३.१ प्रस्तावना

अध्याय १ मध्ये, सर्व विद्युतभार, मुक्त असोत किंवा बद्ध असोत, विरामावस्थेत आहेत असे गृहीत धरले होते. गतीमधील विद्युतभार विद्युतधारा निर्माण करतात. अशा धारा नैसर्गिकरित्या अनेक परिस्थितींमध्ये उद्भवतात. विजेचा चमकारा ही एक अशीच घटना आहे ज्यामध्ये विद्युतभार वातावरणातून ढगांपासून पृथ्वीवर वाहतात, कधीकधी विपरीत परिणामांसह. विजेच्या चमकाऱ्यात विद्युतभारांचा प्रवाह स्थिर नसतो, परंतु आपल्या दैनंदिन जीवनात आपण अनेक उपकरणे पाहतो जिथे विद्युतभार नदीतून सहजतेने वाहणाऱ्या पाण्याप्रमाणे स्थिर पद्धतीने वाहतात. टॉर्च आणि सेल-चालित घड्याळ ही अशा उपकरणांची उदाहरणे आहेत. या अध्यायात, आपण स्थिर विद्युतधारांशी संबंधित काही मूलभूत नियमांचा अभ्यास करू.

३.२ विद्युतधारा

विद्युतभारांच्या प्रवाहाच्या दिशेला लंब असलेल्या एका लहान क्षेत्राची कल्पना करा. धनात्मक आणि ऋणात्मक दोन्ही प्रकारचे विद्युतभार त्या क्षेत्रावरून पुढे आणि मागे वाहू शकतात. एका दिलेल्या कालावधीत $t$, समजा $q_{+}$ हे धनात्मक विद्युतभाराचे निव्वळ प्रमाण (म्हणजे, पुढचे वजा मागचे) आहे जे पुढच्या दिशेने त्या क्षेत्रावरून वाहते. त्याचप्रमाणे, समजा $q_{-}$ हे ऋणात्मक विद्युतभाराचे निव्वळ प्रमाण आहे जे पुढच्या दिशेने त्या क्षेत्रावरून वाहते. तर, कालावधी $t$ मध्ये पुढच्या दिशेने त्या क्षेत्रावरून वाहणाऱ्या विद्युतभाराचे निव्वळ प्रमाण $q=q_{+}-q_{-}$ आहे. हे स्थिर धारेसाठी $t$ च्या प्रमाणात आहे आणि भागाकार

$$ \begin{equation*} I=\frac{q}{t} \tag{3.1} \end{equation*} $$

हा पुढच्या दिशेने त्या क्षेत्रावरील विद्युतधारा म्हणून परिभाषित केला जातो. (जर ही संख्या ऋणात्मक आली, तर ती मागच्या दिशेने विद्युतधारा दर्शवते.)

विद्युतधारा नेहमी स्थिर नसतात आणि म्हणून अधिक सामान्यपणे, आपण विद्युतधारा खालीलप्रमाणे परिभाषित करतो. समजा $\Delta Q$ हा कालावधी $\Delta t [$ दरम्यान म्हणजेच वेळ $t$ आणि $(t+\Delta t)]$ दरम्यान वाहकाच्या आडव्या छेदावरून वाहणारा निव्वळ विद्युतभार आहे. तर, वेळ $t$ वर वाहकाच्या आडव्या छेदावरील विद्युतधारा ही $\Delta Q$ आणि $\Delta t$ यांच्या गुणोत्तराची मर्यादा म्हणून परिभाषित केली जाते, जेव्हा $\Delta t$ शून्याकडे झुकतो,

$$ \begin{equation*} I(t) \equiv \lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta Q}{\Delta t} \tag{3.2} \end{equation*} $$

SI एककांमध्ये, विद्युतधारेचे एकक अँपिअर आहे. अँपिअर हे विद्युतधारांच्या चुंबकीय परिणामांद्वारे परिभाषित केले जाते ज्याचा आपण पुढील अध्यायात अभ्यास करू. अँपिअर हे सामान्यतः घरगुती उपकरणांमधील विद्युतधारांच्या परिमाणाचा क्रम असतो. सरासरी विजेच्या चमकाऱ्यात दहा हजारो अँपिअरच्या क्रमाची विद्युतधारा वाहते आणि दुसऱ्या टोकाला, आपल्या मज्जातंतूंमधील विद्युतधारा मायक्रोअँपिअरमध्ये असते.

