२.१ परिचय

अध्याय ६ आणि ८ (इयत्ता ११ वी) मध्ये स्थितिज ऊर्जेची संकल्पना मांडली होती. जेव्हा एखादे बाह्य बल स्प्रिंग बल किंवा गुरुत्वीय बल यासारख्या बलाविरुद्ध एखाद्या वस्तूला एका बिंदूपासून दुसऱ्या बिंदूपर्यंत नेण्यासाठी कार्य करते, तेव्हा ते कार्य वस्तूची स्थितिज ऊर्जा म्हणून साठवले जाते. जेव्हा बाह्य बल काढून टाकले जाते, तेव्हा वस्तू गतिमान होते, गतिज ऊर्जा मिळवते आणि तितकीच स्थितिज ऊर्जा गमावते. अशाप्रकारे गतिज आणि स्थितिज ऊर्जेची बेरीज संरक्षित राहते. या प्रकारच्या बलांना संरक्षी बल म्हणतात. स्प्रिंग बल आणि गुरुत्वीय बल ही संरक्षी बलांची उदाहरणे आहेत.

दोन (स्थिर) प्रभारांमधील कुलॉम बल देखील एक संरक्षी बल आहे. हे आश्चर्यकारक नाही, कारण दोन्ही अंतरावर व्यस्त-वर्ग अवलंबित्व दर्शवतात आणि मुख्यतः आनुपातिकता स्थिरांकांमध्ये भिन्न आहेत - गुरुत्वीय नियमातील वस्तुमाने कुलॉमच्या नियमात प्रभारांनी बदलली आहेत. अशाप्रकारे, गुरुत्वीय क्षेत्रातील वस्तुमानाच्या स्थितिज ऊर्जेप्रमाणे, आपण विद्युतस्थितिक क्षेत्रातील प्रभाराची विद्युतस्थितिक स्थितिज ऊर्जा परिभाषित करू शकतो.

काही प्रभार विन्यासामुळे निर्माण झालेले विद्युतस्थितिक क्षेत्र $\mathbf{E}$ विचारात घ्या. प्रथम, सोप्यासाठी, मूळ बिंदूवर ठेवलेल्या प्रभार $Q$ मुळे निर्माण झालेले क्षेत्र $\mathbf{E}$ विचारात घ्या. आता, कल्पना करा की आपण एक चाचणी प्रभार $q$ बिंदू $\mathrm{R}$ पासून बिंदू $\mathrm{P}$ पर्यंत प्रभार $Q$ मुळे त्यावर कार्य करणाऱ्या प्रतिकर्षी बलाविरुद्ध आणतो. आकृती २.१ च्या संदर्भात, हे घडेल जर $Q$ आणि $q$ दोन्ही धन किंवा दोन्ही ऋण असतील. निश्चिततेसाठी, $Q, q>0$ घेऊ.

आकृती २.१ मूळ बिंदूवर ठेवलेल्या प्रभार $Q(>0)$ मुळे चाचणी प्रभार $q(>0)$ वर कार्य करणाऱ्या प्रतिकर्षी बलाविरुद्ध बिंदू $\mathrm{R}$ पासून बिंदू $\mathrm{P}$ पर्यंत हलवला जातो.

