5.1 परिचय

चुंबकीय घटना निसर्गात सार्वत्रिक आहेत. विशाल, दूरची आकाशगंगा, सूक्ष्म अदृश्य अणू, मानव आणि प्राणी हे सर्व विविध स्रोतांकडून येणाऱ्या अनेक चुंबकीय क्षेत्रांनी व्यापलेले आहेत. पृथ्वीचे चुंबकत्व मानवी उत्क्रांतीपूर्वीचे आहे. ‘मॅग्नेट’ हा शब्द ग्रीसमधील मॅग्नेशिया नावाच्या बेटाच्या नावावरून आला आहे, जिथे लोहचुंबकाचे खनिज साठे $600 \mathrm{BC}$ पासूनच सापडले होते.

मागील प्रकरणात आपण शिकलो की गतिमान प्रभार किंवा विद्युत प्रवाह चुंबकीय क्षेत्र निर्माण करतात. एकोणिसाव्या शतकाच्या सुरुवातीला झालेली ही शोध ओर्स्टेड, अँपिअर, बायोट आणि साव्हार्ट यांसारख्या शास्त्रज्ञांना श्रेय दिले जाते.

या प्रकरणात, आपण चुंबकत्वाचा स्वतंत्र विषय म्हणून विचार करू. चुंबकत्वाबद्दलची काही सामान्यतः माहीत असलेली कल्पना आहेत:

(i) पृथ्वी चुंबकाप्रमाणे वागते ज्याचे चुंबकीय क्षेत्र अंदाजे भौगोलिक दक्षिणेकडून उत्तरेकडे दर्शवते.

(ii) जेव्हा एका दंडचुंबकाला मुक्तपणे निलंबित केले जाते, तेव्हा ते उत्तर-दक्षिण दिशेने संकेत करते. जो टोक भौगोलिक उत्तरेकडे संकेत करते त्याला उत्तर ध्रुव म्हणतात आणि जो टोक भौगोलिक दक्षिणेकडे संकेत करते त्याला चुंबकाचा दक्षिण ध्रुव म्हणतात.

(iii) जेव्हा दोन चुंबकांचे उत्तर ध्रुव (किंवा दक्षिण ध्रुव) जवळ आणले जातात तेव्हा एक प्रतिकर्षी बल निर्माण होते. त्याउलट, एका चुंबकाच्या उत्तर ध्रुव आणि दुसऱ्या चुंबकाच्या दक्षिण ध्रुवामध्ये आकर्षी बल असते.

(iv) आपण चुंबकाचा उत्तर किंवा दक्षिण ध्रुव वेगळा करू शकत नाही. जर एक दंडचुंबक दोन भागांत तोडला तर आपल्याला काहीशा कमकुवत गुणधर्म असलेले दोन समान दंडचुंबक मिळतात. विद्युत प्रभारांप्रमाणे नाही, चुंबकीय एकध्रुव म्हणून ओळखल्या जाणाऱ्या वेगळ्या चुंबकीय उत्तर आणि दक्षिण ध्रुवांचे अस्तित्व नाही.

(v) लोह आणि त्याच्या मिश्रधातूंपासून चुंबक बनवणे शक्य आहे.

आपण दंडचुंबकाच्या वर्णनाने आणि बाह्य चुंबकीय क्षेत्रातील त्याच्या वर्तनाने सुरुवात करू. आपण चुंबकत्वाचा गॉसचा नियम वर्णन करू. त्यानंतर आपण पृथ्वीच्या चुंबकीय क्षेत्राचे वर्णन करू. पुढे आपण द्रव्यांचे त्यांच्या चुंबकीय गुणधर्मांवर आधारित वर्गीकरण कसे करता येते ते वर्णन करू. आपण अनुचुंबकत्व, प्रतिचुंबकत्व आणि लोहचुंबकत्व यांचे वर्णन करू. विद्युतचुंबक आणि कायम चुंबक यांच्यावरील विभागाने आपण निष्कर्ष काढू.

5.2 दंडचुंबक

आकृती 5.1 दंडचुंबकाभोवती लोहचूर्णाची मांडणी. हा नमुना चुंबकीय क्षेत्र रेषांसारखा दिसतो. हा नमुना सूचित करतो की दंडचुंबक हा एक चुंबकीय द्विध्रुव आहे.