३.३ वाहकांमधील विद्युतधारा

जर विद्युतक्षेत्र लागू केले तर विद्युतभारावर बल कार्य करेल. जर तो हलण्यासाठी मुक्त असेल, तर तो विद्युतधारेला योगदान देत हलेल. निसर्गात, आयनोस्फियर म्हणून ओळखल्या जाणाऱ्या वातावरणाच्या वरच्या स्तरांसारख्या मुक्त प्रभारित कण अस्तित्वात आहेत. तथापि, अणू आणि रेणूंमध्ये, ऋणात्मक प्रभारित इलेक्ट्रॉन आणि धनात्मक प्रभारित केंद्रके एकमेकांशी बद्ध असतात आणि अशा प्रकारे हलण्यासाठी मुक्त नसतात. स्थूल द्रव्य अनेक रेणूंपासून बनलेले असते, उदाहरणार्थ, एक ग्रॅम पाण्यात अंदाजे $10^{22}$ रेणू असतात. हे रेणू इतके जवळजवळ पॅक केलेले असतात की इलेक्ट्रॉन्स यापुढे वैयक्तिक केंद्रकांशी जोडलेले नसतात. काही सामग्रीमध्ये, इलेक्ट्रॉन्स अजूनही बद्ध असतील, म्हणजे, विद्युतक्षेत्र लागू केले तरीही ते प्रवेगित होणार नाहीत. इतर सामग्रीमध्ये, विशेषतः धातूंमध्ये, काही इलेक्ट्रॉन्स स्थूल द्रव्यामध्ये हलण्यासाठी व्यावहारिकदृष्ट्या मुक्त असतात. ही सामग्री, सामान्यतः वाहक म्हणून ओळखली जाते, जेव्हा त्यावर विद्युतक्षेत्र लागू केले जाते तेव्हा त्यामध्ये विद्युतधारा निर्माण होते.

जर आपण घन वाहकांचा विचार केला, तर अर्थातच अणू एकमेकांशी घट्ट बद्ध असतात जेणेकरून विद्युतधारा ऋणात्मक प्रभारित इलेक्ट्रॉन्सद्वारे वाहून नेली जाते. तथापि, इलेक्ट्रोलाइटिक द्रावणांसारख्या इतर प्रकारचे वाहक आहेत जेथे धनात्मक आणि ऋणात्मक दोन्ही प्रभार हलू शकतात. आपल्या चर्चांमध्ये, आपण केवळ घन वाहकांवर लक्ष केंद्रित करू जेणेकरून विद्युतधारा स्थिर धनात्मक आयनांच्या पार्श्वभूमीवर ऋणात्मक प्रभारित इलेक्ट्रॉन्सद्वारे वाहून नेली जाते.

प्रथम अशी परिस्थिती विचारात घ्या जेव्हा कोणतेही विद्युतक्षेत्र उपस्थित नसते. इलेक्ट्रॉन्स उष्णतेच्या गतीमुळे हलत असतील ज्या दरम्यान ते स्थिर आयनांशी टक्कर घेतात. आयनशी टक्कर घेणारा इलेक्ट्रॉन टक्करपूर्वीच्या गतीइतक्याच गतीने बाहेर पडतो. तथापि, टक्कर झाल्यानंतर त्याच्या वेगाची दिशा पूर्णपणे यादृच्छिक असते. दिलेल्या वेळी, इलेक्ट्रॉन्सच्या वेगासाठी कोणतीही पसंतीची दिशा नसते. अशा प्रकारे सरासरी, कोणत्याही दिशेने प्रवास करणाऱ्या इलेक्ट्रॉन्सची संख्या विरुद्ध दिशेने प्रवास करणाऱ्या इलेक्ट्रॉन्सच्या संख्येइतकी असेल. तर, कोणतीही निव्वळ विद्युतधारा होणार नाही.