येथे दोन टिप्पण्या करता येतील. प्रथम, आपण असे गृहीत धरतो की चाचणी प्रभार $q$ इतका लहान आहे की तो मूळ विन्यासाला, म्हणजेच मूळ बिंदूवरील प्रभार $Q$ ला विस्कळीत करत नाही (किंवा अन्यथा, आपण $Q$ ला काही अनिर्दिष्ट बलाने मूळ बिंदूवर स्थिर ठेवतो). दुसरे, प्रभार $q$ ला $\mathrm{R}$ पासून $\mathrm{P}$ पर्यंत आणताना, आपण एक बाह्य बल $\mathbf{F_\text {ext }}$ लागू करतो जे प्रतिकर्षी विद्युत बल $\mathbf{F_\mathrm{E}}$ (म्हणजेच, $\mathbf{F_\mathrm{ext}}=-\mathbf{F_\mathrm{E}}$) ने नेमके संतुलित करते. याचा अर्थ असा की जेव्हा प्रभार $q$ ला $\mathrm{R}$ पासून $\mathrm{P}$ पर्यंत आणले जाते, तेव्हा त्यावर कोणतेही निव्वळ बल किंवा त्वरण नसते, म्हणजेच तो अत्यंत मंद स्थिर गतीने आणला जातो. या परिस्थितीत, बाह्य बलाने केलेले कार्य हे विद्युत बलाने केलेल्या कार्याचे ऋण असेल आणि ते पूर्णपणे प्रभार $q$ च्या स्थितिज ऊर्जेच्या रूपात साठवले जाते. जर $P$ वर पोहोचल्यावर बाह्य बल काढून टाकले, तर विद्युत बल प्रभाराला $Q$ पासून दूर नेईल - $\mathrm{P}$ वर साठवलेली ऊर्जा (स्थितिज ऊर्जा) ही प्रभार $q$ ला गतिज ऊर्जा पुरवण्यासाठी वापरली जाते अशा प्रकारे की गतिज आणि स्थितिज ऊर्जेची बेरीज संरक्षित राहते.

अशाप्रकारे, प्रभार $q$ ला $\mathrm{R}$ पासून $\mathrm{P}$ पर्यंत हलवण्यासाठी बाह्य बलांनी केलेले कार्य आहे

$$ \begin{align*} \mathrm{W_\mathrm{RP}} & =\int_{\mathrm{R^{\mathrm{P}}}} \mathbf{F_\text {ext }} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} \\ & =-\int_{\mathrm{R}}^{\mathrm{P}} \mathbf{F\text {ext }} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r} \tag{2.1} \end{align*} $$

हे केलेले कार्य विद्युतस्थितिक प्रतिकर्षी बलाविरुद्ध आहे आणि स्थितिज ऊर्जा म्हणून साठवले जाते.

विद्युत क्षेत्रातील प्रत्येक बिंदूवर, प्रभार $q$ असलेल्या कणाकडे एक विशिष्ट विद्युतस्थितिक स्थितिज ऊर्जा असते, हे केलेले कार्य त्याची स्थितिज ऊर्जा बिंदू $\mathrm{R}$ आणि $\mathrm{P}$ मधील स्थितिज ऊर्जा फरकाइतकी वाढवते.

अशाप्रकारे, स्थितिज ऊर्जा फरक

$$ \begin{equation*} \Delta U=U_{P}-U_{R}=W_{R P} \tag{2.2} \end{equation*} $$

(येथे लक्षात घ्या की हे विस्थापन विद्युत बलाच्या विरुद्ध दिशेने आहे आणि म्हणून विद्युत क्षेत्राद्वारे केलेले कार्य ऋण आहे, म्हणजेच, $-W_{R P}$.)

म्हणून, आपण कोणत्याही अनियंत्रित प्रभार विन्यासाच्या विद्युत क्षेत्रासाठी प्रभार $q$ ला एका बिंदूपासून दुसऱ्या बिंदूपर्यंत (त्वरण न देता) हलवण्यासाठी बाह्य बलाने करावे लागणारे कार्य म्हणून दोन बिंदूंमधील विद्युत स्थितिज ऊर्जा फरक परिभाषित करू शकतो.

