१०.१ परिचय

इ.स. १६३७ मध्ये डेकार्त यांनी प्रकाशाचा कणिका सिद्धांत (corpuscular model) मांडला आणि स्नेलचा नियम मिळवला. यामुळे दोन माध्यमांच्या सीमेवर प्रकाशाच्या परावर्तन आणि अपवर्तनाचे नियम स्पष्ट झाले. कणिका सिद्धांतानुसार अंदाज केला गेला की जर प्रकाशकिरण (अपवर्तन झाल्यावर) अभिलंबाकडे वळत असेल तर दुसऱ्या माध्यमात प्रकाशाचा वेग जास्त असेल. प्रकाशाचा हा कणिका सिद्धांत आयझॅक न्यूटन यांनी त्यांच्या ‘ऑप्टिक्स’ या प्रसिद्ध पुस्तकात पुढे विकसित केला आणि या पुस्तकाच्या प्रचंड लोकप्रियतेमुळे, कणिका सिद्धांत बहुतेक वेळा न्यूटन यांच्याशी संबंधित मानला जातो.

इ.स. १६७८ मध्ये, डच भौतिकशास्त्रज्ञ क्रिस्चियन ह्यूजेन्स यांनी प्रकाशाचा तरंग सिद्धांत मांडला - या अध्यायात आपण प्रकाशाचा हाच तरंग सिद्धांत चर्चा करणार आहोत. जसे आपण पाहू, तरंग सिद्धांताने परावर्तन आणि अपवर्तनाच्या घटनांचे समाधानकारक स्पष्टीकरण देता येते; तथापि, त्यानुसार अंदाज केला गेला की अपवर्तन झाल्यावर जर तरंग अभिलंबाकडे वळत असेल तर दुसऱ्या माध्यमात प्रकाशाचा वेग कमी असेल. हे प्रकाशाच्या कणिका सिद्धांताने केलेल्या अंदाजाशी विसंगत आहे. नंतरच्या प्रयोगांनी हे निश्चित केले गेले की पाण्यातील प्रकाशाचा वेग हवेपेक्षा कमी आहे, ज्यामुळे तरंग सिद्धांताचा अंदाज खरा ठरला; फूको यांनी हा प्रयोग इ.स. १८५० मध्ये केला.

तरंग सिद्धांताला त्वरित मान्यता मिळाली नाही, प्रामुख्याने न्यूटन यांच्या प्रभावामुळे आणि तसेच प्रकाश निर्वातातून प्रवास करू शकतो हे लक्षात घेता, तरंगाला एका बिंदूपासून दुसऱ्या बिंदूपर्यंत प्रसारित होण्यासाठी नेहमीच माध्यमाची आवश्यकता असते असे मानले जात होते. तथापि, जेव्हा थॉमस यंग यांनी इ.स. १८०१ मध्ये त्यांचा प्रसिद्ध व्यतिकरण प्रयोग केला, तेव्हा प्रकाश ही खरोखरच एक तरंग घटना आहे हे निश्चित झाले. दृश्य प्रकाशाची तरंगलांबी मोजली गेली आणि ती अत्यंत लहान आढळली; उदाहरणार्थ, पिवळ्या प्रकाशाची तरंगलांबी सुमारे $0.6 \mu \mathrm{m}$ आहे. दृश्य प्रकाशाची तरंगलांबी लहान असल्यामुळे (सामान्य आरशे आणि भिंगांच्या परिमाणांच्या तुलनेत), प्रकाश अंदाजे सरळ रेषांमध्ये प्रवास करतो असे गृहीत धरता येते. हे भूमितीय प्रकाशिकी (geometrical optics) चे क्षेत्र आहे, ज्याची आपण मागील अध्यायात चर्चा केली होती. खरंच, प्रकाशिकीची ती शाखा ज्यामध्ये तरंगलांबीची सांगता (finiteness) पूर्णपणे दुर्लक्षित केली जाते, तिला भूमितीय प्रकाशिकी म्हणतात आणि तरंगलांबी शून्याकडे झुकत असताना ऊर्जा प्रसाराचा मार्ग म्हणजे किरण अशी व्याख्या केली जाते.

