७.१ प्रस्तावना

आतापर्यंत आपण प्रत्यक्ष धारा (dc) स्रोत आणि dc स्रोत असलेल्या परिपथांचा विचार केला आहे. या धारा कालांतराने दिशा बदलत नाहीत. परंतु कालांतराने बदलणारे विद्युतदाब आणि धारा अतिशय सामान्य आहेत. आपल्या घरांतील आणि कार्यालयांतील विद्युत मेन्स पुरवठा हा काळाच्या सापेक्ष साइन फलनाप्रमाणे बदलणारा विद्युतदाब आहे. अशा विद्युतदाबाला प्रत्यावर्ती विद्युतदाब (ac विद्युतदाब) म्हणतात आणि त्यामुळे परिपथात निर्माण होणाऱ्या धारेला प्रत्यावर्ती धारा (ac धारा)* म्हणतात. आज, आपण वापरत असलेल्या बहुतेक विद्युत उपकरणांना ac विद्युतदाबाची आवश्यकता असते. याचे मुख्य कारण असे की, विद्युत कंपन्या विकत असलेली बहुतेक विद्युत ऊर्जा प्रत्यावर्ती धारेच्या रूपात प्रसारित आणि वितरित केली जाते. dc विद्युतदाबापेक्षा ac विद्युतदाब वापरण्याला प्राधान्य देण्याचे मुख्य कारण असे आहे की, ट्रान्सफॉर्मरच्या साहाय्याने ac विद्युतदाब सहजपणे आणि कार्यक्षमतेने एका विद्युतदाबातून दुसऱ्या विद्युतदाबात रूपांतरित केले जाऊ शकतात. शिवाय, विद्युत ऊर्जा देखील आर्थिकदृष्ट्या लांब अंतरावर प्रसारित केली जाऊ शकते. AC परिपथ अशा वैशिष्ट्यांचे प्रदर्शन करतात जी दैनंदिन वापरातील अनेक उपकरणांमध्ये उपयोगात आणल्या जातात. उदाहरणार्थ, जेव्हा आपण आपल्या रेडिओला आवडत्या स्टेशनवर ट्यून करतो, तेव्हा आपण ac परिपथांच्या एका विशेष गुणधर्माचा फायदा घेत असतो - या प्रकरणात तुम्ही अभ्यासणार असलेल्या अनेक गुणधर्मांपैकी हा एक आहे.

• ac विद्युतदाब आणि ac धारा हे वाक्प्रचार अनुक्रमे विरोधाभासी आणि अनावश्यक आहेत, कारण त्यांचा शब्दशः अर्थ प्रत्यावर्ती धारा विद्युतदाब आणि प्रत्यावर्ती धारा धारा असा होतो. तरीही, साध्या आवर्ती कालावलंबन दर्शविणाऱ्या विद्युत राशी दर्शविण्यासाठी ac हे संक्षेप इतके सार्वत्रिकपणे स्वीकारले गेले आहेत की आपण त्याच्या वापरात इतरांचे अनुसरण करतो. शिवाय, विद्युतदाब – दुसरा सामान्यपणे वापरला जाणारा वाक्प्रचार म्हणजे दोन बिंदूंमधील विभवांतर

७.२ रोधकाला लागू केलेला AC विद्युतदाब

>

निकोला टेस्ला (१८५६ –१९४३) सर्बियन-अमेरिकनशास्त्रज्ञ, शोधक आणिप्रतिभावान. त्यांनी फिरणाऱ्याचुंबकीय क्षेत्राची कल्पना मांडली,जी व्यावहारिकदृष्ट्या सर्वप्रत्यावर्ती धारा यंत्रणेचाआधार आहे, आणि ज्यामुळेविद्युत ऊर्जेच्या युगाची सुरुवातझाली. त्यांनी इतर गोष्टींबरोबरचप्रेरण मोटार, ac ऊर्जेची बहुप्रावस्थापद्धत आणि उच्च-वारंवारता प्रेरणकुंडल (टेस्ला कुंडल) याचाही शोध लावला जो रेडिओ आणिदूरदर्शन संच आणि इतर इलेक्ट्रॉनिकउपकरणांमध्ये वापरला जातो. चुंबकीय क्षेत्राचे SI एकक त्यांच्या सन्मानार्थ नाव देण्यात आले आहे.