या टप्प्यावर दोन महत्त्वाच्या टिप्पण्या करता येतील:

(i) समीकरण (२.२) ची उजवी बाजू केवळ प्रभाराच्या प्रारंभिक आणि अंतिम स्थानांवर अवलंबून असते. याचा अर्थ असा की एका बिंदूपासून दुसऱ्या बिंदूपर्यंत प्रभार हलवण्यासाठी विद्युतस्थितिक क्षेत्राद्वारे केलेले कार्य केवळ प्रारंभिक आणि अंतिम बिंदूंवर अवलंबून असते आणि एका बिंदूपासून दुसऱ्या बिंदूपर्यंत जाण्यासाठी घेतलेल्या मार्गापासून स्वतंत्र असते. हे संरक्षी बलाचे मूलभूत वैशिष्ट्य आहे. जर कार्य मार्गावर अवलंबून असेल तर स्थितिज ऊर्जेची संकल्पना अर्थपूर्ण ठरणार नाही. विद्युतस्थितिक क्षेत्राद्वारे केलेल्या कार्याची मार्ग-स्वातंत्र्य कुलॉमच्या नियमाचा वापर करून सिद्ध करता येते. आपण येथे हा पुरावा वगळतो.

काउंट अलेस्सांद्रो व्होल्टा

(१७४५ – १८२७) इटालियन भौतिकशास्त्रज्ञ, पाविया येथे प्राध्यापक. लुइगी गॅल्व्हानी (१७३७–१७९८) यांनी बेडूकाच्या स्नायू ऊतींच्या संपर्कात भिन्न धातूंसह केलेल्या प्रयोगांमध्ये निरीक्षण केलेली प्राणी विद्युत ही प्राणी ऊतींच्या कोणत्याही विशिष्ट गुणधर्मामुळे नसून जेव्हाही कोणतेही ओले पदार्थ भिन्न धातूंच्या दरम्यान सँडविच केले जातात तेव्हा ती निर्माण होते हे व्होल्टाने स्थापित केले. यामुळे त्यांना पहिली व्होल्टेइक पाईल किंवा बॅटरी विकसित करण्यास प्रवृत्त केले, ज्यामध्ये कार्डबोर्डचे (विद्युत अपघट्य) ओले डिस्कचा मोठा स्टॅक धातूच्या डिस्कच्या (इलेक्ट्रोड) दरम्यान सँडविच केला जातो.

(ii) समीकरण (२.२) भौतिकदृष्ट्या अर्थपूर्ण राशी कार्याच्या दृष्टीने स्थितिज ऊर्जा फरक परिभाषित करते. स्पष्टपणे, अशा प्रकारे परिभाषित केलेली स्थितिज ऊर्जा एक जोड स्थिरांकापर्यंत अनिर्धारित असते. याचा अर्थ असा की स्थितिज ऊर्जेचे वास्तविक मूल्य भौतिकदृष्ट्या महत्त्वाचे नसते; केवळ स्थितिज ऊर्जेचा फरक महत्त्वाचा असतो. आपण प्रत्येक बिंदूवर स्थितिज ऊर्जेत एक अनियंत्रित स्थिरांक $\alpha$ नेहमीच जोडू शकतो, कारण यामुळे स्थितिज ऊर्जा फरक बदलणार नाही:

$$ \left(U_{P}+\alpha\right)-\left(U_{R}+\alpha\right)=U_{P}-U_{R} $$

दुसऱ्या शब्दांत, स्थितिज ऊर्जा शून्य असलेला बिंदू निवडण्यात स्वातंत्र्य आहे. एक सोयीस्कर निवड म्हणजे अनंतावर विद्युतस्थितिक स्थितिज ऊर्जा शून्य ठेवणे. या निवडीसह, जर आपण बिंदू $\mathrm{R}$ अनंतावर घेतला, तर समीकरण (२.२) वरून मिळते

$$ \begin{equation*} W_{\infty P}=U_{P}-U_{\infty}=U_{P} \tag{2.3} \end{equation*} $$

बिंदू $\mathrm{P}$ अनियंत्रित असल्याने, समीकरण (२.३) आपल्याला कोणत्याही बिंदूवर प्रभार $q$ च्या स्थितिज ऊर्जेची व्याख्या पुरवते. (कोणत्याही प्रभार विन्यासामुळे क्षेत्राच्या उपस्थितीत) एका बिंदूवरील प्रभार $q$ ची स्थितिज ऊर्जा म्हणजे प्रभार $q$ ला अनंतापासून त्या बिंदूपर्यंत आणण्यासाठी बाह्य बलाने (विद्युत बलाच्या बरोबरीचे आणि विरुद्ध) केलेले कार्य होय.

