प्रकरण 1 एकक आणि मापन उदाहरणे

उत्तर

(अ) 1 सेमी $=\frac{1}{100} ~m$

घनाचे घनफळ $=1 ~cm^{3}$

परंतु, $1 ~cm^{3}=1 ~cm \times 1 ~cm \times 1 ~cm=(\frac{1}{100}) ~m \times(\frac{1}{100}) ~m \times(\frac{1}{100}) ~m$

$\therefore 1 ~cm^{3}=10^{-6} ~m^{3}$

म्हणून, बाजू $1 ~cm$ असलेल्या घनाचे घनफळ $10^{-6} ~m^{3}$ इतके आहे.

(ब) त्रिज्या $r$ आणि उंची $h$ असलेल्या वृत्तचितीचे एकूण पृष्ठफळ

$S=2 \pi r(r+h)$ आहे.

दिले आहे,

$r=2 ~cm=2 \times 1 ~cm=2 \times 10 ~mm=20 ~mm$

$h=10 ~cm=10 \times 10 ~mm =100 ~mm$

$\therefore S=2 \times 3.14 \times 20 \times(20+100)=15072=1.5 \times 10^{4} ~mm^{2}$

(क) रूपांतरण वापरून,

$1 ~km / h=\frac{5}{18} ~m / s$

$18 ~km / h=18 \times \frac{5}{18}=5 ~m / s$

म्हणून, अंतर खालील संबंध वापरून मिळवता येते:

अंतर $=$ वेग $\times$ वेळ $=5 \times 1=5 ~m$

म्हणून, वाहन $1 ~s$ मध्ये $5 ~m$ अंतर कापते.

(ड) पदार्थाची सापेक्ष घनता खालील संबंधाने दिली जाते,

सापेक्ष घनता $=\frac{\text{ Density of substance }}{\text{ Density of water }}$

पाण्याची घनता $=1 ~g / ~cm^{3}$

शिशाची घनता $=$ शिशाची सापेक्ष घनता $\times$ पाण्याची घनता

$ =11.3 \times 1=11.3 g / ~cm^{3} $

पुन्हा, $1 g=\frac{1}{1000} kg$

$1 ~cm^{3}=10^{-6} ~m^{3}$

$1 g / ~cm^{3}=\frac{10^{-3}}{10^{-6}} kg / ~m^{3}=10^{3} kg / ~m^{3}$

$\therefore 11.3 g / ~cm^{3}=11.3 \times 10^{3} kg / ~m^{3}$

उत्तर

(अ) $1 kg=10^{3} ~g$

$1 m^{2}=10^{4} cm^{2}$

$1 ~g m^{2} s^{-2}=1 ~kg \times 1 m^{2} \times 1 ~s^{-2}$

$=10^{3} ~g \times 10^{4} cm^{2} \times 1 ~s^{-2}=10^{7} ~g cm^{2} s^{-2}$

(ब) प्रकाशवर्ष म्हणजे एका वर्षात प्रकाशाने पार केलेले एकूण अंतर.

$1 ~ly=$ प्रकाशाचा वेग $\times$ एक वर्ष

$=(3 \times 10^{8} ~m / s) \times(365 \times 24 \times 60 \times 60 s)$

$=9.46 \times 10^{15} ~m$

$\therefore 1 ~m=\frac{1}{9.46 \times 10^{15}}=1.057 \times 10^{-16} ~ly$

(क) $1 ~m=10^{-3} ~km$

पुन्हा, $1 ~s=\frac{1}{3600} ~h$

$1 ~s^{-1}=3600 ~h^{-1}$

$1 ~s^{-2}=(3600)^{2} ~h^{-2}$

$\therefore 3 ~m s^{-2}=(3 \times 10^{-3} ~km) \times((3600)^{2} h^{-2})=3.88 \times 10^{-4} ~km h^{-2}$

