-2}{3}$ येथे छेदते आणि त्याचा आलेख $x$-अक्षाच्या खाली $x \in(-1, \frac{-2}{3})$ साठी आणि $x$-अक्षाच्या वर $x \in(\frac{-2}{3}, 1)$ साठी असतो.

आवश्यक क्षेत्रफळ $=$ प्रदेश $ACBA+$ चे क्षेत्रफळ प्रदेश ADEA चे क्षेत्रफळ

$ \begin{aligned} & =|\int _{-1}^{\frac{-2}{3}}(3 x+2) d x|+\int _{\frac{-2}{3}}^{1}(3 x+2) d x \\ & =|[\frac{3 x^{2}}{2}+2 x] _{-1}^{\frac{-2}{3}}|+[\frac{3 x^{2}}{2}+2 x] _{\frac{-2}{3}}^{1}=\frac{1}{6}+\frac{25}{6}=\frac{13}{3} \end{aligned} $

आकृती ८.९

उदाहरण ४ वक्र $y=\cos x$ द्वारे $x=0$ आणि $x=2 \pi$ यांच्या दरम्यान बांधलेले क्षेत्रफळ शोधा.

उकल आकृती ८.१० वरून, आवश्यक क्षेत्रफळ $=$ प्रदेश $OABO+$ चे क्षेत्रफळ प्रदेश $BCDB+$ चे क्षेत्रफळ प्रदेश DEFD चे क्षेत्रफळ.

आकृती ८.१०

अशाप्रकारे, आपल्याकडे आवश्यक क्षेत्रफळ आहे

$ \begin{aligned} & =\int_ 0^{\frac{\pi}{2}} \cos x d x+|\int_ {\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} \cos x d x|+\int_ {\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi} \cos x d x \\ & =[\sin x]_ 0^{\frac{\pi}{2}}+|[\sin x]_ {\frac{\pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}}|+[\sin x]_ {\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi} \\ & =1+2+1=4 \end{aligned} $

सारांश

वक्र $y=f(x), x$-अक्ष आणि रेषा $x=a$ आणि $x=b(b>a)$ यांनी बांधलेल्या प्रदेशाचे क्षेत्रफळ सूत्राने दिले आहे: क्षेत्रफळ $=\int_a^{b} y d x=\int_a^{b} f(x) d x$. वक्र $x=\phi(y), y$-अक्ष आणि रेषा $y=c, y=d$ यांनी बांधलेल्या प्रदेशाचे क्षेत्रफळ सूत्राने दिले आहे: क्षेत्रफळ $=\int_c^{d} x d y=\int_c^{d} \phi(y) d y$.

ऐतिहासिक नोंद

समाकलन कलनाचा उगम गणिताच्या विकासाच्या प्रारंभिक काळात जातो आणि तो प्राचीन ग्रीसच्या गणितज्ञांनी विकसित केलेल्या क्षीणीकरण पद्धतीशी संबंधित आहे. ही पद्धत समतल आकृत्यांचे क्षेत्रफळ, घन पदार्थांचे पृष्ठभाग क्षेत्रफळ आणि घनफळ यांची गणना करण्याच्या समस्यांच्या उकल मध्ये उद्भवली. या अर्थाने, क्षीणीकरण पद्धत ही समाकलनाची एक प्रारंभिक पद्धत मानली जाऊ शकते. प्रारंभिक काळात क्षीणीकरण पद्धतीचा सर्वात मोठा विकास युडॉक्सस (४४० इ.स.पू.) आणि आर्किमिडीज (३०० इ.स.पू.) यांच्या कार्यात मिळाला.

कलन सिद्धांताकडे पद्धतशीर दृष्टिकोन १७व्या शतकात सुरू झाला. १६६५ मध्ये, न्यूटनने कलनावर आपले कार्य सुरू केले ज्याचे त्यांनी प्रवाह सिद्धांत म्हणून वर्णन केले आणि वक्रावरील कोणत्याही बिंदूवर स्पर्शिका आणि वक्रता त्रिज्या शोधण्यासाठी त्यांचा सिद्धांत वापरला. न्यूटनने व्यस्त फलनाची मूलभूत संकल्पना म्हणून प्रतिअवकलज (अनिश्चित समाकलन) किंवा स्पर्शिकांची व्यस्त पद्धत सादर केली.

१६८४-८६ दरम्यान, लाइबनिट्झने एका लेखाची प्रकाशित केली ज्याला त्यांनी कॅल्क्युलस सम्मेटोरियस असे म्हटले, कारण ते अमर्याद लहान क्षेत्रफळांच्या बेरजेशी संबंधित होते, ज्याची बेरीज त्यांनी ‘∫’ या चिन्हाने दर्शवली. १६९६ मध्ये, जे. बर्नौली यांनी केलेल्या सूचनेनुसार त्यांनी हा लेख कॅल्क्युलस इंटेग्रालीमध्ये बदलला. हे न्यूटनच्या स्पर्शिकांच्या व्यस्त पद्धतीशी जुळले.

न्यूटन आणि लाइबनिट्झ या दोघांनीही स्वतंत्र दृष्टिकोन स्वीकारले जे मूलतः भिन्न होते. तथापि, संबंधित सिद्धांतांनी व्यावहारिकदृष्ट्या एकसारखे परिणणे साध्य केले. लाइबनिट्झने निश्चित समाकलनाची संकल्पना वापरली आणि हे निश्चित आहे की त्यांनी प्रथम प्रतिअवकलज आणि निश्चित समाकलन यांच्यातील संबंध स्पष्टपणे जाणले.

निष्कर्षतः, समाकलन कलनाच्या मूलभूत संकल्पना आणि सिद्धांत आणि प्रामुख्याने त्याचे अवकलन कलनाशी असलेले संबंध १७व्या शतकाच्या अखेरीस पी. डी फर्मॅट, आय. न्यूटन आणि जी. लाइबनिट्झ यांच्या कार्यात विकसित झाले. तथापि, मर्यादेच्या संकल्पनेद्वारे हे समर्थन केवळ १९व्या शतकाच्या प्रारंभी ए.एल. कॉशी यांच्या कार्यात विकसित झाले. शेवटी, ली सोफीचे खालील उतारा उल्लेख करण्यासारखे आहे:

“असे म्हटले जाऊ शकते की अवकलज आणि समाकलन या संकल्पना ज्या त्यांच्या उत्पत्तीत निश्चितपणे आर्किमिडीजकडे परत जातात त्या केप्लर, डेकार्टेस, काव्हालिएरी, फर्मॅट आणि वॉलिस यांच्या संशोधनाद्वारे विज्ञानात सादर केल्या गेल्या …. अवकलन आणि समाकलन ही व्यस्त क्रिया आहेत हा शोध न्यूटन आणि लाइबनिट्झ यांच्याशी संबंधित आहे”.