प्रख्यात भौतिकशास्त्रज्ञ अल्बर्ट आइनस्टाइन यांच्या लहानपणीच्या आठवणींपैकी एक आप्तेष्टांकडून मिळालेल्या चुंबकाची होती. आइनस्टाइन मंत्रमुग्ध झाले होते आणि त्याच्याशी अखंड खेळत होते. त्यांना आश्चर्य वाटले की हा चुंबक खिळे किंवा पिन सारख्या वस्तूंवर, ज्या त्यापासून दूर ठेवलेल्या आहेत आणि कोणत्याही स्प्रिंग किंवा दोरीने त्याच्याशी जोडलेल्या नाहीत, त्यांना कसा प्रभावित करू शकतो.

आपण अभ्यास सुरू करतो एका लहान दंडचुंबकावर ठेवलेल्या काचेच्या पत्र्यावर टाकलेले लोहचूर्ण तपासून. लोहचूर्णाची मांडणी आकृती 5.1 मध्ये दर्शविली आहे. लोहचूर्णाचा नमुना सूचित करतो की चुंबकाला विद्युत द्विध्रुवाच्या धन आणि ऋण प्रभाराप्रमाणेच दोन ध्रुव आहेत. परिचयात्मक विभागात नमूद केल्याप्रमाणे, एका ध्रुवाला उत्तर ध्रुव आणि दुसऱ्याला दक्षिण ध्रुव असे नाव दिले जाते. मुक्तपणे निलंबित केल्यावर, हे ध्रुव अनुक्रमे भौगोलिक उत्तर आणि दक्षिण ध्रुवांच्या दिशेने अंदाजे संकेत करतात. विद्युतप्रवाह वाहून नेणाऱ्या परिनालिकेभोवती लोहचूर्णाचा समान नमुना दिसतो.

5.2.1 चुंबकीय क्षेत्र रेषा

लोहचूर्णाचा नमुना आपल्याला चुंबकीय क्षेत्र रेषा* काढण्यास परवानगी देतो. हे दंडचुंबक आणि विद्युतप्रवाह वाहून नेणाऱ्या परिनालिकेसाठी आकृती 5.2 मध्ये दर्शविले आहे. तुलनेसाठी प्रकरण 1, आकृती 1.17(d) पहा. विद्युत द्विध्रुवाच्या विद्युत क्षेत्र रेषा देखील आकृती 5.2(c) मध्ये दाखवल्या आहेत. चुंबकीय क्षेत्र रेषा हे चुंबकीय क्षेत्राचे दृश्य आणि सहजज्ञानी स्वरूप आहे. त्यांचे गुणधर्म आहेत:

(i) चुंबकाच्या (किंवा परिनालिकेच्या) चुंबकीय क्षेत्र रेषा सतत बंद पळवाट तयार करतात. हे विद्युत द्विध्रुवापेक्षा वेगळे आहे जिथे ही क्षेत्र रेषा धन प्रभारापासून सुरू होऊन ऋण प्रभारावर संपतात किंवा अनंतात निघून जातात.

आकृती 5.2 (a) दंडचुंबक, (b) विद्युतप्रवाह वाहून नेणारी मर्यादित परिनालिका आणि (c) विद्युत द्विध्रुव यांच्या क्षेत्र रेषा. मोठ्या अंतरावर, क्षेत्र रेषा अगदी सारख्याच असतात. (i) आणि (ii) अशी नावे दिलेली वक्रे बंद गॉसियन पृष्ठभाग आहेत.

(ii) दिलेल्या बिंदूवरील क्षेत्र रेषेची स्पर्शिका त्या बिंदूवरील निव्वळ चुंबकीय क्षेत्र $\mathbf{B}$ ची दिशा दर्शवते.

(iii) प्रति एकक क्षेत्रफळ ओलांडणाऱ्या क्षेत्र रेषांची संख्या जितकी जास्त, तितकी चुंबकीय क्षेत्र $\mathbf{B}$ ची तीव्रता जास्त. आकृती 5.2(a) मध्ये, प्रदेश (ii) च्या आसपास B हे प्रदेश (i) पेक्षा मोठे आहे.

(iv) चुंबकीय क्षेत्र रेषा एकमेकांना छेदत नाहीत, कारण जर त्या छेदल्या तर छेदनबिंदूवर चुंबकीय क्षेत्राची दिशा अद्वितीय राहणार नाही.