आकृती ७.१ मध्ये ac विद्युतदाबाच्या स्रोत $\varepsilon$ शी जोडलेला रोधक दाखवला आहे. परिपथ आकृतीमध्ये ac स्रोताचे चिन्ह $\Theta$ आहे. आपण अशा स्रोताचा विचार करतो जो त्याच्या टर्मिनल्सवर सायनसॉइडली बदलणारा विभवांतर निर्माण करतो. हा विभवांतर, ज्याला ac विद्युतदाब देखील म्हणतात, तो खालीलप्रमाणे द्या

$$ \begin{equation*} v=v_{m} \sin \omega t \tag{7.1} \end{equation*} $$

जेथे $v_{m}$ हे दोलन करणाऱ्या विभवांतराचे आयाम आहे आणि $\omega$ ही त्याची कोनीय वारंवारता आहे.

आकृती ७.१ रोधकाला लागू केलेला AC विद्युतदाब.

रोधकातून प्रवाहाचे मूल्य शोधण्यासाठी, आकृती ७.१ मध्ये दाखवलेल्या परिपथासाठी आपण किर्चहॉफच्या लूप नियमाचा $\sum \varepsilon(t)=0$ (कलम ३.१३ पहा) वापर करतो

$ v_{m} \sin \omega t=i R $

किंवा $i=\frac{v_{m}}{R} \sin \omega t$

$R$ हे स्थिरांक असल्याने, आपण हे समीकरण असे लिहू शकतो

$$ \begin{equation*} i=i_{m} \sin \omega t \tag{7.2} \end{equation*} $$

जेथे धारा आयाम $i_{m}$ खालीलप्रमाणे दिला आहे

$$ \begin{equation*} i_{m}=\frac{v_{m}}{R} \tag{7.3} \end{equation*} $$

आकृती ७.२ शुद्ध रोधकामध्ये, विद्युतदाब आणि धारा समप्रावस्थेत असतात. किमान, शून्य आणि कमाल योग्य वेळी एकाच वेळी येतात.

समीकरण (७.३) हा ओहमचा नियम आहे, जो रोधकांसाठी, ac आणि dc दोन्ही विद्युतदाबांसाठी तितकाच चांगला कार्य करतो. शुद्ध रोधकावरील विद्युतदाब आणि त्यातून वाहणारी धारा, समीकरण (७.१) आणि (७.२) द्वारे दिलेली आहे, ती आकृती ७.२ मध्ये कालाचे फलन म्हणून प्लॉट केली आहे. विशेषतः लक्षात घ्या की $v$ आणि $i$ दोन्ही एकाच वेळी शून्य, किमान आणि कमाल मूल्यांवर पोहोचतात. स्पष्टपणे, विद्युतदाब आणि धारा एकमेकांशी समप्रावस्थेत आहेत.

आपण पाहतो की, लागू केलेल्या विद्युतदाबाप्रमाणेच, धारा देखील सायनसॉइडली बदलते आणि प्रत्येक चक्रादरम्यान संबंधित धनात्मक आणि ऋणात्मक मूल्ये असतात. अशाप्रकारे, एका पूर्ण चक्रावरील तात्कालिक धारा मूल्यांची बेरीज शून्य असते, आणि सरासरी धारा शून्य असते. सरासरी धारा शून्य आहे ही वस्तुस्थिती, तथापि, याचा अर्थ असा नाही की सरासरी शक्ती वापर शून्य आहे आणि विद्युत ऊर्जेचे क्षय होत नाहीत. तुम्हाला माहिती आहेच, जूल उष्णता $i^{2} R$ द्वारे दिली जाते आणि $i^{2}$ वर अवलंबून असते (जे $i$ धनात्मक किंवा ऋणात्मक असो, नेहमीच धनात्मक असते) आणि $i$ वर अवलंबून नसते. अशाप्रकारे, जेव्हा ac धारा रोधकातून जाते तेव्हा जूल उष्णता आणि विद्युत ऊर्जेचा क्षय होतो.

