अध्याय 8 घन पदार्थांचे यांत्रिक गुणधर्म उदाहरणे

उत्तर

स्टीलच्या तारेची लांबी, $L_1=4.7 m$

स्टीलच्या तारेचे काटछेद क्षेत्रफळ, $A_1=3.0 \times 10^{-5} m^{2}$

तांब्याच्या तारेची लांबी, $L_2=3.5 m$

तांब्याच्या तारेचे काटछेद क्षेत्रफळ, $A_2=4.0 \times 10^{-5} m^{2}$

लांबीतील बदल $=\Delta L_1=\Delta L_2=\Delta L$

दोन्ही प्रकरणांमध्ये लागू केलेले बल $=F$

स्टीलच्या तारेचा यंगचा मापांक:

$$ \begin{align*} & Y_1=\frac{F_1}{A_1} \times \frac{L_1}{\Delta L} \\ & =\frac{F \times 4.7}{3.0 \times 10^{-5} \times \Delta L} \tag{i} \end{align*} $$

तांब्याच्या तारेचा यंगचा मापांक:

$$ \begin{align*} Y_2 & =\frac{F_2}{A_2} \times \frac{L_2}{\Delta L_2} \\ & =\frac{F \times 3.5}{4.0 \times 10^{-5} \times \Delta L} \tag{ii} \end{align*} $$

(i) ला (ii) ने भागून, आपल्याला मिळते:

$ \frac{Y_1}{Y_2}=\frac{4.7 \times 4.0 \times 10^{-5}}{3.0 \times 10^{-5} \times 3.5}=1.79: 1 $

स्टीलच्या यंगच्या मापांकाचे तांब्याच्या यंगच्या मापांकाशी गुणोत्तर $1.79: 1$ आहे.

उत्तर

दिलेल्या आलेखावरून हे स्पष्ट आहे की प्रतिबल $150 \times 10^{6} N / m^{2}$ असताना, ताण 0.002 आहे.

$\therefore$ यंगचे मापांक, $Y=\frac{\text{ Stress }}{\text{ Strain }}$

$ =\frac{150 \times 10^{6}}{0.002}=7.5 \times 10^{10} N / m^{2} $

म्हणून, दिलेल्या पदार्थाचे यंगचे मापांक $7.5 \times 10^{10} N / m^{2}$ आहे.

पदार्थाचे पराभव सामर्थ्य म्हणजे लवचिक मर्यादा ओलांडल्याशिवाय पदार्थाने सहन करू शकणारे कमाल प्रतिबल होय.

दिलेल्या आलेखावरून हे स्पष्ट आहे की या पदार्थाचे अंदाजे पराभव सामर्थ्य 300 $\times 10^{6} Nm /{ }^{2}$ किंवा $3 \times 10^{8} N / m^{2}$ आहे.

उत्तर

(a) A

(b) A

दिलेल्या ताणासाठी, पदार्थ $\mathbf{A}$ साठीचे प्रतिबल पदार्थ $\mathbf{B}$ पेक्षा जास्त आहे, हे दोन आलेखांमध्ये दाखवले आहे.

यंगचे मापांक $=\frac{\text{ Stress }}{\text{ Strain }}$

दिलेल्या ताणासाठी, जर एखाद्या पदार्थाचे प्रतिबल जास्त असेल, तर त्या पदार्थाचे यंगचे मापांक देखील जास्त असते. म्हणून, पदार्थ A चे यंगचे मापांक पदार्थ $\mathbf{B}$ पेक्षा जास्त आहे.

पदार्थाच्या भंग बिंदूशी संबंधित, पदार्थाचा भंग होण्यासाठी आवश्यक असलेल्या प्रतिबलाचे प्रमाण त्या पदार्थाचे सामर्थ्य दर्शवते. भंग बिंदू हा प्रतिबल-ताण वक्रातील अत्यंत बिंदू असतो. हे पाहिले जाऊ शकते की पदार्थ $\mathbf{A}$ पदार्थ $\mathbf{B}$ पेक्षा जास्त ताण सहन करू शकतो. म्हणून, पदार्थ $\mathbf{A}$ पदार्थ $\mathbf{B}$ पेक्षा अधिक मजबूत आहे.

उत्तर

(a) असत्य

(b) सत्य

दिलेल्या प्रतिबलासाठी, रबरमधील ताण स्टीलपेक्षा जास्त असतो.

यंगचे मापांक, $Y=\frac{\text{ Stress }}{\text{ Strain }}$

स्थिर प्रतिबलासाठी: $Y \propto \frac{1}{\text{ Strain }}$

म्हणून, रबरचे यंगचे मापांक स्टीलपेक्षा कमी आहे.