२.२ विद्युतस्थितिक विभव

कोणताही सामान्य स्थिर प्रभार विन्यास विचारात घ्या. आपण चाचणी प्रभार $q$ ची स्थितिज ऊर्जा प्रभार $q$ वर केलेल्या कार्याच्या दृष्टीने परिभाषित करतो. हे कार्य स्पष्टपणे $q$ च्या प्रमाणात आहे, कारण कोणत्याही बिंदूवरील बल $q \mathbf{E}$ आहे, जेथे $\mathbf{E}$ हे दिलेल्या प्रभार विन्यासामुळे त्या बिंदूवरील विद्युत क्षेत्र आहे. म्हणून, कार्याला प्रभार $q$ च्या प्रमाणाने विभाजित करणे सोयीचे आहे, जेणेकरून परिणामी राशी $q$ पासून स्वतंत्र असेल. दुसऱ्या शब्दांत, प्रति एकक चाचणी प्रभारावर केलेले कार्य हे प्रभार विन्यासाशी संबंधित विद्युत क्षेत्राचे वैशिष्ट्य आहे. यामुळे दिलेल्या प्रभार विन्यासामुळे विद्युतस्थितिक विभव $V$ ची कल्पना निर्माण होते. समीकरण (२.१) वरून, आपल्याला मिळते:

बिंदू $\mathrm{R}$ पासून $\mathrm{P}$ पर्यंत एकक धन प्रभार आणण्यासाठी बाह्य बलाने केलेले कार्य

$$ \begin{equation*} =V_{P}-V_{R} \quad=\frac{U_{P}-U_{R}}{q} \tag{2.4} \end{equation*} $$

जेथे $V_{P}$ आणि $V_{R}$ हे अनुक्रमे $\mathrm{P}$ आणि $\mathrm{R}$ वरील विद्युतस्थितिक विभव आहेत. लक्षात घ्या, पूर्वीप्रमाणे, भौतिकदृष्ट्या महत्त्वाचे असलेले विभवाचे वास्तविक मूल्य नसून विभवांतर आहे. जर, पूर्वीप्रमाणे, आपण अनंतावर विभव शून्य निवडला, तर समीकरण (२.४) सूचित करते:

अनंतापासून बिंदू $=$ पर्यंत एकक धन प्रभार आणण्यासाठी बाह्य बलाने केलेले कार्य हे त्या बिंदूचा विद्युतस्थितिक विभव $(V)$ आहे.

आकृती २.२ कोणत्याही दिलेल्या प्रभार विन्यासामुळे चाचणी प्रभार $q$ वर विद्युतस्थितिक क्षेत्राद्वारे केलेले कार्य मार्गापासून स्वतंत्र असते आणि केवळ त्याच्या प्रारंभिक आणि अंतिम स्थानांवर अवलंबून असते.

दुसऱ्या शब्दांत, विद्युतस्थितिक क्षेत्र असलेल्या प्रदेशातील कोणत्याही बिंदूचा विद्युतस्थितिक विभव $(V)$ म्हणजे अनंतापासून त्या बिंदूपर्यंत एकक धन प्रभार (त्वरण न देता) आणण्यासाठी केलेले कार्य होय.