(ड) $1 ~N=1 ~kg m s^{-2}$

$1 ~kg=10^{-3} ~g^{-1}$

$1 ~m^{3}=10^{6} ~cm^{3}$

$\therefore 6.67 \times 10^{-11} ~N m^{2} kg^{-2}=6.67 \times 10^{-11} \times(1 ~kg m s^{-2})(1 m^{2})(1 s^{-2})$

$ \begin{aligned} & =6.67 \times 10^{-11} \times(1 kg \times 1 m^{3} \times 1 s^{-2}) \\ & =6.67 \times 10^{-11} \times(10^{-3} g^{-1}) \times(10^{6} cm^{3}) \times(1 s^{-2}) \\ & =6.67 \times 10^{-8} cm^{3} s^{-2} g^{-1} \end{aligned} $

उत्तर

दिले आहे,

1 कॅलरी $=4.2(1 kg)(1 m^{2})(1 s^{-2})$

वस्तुमानाचे नवीन एकक $=\alpha kg$

म्हणून, नवीन एककाच्या दृष्टीने, $1 kg=\frac{1}{\alpha}=\alpha^{-1}$

लांबीच्या नवीन एककाच्या दृष्टीने,

$ 1 m=\frac{1}{\beta}=\beta^{-1} \text{ or } 1 m^{2}=\beta^{-2} $

आणि, वेळेच्या नवीन एककाच्या दृष्टीने,

$ \begin{aligned} & 1 s=\frac{1}{\gamma}=\gamma^{-1} \\ & 1 s^{2}=\gamma^{-2} \\ & 1 s^{-2}=\gamma^{2} \\ & \therefore 1 \text{ calorie }=4.2(1 \alpha^{-1})(1 \beta^{-2})(1 \gamma^{2})=4.2 \alpha^{-1} \beta^{-2} \gamma^{2} \end{aligned} $

उत्तर

दिलेले विधान सत्य आहे कारण एक परिमाणहीन राशी काही प्रमाणित संदर्भाच्या तुलनेत मोठी किंवा लहान असू शकते. उदाहरणार्थ, घर्षण गुणांक हा परिमाणहीन आहे. सरकण्याच्या घर्षणाचा गुणांक लोटण्याच्या घर्षणाच्या गुणांकापेक्षा मोठा, परंतु स्थितिक घर्षणाच्या गुणांकापेक्षा कमी आहे.

(अ) फुटबॉलच्या तुलनेत अणू ही एक अतिशय लहान वस्तू आहे.

(ब) सायकलच्या वेगाच्या तुलनेत जेट विमान अधिक वेगाने जाते.

(क) क्रिकेट बॉलच्या वस्तुमानाच्या तुलनेत गुरूचे वस्तुमान खूप मोठे आहे.

(ड) भूमिती बॉक्समध्ये असलेल्या रेणूंच्या तुलनेत या खोलीतील हवेत रेणूंची संख्या खूप मोठी आहे.

(इ) प्रोटॉन इलेक्ट्रॉनपेक्षा जड आहे.

(फ) ध्वनीचा वेग प्रकाशाच्या वेगापेक्षा कमी आहे.

उत्तर

सूर्य आणि पृथ्वीमधील अंतर:

$=$ प्रकाशाचा वेग $\times$ प्रकाशाने अंतर कापण्यासाठी लागणारा वेळ

दिले आहे की नवीन एककात, प्रकाशाचा वेग $=1$ एकक

लागलेला वेळ, $t=8 \min 20 s=500 s$

$\therefore$ सूर्य आणि पृथ्वीमधील अंतर $=1 \times 500=500$ एकक

उत्तर

(अ) किमान अंक असलेले साधन लांबी मोजण्यासाठी सर्वात योग्य आहे.

व्हर्नियर कॅलिपरचा अल्पतमांक

$=1$ मानक विभाग $(SD)-1$ व्हर्नियर विभाग (VD)

$=1-\frac{9}{10}=\frac{1}{10}=0.01 cm$

(ब) स्क्रू गेजचा अल्पतमांक $= \frac{\text{Pitch}}{\text{Number of divisions}}$

$=\frac{1}{1000}=0.001 cm$

(क) प्रकाशीय साधनाचा अल्पतमांक $=$ प्रकाशाची तरंगलांबी $\sim 10^{-5} cm$

$=0.00001 cm$

म्हणून, असा निष्कर्ष काढता येतो की लांबी मोजण्यासाठी प्रकाशीय साधन हे सर्वात योग्य साधन आहे.