कातरणे मापांक हे लागू केलेल्या प्रतिबलाचे आणि शरीराच्या आकारातील बदलाचे गुणोत्तर असते. कुंडलाचे ताणणे हे तिच्या आकारात बदल करते. म्हणून, या प्रक्रियेत लवचिकतेचा कातरणे मापांक समाविष्ट आहे.

उत्तर

स्टीलच्या तारेचे वाढीचे प्रमाण $=1.49 \times 10^{-4} m$

पितळाच्या तारेचे वाढीचे प्रमाण $=1.3 \times 10^{-4} m$

तारांचा व्यास, $d=0.25 m$

म्हणून, तारांची त्रिज्या, $\quad r=\frac{d}{2}=0.125 cm$

स्टीलच्या तारेची लांबी, $L_1=1.5 m$

पितळाच्या तारेची लांबी, $L_2=1.0 m$

स्टीलच्या तारेवर लागू केलेले एकूण बल:

$F_1=(4+6) g=10 \times 9.8=98 N$

स्टीलसाठी यंगचे मापांक:

$Y_1=\frac{(\frac{F_1}{A_1})}{(\frac{\Delta L_1}{L_1})}$

जिथे,

$\Delta L_1=$ स्टीलच्या तारेच्या लांबीतील बदल

$A_1=$ स्टीलच्या तारेचे काटछेद क्षेत्रफळ $=\pi r_1^{2}$

स्टीलचे यंगचे मापांक, $Y_1=2.0 \times 10^{11} Pa$

$ \begin{aligned} \therefore \Delta L_1 & =\frac{F_1 \times L_1}{A_1 \times Y_1}=\frac{F_1 \times L_1}{\pi r_1^{2} \times Y_1} \\ & =\frac{98 \times 1.5}{\pi(0.125 \times 10^{-2})^{2} \times 2 \times 10^{11}}=1.49 \times 10^{-4} m \end{aligned} $

पितळाच्या तारेवर एकूण बल:

$F_2=6 \times 9.8=58.8 N$

पितळासाठी यंगचे मापांक:

$Y_2=\frac{(\frac{F_2}{A_2})}{(\frac{\Delta L_2}{L_2})}$

जिथे,

$\Delta L_2=$ लांबीतील बदल $A_2=$ पितळाच्या तारेचे काटछेद क्षेत्रफळ

$\therefore \Delta L_2=\frac{F_2 \times L_2}{A_2 \times Y_2}=\frac{F_2 \times L_2}{\pi r_2^{2} \times Y_2}$

$=\frac{58.8 \times 1.0}{\pi \times(0.125 \times 10^{-2})^{2} \times(0.91 \times 10^{11})}=1.3 \times 10^{-4} m$

स्टीलच्या तारेचे वाढीचे प्रमाण $=1.49 \times 10^{-4} m$

पितळाच्या तारेचे वाढीचे प्रमाण $=1.3 \times 10^{-4} m$

उत्तर

अॅल्युमिनियम घनाची कडा, $L=10 cm=0.1 m$

घनाशी जोडलेले वस्तुमान, $m=100 kg$

अॅल्युमिनियमचे कातरणे मापांक $(\eta)$ $=25 GPa=25 \times 10^{9} Pa$

$ =\frac{\text{ कातरणे प्रतिबल }}{\text{ कातरणे ताण }}=\frac{\frac{F}{A}}{L} $

कातरणे मापांक, $\eta$

जिथे,

$F=$ लागू केलेले बल $=m g=100 \times 9.8=980 N$

$A=$ घनाच्या एका पृष्ठाचे क्षेत्रफळ $=0.1 \times 0.1=0.01 m^{2}$

$\Delta L=$ घनाचे उभे विक्षेपण

$\therefore \Delta L=\frac{F L}{A \eta}$

$ =\frac{980 \times 0.1}{10^{-2} \times(25 \times 10^{9})} $

$=3.92 \times 10^{-7} m$

घनाच्या या पृष्ठाचे उभे विक्षेपण $3.92 \times 10^{-7} m$ आहे.

उत्तर

मोठ्या रचनेचे वस्तुमान, $M=50,000 kg$

स्तंभाची अंतर्गत त्रिज्या, $r=30 cm=0.3 m$

स्तंभाची बाह्य त्रिज्या, $R=60 cm=0.6 m$

स्टीलचे यंगचे मापांक, $Y=2 \times 10^{11} Pa$

लागू केलेले एकूण बल, $F=M g=50000 \times 9.8 N$

प्रतिबल $=$ एका स्तंभावर लागू केलेले बल $=\frac{50000 \times 9.8}{4}=122500 N$

यंगचे मापांक, $Y=\frac{\text{ Strcss }}{\text{ Strain }}$

ताण $=\frac{\frac{F}{A}}{Y}$

जिथे,

क्षेत्रफळ, $A=\pi(R^{2}-r^{2})=\pi((0.6)^{2}-(0.3)^{2})$

ताण $=\frac{122500}{\pi[(0.6)^{2}-(0.3)^{2}] \times 2 \times 10^{11}}=7.22 \times 10^{-7}$

म्हणून, प्रत्येक स्तंभाची संपीडन ताण $7.22 \times 10^{-7}$ आहे.