इ.स. १८०१ मध्ये यंग यांच्या व्यतिकरण प्रयोगानंतर, पुढील ४० वर्षे किंवा त्यापेक्षा जास्त काळ, प्रकाशतरंगांच्या व्यतिकरण आणि विवर्तनाशी संबंधित अनेक प्रयोग करण्यात आले; हे प्रयोग प्रकाशाचा तरंग सिद्धांत गृहीत धरल्याशिवाय समाधानकारकपणे स्पष्ट करता येऊ शकत नव्हते. अशाप्रकारे, उन्नीसव्या शतकाच्या मध्यभागी, तरंग सिद्धांत अतिशय चांगल्या प्रकारे स्थापित झाला असावा असे वाटू लागले. एकमेव मोठी अडचण अशी होती की तरंगाला त्याच्या प्रसारासाठी माध्यमाची आवश्यकता असते असे मानले जात असल्याने, प्रकाशतरंग निर्वातातून कसे प्रसारित होऊ शकतात? हे स्पष्ट झाले जेव्हा मॅक्सवेल यांनी प्रकाशाचा प्रसिद्ध विद्युतचुंबकीय सिद्धांत मांडला. मॅक्सवेल यांनी विद्युत आणि चुंबकत्वाचे नियम वर्णन करणारी समीकरणे विकसित केली होती आणि या समीकरणांचा वापर करून त्यांनी तरंग समीकरण मिळवले ज्यावरून त्यांनी विद्युतचुंबकीय तरंगांच्या अस्तित्वाचा अंदाज लावला*. तरंग समीकरणावरून, मॅक्सवेल यांनी मुक्त अवकाशात विद्युतचुंबकीय तरंगांचा वेग काढला आणि त्यांना आढळले की सैद्धांतिक मूल्य हे प्रकाशाच्या वेगाच्या मोजलेल्या मूल्याच्या अगदी जवळ होते. यावरून, त्यांनी प्रतिपादन केले की प्रकाश हा एक विद्युतचुंबकीय तरंग असणे आवश्यक आहे. अशाप्रकारे, मॅक्सवेल यांच्या मते, प्रकाशतरंग हे बदलते विद्युत आणि चुंबकीय क्षेत्रांशी संबंधित आहेत; बदलते विद्युत क्षेत्र हे काल आणि अवकाशानुसार बदलणारे चुंबकीय क्षेत्र निर्माण करते आणि बदलते चुंबकीय क्षेत्र हे काल आणि अवकाशानुसार बदलणारे विद्युत क्षेत्र निर्माण करते. बदलते विद्युत आणि चुंबकीय क्षेत्रांमुळे विद्युतचुंबकीय तरंगांचा (किंवा प्रकाशतरंगांचा) प्रसार होतो, अगदी निर्वातातसुद्धा.

या अध्यायात आपण प्रथम ह्यूजेन्स तत्त्वाचे मूळ स्वरूप चर्चा करू आणि परावर्तन आणि अपवर्तनाचे नियम मिळवू. कलम १०.४ आणि १०.५ मध्ये, आपण अध्यारोपण तत्त्वावर आधारित व्यतिकरण या घटनेची चर्चा करू. कलम १०.६ मध्ये आपण ह्यूजेन्स-फ्रेस्नेल तत्त्वावर आधारित विवर्तन या घटनेची चर्चा करू. शेवटी कलम १०.७ मध्ये आपण ध्रुवण (polarisation) या घटनेची चर्चा करू जी या वस्तुस्थितीवर आधारित आहे की प्रकाशतरंग हे आडवे विद्युतचुंबकीय तरंग आहेत.

