अनुच्छेद 2 सरळ रेषेत चालन

2.1 परिचय [13]#

खंडातील सर्व वस्तूंमध्ये चालन सामान्य आहे. आपण हालचाल करतो, धावतो आणि सायकल चालवतो. आपण झोपले असले तरी हवा आपल्या फुफ्फुसात आणि निधारात चालते आणि रक्त आपल्या धमनींमध्ये चालते. आपण झाडांमधून पांढऱ्या पत्रे पडताना आणि डॅममधून पाणी पसरताना पाहतो. ऑटोमोबाइल आणि विमान लोकांना एक ठिकाणी पार पोहोचवतात. पृथ्वी दर दशके एकदा फिरते आणि एक वर्षात सूर्याच्या चक्रात एकदा फिरते. सूर्यालाही चालन आहे, जो मायाळी तारामंडळात आहे, जो पुन्हा त्याच्या स्थानिक तारांकांच्या समूहात चालतो.

चालन वेळेनुसार वस्तूच्या स्थितीमध्ये बदल आहे. स्थिती वेळेनुसार कसे बदलते? या अनुच्छेदात आपण चालन कसे वर्णन करावे हे शिकण्याचा प्रयत्न करू. यासाठी आपण वेग आणि त्वरण या अवधारणांची निर्मिती करू. आपण आपल्या अभ्यासात वस्तूंच्या सरळ रेषेतील चालनाचा अभ्यास करणार आहोत, ज्याला सरळ रेषेत चालन म्हणतात. सरळ रेषेत चालनाच्या उपयुक्त त्वरणाच्या अवस्थेत एक सोप्या अवधारणे संग्रह मिळू शकतो. शेवटी, चालनाचे सापेक्ष प्रकार समजण्यासाठी आपण सापेक्ष वेगाची अवधारणा प्रस्तुत करू.

आमच्या चर्चांमध्ये आपण चाललेल्या वस्तूंना बिंदु वस्तू म्हणून मागोवा घेतील. या अनुमोदना अवलंबून आहे की वस्तूचे आकार या वेळेच्या अवधीत चाललेल्या अंतरापेक्षा खूप लहान असेल. आजच्या जगातील खूप अवस्थांमध्ये वस्तूचे आकार दुर्लक्ष केले जाऊ शकते आणि त्यांना बिंदु-समान वस्तू म्हणून मागोवा घ्यावे शकते अशक्य चूक नसल्यास. गतिकीत, आपण चालनाचे वर्णन करण्याच्या मार्गांचा अभ्यास करतो जेव्हा चालनाच्या कारणांचा अभ्यास करण्यापासून वगळता. या अनुच्छेद आणि पुढच्या अनुच्छेदात वर्णिलेल्या चालनाच्या कारणांचे विषय अनुच्छेद 4 चे विषय आहे.

2.2 तात्काळ वेग आणि गती [14-15]#

एका वेळेच्या अवधीत कोणत्याही वस्तूने किती जलद चालले आहे हे दर्शविणारा सरासरी वेग आहे, परंतु तो त्या अवधीतील वेळेच्या विविध क्षणांमध्ये त्याचा वेग किती आहे हे दर्शवत नाही. यासाठी, आपण तात्काळ वेग अथवा साधारण वेग v एका क्षणात t. एका क्षणातील वेग अवधी ${\Delta t}$ अविश्वासरहितपणे लहान होण्याच्या सरासरी वेगाच्या अंतराच्या अवकलनाच्या अवधारणेनुसार परिभाषित केला जातो. एका शब्दांत,

$ v =\lim \limits_{\Delta \mathrm{t} \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}\hspace{22mm}(2.1a) $

$ =\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} \hspace{33mm} (2.1b)$

जेथे चिन्ह lim ∆t→0 अवकलनाच्या प्रक्रियेचे दर्शविते की जेव्हा ∆t→0 असेल तेव्हा डाव्या बाजूच्या परिमाणाचा अवकलन केला जातो. अवकलनाच्या भाषेत, समीकरण (2.1a) च्या उद्देश्याच्या डाव्या बाजूचे परिमाण अवकलनाच्या अवधारणेनुसार x च्या t परमाण्याचे अवकल आहे आणि $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$ म्हणून चिन्हांकित केले जाते (अनुशीर्ष 2.1 पहा). त्याचा अर्थ असा की त्या क्षणात स्थिती वेळेच्या बाबतीत बदलाचा आकार आहे.