आता अशा वाहकाच्या तुकड्यावर विद्युतक्षेत्र लागू केल्यास काय होते ते पाहू. आपले विचार केंद्रित करण्यासाठी, त्रिज्या $R$ असलेल्या सिलिंडरच्या आकाराच्या वाहकाची कल्पना करा (आकृती ३.१). समजा आपण आता समान त्रिज्या असलेल्या डायइलेक्ट्रिकच्या दोन पातळ वर्तुळाकार डिस्क घेतो आणि एका डिस्कवर वितरित केलेला धनात्मक भार $+Q$ ठेवतो आणि त्याचप्रमाणे दुसऱ्या डिस्कवर $-Q$ ठेवतो. आपण ह्या दोन डिस्का सिलिंडरच्या दोन सपाट पृष्ठभागांवर जोडतो. एक विद्युतक्षेत्र निर्माण होईल आणि ते धनात्मक भाराकडून ऋणात्मक भाराकडे निर्देशित केले जाईल. इलेक्ट्रॉन्स या क्षेत्रामुळे $+Q$ च्या दिशेने प्रवेगित होतील. त्यामुळे ते भार उदासीन करण्यासाठी हलतील. इलेक्ट्रॉन्स, जोपर्यंत ते हलत असतात, तोपर्यंत विद्युतधारा निर्माण करतील. म्हणून विचारात घेतलेल्या परिस्थितीत, अगदी थोड्या काळासाठी विद्युतधारा असेल आणि त्यानंतर कोणतीही विद्युतधारा होणार नाही.

आकृती ३.१ धातूच्या सिलिंडरच्या टोकांवर ठेवलेले भार $+Q$ आणि $-Q$. इलेक्ट्रॉन्स भार उदासीन करण्यासाठी तयार झालेल्या विद्युतक्षेत्रामुळे ओढले जातील. त्यामुळे जोपर्यंत भार $+Q$ आणि $-Q$ सतत पुनर्भरण केले जात नाहीत तोपर्यंत विद्युतधारा थोड्या वेळाने थांबेल.

आपण एक यंत्रणाही कल्पना करू शकतो जिथे सिलिंडरच्या टोकांना ताजे भार पुरवले जातात जेणेकरून वाहकाच्या आत हलणाऱ्या इलेक्ट्रॉन्सद्वारे उदासीन केलेल्या कोणत्याही भाराची भरपाई होईल. त्या परिस्थितीत, वाहकाच्या शरीरात एक स्थिर विद्युतक्षेत्र असेल. यामुळे थोड्या काळासाठी विद्युतधारेऐवजी सतत विद्युतधारा निर्माण होईल. स्थिर विद्युतक्षेत्र राखणाऱ्या यंत्रणा म्हणजे सेल किंवा बॅटरी ज्याचा आपण या अध्यायात नंतर अभ्यास करू. पुढील विभागांमध्ये, आपण वाहकांमध्ये स्थिर विद्युतक्षेत्रामुळे निर्माण होणाऱ्या स्थिर विद्युतधारेचा अभ्यास करू.

३.४ ओहमचा नियम

आकृती ३.२ लांबी $l$ आणि आडव्या छेदाचे क्षेत्रफळ A असलेल्या आयताकृती पट्टीसाठी संबंध $\mathrm{R}=\rho \mathrm{l} / \mathrm{A}$ दर्शवित आहे.

विद्युतधारांच्या प्रवाहाशी संबंधित एक मूलभूत नियम जी.एस. ओहम यांनी १८२८ मध्ये शोधला होता, विद्युतधारांच्या प्रवाहासाठी जबाबदार असलेली भौतिक यंत्रणा शोधण्यापूर्वीच. एक वाहक कल्पा ज्यामधून विद्युतधारा $I$ वाहत आहे आणि समजा $V$ हा वाहकाच्या टोकांमधील विभवांतर आहे. तर ओहमचा नियम सांगतो की

$$ \begin{align*} V & \propto I \\ \text { or, } V & =R I \tag{3.3} \end{align*} $$

जेथे प्रमाणातील स्थिरांक $R$ याला वाहकाचा रोध म्हणतात. रोधाची SI एकके ओहम आहेत, आणि ते चिन्ह $\Omega$ ने दर्शविले जाते. रोध $R$ केवळ वाहकाच्या सामग्रीवरच अवलंबून नसतो तर वाहकाच्या परिमाणांवरही अवलंबून असतो. $R$ चे वाहकाच्या परिमाणांवर अवलंबित्व खालीलप्रमाणे सहजपणे निश्चित केले जाऊ शकते.