• मॅक्सवेल यांनी इ.स. १८५५ च्या सुमारास विद्युतचुंबकीय तरंगांच्या अस्तित्वाचा अंदाज लावला होता; ते बरेच नंतर (इ.स. १८९० च्या सुमारास) हेन्रिक हर्ट्झ यांनी प्रयोगशाळेत रेडिओ तरंग निर्माण केले. जे.सी. बोस आणि जी. मार्कोनी यांनी हर्ट्झियन तरंगांचा व्यावहारिक उपयोग केला.

१०.२ ह्यूजेन्स तत्त्व

आपण प्रथम तरंगाग्राची व्याख्या करू: जेव्हा आपण पाण्याच्या शांत तलावावर एक लहान दगड टाकतो, तेव्हा आघाताच्या बिंदूपासून तरंग पसरतात. पृष्ठभागावरील प्रत्येक बिंदू कालानुसार दोलन करू लागतो. कोणत्याही क्षणी, पृष्ठभागाच्या छायाचित्रात अशा वर्तुळाकार रिंगा दिसतील जिथे विस्थापन कमाल असते. स्पष्टपणे, अशा वर्तुळावरील सर्व बिंदू समप्रावस्थेत (in phase) दोलन करत आहेत कारण ते स्रोतापासून समान अंतरावर आहेत. अशा बिंदूंच्या जागी, जे समप्रावस्थेत दोलन करतात, त्याला तरंगाग्र म्हणतात; अशाप्रकारे, तरंगाग्राची व्याख्या स्थिर प्रावस्थेचे पृष्ठभाग म्हणून केली जाते. तरंगाग्र स्रोतापासून बाहेर पडण्याच्या गतीला तरंगाचा वेग म्हणतात. तरंगाची ऊर्जा तरंगाग्राला लंब असलेल्या दिशेने प्रवास करते.

आकृती १०.१ (अ) एका बिंदू स्रोतापासून निघणारा विचलित होणारा गोलाकार तरंग. तरंगाग्र गोलाकार आहेत.

आकृती १०.१ (ब) स्रोतापासून मोठ्या अंतरावर, गोलाकार तरंगाचा एक लहान भाग समतल तरंगाने अंदाजे दर्शवता येतो.

जर आपल्याकडे एक बिंदू स्रोत असेल जो सर्व दिशांना एकसमान तरंग उत्सर्जित करत असेल, तर ज्या बिंदूंचे मोठेपणा समान आहे आणि जे समान प्रावस्थेत कंपन करतात त्यांची जागा गोल आहेत आणि आपल्याकडे गोलाकार तरंग आहे असे म्हणतात जसे आकृती १०.१(अ) मध्ये दाखवले आहे. स्रोतापासून मोठ्या अंतरावर, गोलाचा एक लहान भाग समतल मानता येतो आणि आपल्याकडे समतल तरंग आहे असे म्हणतात [आकृती १०.१(ब)].

आता, जर आपल्याला $t=0$ या वेळी तरंगाग्राचा आकार माहित असेल, तर ह्यूजेन्स तत्त्व आपल्याला नंतरच्या वेळी $\tau$ येथे तरंगाग्राचा आकार ठरवू देते. अशाप्रकारे, ह्यूजेन्स तत्त्व ही मूलतः एक भूमितीय रचना आहे, जी कोणत्याही वेळी तरंगाग्राचा आकार दिल्यास, आपल्याला नंतरच्या वेळी तरंगाग्राचा आकार ठरवू देते. आपण एक विचलित होणारा तरंग विचारात घेऊ आणि $\mathrm{F_1} \mathrm{~F_2}$ हे $t=0$ या वेळी गोलाकार तरंगाग्राचा एक भाग दर्शवू द्या (आकृती १०.२). आता, ह्यूजेन्स तत्त्वानुसार, तरंगाग्रावरील प्रत्येक बिंदू हा एक दुय्यम विस्थापनाचा स्रोत आहे आणि या बिंदूंपासून निघणारे लहान तरंग तरंगाच्या गतीने सर्व दिशांना पसरतात. तरंगाग्रापासून निघणाऱ्या या लहान तरंगांना सामान्यतः दुय्यम तरंगिका म्हणतात आणि जर आपण या सर्व गोलांना एक सामान्य स्पर्शिका काढली, तर आपल्याला नंतरच्या वेळी तरंगाग्राची नवीन स्थिती मिळते.