उत्तर

तांब्याच्या तुकड्याची लांबी, $l=19.1 mm=19.1 \times 10^{-3} m$

तांब्याच्या तुकड्याची रुंदी, $b=15.2 mm=15.2 \times 10^{-3} m$

तांब्याच्या तुकड्याचे क्षेत्रफळ:

$A=l \times b$

$=19.1 \times 10^{-3} \times 15.2 \times 10^{-3}$ $=2.9 \times 10^{-4} m^{2}$

तांब्याच्या तुकड्यावर लागू केलेले ताण बल, $F=44500 N$

तांब्याचे लवचिकता मापांक, $\eta=42 \times 10^{9} N / m^{2}$

लवचिकता मापांक, $\eta=\frac{\text{ Stress }}{\text{ Strain }}=\frac{\frac{F}{A}}{\text{ Strain }}$

$\therefore$ ताण $=\frac{F}{A \eta}$

$ =\frac{44500}{2.9 \times 10^{-4} \times 42 \times 10^{9}} $

$=3.65 \times 10^{-3}$

उत्तर

स्टीलच्या केबलची त्रिज्या, $r=1.5 cm=0.015 m$

कमाल परवानगीयोग्य प्रतिबल $=10^{8} N m^{-2}$

कमाल प्रतिबल $=\frac{\text{ Maximum force }}{\text{ Area of cross-section }}$

$\therefore$ कमाल बल $=$ कमाल प्रतिबल $\times$ काटछेद क्षेत्रफळ

$=10^{8} \times \pi(0.015)^{2}$

$=7.065 \times 10^{4} N$

म्हणून, केबल $7.065 \times 10^{4} N$ कमाल भार आधारू शकते.

उत्तर

प्रत्येक तारेवर कार्य करणारे ताण बल समान आहे. अशाप्रकारे, प्रत्येक प्रकरणातील वाढ समान आहे. तारा समान लांबीच्या असल्यामुळे, ताण देखील समान असेल.

यंगच्या मापांकासाठी संबंध खालीलप्रमाणे दिलेला आहे:

$$ \begin{equation*} Y=\frac{\text{ Stress }}{\text{ Strain }}=\frac{\frac{F}{A}}{\text{ Strain }}=\frac{\frac{4 F}{\pi d^{2}}}{\text{ Strain }} \tag{i} \end{equation*} $$

जिथे,

$F=$ ताण बल

$A=$ काटछेद क्षेत्रफळ

$d=$ तारेचा व्यास

समीकरण $(i)$ वरून असे अनुमान काढता येते की $Y \propto \frac{1}{d^{2}}$

लोखंडासाठी यंगचे मापांक, $Y_1=190 \times 10^{9} Pa$

लोखंडाच्या तारेचा व्यास $=d_1$

तांब्यासाठी यंगचे मापांक, $Y_2=110 \times 10^{9} Pa$

तांब्याच्या तारेचा व्यास $=d_2$

म्हणून, त्यांच्या व्यासांचे गुणोत्तर खालीलप्रमाणे दिले आहे:

$\frac{d_2}{d_1}=\sqrt{\frac{Y_1}{Y_2}}=\sqrt{\frac{190 \times 10^{9}}{110 \times 10^{9}}}=\sqrt{\frac{19}{11}}=1.31: 1$

उत्तर

वस्तुमान, $m=14.5 kg$

स्टीलच्या तारेची लांबी, $l=1.0 m$

कोनीय वेग, $\omega=2 rev / s$

तारेचे काटछेद क्षेत्रफळ, $a=0.065 cm^{2}$

जेव्हा वस्तुमान त्याच्या मार्गाच्या सर्वात खालच्या बिंदूवर असते, तेव्हा तारेचे वाढीचे प्रमाण $\delta l$ मानू.

जेव्हा वस्तुमान उभ्या वर्तुळाच्या स्थानावर ठेवले जाते, तेव्हा वस्तुमानावरील एकूण बल असते:

$ \begin{aligned} & F=m g+m l \omega^{2} \\ & =14.5 \times 9.8+14.5 \times 1 \times(2)^{2} \\ & =200.1 N \\ & \text{ Young’s modulus }=\frac{\text{ Stress }}{\text{ Strain }} \\ & Y=\frac{\frac{F}{A}}{\frac{\Delta l}{l}}=\frac{F}{A} \frac{l}{\Delta l} \\ & \therefore \Delta l=\frac{F l}{A Y} \end{aligned} $

स्टीलसाठी यंगचे मापांक $=2 \times 10^{11} Pa$

$ \begin{aligned} \therefore \Delta l & =\frac{200.1 \times 1}{0.065 \times 10^{-4} \times 2 \times 10^{11}}=1539.23 \times 10^{-7} \\ & =1.539 \times 10^{-4} m \end{aligned} $

म्हणून, तारेचे वाढीचे प्रमाण $1.539 \times 10^{-4} m$ आहे.