जॉर्ज सायमन ओहम (१७८७– १८५४) जर्मन भौतिकशास्त्रज्ञ, म्युनिक येथे प्राध्यापक. ओहम उष्णतेच्या वहनाशी साधर्म्य करून त्यांच्या नियमाकडे नेले गेले: विद्युतक्षेत्र हे तापमान प्रवणतेशी साधर्म्य साधते आणि विद्युतधारा ही उष्णता प्रवाहाशी साधर्म्य साधते.

समीकरण (३.३) पूर्ण करणारा वाहक लांबी $l$ आणि आडव्या छेदाचे क्षेत्रफळ $A$ [आकृती ३.२(अ)] असलेल्या पट्टीच्या रूपात आहे असे विचारात घ्या. अशा दोन एकसारख्या पट्ट्या एकमेकांच्या बाजूला ठेवल्याची कल्पना करा [आकृती ३.२(ब)], जेणेकरून संयोगाची लांबी $2 l$ असेल. संयोगातून वाहणारी विद्युतधारा कोणत्याही पट्टीतून वाहणाऱ्या विद्युतधारेइतकीच असेल. जर $V$ हे पहिल्या पट्टीच्या टोकांवरील विभवांतर असेल, तर $V$ हे दुसऱ्या पट्टीच्या टोकांवरील विभवांतर देखील असेल कारण दुसरी पट्टी पहिल्यासारखीच आहे आणि दोन्हीमधून समान विद्युतधारा I वाहते. संयोगाच्या टोकांवरील विभवांतर स्पष्टपणे दोन वैयक्तिक पट्ट्यांवरील विभवांतरांची बेरीज आहे आणि म्हणून $2 V$ इतके आहे. संयोगातून विद्युतधारा $I$ आहे आणि संयोगाचा रोध $R_{\mathrm{C}}$ आहे [समीकरण (३.३) वरून],

$$ \begin{equation*} R_{C}=\frac{2 V}{I}=2 R \tag{3.4} \end{equation*} $$

कारण $V / I=R$, कोणत्याही पट्टीचा रोध. अशा प्रकारे, वाहकाची लांबी दुप्पट केल्यास रोध दुप्पट होतो. सामान्यतः, तर रोध लांबीच्या प्रमाणात असतो,

$$ \begin{equation*} R \propto l \tag{3.5} \end{equation*} $$

पुढे, पट्टीची लांबीने कापून दोन भागात विभागण्याची कल्पना करा जेणेकरून पट्टी लांबी $l$ असलेल्या दोन एकसारख्या पट्ट्यांच्या संयोग म्हणून विचारात घेतली जाऊ शकते, परंतु प्रत्येकाचे आडव्या छेदाचे क्षेत्रफळ $A / 2$ आहे [आकृती ३.२(क)].

पट्टीवरील दिलेल्या व्होल्टेज $V$ साठी, जर $I$ ही संपूर्ण पट्टीतून वाहणारी विद्युतधारा असेल, तर स्पष्टपणे दोन अर्ध्या पट्ट्यांतून वाहणारी विद्युतधारा $I / 2$ आहे. अर्ध्या पट्ट्यांच्या टोकांवरील विभवांतर $V$ आहे, म्हणजे, संपूर्ण पट्टीवरील विभवांतरासारखेच, प्रत्येक अर्ध्या पट्टीचा रोध $R_{1}$ आहे

$$ \begin{equation*} R_{1}=\frac{V}{(I / 2)}=2 \frac{V}{I}=2 R \tag{3.6} \end{equation*} $$