आपण समीकरण (2.1a) वापरून तात्काळ वेगाची किंमत एका क्षणात आणि आलेखी किंवा अंकीय पद्धतीने मिळवू शकता. आपण आलेखी पद्धतीने वेळ t = 4 s (बिंदु P) वरील वेगाची किंमत मिळवू इच्छित असल्यास (आलेख 2.1 चे उपयोग करून) चला ∆t = 2 s चा उपयोग करू जो t = 4 s मध्ये केंद्रित असेल. त्यामुळे, सरासरी वेगाच्या अवधारणेनुसार, रेषा $P_1P_2$ चा चढदाढी (आलेख 2.1) 3 s ते 5 s अवधीतील सरासरी वेगाची किंमत देते.

<img src=“https://temp-public-img-folder.s3.ap-south-1.amazonaws.com/sathee.prutor.images/images/ncertbook/phy/p11/motion_in_a_straight_line/ncert_p11_ch02_determining_velocity_from_position-time_graph.png"" width=“400px”>

आलेख 2.1 स्थिती-वेळ आलेखावरून वेग निर्णय करणे. t = 4 s वरील वेग हा त्या क्षणातील आलेखावरील स्पर्शरेषाचा चढदाढी आहे.

आता, आपण $\Delta t$ ची किंमत $2 \mathrm{~s}$ पासून 1 s पर्यंत कमी करू. त्यामुळे रेषा $\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$ $\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$ बनते आणि त्याचा चढदाढी $3.5 \mathrm{~s}$ ते $4.5 \mathrm{~s}$ अवधीतील सरासरी वेगाची किंमत देतो. $\Delta t \rightarrow 0$ अवकलनाच्या अवधारणेनुसार, रेषा $\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$ स्थिती-वेळ आलेखावरील बिंदु $\mathrm{P}$ वर स्पर्शरेषेसारखी बनते आणि $t$ $=4 \mathrm{~s}$ वरील वेग त्या बिंदुवरील स्पर्शरेषेच्या चढदाढीने दिलेला आहे. या प्रक्रिया आलेखी पद्धतीने दर्शविणे कठीण आहे. परंतु आपण वेगाची किंमत मिळवण्यासाठी अंकीय पद्धती वापरल्यास अवकलनाच्या प्रक्रियेचा अर्थ स्पष्ट होईल. आलेख 2.1 च्या आलेखासाठी, $x=0.08 t^3$. तालिका 2.1 $\Delta x / \Delta t$ ची किंमत $\Delta t$ च्या बरोबर $2.0 \mathrm{~s}$, $1.0 \mathrm{~s}, 0.5 \mathrm{~s}, 0.1 \mathrm{~s}$ आणि $0.01 \mathrm{~s}$ च्या बरोबर $t=$ $4.0 \mathrm{~s}$ वर गणना केली आहे. दुसऱ्या आणि तिसऱ्या स्तंभात $t_1=\left(t-\frac{\Delta t}{2}\right)$ आणि $t_2=\left(t+\frac{\Delta t}{2}\right)$ ची किंमते दिली आहेत आणि चौथ्या आणि पाचव्या स्तंभात $x$, असेल $x\left(t_1\right)=0.08 t_1^3$ आणि $x\left(t_2\right)=0.08 t_2^3$ च्या संदर्भातील संदर्भातील किंमती दिली आहेत. आठवडा अवधी $\Delta x=X\left(t_2\right)-X\left(t_1\right)$ ची सूची देते आणि शेवटचा स्तंभ $\Delta x$ आणि $\Delta t$ चे गुणनफल, असेल $\Delta t$ च्या सूचीतील किंमतीसाठी सरासरी वेग देतो.

तालिका 2.1 $\frac{\Delta x}{\Delta t}$ ची $t=4 \mathrm{~s}$ वरील अवकलनाची किंमत

आपण तालिका 2.1 मधून बघू शकतो की आपण $\Delta t$ ची किंमत $2.0 \mathrm{~s}$ पासून $0.010 \mathrm{~s}$ पर्यंत कमी करत असताना, सरासरी वेगाची किंमत $3.84 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ च्या अवकलनाच्या किंमतीवर जाते जी $t=4.0 \mathrm{~s}$ वरील वेगाची किंमत आहे, असेल $\frac{d x}{d t}$ च्या $t=4.0 \mathrm{~s}$ वरील किंमत. या पद्धतीने, आपण ऑटो च्या चालनासाठी प्रत्येक क्षणातील वेग गणना करू शकता.

तात्काळ वेगाची निर्धारण करण्यासाठी आलेखी पद्धत नेहमीच एक सुलभ पद्धत नाही. यासाठी, आपण सज्ज पट स्थिती-वेळ आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख आलेख