जॉर्ज वेस्टिंगहाऊस(१८४६ – १९१४) प्रत्यावर्ती धारेचावापर प्रत्यक्ष धारेपेक्षाजास्त करण्याचे प्रमुखसमर्थक. अशाप्रकारे,त्यांचा थॉमस अल्वा एडिसनशीसंघर्ष झाला, जे प्रत्यक्षधारेचे समर्थक होते. वेस्टिंगहाऊसयावर खात्री होती कीप्रत्यावर्ती धारेचे तंत्रज्ञानही विद्युत भविष्याचीकिल्ली आहे. त्यांनी त्यांच्यानावाने प्रसिद्ध कंपनीचीस्थापना केली आणि प्रत्यावर्तीधारा मोटार आणि उच्चताण धारेच्या प्रसारणासाठीउपकरणांच्या विकासात निकोलाटेस्ला आणि इतर शोधकांचीमदत घेतली, मोठ्या प्रमाणावरप्रकाशयोजनेत अग्रगण्य.

रोधकात क्षय होणारी तात्कालिक शक्ती आहे

$$ \begin{equation*} p=i^{2} R=i_{m}^{2} R \sin ^{2} \omega t \tag{7.4} \end{equation*} $$

$p$ चे एका चक्रावरील सरासरी मूल्य* आहे

$$ \begin{equation*} \bar{p}=<i^{2} R>=<i_{m}^{2} R \sin ^{2} \omega t> \tag{7.5 a} \end{equation*} $$

जेथे अक्षरावरील बार (येथे, $p$ ) त्याचे सरासरी मूल्य दर्शवितो आणि $<\ldots . .>$ म्हणजे कंसातील राशीची सरासरी घेणे. $i_{m}^{2}$ आणि $R$ स्थिरांक असल्याने,

$$ \begin{equation*} \bar{p}=i_{m}^{2} R<\sin ^{2} \omega t> \tag{7.5 b} \end{equation*} $$

त्रिकोणमितीय ओळख, $\sin ^{2} \omega t=$ $1 / 2(1-\cos 2 \omega t)$ वापरून, आपल्याकडे $\left.<\sin ^{2} \omega t>=(1 / 2)(1-<\cos 2 \omega t \right)$ आहे आणि $<\cos 2 \omega t>=0^{*}$ असल्याने, आपल्याकडे आहे,

$$ <\sin ^{2} \omega t>=\frac{1}{2} $$

अशाप्रकारे,

$$ \begin{equation*} \bar{p}=\frac{1}{2} i_{m}^{2} R \tag{7.5 c} \end{equation*} $$

ac शक्ती dc शक्ती $\left(P=I^{2} R\right)$ च्या समान रूपात व्यक्त करण्यासाठी, धारेचे एक विशेष मूल्य परिभाषित केले जाते आणि वापरले जाते. त्याला रूट मीन स्क्वेअर (rms) किंवा प्रभावी धारा (आकृती ७.३) म्हणतात आणि $I_{r m s}$ किंवा $I$ द्वारे दर्शविले जाते.

आकृती ७.३ rms धारा $I$ ही शिखर धारा $i_{m}$ शी $I=i_{m} / \sqrt{2}=0.707 i_{m}$ या संबंधाने संबंधित आहे.