स्थितिज ऊर्जेबद्दल पूर्वी केलेल्या पात्रता टिप्पण्या विभवाच्या व्याख्येसाठी देखील लागू होतात. प्रति एकक चाचणी प्रभारावर केलेले कार्य मिळवण्यासाठी, आपण एक अत्यल्प चाचणी प्रभार $\delta q$ घ्यावा, त्याला अनंतापासून बिंदूपर्यंत आणण्यासाठी केलेले कार्य $\delta W$ मिळवावे आणि गुणोत्तर $\delta W / \delta q$ ठरवावे. तसेच, मार्गाच्या प्रत्येक बिंदूवरील बाह्य बल त्या बिंदूवरील चाचणी प्रभारावरील विद्युतस्थितिक बलाच्या बरोबरीचे आणि विरुद्ध असावे.

२.३ बिंदू प्रभारामुळे विभव

मूळ बिंदूवरील बिंदू प्रभार $Q$ विचारात घ्या (आकृती २.३). निश्चिततेसाठी, $Q$ धन घ्या. आपण मूळ बिंदूपासून स्थिती सदिश $\mathbf{r}$ असलेल्या कोणत्याही बिंदू $\mathrm{P}$ वरील विभव निश्चित करू इच्छितो. त्यासाठी आपण अनंतापासून बिंदू P पर्यंत एकक धन चाचणी प्रभार आणण्यासाठी केलेले कार्य मोजले पाहिजे. $Q>0$ साठी, चाचणी प्रभारावरील प्रतिकर्षी बलाविरुद्ध केलेले कार्य धन असते. कार्य मार्गापासून स्वतंत्र असल्याने, आपण एक सोयीस्कर मार्ग निवडतो - अनंतापासून बिंदू $P$ पर्यंत त्रिज्यीय दिशेने.

आकृती २.३ अनंतापासून बिंदू $\mathrm{P}$ पर्यंत एकक धन चाचणी प्रभार आणण्यासाठी प्रभार $Q(Q>0)$ च्या प्रतिकर्षी बलाविरुद्ध केलेले कार्य हे प्रभार $Q$ मुळे $\mathrm{P}$ वरील विभव आहे.

मार्गावरील काही मध्यवर्ती बिंदू $\mathrm{P}^{\prime}$ वर, एकक धन प्रभारावरील विद्युतस्थितिक बल आहे $$ \begin{equation*} \frac{Q \times 1}{4 \pi \varepsilon _{o} r^{\prime 2}} \hat{\mathbf{r}}^{\prime} \tag{2.5} \end{equation*} $$

जेथे $\hat{\mathbf{r^\prime}}$ हे $\mathrm{OP^\prime}$ च्या बाजूने एकक सदिश आहे. $\mathbf{r^\prime}$ पासून $\mathbf{r^\prime}+\Delta \mathbf{r^\prime}$ पर्यंत या बलाविरुद्ध केलेले कार्य आहे

$$ \begin{equation*} \Delta W=-\frac{Q}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{\prime 2}} \Delta r^{\prime} \tag{2.6} \end{equation*} $$

ऋण चिन्ह दिसते कारण $\Delta r^{\prime}<0, \Delta W$ साठी धन आहे. बाह्य बलाने केलेले एकूण कार्य (W) समीकरण (२.६) ला $r^{\prime}=\infty$ पासून $r^{\prime}=r$ पर्यंत समाकलित करून मिळवले जाते,

$$ \begin{equation*} W=-\int _{\infty}^{r} \frac{Q}{4 \pi \varepsilon _{o} r^{\prime 2}} d r^{\prime}=\left.\frac{Q}{4 \pi \varepsilon _{o} r^{\prime}}\right| _{\infty} ^{r}=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon _{o} r} \tag{2.7} \end{equation*} $$

हे, व्याख्येनुसार, प्रभार $Q$ मुळे $\mathrm{P}$ वरील विभव आहे

$$ \begin{equation*} V(r)=\frac{Q}{4 \pi \varepsilon _{0} r} \tag{2.8} \end{equation*} $$