आकृती १०.२ $\mathrm{F_1} \mathrm{~F_2}$ हे $t=0$ या वेळी गोलाकार तरंगाग्र दर्शवते ($\mathrm{O}$ हे केंद्र मानून). $F_{1} F_{2}$ पासून निघणाऱ्या दुय्यम तरंगिकांच्या आवरणामुळे पुढे जाणारा तरंगाग्र $G_{1} G_{2}$ निर्माण होतो. मागचा तरंग $\mathrm{D_1} \mathrm{D_2}$ अस्तित्वात नाही.

अशाप्रकारे, जर आपल्याला $t=\tau$ या वेळी तरंगाग्राचा आकार ठरवायचा असेल, तर आपण गोलाकार तरंगाग्रावरील प्रत्येक बिंदूपासून $v \tau$ त्रिज्येचे गोल काढतो जिथे $v$ हा माध्यमातील तरंगांचा वेग दर्शवतो. जर आपण आता या सर्व गोलांना एक सामान्य स्पर्शिका काढली, तर आपल्याला $t=\tau$ या वेळी तरंगाग्राची नवीन स्थिती मिळते. आकृती १०.२ मध्ये $\mathrm{G_1} \mathrm{G_2}$ म्हणून दाखवलेला नवीन तरंगाग्र पुन्हा गोलाकार आहे ज्याचे केंद्र $\mathrm{O}$ हा बिंदू आहे.

आकृती १०.३ उजवीकडे प्रसारित होणाऱ्या समतल तरंगासाठी ह्यूजेन्सची भूमितीय रचना. $\mathrm{F_1} \mathrm{~F_2}$ हे $t=0$ या वेळी समतल तरंगाग्र आहे आणि $\mathrm{G_1} \mathrm{G_2}$ हे नंतरच्या वेळी $\tau$ येथे तरंगाग्र आहे. रेषा $\mathrm{A_1} \mathrm{~A_2}$, $\mathrm{B_1} \mathrm{~B_2} \ldots$ इत्यादी, $\mathrm{F_1} \mathrm{~F_2}$ आणि $\mathrm{G_1} \mathrm{G_2}$ या दोन्हींना लंब आहेत आणि किरण दर्शवतात.

वरील मॉडेलमध्ये एक कमतरता आहे: आपल्याकडे एक मागचा तरंगही आहे जो आकृती १०.२ मध्ये $\mathrm{D_1} \mathrm{D_2}$ म्हणून दाखवला आहे. ह्यूजेन्स यांनी युक्तिवाद केला की दुय्यम तरंगिकांचे मोठेपणा पुढच्या दिशेने कमाल आणि मागच्या दिशेने शून्य असते; या तात्पुरत्या गृहीतकाने, ह्यूजेन्स मागच्या तरंगाच्या अनुपस्थितीचे स्पष्टीकरण देऊ शकले. तथापि, हे तात्पुरते गृहीतक समाधानकारक नाही आणि मागच्या तरंगाची अनुपस्थिती खरोखर अधिक कठोर तरंग सिद्धांतावरून न्याय्य ठरते.

त्याच प्रकारे, आपण ह्यूजेन्स तत्त्वाचा वापर करून माध्यमातून प्रसारित होणाऱ्या समतल तरंगासाठी तरंगाग्राचा आकार ठरवू शकतो (आकृती १०.३).