• फलन $F(t)$ चे कालावधी $T$ वरील सरासरी मूल्य $\langle F(t)\rangle=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} F(t) \mathrm{d} t$ द्वारे दिले जाते

$<\cos 2 \omega t> \text{=} \frac{1}{T} \int_{0}^{T}\cos 2 \omega tdt \text{=} \frac{1}{T}[\large\frac{\sin 2 \omega t}{2 \omega}]_{0}^{T} \text{=}\frac{1}{2 \omega T}[\sin 2 \omega \text{-}0]=0$

ते खालीलप्रमाणे परिभाषित केले आहे

$$ \begin{align*} I=\sqrt{\overline{i^{2}}} & =\sqrt{\frac{1}{2} i_{m}^{2}}=\frac{i_{m}}{\sqrt{2}} \\ & =0.707 i_{m} \tag{7.6} \end{align*} $$

$I$ च्या दृष्टीने, सरासरी शक्ती, $P$ द्वारे दर्शविली जाते

$$ \begin{equation*} P=\bar{p}=\frac{1}{2} i_{m}^{2} R=I^{2} R \tag{7.7} \end{equation*} $$

त्याचप्रमाणे, आपण rms विद्युतदाब किंवा प्रभावी विद्युतदाब खालीलप्रमाणे परिभाषित करतो

$$ \begin{equation*} V=\frac{v_{m}}{\sqrt{2}}=0.707 v_{m} \tag{7.8} \end{equation*} $$

समीकरण (७.३) वरून, आपल्याकडे आहे

$$ v_{m}=i_{m} R $$

किंवा, $\frac{v_{m}}{\sqrt{2}}=\frac{i_{m}}{\sqrt{2}} R$

किंवा, $V=I R$

समीकरण (७.९) ac धारा आणि ac विद्युतदाब यांच्यातील संबंध दर्शवते आणि dc प्रकरणातील समीकरणासारखेच आहे. हे rms मूल्यांची संकल्पना मांडण्याचा फायदा दर्शवते. rms मूल्यांच्या दृष्टीने, शक्तीसाठीचे समीकरण [समीकरण (७.७)] आणि ac परिपथांमधील धारा आणि विद्युतदाब यांच्यातील संबंध हे dc प्रकरणासाठी असलेल्या समीकरणांसारखेच आहेत.

ac राशींसाठी rms मूल्ये मोजणे आणि निर्दिष्ट करणे ही प्रथा आहे. उदाहरणार्थ, घरगुती लाइन विद्युतदाब $220 \mathrm{~V}$ हे $\mathrm{rms}$ मूल्य आहे ज्याचा शिखर विद्युतदाब आहे

$$ v_{m}=\sqrt{2} \quad V=(1.414)(220 \mathrm{~V})=311 \mathrm{~V} $$

खरं तर, $I$ किंवा rms धारा ही ती समतुल्य dc धारा आहे जी प्रत्यावर्ती धारेप्रमाणेच सरासरी शक्ती क्षय निर्माण करेल. समीकरण (७.७) असे देखील लिहिले जाऊ शकते

$$ P=V^{2} / R=I V \quad(\text { since } V=I R) $$

उदाहरण ७.१ एका दिव्याचे रेटिंग $100 \mathrm{~W}$, $220 \mathrm{~V}$ पुरवठ्यासाठी दिले आहे. शोधा (a) दिव्याचा रोध; (b) स्रोताचा शिखर विद्युतदाब; आणि (c) दिव्यातून वाहणारी rms धारा.

उकल

(a) आपल्याला $P=100 \mathrm{~W}$ आणि $V=220 \mathrm{~V}$ दिले आहे. दिव्याचा रोध आहे