समीकरण (२.८) प्रभार $Q$ च्या कोणत्याही चिन्हासाठी सत्य आहे, जरी आपण त्याच्या निगमनात $Q>0$ विचारात घेतले. $Q<0, V<0$ साठी, म्हणजेच, अनंतापासून बिंदूपर्यंत एकक धन चाचणी प्रभार आणण्यासाठी बाह्य बलाने केलेले कार्य प्रति एकक ऋण आहे. याचा अर्थ असा की अनंतापासून बिंदू $\mathrm{P}$ पर्यंत एकक धन प्रभार आणण्यासाठी विद्युतस्थितिक बलाने केलेले कार्य धन आहे. [हे असेच असावे, कारण $Q<0$ साठी, एकक धन चाचणी प्रभारावरील बल आकर्षक आहे, जेणेकरून विद्युतस्थितिक बल आणि विस्थापन (अनंतापासून P पर्यंत) एकाच दिशेने असतात.] शेवटी, आपण लक्षात घेतो की समीकरण (२.८) अनंतावर विभव शून्य असण्याच्या निवडीशी सुसंगत आहे.

आकृती २.४ बिंदू प्रभार $Q$ साठी विभव $V$ चे $r$ [$\left(Q / 4 \pi \varepsilon_{0}\right) \mathrm{m}^{-1}$ च्या एककांमध्ये] (निळा वक्र) आणि क्षेत्राचे $r$ [$\left(Q / 4 \pi \varepsilon_{0}\right) \mathrm{m}^{-2}$ च्या एककांमध्ये] (काळा वक्र) सह बदल.

आकृती (२.४) दर्शवते की विद्युतस्थितिक विभव $(\propto 1 / r)$ आणि विद्युतस्थितिक क्षेत्र $\left(\propto 1 / r^{2}\right).$ $r$ सह कसे बदलते.

उदाहरण २.१

(a) $9 \mathrm{~cm}$ अंतरावर स्थित $4 \times 10^{-7} \mathrm{C}$ प्रभारामुळे बिंदू $\mathrm{P}$ वरील विभव मोजा.

(b) त्यामुळे अनंतापासून बिंदू P पर्यंत $2 \times 10^{-9} \mathrm{C}$ प्रभार आणण्यासाठी केलेले कार्य मिळवा. उत्तर प्रभार आणण्याच्या मार्गावर अवलंबून आहे का?

उपाय

(a) $V=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{r}=9 \times 10^{9} \mathrm{Nm}^{2} \mathrm{C}^{-2} \times \frac{4 \times 10^{-7} \mathrm{C}}{0.09 \mathrm{~m}}$

$$ =4 \times 10^{4} \mathrm{~V} $$

(b) $W=q V=2 \times 10^{-9} \mathrm{C} \times 4 \times 10^{4} \mathrm{~V}$

$$ =8 \times 10^{-5} \mathrm{~J} $$

नाही, केलेले कार्य मार्गापासून स्वतंत्र असेल. कोणताही अनियंत्रित अत्यल्प मार्ग दोन लंब विस्थापनांमध्ये विभागला जाऊ शकतो: एक $\mathbf{r}$ च्या बाजूने आणि दुसरा $\mathbf{r}$ ला लंब. नंतरच्याशी संबंधित केलेले कार्य शून्य असेल.

