ज्याला मनात एक निश्चित समस्या न ठेवता पद्धती शोधायच्या असतात, तो बहुतेक वेळा व्यर्थ शोध घेत असतो. - डी. हिल्बर्ट

९.१ परिचय

इयत्ता अकरावीत आणि या पुस्तकाच्या प्रकरण ५ मध्ये, आपण दिलेल्या फलन $f$ चे स्वतंत्र चलाच्या संदर्भात अवकलन कसे करायचे यावर चर्चा केली होती, म्हणजेच, दिलेल्या फलन $f$ साठी त्याच्या परिभाषाच्या प्रदेशातील प्रत्येक $x$ बिंदूवर $f^{\prime}(x)$ कसे काढायचे. पुढे, समाकलन कलनाच्या प्रकरणात, आपण असे फलन $f$ कसे शोधायचे यावर चर्चा केली होती, ज्याचे अवकलज हे फलन $g$ आहे, हे खालीलप्रमाणेही सूत्रित केले जाऊ शकते:

दिलेल्या फलन $g$ साठी, असे फलन $f$ शोधा की

$$ \frac{d y}{d x}=g(x) \text { where } y=f(x) $$

हेन्री पॉयंकेर $(1854-1912)$

(1) या स्वरूपाच्या समीकरणाला अवकल समीकरण म्हणतात. औपचारिक व्याख्या नंतर दिली जाईल.

ही समीकरणे विविध उपयोगांमध्ये निर्माण होतात, ती भौतिकशास्त्र, रसायनशास्त्र, जीवशास्त्र, मानववंशशास्त्र, भूविज्ञान, अर्थशास्त्र इत्यादी कोणत्याही क्षेत्रात असोत. म्हणून, अवकल समीकरणांच्या सखोल अभ्यासाने सर्व आधुनिक वैज्ञानिक संशोधनांमध्ये प्राथमिक महत्त्व प्राप्त केले आहे.

या प्रकरणात, आपण अवकल समीकरणाशी संबंधित काही मूलभूत संकल्पना, अवकल समीकरणाचे सामान्य आणि विशिष्ट उकल, अवकल समीकरणांची निर्मिती, प्रथम कोटी - प्रथम घाताचे अवकल समीकरण सोडवण्याच्या काही पद्धती आणि अवकल समीकरणांच्या विविध क्षेत्रांतील काही उपयोगांचा अभ्यास करू.

९.२ मूलभूत संकल्पना

आपण आधीच या प्रकारच्या समीकरणांशी परिचित आहोत:

$$ \begin{align*} x^{2}-3 x+3=0 \tag{1} \\ \sin x+\cos x=0 \tag{2} \\ x+y=7 \tag{3} \end{align*} $$

आपण समीकरण पाहू या:

$$ \begin{equation*} x \frac{d y}{d x}+y=0 \tag{4} \end{equation*} $$

आपण पाहतो की समीकरणे (1), (2) आणि (3) मध्ये फक्त स्वतंत्र आणि/किंवा आश्रित चल(चले) येतात परंतु समीकरण (4) मध्ये चलांबरोबरच आश्रित चल $y$ चे स्वतंत्र चल $x$ च्या संदर्भात अवकलजही येते. अशा समीकरणाला अवकल समीकरण म्हणतात.

सर्वसाधारणपणे, आश्रित चलाचे स्वतंत्र चल(चलां) च्या संदर्भात अवकलज(अवकलजे) येणारे समीकरण याला अवकल समीकरण म्हणतात.

आश्रित चलाचे फक्त एका स्वतंत्र चलाच्या संदर्भात अवकलज येणारे अवकल समीकरण याला सामान्य अवकल समीकरण म्हणतात, उदा.,

$ 2 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+(\frac{d y}{d x})^{3}=0 \text{ हे एक सामान्य अवकल समीकरण आहे } $

अर्थात, एकापेक्षा जास्त स्वतंत्र चलांच्या संदर्भात अवकलजे येणारी अवकल समीकरणेही आहेत, त्यांना आंशिक अवकल समीकरणे म्हणतात, परंतु या टप्प्यावर आपण फक्त सामान्य अवकल समीकरणांच्या अभ्यासापुरते मर्यादित राहू. आतापासून पुढे, आपण ‘सामान्य अवकल समीकरण’ साठी ‘अवकल समीकरण’ हा शब्द वापरू.