$$ R=\frac{V^{2}}{P}=\frac{(220 \mathrm{~V})^{2}}{100 \mathrm{~W}}=484 \Omega $$

(b) स्रोताचा शिखर विद्युतदाब आहे

$$ v_{m}=\sqrt{2} \mathrm{~V}=311 \mathrm{~V} $$

(c) $P=I V$ असल्याने

$$ I=\frac{P}{V}=\frac{100 \mathrm{~W}}{220 \mathrm{~V}}=0.454 \mathrm{~A} $$

७.३ फिरणाऱ्या सदिशांद्वारे AC धारा आणि विद्युतदाबाचे निरूपण - फेजर

मागील कलमात, आपण शिकलो की रोधकातून वाहणारी धारा ac विद्युतदाबाशी समप्रावस्थेत असते. परंतु प्रेरक, धारिता किंवा या परिपथ घटकांच्या संयोगाच्या बाबतीत असे नाही. ac परिपथात विद्युतदाब आणि धारा यांच्यातील प्रावस्था संबंध दर्शवण्यासाठी, आपण फेजरची संकल्पना वापरतो. ac परिपथाचे विश्लेषण फेजर आकृतीच्या वापराने सुलभ होते. फेजर* हा एक सदिश आहे जो आकृती ७.४ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे कोनीय वेग $\omega$ ने उगमबिंदूभोवती फिरतो. फेजर $\mathbf{V}$ आणि $\mathbf{I}$ चे अनुलंब घटक सायनसॉइडली बदलणाऱ्या राशी $v$ आणि $i$ चे प्रतिनिधित्व करतात. फेजर $\mathbf{V}$ आणि $\mathbf{I}$ ची परिमाणे या दोलन करणाऱ्या राशींचे आयाम किंवा शिखर मूल्ये $v_{m}$ आणि $i_{m}$ दर्शवतात. आकृती ७.४(a) विद्युतदाब आणि धारा फेजर आणि वेळ $t_{1}$ वरील त्यांचा संबंध रोधकाशी जोडलेल्या ac स्रोताच्या प्रकरणासाठी दर्शवते म्हणजेच, आकृती ७.१ मध्ये दाखवलेल्या परिपथाशी संबंधित. अनुलंब अक्षावरील विद्युतदाब आणि धारा फेजरचे प्रक्षेपण, म्हणजे अनुक्रमे $v_{m} \sin \omega t$ आणि $i_{m} \sin \omega t$, त्या क्षणी विद्युतदाब आणि धारेचे मूल्य दर्शवतात. ते वारंवारता $\omega$ सह फिरत असल्याने, आकृती ७.४(b) मधील वक्र निर्माण होतात.

आकृती ७.४ (a) आकृती ७.१ मधील परिपथासाठी फेजर आकृती. (b) $v$ आणि $i$ चा $\omega t$ विरुद्ध आलेख.

आकृती ७.४(a) वरून आपण पाहतो की रोधकाच्या प्रकरणात फेजर $\mathbf{V}$ आणि $\mathbf{I}$ एकाच दिशेने आहेत. हे सर्व वेळेसाठी खरे आहे. याचा अर्थ विद्युतदाब आणि धारा यांच्यातील प्रावस्था कोन शून्य आहे.

७.४ प्रेरकाला लागू केलेला AC विद्युतदाब

आकृती ७.५ मध्ये प्रेरकाशी जोडलेला ac स्रोत दाखवला आहे. सामान्यतः, प्रेरकांच्या कुंडलांमध्ये लक्षणीय रोध असतो, परंतु आपण असे गृहीत धरू की या प्रेरकाचा रोध नगण्य आहे. अशाप्रकारे, परिपथ हा पूर्णपणे प्रेरक ac परिपथ आहे. स्रोतावरील विद्युतदाब $v=v_{m} \sin \omega t$ असू द्या. किर्चहॉफच्या लूप नियमाचा वापर करून, $\sum \varepsilon(t)=0$, आणि परिपथात रोधक नसल्यामुळे,

$$ \begin{equation*} v-L \frac{\mathrm{d} i}{\mathrm{~d} t}=0 \tag{7.10} \end{equation*} $$

जेथे दुसरी पद प्रेरकात स्वतःप्रेरित फॅराडे emf आहे; आणि $L$ हे प्रेरकाचे स्वप्रेरकत्व आहे

आकृती ७.५ प्रेरकाशी जोडलेला AC स्रोत.