२.४ विद्युत द्विध्रुवामुळे विभव

मागील अध्यायात आपण शिकलो की, विद्युत द्विध्रुवामध्ये दोन प्रभार $q$ आणि $-q$ (लहान) अंतर $2 a$ ने विभक्त केलेले असतात. त्याचा एकूण प्रभार शून्य असतो. त्याचे वैशिष्ट्य द्विध्रुवीय चलन सदिश $\mathbf{p}$ द्वारे केले जाते ज्याची मोठीपणा $q \times 2 a$ आहे आणि जो $-q$ पासून $q$ च्या दिशेने दर्शवतो (आकृती २.५). आपण हे देखील पाहिले की स्थिती सदिश $\mathbf{r}$ असलेल्या बिंदूवरील द्विध्रुवाचे विद्युत क्षेत्र केवळ मोठीपणा $r$ वरच नव्हे तर $\mathbf{r}$ आणि $\mathbf{p}$ मधील कोनावर देखील अवलंबून असते. पुढे, मोठ्या अंतरावर, क्षेत्र $1 / r^2$ (एकल प्रभारामुळे क्षेत्राचे वैशिष्ट्यपूर्ण) म्हणून नाही तर $1 / r^3$ म्हणून कमी होते. आता, आपण द्विध्रुवामुळे विद्युत विभव निश्चित करतो आणि त्याची तुलना एकल प्रभारामुळे विभवाशी करतो.

पूर्वीप्रमाणे, आपण द्विध्रुवाच्या केंद्रस्थानी मूळ बिंदू घेतो. आता आपल्याला माहित आहे की विद्युत क्षेत्र अध्यारोपण तत्त्वाचे पालन करते. विभव हे क्षेत्राद्वारे केलेल्या कार्याशी संबंधित असल्याने, विद्युतस्थितिक विभव देखील अध्यारोपण तत्त्वाचे पालन करतो. अशाप्रकारे, द्विध्रुवामुळे विभव हे प्रभार $q$ आणि $-q$ मुळे विभवांची बेरीज आहे

$$ \begin{equation*} V=\frac{1}{4 \pi \varepsilon _{o}}\left(\frac{q}{r _{1}}-\frac{q}{r _{2}}\right) \tag{2.9} \end{equation*} $$

आकृती २.५ द्विध्रुवामुळे विभवाच्या गणनेत समाविष्ट असलेल्या राशी.

जेथे $r_1$ आणि $r_2$ हे अनुक्रमे बिंदू $\mathrm{P}$ चे $q$ आणि $-q$ पासूनचे अंतर आहेत. आता, भूमितीनुसार,

$$ \begin{align*} & r_{1}^{2}=r^{2}+a^{2}-2 a r \cos \theta \\ & r_{2}^{2}=r^{2}+a^{2}+2 a r \cos \theta \tag{2.10} \end{align*} $$

आपण $r$ ला $a(r»a)$ पेक्षा खूप मोठे घेतो आणि केवळ $a / r$ च्या पहिल्या क्रमापर्यंतच्या पदांना धरून ठेवतो

$$ \begin{align*} & r_{1}^{2}=r^{2} \quad 1-\frac{2 a \cos \theta}{r}+\frac{a^{2}}{r^{2}} \\ & \cong r^{2} \quad 1-\frac{2 a \cos \theta}{r} \tag{2.11} \end{align*} $$

त्याचप्रमाणे,

$$ \begin{equation*} r_{2}^{2} \cong r^{2} \quad 1+\frac{2 a \cos \theta}{r} \tag{2.12} \end{equation*} $$

द्विपदी प्रमेय वापरून आणि $a / r$ च्या पहिल्या क्रमापर्यंतच्या पदांना धरून ठेवून, आपल्याला मिळते,

$\frac{1}{r_{1}} \cong \frac{1}{r}^{r} 1-\frac{2 a \cos \theta}{-1 / 2}^{\frac{1}{r}} 1+\frac{a}{r} \cos \theta$

$\frac{1}{r_{2}} \cong \frac{1}{r} 1+\frac{2 a \cos \theta}{r}^{-1 / 2} \cong \frac{1}{r} 1-\frac{a}{r} \cos \theta$

समीकरणे (२.९) आणि (२.१३) आणि $p=2 q a$ वापरून, आपल्याला मिळते

$V=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{2 a \cos \theta}{r^{2}}=\frac{p \cos \theta}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2}}$

आता, $p \cos \theta=\mathbf{p} . \hat{\mathbf{r}}$ जेथे $\hat{\mathbf{r}}$ हे स्थिती सदिश $\mathbf{O P}$ च्या बाजूने एकक सदिश आहे.