अशा प्रकारे, वाहकाच्या आडव्या छेदाचे क्षेत्रफळ निम्मे केल्यास रोध दुप्पट होतो. सामान्यतः, तर रोध $R$ हा आडव्या छेदाच्या क्षेत्रफळाच्या व्यस्त प्रमाणात असतो,

$$ \begin{equation*} R \propto \frac{1}{A} \tag{3.7} \end{equation*} $$

समीकरणे (३.५) आणि (३.७) एकत्र केल्यास, आपल्याकडे आहे

$$ \begin{equation*} R \propto \frac{l}{A} \tag{3.8} \end{equation*} $$

आणि म्हणून दिलेल्या वाहकासाठी

$$ \begin{equation*} R=\rho \frac{l}{A} \tag{3.9} \end{equation*} $$

जेथे प्रमाणातील स्थिरांक $\rho$ हा वाहकाच्या सामग्रीवर अवलंबून असतो परंतु त्याच्या परिमाणांवर अवलंबून नसतो. $\rho$ याला प्रतिरोधकता म्हणतात. शेवटचे समीकरण वापरून, ओहमचा नियम वाचतो

$$ \begin{equation*} V=I \times R=\frac{I \rho}{A} \tag{3.10} \end{equation*} $$

प्रति एकक क्षेत्रफळ (विद्युतधारेला लंब घेतलेले) विद्युतधारा, $I / A$, याला विद्युतधारा घनता म्हणतात आणि $j$ ने दर्शविले जाते. विद्युतधारा घनतेची SI एकके $\mathrm{A} / \mathrm{m}^{2}$ आहेत. पुढे, जर $E$ हे टोकांमधील एकसमान विद्युतक्षेत्राचे परिमाण असेल तर $E l$ आहे. हे वापरून, शेवटचे समीकरण वाचते

$$ \begin{align*} & E l=j \rho l \\ \text { or, } & E=j \rho \tag{3.11} \end{align*} $$

वरील संबंध परिमाणांसाठी $E$ आणि $j$ खरोखर सदिश रूपात टाकले जाऊ शकतात. विद्युतधारा घनता, (जी आपण विद्युतधारेला लंब असलेल्या प्रति एकक क्षेत्रफळातून वाहणारी विद्युतधारा म्हणून परिभाषित केली आहे) $\mathbf{E}$ च्या दिशेने देखील निर्देशित केली जाते, आणि ती देखील एक सदिश $\mathbf{j}(\equiv j \mathbf{E} / \mathrm{E})$ आहे. अशा प्रकारे, शेवटचे समीकरण असे लिहिले जाऊ शकते,

$$ \begin{align*} \mathbf{E} & =\mathbf{j} \rho \tag{3.12}\\ \text { or, } & \mathbf{j}=\sigma \mathbf{E} \tag{3.13} \end{align*} $$

जेथे $\sigma \equiv 1 / \rho$ याला वाहकता म्हणतात. ओहमचा नियम अनेकदा समीकरण (३.३) व्यतिरिक्त समीकरण (३.१३) मध्ये समतुल्य रूपात सांगितला जातो. पुढील विभागात, आपण इलेक्ट्रॉन्सच्या ओढण्याच्या वैशिष्ट्यांमधून उद्भवणाऱ्या ओहमच्या नियमाचे मूळ समजून घेण्याचा प्रयत्न करू.

३.५ इलेक्ट्रॉन्सचे ओढणे आणि प्रतिरोधकतेचे मूळ

आधी नमूद केल्याप्रमाणे, इलेक्ट्रॉन जड स्थिर आयनांशी टक्कर घेईल, परंतु टक्कर झाल्यानंतर, तो त्याच गतीने परंतु यादृच्छिक दिशेने बाहेर पडेल. जर आपण सर्व इलेक्ट्रॉन्सचा विचार केला, तर त्यांचा सरासरी वेग शून्य असेल कारण त्यांच्या दिशा यादृच्छिक असतात. अशा प्रकारे, जर $N$ इलेक्ट्रॉन्स असतील आणि $i^{\text {th }}$ व्या इलेक्ट्रॉनचा $(i=1,2,3, \ldots N)$ दिलेल्या वेळी वेग $\mathbf{v}_{i}$ असेल, तर

$$ \begin{equation*} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \mathbf{v}_{i}=0 \tag{3.14} \end{equation*} $$