• जरी ac परिपथातील विद्युतदाब आणि धारा फेजर – फिरणाऱ्या सदिशांद्वारे दर्शविल्या जातात, त्या स्वतः सदिश नसतात. त्या अदिश राशी आहेत. असे घडते की आवर्तीपणे बदलणाऱ्या अदिश राशींचे आयाम आणि प्रावस्था गणितीयदृष्ट्या त्याच प्रकारे एकत्र होतात ज्याप्रमाणे संबंधित परिमाणे आणि दिशा असलेल्या फिरणाऱ्या सदिशांचे प्रक्षेपण एकत्र होतात. आवर्तीपणे बदलणाऱ्या अदिश राशींचे प्रतिनिधित्व करणारे ‘फिरणारे सदिश’ केवळ आपल्याला आधीच माहित असलेल्या सदिश बेरीजच्या नियमाचा वापर करून या राशी जोडण्याचा एक सोपा मार्ग प्रदान करण्यासाठी सादर केले जातात.

समीकरणे (७.१) आणि (७.१०) एकत्र करून, आपल्याकडे आहे

$$ \begin{equation*} \frac{\mathrm{d} i}{\mathrm{~d} t}=\frac{v}{L}=\frac{v_{m}}{L} \sin \omega t \tag{7.11} \end{equation*} $$

समीकरण (७.११) चा अर्थ असा आहे की $i(t)$, कालाचे फलन म्हणून धारेसाठीचे समीकरण असे असले पाहिजे की त्याचा उतार $\mathrm{d} i / \mathrm{d} t$ ही सायनसॉइडली बदलणारी राशी आहे, जी स्रोत विद्युतदाबासारख्याच प्रावस्थेत आहे आणि त्याचा आयाम $v_{m} / L$ द्वारे दिला आहे. धारा मिळवण्यासाठी, आपण $\mathrm{d} i / \mathrm{d} t$ चा कालाच्या सापेक्ष समाकलन करतो:

$$ \int \frac{\mathrm{d} i}{\mathrm{~d} t} \mathrm{~d} t=\frac{v_{m}}{L} \int \sin (\omega t) \mathrm{d} t $$

आणि मिळवतो,

$$ i=-\frac{v_{m}}{\omega L} \cos (\omega t)+\text { constant } $$

समाकलन स्थिरांकाची धारेची परिमाणे आहे आणि तो कालावलंबी नसतो. स्रोतामध्ये emf असल्याने जो शून्याभोवती सममितीयपणे दोलन करतो, तो टिकवून ठेवत असलेली धारा देखील शून्याभोवती सममितीयपणे दोलन करते, जेणेकरून धारेचा कोणताही स्थिर किंवा कालावलंबी नसलेला घटक अस्तित्वात नाही. म्हणून, समाकलन स्थिरांक शून्य आहे. वापरून

$$ -\cos (\omega t)=\sin \omega t-\frac{\pi}{2} \text {, we have } $$

$$ \begin{equation*} i=i_{m} \sin \omega t-\frac{\pi}{2} \tag{7.12} \end{equation*} $$

जेथे $i_{m}=\frac{v_{m}}{\omega L}$ हा धारेचा आयाम आहे. राशी $\omega L$ ही रोधाशी साधर्म्य राखते आणि त्याला प्रेरक प्ररोध म्हणतात, $X_{L}$ द्वारे दर्शविले जाते:

$$ \begin{equation*} X_{L}=\omega L \tag{7.13} \end{equation*} $$

धारेचा आयाम, तर आहे

$$ \begin{equation*} i_{m}=\frac{v_{m}}{X_{L}} \tag{7.14} \end{equation*} $$

प्रेरक प्ररोधाची परिमाणे रोधाच्या परिमाणांसारखीच आहेत आणि त्याचे SI एकक ओहम $(\Omega)$ आहे. प्रेरक प्ररोध पूर्णपणे प्रेरक परिपथातील धारेला त्याच प्रकारे मर्यादित करतो ज्याप्रमाणे रोध पूर्णपणे रोधक परिपथातील धारेला मर्यादित करतो. प्रेरक प्ररोध हा प्रेरकत्व आणि धारेच्या वारंवारतेच्या सम प्रमाणात असतो.