विद्युत द्विध्रुवाचा विद्युत विभव नंतर दिला जातो

$$ \begin{equation*} V=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\mathbf{p} \cdot \hat{\mathbf{r}}}{r^{2}} ; \quad(r»a) \tag{2.15} \end{equation*} $$

समीकरण (२.१५), सूचित केल्याप्रमाणे, केवळ द्विध्रुवाच्या आकाराच्या तुलनेत मोठ्या अंतरासाठी अंदाजे सत्य आहे, जेणेकरून $a / r$ मधील उच्च क्रमाच्या पदांकडे दुर्लक्ष करता येईल. मूळ बिंदूवरील बिंदू द्विध्रुव $\mathbf{p}$ साठी, समीकरण (२.१५) तंतोतंत सत्य आहे.

समीकरण (२.१५) वरून, द्विध्रुव अक्ष $(\theta=0, \pi)$ वरील विभव दिला जातो

$$ \begin{equation*} V= \pm \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{p}{r^{2}} \tag{2.16} \end{equation*} $$

($\theta=0$ साठी धन चिन्ह, $\theta=\pi$ साठी ऋण चिन्ह.) विषुववृत्तीय समतल $(\theta=\pi / 2)$ मधील विभव शून्य आहे.

विद्युत द्विध्रुवाच्या विद्युत विभवाची एकल प्रभारापेक्षा वेगळी असलेली महत्त्वाची विरोधाभासी वैशिष्ट्ये समीकरण (२.८) आणि (२.१५) वरून स्पष्ट आहेत:

(i) द्विध्रुवामुळे विभव केवळ $r$ वरच नव्हे तर स्थिती सदिश $\mathbf{r}$ आणि द्विध्रुवीय चलन सदिश $\mathbf{p}$ मधील कोनावर देखील अवलंबून असते. (तथापि, ते $\mathbf{p}$ च्या सापेक्ष अक्षीय सममितीय आहे. म्हणजेच, जर तुम्ही स्थिती सदिश $\mathbf{r}$ ला $\mathbf{p}$ च्या सभोवताली फिरवले, $\theta$ स्थिर ठेवले, तर $\mathrm{P}$ शी संबंधित बिंदू अशा प्रकारे निर्माण झालेल्या शंकूवर P प्रमाणेच विभव असेल.)

(ii) विद्युत द्विध्रुव विभव मोठ्या अंतरावर $1 / r^{2}$ म्हणून कमी होतो, $1 / r$ म्हणून नाही, जे एकल प्रभारामुळे विभवाचे वैशिष्ट्य आहे. (तुम्ही $1 / r^{2}$ च्या $\mathrm{r}$ विरुद्ध आणि $1 / r$ च्या $r$ विरुद्ध आलेखांसाठी आकृती २.५ कडे संदर्भ देऊ शकता, तेथे दुसऱ्या संदर्भात काढलेले आहेत.)

२.५ प्रभार प्रणालीमुळे विभव

प्रभार प्रणाली $q_1, q_2, \ldots, q_{\mathrm{n}}$ विचारात घ्या ज्यांचे स्थिती सदिश $\mathbf{r_1}, \mathbf{r_2}, \ldots$, $\mathbf{r_\mathrm{n}}$ काही मूळ बिंदूच्या सापेक्ष आहेत (आकृती २.६). प्रभार $q_1$ मुळे $\mathrm{P}$ वरील विभव $V_1$ आहे

$$ V_{1}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q_{1}}{r_{1 \mathrm{P}}} $$

जेथे $r_{1 \mathrm{P}}$ हे $q_{1}$ आणि $\mathrm{P}$ मधील अंतर आहे. त्याचप्रमाणे, $q_{2}$ मुळे $\mathrm{P}$ वरील विभव ⟦