टीप

१. आपण अवकलजांसाठी खालील संकेतांकन वापरण्यास प्राधान्य द्यू:

$$ \frac{d y}{d x}=y^{\prime}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=y^{\prime \prime}, \frac{d^{3} y}{d x^{3}}=y^{\prime \prime \prime} $$

२. उच्च कोटीच्या अवकलजांसाठी, अनेक डॅशेस सुपरसफिक्स म्हणून वापरणे गैरसोयीचे होईल, म्हणून आपण $\frac{d^{n} y}{d x^{n}}$ या $n$ व्या कोटीच्या अवकलजासाठी $y_n$ हे संकेतांकन वापरू.

९.२.१ अवकल समीकरणाची कोटी

दिलेल्या अवकल समीकरणात येणार्या आश्रित चलाच्या स्वतंत्र चलाच्या संदर्भातील सर्वोच्च कोटीच्या अवकलजाच्या कोटीला अवकल समीकरणाची कोटी म्हणतात.

खालील अवकल समीकरणे पाहू:

$$ \begin{align*} & \frac{d y}{d x}=e^{x} \tag{6}\\ & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0 \tag{7}\\ & \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+x^{2}\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{3}=0 \tag{8} \end{align*} $$

समीकरणे (6), (7) आणि (8) मध्ये अनुक्रमे प्रथम, द्वितीय आणि तृतीय कोटीचे सर्वोच्च अवकलज येतात. म्हणून, या समीकरणांची कोटी अनुक्रमे 1,2 आणि 3 आहे.

९.२.२ अवकल समीकरणाचा घात

अवकल समीकरणाचा घात अभ्यासण्यासाठी, महत्त्वाची बाब म्हणजे अवकल समीकरण हे अवकलजांमधील बहुपदी समीकरण असणे आवश्यक आहे, म्हणजेच $y^{\prime}, y^{\prime \prime}, y^{\prime \prime \prime}$ इत्यादी. खालील अवकल समीकरणे पाहू:

$ \begin{aligned} \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+2(\frac{d^{2} y}{d x^{2}})^{2}-\frac{d y}{d x}+y & =0 \\ (\frac{d y}{d x})^{2}+(\frac{d y}{d x})-\sin ^{2} y & =0 \\ \frac{d y}{d x}+\sin (\frac{d y}{d x}) & =0 \end{aligned} $

आपण पाहतो की समीकरण (9) हे $y^{\prime \prime \prime}, y^{\prime \prime}$ आणि $y^{\prime}$ मधील बहुपदी समीकरण आहे, समीकरण (10) हे $y^{\prime}$ मधील बहुपदी समीकरण आहे ($y$ मधील बहुपदी नसले तरी). अशा अवकल समीकरणांचा घात परिभाषित करता येतो. परंतु समीकरण (11) हे $y^{\prime}$ मधील बहुपदी समीकरण नाही आणि अशा अवकल समीकरणाचा घात परिभाषित करता येत नाही.

अवकल समीकरणाचा घात, जेव्हा ते अवकलजांमधील बहुपदी समीकरण असते, तेव्हा दिलेल्या अवकल समीकरणात येणार्या सर्वोच्च कोटीच्या अवकलजाचा सर्वोच्च घात (धन पूर्णांक घातांक) याला आपण अवकल समीकरणाचा घात म्हणतो.

वरील व्याख्येच्या आधारे, आपण पाहू शकतो की अवकल समीकरणे (6), (7), (8) आणि (9) प्रत्येकाचा घात एक आहे, समीकरण (10) चा घात दोन आहे तर अवकल समीकरण (11) चा घात परिभाषित नाही.

टीप अवकल समीकरणाची कोटी आणि घात (जर परिभाषित असेल तर) नेहमी धन पूर्णांक असतात.