प्रेरकातील स्रोत विद्युतदाब आणि धारेसाठीच्या समीकरण (७.१) आणि (७.१२) ची तुलना केल्यास असे दिसून येते की धारा विद्युतदाबापेक्षा $\pi / 2$ किंवा एक-चतुर्थांश (१/४) चक्राने मागे राहते. आकृती ७.६ (a) वर्तमान प्रकरणात क्षण $t_{1}$ वर विद्युतदाब आणि धारा फेजर दर्शवते. धारा फेजर $\mathbf{I}$ हा विद्युतदाब फेजर $\pi / 2$ पेक्षा $\mathbf{V}$ मागे आहे. जेव्हा त्यांना वारंवारता $\omega$ ने घड्याळाच्या उलट दिशेने फिरवले जाते, तेव्हा ते समीकरण (७.१) आणि (७.१२) द्वारे अनुक्रमे दिलेले विद्युतदाब आणि धारा निर्माण करतात आणि आकृती ७.६(b) मध्ये दाखवल्याप्रमाणे.

आकृती ७.६ (a) आकृती ७.५ मधील परिपथासाठी फेजर आकृती. (b) $v$ आणि $i$ चा $\omega t$ विरुद्ध आलेख.

आपण पाहतो की धारा विद्युतदाबापेक्षा एक-चतुर्थांश कालावधी $\left[\frac{T}{4}=\frac{\pi / 2}{\omega}\right]$ ने नंतर त्याच्या कमाल मूल्यावर पोहोचते. तुम्ही पाहिले आहे की प्रेरकामध्ये प्ररोध असतो जो dc परिपथातील रोधाप्रमाणेच धारेला मर्यादित करतो. तो रोधाप्रमाणेच शक्ती देखील वापरतो का? चला ते शोधण्याचा प्रयत्न करूया.

प्रेरकाला पुरवलेली तात्कालिक शक्ती आहे

$$ \begin{aligned} p_{L}=i v & =i_{m} \sin \omega t-\frac{\pi}{2} \times v_{m} \sin (\omega t) \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} & =-i_{m} v_{m} \cos (\omega t) \sin (\omega t) \\ & =-\frac{i_{m} v_{m}}{2} \sin (2 \omega t) \end{aligned} $$

तर, पूर्ण चक्रावरील सरासरी शक्ती आहे

$$ \begin{aligned} P _{\mathrm{L}} & =\left\langle-\frac{i _{m} v _{m}}{2} \sin (2 \omega t)\right\rangle \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} & =-\frac{i _{m} v _{m}}{2}\langle\sin (2 \omega t)\rangle=0 \end{aligned} $$

कारण $\sin (2 \omega t)$ ची पूर्ण चक्रावरील सरासरी शून्य आहे.

अशाप्रकारे, प्रेरकाला एका पूर्ण चक्रावर पुरवलेली सरासरी शक्ती शून्य आहे.

उदाहरण ७.२ $25.0 \mathrm{mH}$ चा शुद्ध प्रेरक $220 \mathrm{~V}$ च्या स्रोताशी जोडलेला आहे. जर स्रोताची वारंवारता $50 \mathrm{~Hz}$ असेल तर परिपथातील प्रेरक प्ररोध आणि rms धारा शोधा.