१०.३ ह्यूजेन्स तत्त्व वापरून समतल तरंगांचे अपवर्तन आणि परावर्तन

१०.३.१ समतल तरंगाचे अपवर्तन

आता आपण ह्यूजेन्स तत्त्व वापरून अपवर्तनाचे नियम मिळवू. $\mathrm{PP}^{\prime}$ हे माध्यम १ आणि माध्यम २ यांचे विभाजक पृष्ठभाग दर्शवू द्या, जसे आकृती १०.४ मध्ये दाखवले आहे. $v_{1}$ आणि $v_{2}$ अनुक्रमे माध्यम १ आणि माध्यम २ मधील प्रकाशाचा वेग दर्शवू द्या. आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे, आपण $\mathrm{AB}$ हे समतल तरंगाग्र गृहीत धरू जे $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{A}$ या दिशेने पसरत आहे आणि $i$ या कोनात आपाती आहे. $\tau$ हा तरंगाग्राला BC अंतर प्रवास करण्यासाठी लागलेला वेळ मानू. अशाप्रकारे,

$B C=v _{1} \tau$

आकृती १०.४ एक समतल तरंग $\mathrm{AB}$ हे $i$ या कोनात माध्यम १ आणि माध्यम २ यांचे विभाजन करणाऱ्या पृष्ठभाग $\mathrm{PP}^{\prime}$ वर आपाती होते. समतल तरंगाचे अपवर्तन होते आणि $\mathrm{CE}$ हे अपवर्तित तरंगाग्र दर्शवते. आकृती $v_{2}<v_{1}$ या स्थितीशी संबंधित आहे जेणेकरून अपवर्तित तरंग अभिलंबाकडे वळतात.

क्रिस्चियन ह्यूजेन्स (१६२९ – १६९५) डच भौतिकशास्त्रज्ञ, खगोलशास्त्रज्ञ, गणितज्ञ आणि प्रकाशाच्या तरंग सिद्धांताचे संस्थापक. त्यांचे पुस्तक, ‘ट्रीटाइज ऑन लाइट’, आजही मोहक वाचन आहे. परावर्तन आणि अपवर्तनाव्यतिरिक्त, या कार्यात त्यांनी खनिज कॅल्साइटद्वारे दर्शविलेल्या दुहेरी अपवर्तनाचे चांगले स्पष्टीकरण दिले. त्यांनी वर्तुळाकार आणि सरल आवर्ती गतीचे विश्लेषण करणारे पहिले होते आणि सुधारित घड्याळे आणि दुर्बिणी डिझाइन केल्या आणि बांधल्या. त्यांनी शनिग्रहाच्या कडांची खरी भूमिती शोधून काढली.

अपवर्तित तरंगाग्राचा आकार ठरवण्यासाठी, आपण दुसऱ्या माध्यमातील (दुसऱ्या माध्यमातील तरंगाचा वेग $v_{2}$ आहे) $A$ या बिंदूपासून $v_{2} \tau$ त्रिज्येचा गोल काढतो. $\mathrm{CE}$ हे $\mathrm{C}$ या बिंदूपासून गोलावर काढलेले स्पर्शिका समतल दर्शवू द्या. तर, $\mathrm{AE}=v_{2} \tau$ आणि $\mathrm{CE}$ हे अपवर्तित तरंगाग्र दर्शवेल. जर आपण आता त्रिकोण $\mathrm{ABC}$ आणि $\mathrm{AEC}$ विचारात घेतले, तर आपल्याला सहज मिळते

$$ \begin{equation*} \sin i=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{v_{1} \tau}{\mathrm{AC}} \tag{10.1} \end{equation*} $$

आणि

$$ \begin{equation*} \sin r=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}=\frac{v_{2} \tau}{\mathrm{AC}} \tag{10.2} \end{equation*} $$

जिथे $i$ आणि $r$ अनुक्रमे आपाती कोन आणि अपवर्ती कोन आहेत. अशाप्रकारे आपल्याला मिळते

$$ \begin{equation*} \frac{\sin i}{\sin r}=\frac{v_{1}}{v_{2}} \tag{10.3} \end{equation*} $$