आता अशी परिस्थिती विचारात घ्या जेव्हा विद्युतक्षेत्र उपस्थित असते. इलेक्ट्रॉन्स या क्षेत्रामुळे प्रवेगित होतील

$$ \begin{equation*} \mathbf{a}=\frac{-e \mathbf{E}}{m} \tag{3.15} \end{equation*} $$

जेथे $-e$ हा इलेक्ट्रॉनचा भार आहे आणि $\boldsymbol{m}$ हे इलेक्ट्रॉनचे वस्तुमान आहे. $\boldsymbol{i^\text {th }}$ व्या इलेक्ट्रॉनचा पुन्हा विचार करा दिलेल्या वेळी $\boldsymbol{t}$. या इलेक्ट्रॉनची शेवटची टक्कर $t$ पूर्वी काही काळ झाली असती, आणि समजा $t_{i}$ हा त्याच्या शेवटच्या टक्करीनंतर घालवलेला कालावधी आहे. जर $\mathbf{v_i}$ हा त्याचा शेवटच्या टक्करीनंतरचा त्वरित वेग असेल, तर वेळ $t$ वर त्याचा वेग $\mathbf{V}_{i}$ आहे

$$ \begin{equation*} \mathbf{v} _{i}=\mathbf{v} _{i}+\left(-\frac{e \mathbf{E}}{m}\right) t _{i} \tag{3.16} \end{equation*} $$

कारण त्याच्या शेवटच्या टक्करीपासून तो समीकरण (३.१५) द्वारे दिलेल्या प्रवेगाने कालावधी $t_{i}$ साठी प्रवेगित झाला (आकृती ३.३). वेळ $t$ वर इलेक्ट्रॉन्सचा सरासरी वेग हा सर्व $\mathbf{v_i}$ चा सरासरी आहे. $\mathbf{v_i}$ चा सरासरी शून्य आहे [समीकरण (३.१४)] कारण कोणत्याही टक्करीनंतर त्वरित, इलेक्ट्रॉनच्या वेगाची दिशा पूर्णपणे यादृच्छिक असते. इलेक्ट्रॉन्सच्या टक्करा नियमित अंतराने होत नाहीत तर यादृच्छिक वेळी होतात. समजा $\tau$ ने सलग टक्करांमधील सरासरी कालावधी दर्शवू. तर दिलेल्या वेळी, काही इलेक्ट्रॉन्सनी $\tau$ पेक्षा जास्त वेळ आणि काहीनी $\tau$ पेक्षा कमी वेळ घालवला असेल. दुसऱ्या शब्दांत, समीकरण (३.१६) मधील वेळ $\boldsymbol{t_i}$ हा काहींसाठी $\tau$ पेक्षा कमी आणि काहींसाठी $\tau$ पेक्षा जास्त असेल जेव्हा आपण $\boldsymbol{i}=1,2 \ldots . . N$ च्या मूल्यांमधून जातो. तर $t_{i}$ चे सरासरी मूल्य $\tau$ आहे (विश्रांती काळ म्हणून ओळखले जाते). अशा प्रकारे, समीकरण (३.१६) ची कोणत्याही दिलेल्या वेळी $\boldsymbol{t}$ वर $N$-इलेक्ट्रॉन्सवर सरासरी काढल्यास आपल्याला सरासरी वेग $\mathbf{v_{\boldsymbol{d}}}$ साठी मिळते

आकृती ३.३ एका बिंदू $A$ पासून दुसऱ्या बिंदू B पर्यंत वारंवार टक्करांद्वारे आणि टक्करांदरम्यान सरळ रेषेच्या प्रवासाद्वारे (घन रेषा) जाणाऱ्या इलेक्ट्रॉनची योजनाबद्ध आकृती. जर दर्शविल्याप्रमाणे विद्युतक्षेत्र लागू केले, तर इलेक्ट्रॉन बिंदू $\mathrm{B}^{\prime}$ (ठिपके असलेल्या रेषा) वर संपतो. विद्युतक्षेत्राच्या विरुद्ध दिशेने एक लहान ओढणे दिसून येते.