उकल प्रेरक प्ररोध,

$$ \begin{aligned} X_{L} & =2 \pi \nu L=2 \times 3.14 \times 50 \times 25 \times 10^{-3} \Omega \\ & =7.85 \Omega \end{aligned} $$

परिपथातील rms धारा आहे

$$ I=\frac{V}{X_{L}}=\frac{220 \mathrm{~V}}{7.85 \Omega}=28 \mathrm{~A} $$

७.५ धारितेला लागू केलेला AC विद्युतदाब

आकृती ७.७ मध्ये ac स्रोत $\varepsilon$ ac विद्युतदाब $v=v_{m}$ sin $\omega \mathrm{t}$ निर्माण करतो जो केवळ धारितेशी जोडलेला आहे, एक पूर्णपणे धारितीय ac परिपथ.

आकृती ७.७ धारितेशी जोडलेला AC स्रोत. dc परिपथात,

जेव्हा धारिता विद्युतदाब स्रोताशी जोडली जाते तेव्हा धारिता चार्ज करण्यासाठी आवश्यक असलेल्या थोड्या काळासाठी धारा वाहेल. धारितेच्या प्लेट्सवर चार्ज जमा झाल्यामुळे, त्यांच्यावरील विद्युतदाब वाढतो, ज्यामुळे धारेला विरोध होतो. म्हणजेच, dc परिपथातील धारिता चार्ज होत असताना धारेला मर्यादित किंवा विरोध करेल. जेव्हा धारिता पूर्णपणे चार्ज होते, तेव्हा परिपथातील धारा शून्यावर येते.

जेव्हा धारिता आकृती ७.७ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे ac स्रोताशी जोडली जाते, तेव्हा ती धारेला मर्यादित किंवा नियंत्रित करते, परंतु चार्जचा प्रवाह पूर्णपणे अडवत नाही. धारा प्रत्येक अर्ध्या चक्रात उलट दिशेने वाहत असताना धारिता पर्यायीपणे चार्ज आणि डिस्चार्ज होते. $q$ हा काल $t$ वर धारितेवरील चार्ज असू द्या. धारितेवरील तात्कालिक विद्युतदाब $v$ आहे

$$ \begin{equation*} v=\frac{q}{C} \tag{7.15} \end{equation*} $$

किर्चहॉफच्या लूप नियमावरून, स्रोत आणि धारितेवरील विद्युतदाब समान असतात,

$$ v_{m} \sin \omega t=\frac{q}{C} $$

धारा शोधण्यासाठी, आपण संबंध $i=\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{~d} t}$ वापरतो

$$ i=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(v_{m} C \sin \omega t\right)=\omega C v_{m} \cos (\omega t) $$

संबंध $\cos (\omega t)=\sin \omega t+\frac{\pi}{2}$ वापरून, आपल्याकडे आहे

$$ \begin{equation*} i=i_{m} \sin \omega t+\frac{\pi}{2} \tag{7.16} \end{equation*} $$

जेथे दोलन करणाऱ्या धारेचा आयाम $i_{m}=\omega C v_{m}$ आहे. आपण ते असे पुन्हा लिहू शकतो

$$ i_{m}=\frac{v_{m}}{(1 / \omega C)} $$

त्याची पूर्णपणे रोधक परिपथासाठी $i_{m}=v_{m} / R$ शी तुलना केल्यास, आपल्याला असे आढळते की $(1 / \omega C)$ रोधाची भूमिका बजावते. त्याला धारितीय प्ररोध म्हणतात आणि $X_{c}$ द्वारे दर्शविले जाते,

$$ \begin{equation*} X_{c}=1 / \omega C \tag{7.17} \end{equation*} $$

जेणेकरून धारेचा आयाम आहे

$$ \begin{equation*} i_{m}=\frac{v_{m}}{X_{C}} \tag{7.18} \end{equation*} $$

धारितीय प्ररोधाची परिमाणे रोधाच्या परिमाणांसारखीच आहेत आणि त्याचे SI एकक ओहम $(\Omega)$ आहे. धारितीय प्ररोध पूर्णपणे धारितीय परिपथातील धारेच्या आयामाला त्याच प्रकारे मर्यादित करतो ज्याप्रमाणे रोध पूर्णपणे रोधक परिपथातील