उदाहरण १ खालील प्रत्येक अवकल समीकरणाची कोटी आणि घात (जर परिभाषित असेल तर) शोधा:

(i) $\frac{d y}{d x}-\cos x=0$

(ii) $x y \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x(\frac{d y}{d x})^{2}-y \frac{d y}{d x}=0$

(iii) $y^{\prime \prime \prime}+y^{2}+e^{y^{\prime}}=0$

उकल

(i) अवकल समीकरणात उपस्थित असलेले सर्वोच्च कोटीचे अवकलज $\frac{d y}{d x}$ आहे, म्हणून त्याची कोटी एक आहे. ते $y^{\prime}$ मधील बहुपदी समीकरण आहे आणि $\frac{d y}{d x}$ वर वाढवलेला सर्वोच्च घात एक आहे, म्हणून त्याचा घात एक आहे.

(ii) दिलेल्या अवकल समीकरणात उपस्थित असलेले सर्वोच्च कोटीचे अवकलज $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ आहे, म्हणून त्याची कोटी दोन आहे. ते $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ आणि $\frac{d y}{d x}$ मधील बहुपदी समीकरण आहे आणि $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ वर वाढवलेला सर्वोच्च घात एक आहे, म्हणून त्याचा घात एक आहे.

(iii) अवकल समीकरणात उपस्थित असलेले सर्वोच्च कोटीचे अवकलज $y^{\prime \prime \prime}$ आहे, म्हणून त्याची कोटी तीन आहे. दिलेले अवकल समीकरण त्याच्या अवकलजांमधील बहुपदी समीकरण नाही आणि म्हणून त्याचा घात परिभाषित नाही.

९.३ अवकल समीकरणाचे सामान्य आणि विशिष्ट उकल

मागील इयत्तांमध्ये, आपण या प्रकारची समीकरणे सोडवली आहेत:

$$ \begin{align*} x^{2}+1=0 \tag{1} \\ \sin ^{2} x-\cos x=0 \tag{2} \end{align*} $$

समीकरण (1) आणि (2) चे उकल म्हणजे संख्या, वास्तव किंवा सम्मिश्र, ज्या दिलेल्या समीकरणाचे समाधान करतील म्हणजेच, जेव्हा ती संख्या दिलेल्या समीकरणातील अज्ञात $x$ च्या जागी ठेवली जाते, तेव्हा डावी बाजू उजव्या बाजूएवढी होते.

आता अवकल समीकरण पाहू

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0$

पहिल्या दोन समीकरणांच्या विपरीत, या अवकल समीकरणाचे उकल म्हणजे एक फलन $\phi$ जे त्याचे समाधान करेल म्हणजेच, जेव्हा फलन $\phi$ दिलेल्या अवकल समीकरणातील अज्ञात $y$ (आश्रित चल) च्या जागी ठेवले जाते, तेव्हा डावी बाजू उजव्या बाजूएवढी होते.

वक्र $y=\phi(x)$ याला दिलेल्या अवकल समीकरणाचे उकल वक्र (समाकलन वक्र) म्हणतात. खालीलप्रमाणे दिलेले फलन पाहू

$$ \begin{equation*} y=\phi(x)=a \sin (x+b) \tag{4} \end{equation*} $$

जेथे $a, b \in \mathbf{R}$. जेव्हा हे फलन आणि त्याचे अवकलज समीकरण (3) मध्ये ठेवले जातात, तेव्हा डावी बाजू = उजवी बाजू. म्हणून ते अवकल समीकरण (3) चे एक उकल आहे.

समजा $a$ आणि $b$ यांना काही विशिष्ट मूल्ये दिली आहेत, म्हणजे $a=2$ आणि $b=\frac{\pi}{4}$, तर आपल्याला एक फलन मिळते

$$ \begin{equation*} y=\phi _{1}(x)=2 \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right) \tag{5} \end{equation*} $$

जेव्हा हे फलन आणि त्याचे अवकलज समीकरण (3) मध्ये पुन्हा ठेवले जातात, तेव्हा डावी बाजू = उजवी बाजू. म्हणून $\phi_1$ हे देखील समीकरण (3) चे एक उकल आहे.