उत्तर

सूक्ष्मदर्शकाचा विस्तार $=100$

सूक्ष्मदर्शकाच्या दृष्टीक्षेत्रात केसाची सरासरी रुंदी $=3.5 ~mm$

$\therefore$ केसाची वास्तविक जाडी $\frac{3.5}{100}=0.035 ~mm$ आहे.

उत्तर

दोरा एका एकसमान गुळगुळीया रॉडवर अशा प्रकारे गुंडाळा की तयार झालेल्या आवळ्या एकमेकांच्या अगदी जवळ जवळ असतील. मीटर पट्टी वापरून दोऱ्याची लांबी मोजा. दोऱ्याचा व्यास खालील संबंधाने दिला जातो,

व्यास $=\frac{\text{ Length of thread }}{\text{ Number of turns }}$

वर्तुळाकार मापकावरील विभागांची संख्या वाढवून स्क्रू गेजची अचूकता वाढवणे शक्य नाही. वर्तुळाकार मापकावरील विभागांची संख्या वाढवल्याने त्याची अचूकता केवळ एका विशिष्ट मर्यादेपर्यंतच वाढेल.

5 मोजमापांच्या संचापेक्षा 100 मोजमापांचा संच अधिक विश्वसनीय आहे कारण पूर्वीमध्ये येणाऱ्या यादृच्छिक त्रुटी नंतरच्या तुलनेत खूप कमी आहेत.

उत्तर

स्लाइडवरील घराचे क्षेत्रफळ $=1.75 cm^{2}$

पडद्यावर तयार झालेल्या घराच्या प्रतिमेचे क्षेत्रफळ $=1.55 m^{2}$

$=1.55 \times 10^{4} cm^{2}$

क्षेत्रीय विस्तारण, $m_a=\frac{\text{ Area of image }}{\text{ Area of object }}=\frac{1.55}{1.75} \times 10^{4}$

$\therefore$ रेखीय विस्तारण, $m_l=\sqrt{m_a}$

$=\sqrt{\frac{1.55}{1.75} \times 10^{4}}=94.11$

उत्तर

(अ)

दिलेली राशी $0.007 ~m^{2}$ आहे.

जर संख्या एकापेक्षा कमी असेल, तर दशांश बिंदूच्या उजवीकडील (परंतु पहिल्या शून्येतर अंकाच्या डावीकडील) सर्व शून्ये महत्त्वाची नसतात. याचा अर्थ असा की येथे, दशांश नंतरची दोन शून्ये महत्त्वाची नाहीत. म्हणून, या राशीमध्ये फक्त 7 हा एक सार्थक अंक आहे.

(ब)

दिलेली राशी $2.64 \times 10^{24} ~kg$ आहे.

येथे, सार्थक अंक ठरवण्यासाठी 10 ची घात अप्रासंगिक आहे. म्हणून, सर्व अंक म्हणजेच 2, 6 आणि 4 हे सार्थक अंक आहेत.

(क)

दिलेली राशी $0.2370 ~g cm^{-3}$ आहे.

दशांश असलेल्या संख्येसाठी, शेवटची शून्ये महत्त्वाची असतात. म्हणून, 2, 3 आणि 7 या अंकांव्यतिरिक्त, दशांश बिंदूनंतर दिसणारे 0 हा देखील एक सार्थक अंक आहे.

(ड)

दिलेली राशी $6.320 ~J$ आहे.

दशांश असलेल्या संख्येसाठी, शेवटची शून्ये महत्त्वाची असतात. म्हणून, दिलेल्या राशीमध्ये दिसणारे सर्व चार अंक सार्थक अंक आहेत.

(इ)

दिलेली राशी $6.032 ~Nm^{-2}$ आहे.