वरील समीकरणावरून, आपल्याला एक महत्त्वाचा निष्कर्ष मिळतो की जर $r<i$ (म्हणजे, जर किरण अभिलंबाकडे वळत असेल), तर दुसऱ्या माध्यमातील प्रकाशतरंगाचा वेग $\left(v_{2}\right)$ हा पहिल्या माध्यमातील प्रकाशतरंगाच्या वेगापेक्षा $\left(v_{1}\right)$ कमी असेल. हा अंदाज प्रकाशाच्या कणिका सिद्धांतापेक्षा विरुद्ध आहे आणि नंतरच्या प्रयोगांनी दाखवल्याप्रमाणे, तरंग सिद्धांताचा अंदाज बरोबर आहे. आता, जर $c$ हा निर्वातातील प्रकाशाचा वेग दर्शवत असेल, तर,

$$ \begin{equation*} n_{1}=\frac{c}{v_{1}} \tag{10.4} \end{equation*} $$

आणि

$$ \begin{equation*} n_{2}=\frac{c}{v_{2}} \tag{10.5} \end{equation*} $$

यांना अनुक्रमे माध्यम १ आणि माध्यम २ चे अपवर्तनांक म्हणतात. अपवर्तनांकांच्या दृष्टीने, समीकरण (१०.३) असे लिहिता येईल

$$ \begin{equation*} n_{1} \sin i=n_{2} \sin r \tag{10.6} \end{equation*} $$

हा स्नेलचा अपवर्तनाचा नियम आहे. पुढे, जर $\lambda_{1}$ आणि $\lambda_{2}$ अनुक्रमे माध्यम १ आणि माध्यम २ मधील प्रकाशाची तरंगलांबी दर्शवतात आणि जर अंतर $\mathrm{BC}$ हे $\lambda_{1}$ च्या बरोबरीचे असेल तर अंतर $\mathrm{AE}$ हे $\lambda_{2}$ च्या बरोबरीचे असेल (कारण जर $\mathrm{B}$ पासूनचा शिखर $\tau$ या वेळेत $\mathrm{C}$ वर पोहोचला असेल, तर $\mathrm{A}$ पासूनचा शिखर देखील $\tau$ या वेळेत $E$ वर पोहोचला पाहिजे); अशाप्रकारे,

$$ \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AE}}=\frac{v_{1}}{v_{2}} $$

किंवा

$$ \begin{equation*} \frac{v_{1}}{\lambda_{1}}=\frac{v_{2}}{\lambda_{2}} \tag{10.7} \end{equation*} $$

वरील समीकरणाचा अर्थ असा आहे की जेव्हा एक तरंग घन माध्यमात $\left(v_{1}>v_{2}\right)$ अपवर्तित होते तेव्हा तरंगलांबी आणि प्रसाराचा वेग कमी होतो परंतु वारंवारता $v(=v / \lambda)$ तीच राहते.

१०.३.२ विरल माध्यमात अपवर्तन

आता आपण विरल माध्यमात समतल तरंगाचे अपवर्तन विचारात घेऊ, म्हणजेच $v_{2}>v_{1}$. अगदी त्याच प्रकारे पुढे जाऊन आपण आकृती १०.५ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे अपवर्तित तरंगाग्र रचू शकतो. अपवर्ती कोन आता आपाती कोनापेक्षा मोठा असेल; तथापि, आपल्याकडे अजूनही $n_{1} \sin i=n_{2} \sin r$ असेल. आपण खालील समीकरणाद्वारे एक कोन $i_{c}$ परिभाषित करतो

$$ \begin{equation*} \sin i_{c}=\frac{n_{2}}{n_{1}} \tag{10.8} \end{equation*} $$

अशाप्रकारे, जर $i=i_{c}$ तर $\sin r=1$ आणि $r=90^{\circ}$. स्पष्टपणे, $i>i_{c}$ साठी, कोणताही अपवर्तित तरंग असू शकत नाही. कोन $i_{c}$ याला क्रांतिक कोन म्हणतात आणि क्रांतिक कोनापेक्षा मोठ्या सर्व आपाती कोनांसाठी, आपल्याकडे कोणताही अपवर्तित तरंग असणार नाही आणि तरंगाचे पूर्ण आंतरिक परावर्तन होईल. पूर्ण आंतरिक परावर्तनाची घटना आणि त्याचे उपयोग कलम ९.४ मध्ये चर्चा करण्यात आले होते.