फलन $\phi$ मध्ये दोन अनियंत्रित स्थिरांक (पॅरामीटर्स) $a, b$ आहेत आणि त्याला दिलेल्या अवकल समीकरणाचे सामान्य उकल म्हणतात. तर फलन $\phi_1$ मध्ये अनियंत्रित स्थिरांक नसून फक्त पॅरामीटर्स $a$ आणि $b$ ची विशिष्ट मूल्ये आहेत आणि म्हणून त्याला दिलेल्या अवकल समीकरणाचे विशिष्ट उकल म्हणतात. ज्या उकलमध्ये अनियंत्रित स्थिरांक असतात, त्याला अवकल समीकरणाचे सामान्य उकल (आदिम) म्हणतात.

जे उकल अनियंत्रित स्थिरांकांपासून मुक्त असते म्हणजेच, सामान्य उकलमधील अनियंत्रित स्थिरांकांना विशिष्ट मूल्ये देऊन मिळवलेल्या उकलला अवकल समीकरणाचे विशिष्ट उकल म्हणतात.

उदाहरण २ फलन $y=e^{-3 x}$ हे अवकल समीकरण $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\frac{d y}{d x}-6 y=0$ चे उकल आहे हे सत्यापित करा.

उकल दिलेले फलन $y=e^{-3 x}$ आहे. समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंचे $x$ च्या संदर्भात अवकलन करून, आपल्याला मिळते

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=3 e^{-3 x} \tag{1} \end{equation*} $$

आता, (1) चे $x$ च्या संदर्भात अवकलन करून, आपल्याला मिळते

$$ \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=9 e^{-3 x} $$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}, \frac{d y}{d x}$ आणि $y$ ची मूल्ये दिलेल्या अवकल समीकरणात ठेवून, आपल्याला मिळते

डावी बाजू $=9 e^{-3 x}+(-3 e^{-3 x})-6 . e^{-3 x}=9 e^{-3 x}-9 e^{-3 x}=0=$ उजवी बाजू.

म्हणून, दिलेले फलन हे दिलेल्या अवकल समीकरणाचे उकल आहे.

उदाहरण ३ फलन $y=a \cos x+b \sin x$, जेथे, $a, b \in \mathbf{R}$ हे अवकल समीकरण $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0$ चे उकल आहे हे सत्यापित करा.

उकल दिलेले फलन आहे

$$ \begin{equation*} y=a \cos x+b \sin x \tag{1} \end{equation*} $$

समीकरण (1) च्या दोन्ही बाजूंचे $x$ च्या संदर्भात, क्रमशः अवकलन करून, आपल्याला मिळते

$$ \begin{aligned} \frac{d y}{d x} & =-a \sin x+b \cos x \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =-a \cos x-b \sin x \end{aligned} $$

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ आणि $y$ ची मूल्ये दिलेल्या अवकल समीकरणात ठेवून, आपल्याला मिळते

डावी बाजू $=(-a \cos x-b \sin x)+(a \cos x+b \sin x)=0=$ उजवी बाजू.

म्हणून, दिलेले फलन हे दिलेल्या अवकल समीकरणाचे उकल आहे.

९.४ प्रथम कोटी, प्रथम घाताची अवकल समीकरणे सोडवण्याच्या पद्धती

या विभागात आपण प्रथम कोटी प्रथम घाताची अवकल समीकरणे सोडवण्याच्या तीन पद्धतींची चर्चा करू.

९.४.१ वेगळे करता येणार्या चलांसह अवकल समीकरणे

प्रथम कोटी-प्रथम घाताचे अवकल समीकरण हे खालील स्वरूपाचे असते

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\mathrm{F}(x, y) \tag{1} \end{equation*} $$

जर $F(x, y)$ हे $g(x) h(y)$ या गुणाकाराच्या रूपात व्यक्त करता येत असेल, जेथे, $g(x)$ हे $x$ चे फलन आहे आणि $h(y)$ हे $y$ चे फलन आहे, तर अवकल समीकरण (1) ला वेगळे करता येणार्या चलांच्या प्रकारचे असे म्हणतात. अवकल समीकरण (1) ला मग खालील स्वरूप प्राप्त होते