$$ \begin{align*} & \mathbf{v_d} \equiv\left(\mathbf{V_i}\right)_{\text {average }}=\left(\mathbf{v_i}\right)-\frac{e \mathbf{E}}{m}\left(t_i\right)\\ & =0-\frac{e \mathbf{E}}{m} \tau =-\frac{e \mathbf{E}}{m} \tau \tag{3.17} \end{align*} $$

आकृती ३.४ धातूच्या वाहकातील विद्युतधारा. धातूमधील विद्युतधारा घनतेचे परिमाण हे एकक क्षेत्रफळ आणि लांबी $v_{d}$ असलेल्या सिलिंडरमध्ये असलेल्या भाराचे परिमाण आहे.

हा शेवटचा निकाल आश्चर्यकारक आहे. हे आपल्याला सांगते की इलेक्ट्रॉन्स सरासरी वेगाने हलतात जो वेळेवर अवलंबून नसतो, जरी इलेक्ट्रॉन्स प्रवेगित होत असले तरीही. ही ओढण्याची घटना आहे आणि समीकरण (३.१७) मधील वेग $\mathbf{v _\mathbf{d}}$ याला $\mathbf{d}$ ओढण्याचा वेग म्हणतात.

ओढण्यामुळे, $\mathbf{E}$ ला लंब असलेल्या कोणत्याही क्षेत्रावर भारांचे निव्वळ वहन होईल. एक समतल क्षेत्र $A$ विचारात घ्या, वाहकाच्या आत स्थित आहे जेणेकरून क्षेत्राचा सामान्य $\mathbf{E}$ ला समांतर असेल (आकृती ३.४). तर ओढण्यामुळे, अत्यल्प कालावधी $\Delta \mathbf{t}$ मध्ये, $\left|\mathbf{v_\mathbf{d}}\right| \Delta \mathbf{t}$ पर्यंतच्या अंतरावर क्षेत्राच्या डावीकडील सर्व इलेक्ट्रॉन्स त्या क्षेत्रावरून ओलांडले असतील. जर $\mathbf{n}$ ही धातूमधील मुक्त इलेक्ट्रॉन्सची प्रति एकक आकारमान संख्या असेल, तर $\mathbf{n} \Delta \mathbf{t}\left|\mathbf{v_\mathbf{d}}\right| \mathbf{A}$ असे इलेक्ट्रॉन्स आहेत. प्रत्येक इलेक्ट्रॉन $-\mathbf{e}$ चा भार वाहून नेत असल्याने, वेळ $\Delta t$ मध्ये या क्षेत्रावरून $\mathbf{A}$ उजवीकडे वाहून नेलेला एकूण भार $-n e A\left|\mathrm{v_d}\right| \Delta t$ आहे. $\mathbf{E}$ डावीकडे निर्देशित केले आहे आणि म्हणून $\mathbf{E}$ च्या बाजूने क्षेत्रावरून वाहून नेलेला एकूण भार याचा ऋण आहे. वेळ $\Delta t$ मध्ये क्षेत्र $A$ ओलांडणाऱ्या भाराचे प्रमाण व्याख्येनुसार [समीकरण (३.२)] $I \Delta t$ आहे, जेथे $I$ हे विद्युतधारेचे परिमाण आहे. म्हणून,

$$ \begin{equation*} I \Delta t=+n \text { e } A\left|\mathrm{v}_{d}\right| \Delta t \tag{3.18} \end{equation*} $$

समीकरण (३.१७) मधून $\left|\mathbf{v}_{d}\right|$ चे मूल्य बदलून

$$ \begin{equation*} I \Delta t=\frac{e^{2} A}{m} \ln \Delta t|\mathrm{E}| \tag{3.19} \end{equation*} $$

व्याख्येनुसार $I$ हे परिमाण $|j|$ शी विद्युतधारा घनतेद्वारे संबंधित आहे

$$ \begin{equation*} I=|\mathrm{j}| A \tag{3.20} \end{equation*} $$

म्हणून, समीकरणे (३.१९) आणि (३.२०) वरून,

$$ \begin{equation*} |\mathrm{j}|=\frac{n e^{2}}{m} \tau|\mathrm{E}| \tag{3.21} \end{equation*} $$

सदिश ⟦