आकृती १०.५ विरल माध्यमावर आपाती होणाऱ्या समतल तरंगाचे अपवर्तन ज्यासाठी $v_{2}>v_{1}$. समतल तरंग अभिलंबापासून दूर वळतो.

१०.३.३ समतल पृष्ठभागाद्वारे समतल तरंगाचे परावर्तन

पुढे आपण एक समतल तरंग $\mathrm{AB}$ विचारात घेऊ जो परावर्तक पृष्ठभाग MN वर $i$ या कोनात आपाती होतो. जर $v$ हा माध्यमातील तरंगाचा वेग दर्शवत असेल आणि जर $\tau$ हा तरंगाग्राला बिंदू $B$ पासून $C$ पर्यंत पोहोचण्यासाठी लागलेला वेळ दर्शवत असेल तर अंतर

$$ \mathrm{BC}=v \tau $$

परावर्तित तरंगाग्र रचण्यासाठी आपण आकृती १०.६ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे बिंदू $\mathrm{A}$ पासून $v \tau$ त्रिज्येचा गोल काढतो. $\mathrm{CE}$ हे या गोलावर बिंदू $\mathrm{C}$ पासून काढलेले स्पर्शिका समतल दर्शवू द्या. स्पष्टपणे

$$ \mathrm{AE}=\mathrm{BC}=v \tau $$

आकृती १०.६ परावर्तक पृष्ठभाग MN द्वारे समतल तरंग $A B$ चे परावर्तन. $\mathrm{AB}$ आणि $\mathrm{CE}$ अनुक्रमे आपाती आणि परावर्तित तरंगाग्र दर्शवतात.

जर आपण आता त्रिकोण $\mathrm{EAC}$ आणि $\mathrm{BAC}$ विचारात घेतले, तर आपल्याला आढळेल की ते एकरूप आहेत आणि म्हणून, कोन $i$ आणि $r$ (आकृती १०.६ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे) समान असतील. हा परावर्तनाचा नियम आहे.

एकदा आपल्याकडे परावर्तन आणि अपवर्तनाचे नियम असतील, तर प्रिझम, भिंगे आणि आरशांचे वर्तन समजू शकते. प्रकाशाच्या सरळ रेषीय प्रसाराच्या आधारे या घटनांची तपशीलवार चर्चा अध्याय ९ मध्ये करण्यात आली होती. येथे आपण फक्त तरंगाग्रांचे वर्तन वर्णन करू जेव्हा ते परावर्तन किंवा अपवर्तन होतात. आकृती १०.७(अ) मध्ये आपण पातळ प्रिझममधून जाणारा समतल तरंग विचारात घेतो. स्पष्टपणे, काचेमध्ये प्रकाशतरंगांचा वेग कमी असल्याने, आपाती तरंगाग्राचा खालचा भाग (जो काचेच्या सर्वात जाड भागातून प्रवास करतो) उशीरा पोहोचेल, ज्यामुळे आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे बाहेर पडणाऱ्या तरंगाग्रात एक झुकाव निर्माण होईल. आकृती १०.७(ब) मध्ये आपण पातळ बहिर्वक्र भिंगावर आपाती होणारा समतल तरंग विचारात घेतो; आपाती समतल तरंगाचा मध्यभागीचा भाग भिंगाच्या सर्वात जाड भागातून जातो आणि सर्वात जास्त उशीरा होतो. बाहेर पडणाऱ्या तरंगाग्राच्या मध्यभागी एक खोली असते आणि म्हणून तरंगाग्र गोलाकार बनतो आणि F या बिं