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=h(y) \cdot g(x) \tag{2} \end{equation*} $$

जर $h(y) \neq 0$ असेल, तर चलांचे पृथक्करण करून, (2) हे खालीलप्रमाणे पुन्हा लिहिता येते

$$ \begin{equation*} \frac{1}{h(y)} d y=g(x) d x \tag{3} \end{equation*} $$

(3) च्या दोन्ही बाजूंचे समाकलन करून, आपल्याला मिळते

$$ \begin{equation*} \int \frac{1}{h(y)} d y=\int g(x) d x \tag{4} \end{equation*} $$

अशाप्रकारे, (4) दिलेल्या अवकल समीकरणाचे उकल खालील स्वरूपात पुरवते

$$ \begin{equation*} \mathrm{H}(y)=\mathrm{G}(x)+\mathrm{C} \tag{5} \end{equation*} $$

येथे, $H(y)$ आणि $G(x)$ हे अनुक्रमे $\frac{1}{h(y)}$ आणि $g(x)$ चे प्रतिअवकलज आहेत आणि $C$ हा अनियंत्रित स्थिरांक आहे.

उदाहरण ४ अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}=\frac{x+1}{2-y},(y \neq 2)$ चे सामान्य उकल शोधा.

उकल आपल्याकडे आहे

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\frac{x+1}{2-y}(y \neq 2) \tag{1} \end{equation*} $$

समीकरण (1) मधील चलांचे पृथक्करण करून, आपल्याला मिळते

$$ \begin{equation*} (2-y) d y=(x+1) d x \tag{2} \end{equation*} $$

समीकरण (2) च्या दोन्ही बाजूंचे समाकलन करून, आपल्याला मिळते

$$ \int(2-y) d y=\int(x+1) d x $$

$$ \text{ or } \qquad 2 y-\frac{y^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{2}+x+\mathrm{C} _{1} $$

$$ \text{ or } \qquad x^{2}+y^{2}+2 x-4 y+2 \mathrm{C} _{1}=0 $$

$\text{ or } \qquad x^{2}+y^{2}+2 x-4 y+\mathrm{C}=0 \text { where } \mathrm{C}=2 \mathrm{C} _{1}$

जे समीकरण (1) चे सामान्य उकल आहे.

उदाहरण ५ अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}=\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}$ चे सामान्य उकल शोधा.

उकल $1+y^{2} \neq 0$ असल्याने, चलांचे पृथक्करण करून, दिलेले अवकल समीकरण खालीलप्रमाणे लिहिता येते

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{1+y^{2}}=\frac{d x}{1+x^{2}} \tag{1} \end{equation*} $$

समीकरण (1) च्या दोन्ही बाजूंचे समाकलन करून, आपल्याला मिळते

$$ \int \frac{d y}{1+y^{2}}=\int \frac{d x}{1+x^{2}} $$

$$\text{ or }\qquad \tan ^{-1} y=\tan ^{-1} x+\mathrm{C} $$

जे समीकरण (1) चे सामान्य उकल आहे.

उदाहरण ६ अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}=-4 x y^{2}$ चे विशिष्ट उकल शोधा, दिले आहे की $y=1$, जेव्हा $x=0$.

उकल जर $y \neq 0$ असेल, तर दिलेले अवकल समीकरण खालीलप्रमाणे लिहिता येते

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{y^{2}}=-4 x d x \tag{1} \end{equation*} $$

समीकरण (1) च्या दोन्ही बाजूंचे समाकलन करून, आपल्याला मिळते

$ \begin{aligned} \int \frac{d y}{y^{2}} & =-4 \int x d x \\ \frac{1}{y} & =-2 x^{2}+C \\ \text{ or } \quad y & =\frac{1}{2 x^{2}-C} \end{aligned} $

$y=1$ आणि $x=0$ ही मूल्ये समीकरण (2) मध्ये ठेवून, आपल्याला मिळते, $C=-1$.