चुंबकीय क्षेत्र रेषा अनेक प्रकारे काढता येतात. एक मार्ग म्हणजे विविध स्थानांवर एक लहान चुंबकीय होकायंत्र सुई ठेवून तिची दिशा नोंदवणे. यामुळे आपल्याला अवकाशातील विविध बिंदूंवर चुंबकीय क्षेत्राच्या दिशेची कल्पना येते.

5.2.2 समतुल्य परिनालिका म्हणून दंडचुंबक

आकृती 5.3 (a) दंडचुंबकाशी त्याची साधर्म्यता दाखवण्यासाठी मर्यादित परिनालिकेच्या अक्षीय क्षेत्राची गणना. (b) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $\mathbf{B}$ मधील चुंबकीय सुई. ही मांडणी एकतर B किंवा सुईचा चुंबकीय द्विध्रुवीय आघूर्ण $\mathbf{m}$ निश्चित करण्यासाठी वापरली जाऊ शकते.

मागील प्रकरणात, आपण स्पष्ट केले आहे की विद्युतप्रवाहाची पळवाट चुंबकीय द्विध्रुवाप्रमाणे कशी वागते (कलम 4.10). आपण अँपिअरची गृहीतक मांडली की सर्व चुंबकीय घटना परिसंचारी प्रवाहांच्या दृष्टीने स्पष्ट केल्या जाऊ शकतात.

दंडचुंबक आणि परिनालिकेसाठी चुंबकीय क्षेत्र रेषांची साधर्म्यता सूचित करते की दंडचुंबकाचा विचार परिनालिकेशी साधर्म्य साधून मोठ्या संख्येने परिसंचारी प्रवाह म्हणून केला जाऊ शकतो. दंडचुंबक अर्ध्यामध्ये कापणे म्हणजे परिनालिका कापण्यासारखे आहे. आपल्याला कमकुवत चुंबकीय गुणधर्म असलेल्या दोन लहान परिनालिका मिळतात. क्षेत्र रेषा सतत राहतात, परिनालिकेच्या एका तोंडातून बाहेर पडतात आणि दुसऱ्या तोंडात प्रवेश करतात. दंडचुंबक आणि विद्युतप्रवाह वाहून नेणाऱ्या मर्यादित परिनालिकेच्या शेजारी एक लहान होकायंत्र सुई हलवून आणि दोन्ही प्रकरणांमध्ये सुईचे विक्षेपण सारखेच आहे हे लक्षात घेऊन हे साधर्म्य तपासले जाऊ शकते.

हे साधर्म्य अधिक दृढ करण्यासाठी आपण आकृती 5.3 (a) मध्ये दर्शविलेल्या मर्यादित परिनालिकेच्या अक्षीय क्षेत्राची गणना करू. आपण हे दाखवून देऊ की मोठ्या अंतरावर हे अक्षीय क्षेत्र दंडचुंबकाप्रमाणे दिसते.

$$ \begin{equation*} B=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2 m}{r^{3}} \tag{5.1} \end{equation*} $$

हे दंडचुंबकाचे दूरचे अक्षीय चुंबकीय क्षेत्र देखील आहे जे प्रायोगिकरित्या मिळवता येते. अशाप्रकारे, दंडचुंबक आणि परिनालिका सारखेच चुंबकीय क्षेत्र निर्माण करतात. दंडचुंबकाचे चुंबकीय द्विध्रुवीय आघूर्ण हे तेवढेच असते जितके समतुल्य परिनालिकेचे चुंबकीय द्विध्रुवीय आघूर्ण असते जी समान चुंबकीय क्षेत्र निर्माण करते.

5.2.3 एकसमान चुंबकीय क्षेत्रातील द्विध्रुव

चला एक लहान होकायंत्र सुई जिचे चुंबकीय द्विध्रुवीय आघूर्ण $\mathbf{m}$ माहीत आहे ती ठेवू आणि तिला चुंबकीय क्षेत्रात दोलन करू द्या. ही मांडणी आकृती 5.3(b) मध्ये दर्शविली आहे.