दोन शून्येतर अंकांमधील सर्व शून्ये नेहमीच महत्त्वाच्या असतात.

(फ)

दिलेली राशी $0.0006032 ~m^{2}$ आहे.

जर संख्या एकापेक्षा कमी असेल, तर दशांश बिंदूच्या उजवीकडील (परंतु पहिल्या शून्येतर अंकाच्या डावीकडील) शून्ये महत्त्वाची नसतात. म्हणून, 6 च्या आधी दिसणारी सर्व तीन शून्ये सार्थक अंक नाहीत. दोन शून्येतर अंकांमधील सर्व शून्ये नेहमीच महत्त्वाच्या असतात. म्हणून, उर्वरित चार अंक सार्थक अंक आहेत.

उत्तर

पत्र्याची लांबी, $l=4.234 ~m$

पत्र्याची रुंदी, $b=1.005 ~m$

पत्र्याची जाडी, $h=2.01 cm=0.0201 ~m$

खालील सारणीमध्ये संबंधित सार्थक अंक दिले आहेत:

म्हणून, क्षेत्रफळ आणि घनफळ या दोन्हीमध्ये किमान सार्थक अंक म्हणजे 3 असणे आवश्यक आहे.

पत्र्याचे पृष्ठफळ $=2(l \times b+b \times h+h \times l)$

$=2(4.234 \times 1.005+1.005 \times 0.0201+0.0201 \times 4.234)$

$=2(4.25517+0.02620+0.08510)$

$=2 \times 4.360$

$=8.72 ~m^{2}$

पत्र्याचे घनफळ $=l \times b \times h$

$=4.234 \times 1.005 \times 0.0201$

$=0.0855 ~m^{3}$

या संख्येमध्ये फक्त 3 सार्थक अंक आहेत म्हणजेच 8, 5, आणि 5.

उत्तर

किराणा दुकानदाराच्या बॉक्सचे वस्तुमान $=2.300 ~kg$

सोन्याच्या तुकड्याचे वस्तुमान $\mathbf{I}=20.15 ~g=0.02015 ~kg$

सोन्याच्या तुकड्याचे वस्तुमान $\mathbf{I I}=20.17 ~g=0.02017 ~kg$

बॉक्सचे एकूण वस्तुमान $=2.3+0.02015+0.02017=2.34032 ~kg$

बेरीजमध्ये, अंतिम निकालात ज्या संख्येमध्ये किमान दशांश स्थाने आहेत तितकीच दशांश स्थाने राखली पाहिजेत. म्हणून, बॉक्सचे एकूण वस्तुमान $2.3 ~kg$ आहे.

वस्तुमानांमधील फरक $=20.17-20.15=0.02 ~g$

वजाबाकीमध्ये, अंतिम निकालात ज्या संख्येमध्ये किमान दशांश स्थाने आहेत तितकीच दशांश स्थाने राखली पाहिजेत.

उत्तर

दिलेला संबंध,

$ m=\frac{m_0}{(1-v^{2})^{\frac{1}{2}}} $

$m=M^{1} L^{0} T^{0}$ चे परिमाण

$m_0=M^{1} L^{0} T^{0}$ चे परिमाण

$v=M^{0} L^{1} T^{-1}$ चे परिमाण

$v^{2}=M^{0} L^{2} T^{-2}$ चे परिमाण

$c=M^{0} L^{1} T^{-1}$ चे परिमाण

दिलेले सूत्र केवळ तेव्हाच परिमाणीय दृष्ट्या योग्य असेल जेव्हा डाव्या बाजूचे परिमाण उजव्या बाजूच्या परिमाणाशी समान असेल. हे केवळ तेव्हाच शक्य आहे जेव्हा घटक $(1-v^{2})^{\frac{1}{2}}$ हा परिमाणहीन असेल म्हणजेच $(1-v^{2})$ हा परिमाणहीन असेल. हे केवळ तेव्हाच शक्य आहे जेव्हा $v^{2}$ ला $c^{2}$ ने भागले असेल. म्हणून, योग्य संबंध आहे