आता $C$ चे मूल्य समीकरण (2) मध्ये ठेवून, आपल्याला दिलेल्या अवकल समीकरणाचे विशिष्ट उकल $y=\frac{1}{2 x^{2}+1}$ म्हणून मिळते.

उदाहरण ७ बिंदू $(1,1)$ मधून जाणाऱ्या वक्राचे समीकरण शोधा, ज्याचे अवकल समीकरण $x d y=(2 x^{2}+1) d x(x \neq 0)$ आहे.

उकल दिलेले अवकल समीकरण खालीलप्रमाणे व्यक्त करता येते

$\text{ or } \qquad dy $ $ =(\frac{2x^2+1}{x}) dx \\ dy =(2 x+\frac{1}{x}) d x $

समीकरण (1) च्या दोन्ही बाजूंचे समाकलन करून, आपल्याला मिळते

$$ \int d y=\int\left(2 x+\frac{1}{x}\right) d x $$

$ \begin{equation*} \text{ or }\qquad y=x^{2}+\log |x|+\mathrm{C} \tag{2} \end{equation*} $

समीकरण (2) हे दिलेल्या अवकल समीकरणाच्या उकल वक्रांचे कुटुंब दर्शवते परंतु आपल्याला त्यातील एका विशिष्ट सदस्याचे समीकरण शोधायचे आहे जे बिंदू $(1,1)$ मधून जाते. म्हणून $x=1, y=1$ ही मूल्ये समीकरण (2) मध्ये ठेवून, आपल्याला मिळते $C=0$.

आता $C$ चे मूल्य समीकरण (2) मध्ये ठेवून, आपल्याला आवश्यक असलेल्या वक्राचे समीकरण $y=x^{2}+\log |x|$ म्हणून मिळते.

उदाहरण ८ बिंदू $(-2,3)$ मधून जाणाऱ्या वक्राचे समीकरण शोधा, दिले आहे की वक्रावरील कोणत्याही बिंदू $(x, y)$ वर स्पर्शिकेचा उतार $\frac{2 x}{y^{2}}$ आहे.

उकल आपल्याला माहित आहे की वक्रावरील स्पर्शिकेचा उतार $\frac{d y}{d x}$ द्वारे दिला जातो.

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\frac{2 x}{y^{2}} \tag{1} \end{equation*} $$

चलांचे पृथक्करण करून, समीकरण (1) खालीलप्रमाणे लिहिता येते

$$ \begin{equation*} y^{2} d y=2 x d x \tag{2} \end{equation*} $$

समीकरण (2) च्या दोन्ही बाजूंचे समाकलन करून, आपल्याला मिळते

$$ \int y^{2} d y=\int 2 x d x $$

$$ \begin{equation*} \text{ or } \qquad \frac{y^{3}}{3}=x^{2}+\mathrm{C} \tag{3} \end{equation*} $$

$x=-2, y=3$ ही मूल्ये समीकरण (3) मध्ये ठेवून, आपल्याला मिळते $C=5$.

$C$ चे मूल्य समीकरण (3) मध्ये ठेवून, आपल्याला आवश्यक असलेल्या वक्राचे समीकरण मिळते

$$ \frac{y^{3}}{3}=x^{2}+5 \quad \text{ or } \quad y=(3 x^{2}+15)^{\frac{1}{3}} $$

उदाहरण ९ एका बँकेत, मुद्दल दरवर्षी 5% दराने सतत वाढते. किती वर्षांत 1000 रुपये दुप्पट होतील?

उकल समजा $P$ हे कोणत्याही वेळी $t$ चे मुद्दल आहे. दिलेल्या समस्येनुसार,

$$ \begin{align*} & \frac{d \mathrm{P}}{d t}=\left(\frac{5}{100}\right) \times \mathrm{P} \\ & \frac{d \mathrm{P}}{d t}=\frac{\mathrm{P}}{20} \tag{1} \end{align*} $$

समीकरण (1) मधील चलांचे पृथक्करण करून, आपल्याला मिळते

$$ \begin{equation*} \frac{d \mathrm{P}}{\mathrm{P}}=\frac{d t}{20} \tag{2} \end{equation*} $$