सुईवरील टॉर्क [समीकरण (4.23) पहा],

$$ \begin{equation*} \tau=\mathbf{m} \times \mathbf{B} \tag{5.2} \end{equation*} $$

परिमाणात $\tau=m B \sin \theta$

येथे $\tau$ हे पुनर्संचयित टॉर्क आहे आणि $\theta$ हा $\mathbf{m}$ आणि $\mathbf{B}$ मधील कोन आहे. चुंबकीय स्थितिज ऊर्जेसाठी एक अभिव्यक्ती विद्युतस्थितिक स्थितिज ऊर्जेच्या ओळींवर देखील मिळवता येते. चुंबकीय स्थितिज ऊर्जा $U_{m}$ दिली जाते

$$ \begin{align*} U_{m} & =\int \tau(\theta) d \theta \\ & =\int m B \sin \theta d \theta=-m B \cos \theta \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & =-\mathbf{m} \cdot \mathbf{B} \tag{5.3} \end{align*} $$

आपण प्रकरण 2 मध्ये यावर भर दिला आहे की स्थितिज ऊर्जेचे शून्य आपल्या सोयीनुसार निश्चित केले जाऊ शकते. समाकलनाचा स्थिरांक शून्य घेणे म्हणजे $\theta=90^{\circ}$ वर स्थितिज ऊर्जेचे शून्य निश्चित करणे, म्हणजे जेव्हा सुई क्षेत्राला लंब असते. समीकरण (5.6) दर्शवते की स्थितिज ऊर्जा किमान $(=-m B)$ असते $\theta=0^{\circ}$ वर (सर्वात स्थिर स्थिती) आणि कमाल $(=+m B)$ असते $\theta=180^{\circ}$ वर (सर्वात अस्थिर स्थिती).

उदाहरण 5.1

(a) जर दंडचुंबक दोन तुकड्यांत कापला तर काय होते: (i) त्याच्या लांबीला आडवा, (ii) त्याच्या लांबीबरोबर?

(b) एकसमान चुंबकीय क्षेत्रातील चुंबकीय सुईवर टॉर्क कार्य करते पण निव्वळ बल कार्य करत नाही. तथापि, दंडचुंबकाजवळील लोखंडी खिळ्यावर टॉर्क व्यतिरिक्त आकर्षण बल देखील कार्य करते. असे का?

(c) प्रत्येक चुंबकीय संरचनेला उत्तर ध्रुव आणि दक्षिण ध्रुव असणे आवश्यक आहे का? टोरॉइडमुळे होणाऱ्या क्षेत्राबद्दल काय?

(d) A आणि B असे दोन एकसारखे दिसणारे लोखंडी दांडे दिले आहेत, त्यापैकी एक नक्कीच चुंबकीत केलेले आहे हे माहीत आहे. (आपल्याला कोणते हे माहीत नाही.) दोन्ही चुंबकीत केलेली आहेत की नाही हे कसे ठरवले जाईल? जर फक्त एक चुंबकीत केलेले असेल, तर कोणते हे कसे ठरवले जाईल? [A आणि B दांड्यांशिवाय दुसरे काहीही वापरू नका.]

उकल

(a) दोन्ही प्रकरणांमध्ये, प्रत्येकी उत्तर आणि दक्षिण ध्रुव असलेले दोन चुंबक मिळतात.

(b) जर क्षेत्र एकसमान असेल तर कोणतेही बल नाही. लोखंडी खिळ्यावर दंडचुंबकामुळे असमान क्षेत्र कार्य करते. खिळ्यामध्ये प्रेरित चुंबकीय द्विध्रुवीय आघूर्ण असते, म्हणून त्यावर बल आणि टॉर्क दोन्ही कार्य करते. निव्वळ बल आकर्षी असते कारण खिळ्यामधील प्रेरित दक्षिण ध्रुव (समजा) हा प्रेरित उत्तर ध्रुवापेक्षा चुंबकाच्या उत्तर ध्रुवाच्या जवळ असतो.

(c) आवश्यक नाही. जर क्षेत्राच्या स्रोताचे निव्वळ शून्येतर चुंबकीय द्विध्रुवीय आघूर्ण असेल तरच खरे. टोरॉइड किंवा अगदी सरळ अनंत वाहकासाठीही हे खरे नाही.