$ m=\frac{m_0}{(1-\frac{v^{2}}{c^{2}})^{\frac{1}{2}}} $

उत्तर

हायड्रोजन अणूची त्रिज्या, $r=0.5 \quad \dot{A}=0.5 \times 10^{-10} m$

हायड्रोजन अणूचे घनफळ $=\frac{4}{3} \pi r^{3}$

$=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times(0.5 \times 10^{-10})^{3}$

$=0.524 \times 10^{-30} m^{3}$

हायड्रोजनच्या एका मोलमध्ये $6.023 \times 10^{23}$ हायड्रोजन अणू असतात.

$\therefore$ हायड्रोजन अणूंच्या एका मोलचे घनफळ $=6.023 \times 10^{23} \times 0.524 \times 10^{-30}$

$=3.16 \times 10^{-7} m^{3}$

उत्तर

हायड्रोजन अणूची त्रिज्या, $r=0.5 \quad \dot{A}=0.5 \times 10^{-10} m$

हायड्रोजन अणूचे घनफळ $=\frac{4}{3} \pi r^{3}$

$=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times(0.5 \times 10^{-10})^{3}$

$=0.524 \times 10^{-30} m^{3}$

आता, हायड्रोजनच्या एका मोलमध्ये $6.023 \times 10^{23}$ हायड्रोजन अणू असतात.

$\therefore$ हायड्रोजन अणूंच्या एका मोलचे घनफळ, $V_a=6.023 \times 10^{23} \times 0.524 \times 10^{-30}$

$=3.16 \times 10^{-7} m^{3}$

प्रमाणित तापमान आणि दाबावर हायड्रोजन अणूंच्या एका मोलचे मोलर आकारमान,

$V_m=22.4 L=22.4 \times 10^{-3} m^{3}$

$\therefore \frac{V_m}{V_a}=\frac{22.4 \times 10^{-3}}{3.16 \times 10^{-7}}=7.08 \times 10^{4}$

म्हणून, मोलर आकारमान हे अणू घनफळापेक्षा $7.08 \times 10^{4}$ पट जास्त आहे. या कारणास्तव, हायड्रोजन वायूमधील अंतर-अणू अंतर हे हायड्रोजन अणूच्या आकारापेक्षा खूप मोठे आहे.

उत्तर

दृष्टीरेषा ही एका वस्तू आणि निरीक्षकाच्या डोळ्याला जोडणारी काल्पनिक रेषा म्हणून परिभाषित केली जाते. जेव्हा आपण वेगाने जाणाऱ्या रेल्वेत बसून जवळच्या स्थिर वस्तू जसे की झाडे, घरे इत्यादी पाहतो, तेव्हा दृष्टीरेषा खूप वेगाने बदलत असल्यामुळे त्या विरुद्ध दिशेने वेगाने जात असल्याचे दिसतात.

दुसरीकडे, दूरच्या वस्तू जसे की झाडे, तारे इत्यादी मोठ्या अंतरामुळे स्थिर दिसतात. परिणामी, दृष्टीरेषा तिची दिशा वेगाने बदलत नाही.

उत्तर

सूर्याचे वस्तुमान, $M=2.0 \times 10^{30} kg$

सूर्याची त्रिज्या, $R=7.0 \times 10^{8} m$

सूर्याचे आकारमान, $V=\frac{4}{3} \pi R^{3}$

$=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times(7.0 \times 10^{8})^{3}$

$=\frac{88}{21} \times 343 \times 10^{24}=1437.3 \times 10^{24} m^{3}$

सूर्याची घनता $=\frac{\text{ Mass }}{\text{ Volume }}=\frac{2.0 \times 10^{30}}{1437.3 \times 10^{24}} \sim 1.4 \times 10^{3} kg / m^{5}$

सूर्याची घनता घन आणि द्रव पदार्थांच्या घनतेच्या श्रेणीत आहे. ही उच्च घनता सूर्याच्या बाह्य थरावर आतील थरांच्या तीव्र गुरुत्वीय आकर्षणामुळे आहे.