समीकरण (2) च्या दोन्ही बाजूंचे समाकलन करून, आपल्याला मिळते

$$ \begin{aligned} \text{ or } \qquad \log P & =\frac{t}{20}+C_1 \\ P & =e^{\frac{t}{20}} \cdot e^{C_1} \end{aligned} $$

$$ \begin{equation*} \text{ or } \qquad \mathrm{P}=\mathrm{C} e^{\frac{t}{20}} \quad\left(\text { where } e^{\mathrm{C} _{1}}=\mathrm{C}\right) \tag{3} \end{equation*} $$

आता $\qquad \mathrm{P}=1000, \quad \text { when } t=0$

$P$ आणि $t$ ची मूल्ये (3) मध्ये ठेवून, आपल्याला मिळते $C=1000$.

म्हणून, समीकरण (3) देते

$$ P=1000 e^{\frac{t}{20}} $$

समजा $t$ वर्षे हा मुद्दल दुप्पट करण्यासाठी लागणारा वेळ आहे. तर

$$ 2000=1000 e^{\frac{t}{20}} \Rightarrow t=20 \log _{e} 2 $$

९.४.२ एकसंध अवकल समीकरणे

$x$ आणि $y$ मधील खालील फलने पाहू

$$ \begin{matrix} F_1(x, y)=y^{2}+2 x y, & F_2(x, y)=2 x-3 y, \\ F_3(x, y)=\cos (\frac{y}{x}), & F_4(x, y)=\sin x+\cos y \end{matrix} $$

जर आपण वरील फलनांमध्ये $x$ आणि $y$ यांच्या जागी अनुक्रमे $\lambda x$ आणि $\lambda y$ ठेवले, कोणत्याही शून्येतर स्थिरांक $\lambda$ साठी, आपल्याला मिळते

$ \begin{aligned} & F_1(\lambda x, \lambda y)=\lambda^{2}(y^{2}+2 x y)=\lambda^{2} F_1(x, y) \\ & F_2(\lambda x, \lambda y)=\lambda(2 x-3 y)=\lambda F_2(x, y) \\ & F_3(\lambda x, \lambda y)=\cos (\frac{\lambda y}{\lambda x})=\cos (\frac{y}{x})=\lambda^{0} \quad F_3(x, y) \\ & F_4(\lambda x, \lambda y)=\sin \lambda x+\cos \lambda y \neq \lambda^{n} F_4(x, y), \text{ for any } n \in \mathbf{N} \end{aligned} $

येथे, आपण पाहतो की फलने $F_1, F_2, F_3$ ही $F(\lambda x, \lambda y)=\lambda^{n} F(x, y)$ या स्वरूपात लिहिता येतात परंतु $F_4$ हे या स्वरूपात लिहिता येत नाही. यामुळे खालील व्याख्येकडे वाटचाल होते:

फलन $F(x, y)$ ला $n$ घाताचे एकसंध फलन म्हणतात जर कोणत्याही शून्येतर स्थिरांक $\lambda$ साठी $F(\lambda x, \lambda y)=\lambda^{n} F(x, y)$.

आपण लक्षात घेतो की वरील उदाहरणांमध्ये, $F_1, F_2, F_3$ ही अनुक्रमे 2, 1, 0 घाताची एकसंध फलने आहेत परंतु $F_4$ हे एकसंध फलन नाही.

आपण हे देखील पाहतो की

$ \begin{aligned} & \qquad F_1(x, y)=x^{2}(\frac{y^{2}}{x^{2}}+\frac{2 y}{x})=x^{2} h_1(\frac{y}{x}) \\ & \qquad F_1(x, y)=y^{2}(1+\frac{2 x}{y})=y^{2} h_2(\frac{x}{y}) \\ & \text{or}\qquad F_2(x, y)=x^{1}(2-\frac{3 y}{x})=x^{1} h_3(\frac{y}{x}) \\ & \qquad F_2(x, y)=y^{1}(2 \frac{x}{y}-3)=y^{1} h_4(\frac{x}{y}) \\ & \qquad F_3(x, y)=x^{0} \cos (\frac{y}{x})=x^{0} h_5(\frac{y}{x}) \\ & \qquad F_4(x, y) \neq x^{n} h_6(\frac{y}{x}), \text{ for any } n \in \mathbf{N} \\ & \qquad F_4(x, y) \neq y^{n} h_7(\frac{x}{y}), \text{ for any } n \in \mathbf{N} \end{aligned} $