(d) दांड्यांचे वेगवेगळे टोक जवळ आणण्याचा प्रयत्न करा. काही परिस्थितीत प्रतिकर्षी बल दर्शवते की दोन्ही चुंबकीत केलेली आहेत. जर ते नेहमीच आकर्षी असेल, तर त्यापैकी एक चुंबकीत केलेले नाही. दंडचुंबकामध्ये चुंबकीय क्षेत्राची तीव्रता दोन्ही टोकांवर (ध्रुवांवर) सर्वात जास्त आणि मध्यभागी सर्वात कमकुवत असते. A किंवा B कोणते चुंबक आहे हे ठरवण्यासाठी ही माहिती वापरली जाऊ शकते. या प्रकरणात, दोन दांड्यांपैकी कोणता चुंबक आहे हे पाहण्यासाठी, एक उचला (समजा, A) आणि त्याचे एक टोक प्रथम दुसऱ्याच्या (समजा, B) एका टोकावर आणि नंतर B च्या मध्यभागी ठेवा. जर तुम्ही लक्षात घेतले की $\mathrm{B}, \mathrm{A}$ च्या मध्यभागी कोणतेही बल कार्य करत नाही, तर $\mathrm{B}$ चुंबकीत केलेले आहे. जर तुम्हाला $B$ च्या टोकापासून मध्यापर्यंत कोणताही बदल दिसला नाही, तर A चुंबकीत केलेले आहे.

5.2.4 विद्युतस्थितिकीय साधर्म्य

समीकरणे (5.2), (5.3) आणि (5.6) ची विद्युत द्विध्रुवासाठीच्या संबंधित समीकरणांशी (प्रकरण 1) तुलना केल्यास असे सूचित होते की चुंबकीय द्विध्रुवीय आघूर्ण $\mathbf{m}$ असलेल्या दंडचुंबकामुळे मोठ्या अंतरावरील चुंबकीय क्षेत्र द्विध्रुवीय आघूर्ण p असलेल्या विद्युत द्विध्रुवामुळे होणाऱ्या विद्युत क्षेत्राच्या समीकरणातून खालील बदल करून मिळवता येते:

$$ \mathbf{E} \rightarrow \mathbf{B}, \mathbf{p} \rightarrow \mathbf{m}, \frac{1}{4 \pi \varepsilon _{0}} \rightarrow \frac{\mu _{0}}{4 \pi} $$

विशेषतः, आपण दंडचुंबकाचे विषुववृत्तीय क्षेत्र $\left(\mathbf{B_E}\right)$, अंतर $r$ वर, $r»l$ साठी लिहू शकतो, जेथे $l$ हा चुंबकाचा आकार आहे:

$$ \begin{equation*} \mathbf{B_E}=-\frac{\mu_{0} \mathbf{m}}{4 \pi r^{3}} \tag{5.4} \end{equation*} $$

त्याचप्रमाणे, दंडचुंबकाचे अक्षीय क्षेत्र $\left(\mathbf{B_\mathrm{A}}\right)$, $r»l$ साठी आहे:

$$ \begin{equation*} \mathbf{B_A}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2 \mathbf{m}}{r^{3}} \tag{5.5} \end{equation*} $$

समीकरण (5.8) हे सदिश रूपातील समीकरण (5.2) आहे. सारणी 5.1 विद्युत आणि चुंबकीय द्विध्रुवांमधील साधर्म्य सारांशित करते.

सारणी 5.1 द्विध्रुव साधर्म्य

उदाहरण 5.2 आकृती 5.4 एका बिंदू $\mathrm{O}$ वर ठेवलेली एक लहान चुंबकीय सुई P दर्शवते. बाण त्याच्या चुंबकीय द्विध्रुवीय आघूर्णाची दिशा दर्शवतो. इतर बाण दुसऱ्या एकसारख्या चुंबकीय सुई $\mathrm{Q}$ ची विविध स्थिती (आणि चुंबकीय द्विध्रुवीय आघूर्णाची दिशा) दर्शवतात.

(a) कोणत्या संरचनेत प्रणाली समतोलात नाही?

(b) कोणत्या संरचनेत प्रणाली (i) स्थिर, आणि (ii) अस्थिर समतोलात आहे?

(c) दर्शविलेल्या सर्व संरचनांपैकी कोणत्या संरचनेशी सर्वात कमी स्थितिज ऊर्जा संबंधित आहे?

आकृती 5.4

उकल संरचनेची स्थितिज ऊर्जा ही एका द्विध्रुवाची (समजा, Q) दुसऱ्या द्विध्रुवाच्या (P) चुंबकीय क्षेत्रातील स्थितिज ऊर्जा यामुळे निर्माण होते. हा निकाल वापरा की $\mathrm{P}$ मुळे होणारे क्षेत्र खालील अभिव्यक्तीद्वारे दिले जाते [समीकरणे (5.7) आणि (5.8)]:

$\mathbf{B_\mathrm{P}}=-\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{\mathbf{m_\mathrm{P}}}{r^{3}} \quad$ (लंबदुभाजकावर)

$\mathbf{B_\mathrm{P}}=\frac{\mu_{0} 2}{4 \pi} \frac{\mathbf{m_\mathrm{P}}}{r^{3}} \quad$ (अक्षावर)

जेथे $\mathbf{m_P}$ हा द्विध्रुव $P$ चे चुंबकीय द्विध्रुवीय आघूर्ण आहे.