$$ \begin{aligned} & \text{or}\qquad\mathrm{F} _{4}(x, y) \neq x^{n} h _{6}\left(\frac{y}{x}\right), n \in \mathbf{N} \text { के किसी भी मान के लिए } \\ & \qquad \mathrm{F} _{4}(x, y) \neq y^{n} h _{7}\left(\frac{x}{y}\right), n \in \mathbf{N} \end{aligned} $$

म्हणून, फलन $F(x, y)$ हे $n$ घाताचे एकसंध फलन आहे जर $\frac{d y}{d x}=F(x, y)$ या स्वरूपाचे अवकल समीकरण एकसंध म्हटले जाते जर $F(x, y)$ हे शून्य घाताचे एकसंध फलन असेल.

या प्रकारचे एकसंध अवकल समीकरण सोडवण्यासाठी

$$ \mathrm{F}(x, y)=x^{n} g\left(\frac{y}{x}\right) \quad \text { or } \quad y^{n} h\left(\frac{x}{y}\right) $$

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\mathrm{F}(x, y)=g\left(\frac{y}{x}\right) \tag{1} \end{equation*} $$

आपण प्रतिस्थापन $\qquad y=v \cdot x \tag{2}$ करतो

समीकरण (2) चे $x$ च्या संदर्भात अवकलन करून, आपल्याला मिळते

$$ \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \tag{3} $$

समीकरण (3) मधील $\frac{d y}{d x}$ चे मूल्य समीकरण (1) मध्ये ठेवून, आपल्याला मिळते किंवा

$$ v+x \frac{d v}{d x}=g(v) $$

$$ \begin{equation*} x \frac{d v}{d x}=g(v)-v \tag{4} \end{equation*} $$

समीकरण (4) मधील चलांचे पृथक्करण करून, आपल्याला मिळते

$$ \frac{d v}{g(v)-v}=\frac{d x}{x} \tag{5} $$

समीकरण (5) च्या दोन्ही बाजूंचे समाकलन करून, आपल्याला मिळते

$$ \int \frac{d v}{g(v)-v}=\int \frac{1}{x} d x+C \tag{6} $$

समीकरण (6) हे अवकल समीकरण (1) चे सामान्य उकल (आदिम) देते जेव्हा आपण $v$ च्या जागी $\frac{y}{x}$ ठेवतो.

टीप जर एकसंध अवकल समीकरण $\frac{d x}{d y}=F(x, y)$ या स्वरूपात असेल जेथे, $F(x, y)$ हे शून्य घाताचे एकसंध फलन आहे, तर आपण प्रतिस्थापन $\frac{x}{y}=v$ करतो म्हणजेच, $x=v y$ आणि आपण $\frac{d x}{d y}=F(x, y)=h(\frac{x}{y})$ लिहून वर चर्चेप्रमाणे पुढे जाऊन सामान्य उकल शोधतो.

उदाहरण १० दाखवा की अवकल समीकरण $(x-y) \frac{d y}{d x}=x+2 y$ हे एकसंध आहे आणि ते सोडवा.

उकल दिलेले अवकल समीकरण खालीलप्रमाणे व्यक्त करता येते

$$ \begin{equation*} \frac{d y}{d x}=\frac{x+2 y}{x-y} \tag{1} \end{equation*} $$

समजा $$ \mathrm{F}(x, y)=\frac{x+2 y}{x-y} $$

आता $$ F(\lambda x, \lambda y)=\frac{\lambda(x+2 y)}{\lambda(x-y)}=\lambda^{0} \cdot f(x, y) $$

म्हणून, $F(x, y)$ हे शून्य घाताचे एकसंध फलन आहे. तर, दिलेले अवकल समीकरण हे एकसंध अवकल समीक