जेव्हा $\mathbf{m_\mathrm{B}}$ हे $\mathbf{B_\mathrm{P}}$ च्या समांतर असते तेव्हा समतोल स्थिर असतो आणि जेव्हा ते $\mathbf{B_\mathrm{P}}$ च्या विरुद्ध समांतर असते तेव्हा अस्थिर असते.

$Q_{3}$ या संरचनेसाठी ज्यासाठी $Q$ हे द्विध्रुव $\mathrm{P}$ च्या लंबदुभाजकावर आहे, $\mathrm{Q}$ चे चुंबकीय द्विध्रुवीय आघूर्ण हे स्थान 3 वरील चुंबकीय क्षेत्राच्या समांतर आहे. म्हणून $Q_{3}$ स्थिर आहे. अशाप्रकारे,

(a) $\mathrm{PQ_1}$ आणि $\mathrm{PQ_2}$

(b) (i) $\mathrm{PQ_3}, \mathrm{PQ_6}$ (स्थिर); (ii) $\mathrm{PG_5}, \mathrm{PQ_4}$ (अस्थिर)

(c) $\mathrm{PQ_6}$

5.3 चुंबकत्व आणि गॉसचा नियम

कार्ल फ्रीडरिक गॉस (1777 – 1855) ते एक प्रतिभावान मूल होते आणि गणित, भौतिकशास्त्र, अभियांत्रिकी, खगोलशास्त्र आणि अगदी सर्वेक्षणातही त्यांची प्रतिभा होती. संख्यांचे गुणधर्म त्यांना मोहित करत होते आणि त्यांच्या कार्यात त्यांनी नंतरच्या काळातील प्रमुख गणितीय विकासाची अपेक्षा केली होती. विल्हेल्म वेबर यांच्यासोबत, त्यांनी 1833 मध्ये पहिला विद्युत तारायंत्र बनवला. वक्र पृष्ठभागाच्या त्यांच्या गणितीय सिद्धांताने रिमानच्या नंतरच्या कार्यासाठी पाया घातला.

प्रकरण 1 मध्ये, आपण विद्युतस्थितिकीसाठी गॉसचा नियम अभ्यासला. आकृती 5.3(c) मध्ये, आपण पाहतो की (i) द्वारे दर्शविलेल्या बंद पृष्ठभागासाठी, पृष्ठभाग सोडणाऱ्या रेषांची संख्या त्यात प्रवेश करणाऱ्या रेषांच्या संख्येइतकी आहे. हे या वस्तुस्थितीशी सुसंगत आहे की पृष्ठभागाद्वारे कोणताही निव्वळ प्रभार बंदिस्त केलेला नाही. तथापि, त्याच आकृतीत, बंद पृष्ठभाग (ii) साठी, निव्वळ बाह्य प्रवाह आहे, कारण त्यात निव्वळ (धन) प्रभार समाविष्ट आहे.

चुंबकीय क्षेत्रांसाठी परिस्थिती मूलगामीपणे वेगळी आहे जी सतत असतात आणि बंद पळवाट तयार करतात. आकृती 5.3(a) किंवा आकृती 5.3(b) मधील (i) किंवा (ii) द्वारे दर्शविलेले गॉसियन पृष्ठभाग तपासा. दोन्ही प्रकरणे दृश्यरित्या दर्शवतात की पृष्ठभाग सोडणाऱ्या चुंबकीय क्षेत्र रेषांची संख्या त्यात प्रवेश करणाऱ्या रेषांच्या संख्येने संतुलित केली जाते. दोन्ही पृष्ठभागांसाठी निव्वळ चुंबकीय प्रवाह शून्य आहे. हे कोणत्याही बंद पृष्ठभागासाठी खरे आहे.

आकृती 5.5 एका बंद पृष्ठभाग $S$ चा एक लहान सदिश क्षेत्रफळ घटक $\Delta \mathbf{S}$ विचारात घ्या जसे की $\Delta \mathbf{S}$ वरील क्षेत्र आहे. आपण $S$ ला अनेक लहान क्षेत्रफळ घटकांमध्ये विभागत