उत्तर

प्रारंभिक आकारमान, $V_1=100.01=100.0 \times 10^{-3} m^{3}$

अंतिम आकारमान, $V_2=100.51=100.5 \times 10^{-3} m^{3}$

आकारमानात वाढ, $\Delta V=V_2-V_1=0.5 \times 10^{-3} m^{3}$

दाबात वाढ, $\Delta p=100.0 atm=100 \times 1.013 \times 10^{5} Pa$

आकारस्थिरता मापांक $=\frac{\Delta p}{\frac{\Delta V}{V_1}}=\frac{\Delta p \times V_1}{\Delta V}$

$ \begin{aligned} & =\frac{100 \times 1.013 \times 10^{5} \times 100 \times 10^{-3}}{0.5 \times 10^{-3}} \\ & =2.026 \times 10^{9} Pa \end{aligned} $

हवेचे आकारस्थिरता मापांक $=1.0 \times 10^{5} Pa$

$\therefore \frac{\text{ Bulk modulus of water }}{\text{ Bulk modulus of air }}=\frac{2.026 \times 10^{9}}{1.0 \times 10^{5}}=2.026 \times 10^{4}$

हवा पाण्यापेक्षा जास्त संकुचित करता येण्याजोगी असल्यामुळे हे गुणोत्तर खूप जास्त आहे.

उत्तर

दिलेली खोली $h$ मानू.

दिलेल्या खोलीवरील दाब, $p=80.0 atm=80 \times 1.01 \times 10^{5} Pa$

पृष्ठभागावरील पाण्याची घनता, $\rho_1=1.03 \times 10^{3} kg m^{-3}$

$\rho_2$ ही $h$ खोलीवरील पाण्याची घनता मानू.

$V_1$ हे पृष्ठभागावरील $m$ वस्तुमान असलेल्या पाण्याचे आकारमान मानू.

$V_2$ हे $h$ खोलीवरील $m$ वस्तुमान असलेल्या पाण्याचे आकारमान मानू.

$\Delta V$ हा आकारमानातील बदल मानू.

$ \begin{aligned} \Delta V & =V_1-V_2 \\ & =m(\frac{1}{\rho_1}-\frac{1}{\rho_2}) \end{aligned} $

$\therefore$ आकारमानी ताण $=\frac{\Delta V}{V_1}$

$ =m(\frac{1}{\rho_1}-\frac{1}{\rho_2}) \times \frac{\rho_1}{m} $

$\therefore \frac{\Delta V}{V_1}=1-\frac{\rho_1}{\rho_2}$

आकारस्थिरता मापांक, $B=\frac{p V_1}{\Delta V}$

$ \frac{\Delta V}{V_1}=\frac{p}{B} $

पाण्याची संकुचितता $=\frac{1}{B}=45.8 \times 10^{-11} Pa^{-1}$

$$ \begin{equation*} \therefore \frac{\Delta V}{V_1}=80 \times 1.013 \times 10^{5} \times 45.8 \times 10^{-11}=3.71 \times 10^{-3} \tag{ii} \end{equation*} $$

समीकरणे ( $i$ ) आणि (ii) साठी, आपल्याला मिळते:

$ \begin{aligned} & 1-\frac{\rho_1}{\rho_2}=3.71 \times 10^{-3} \\ & \rho_2=\frac{1.03 \times 10^{3}}{1-(3.71 \times 10^{-3})} \\ & \quad=1.034 \times 10^{3} kg m^{-3} \end{aligned} $

म्हणून, दिलेल्या खोलीवर $(h)$ पाण्याची घनता $1.034 \times 10^{3} kg m^{-3}$ आहे.

उत्तर

काचेच्या पट्टीवर लावलेला हायड्रॉलिक दाब, $p=10 atm=10 \times 1.013 \times 10^{5} Pa$

काचेचे आकारस्थिरता मापांक, $B=37 \times 10^{9} Nm^{-2}$

आकारस्थिरता मापांक, $B=\frac{p}{\Delta V}$

जिथे,

$ \begin{aligned} & \frac{\Delta V}{V}=\text{ आकारमानातील अंशात्मक बदल } \\ & \begin{aligned} \therefore \frac{\Delta V}{V} & =\frac{p}{B} \\ & =\frac{10 \times 1.013 \times 10^{5}}{37 \times 10^{9}} \\ & =2.73 \times 10^{-5} \end{aligned} \end{aligned} $

म्हणून, काचेच्या पट्टीच्या आकारमानातील अंशात्मक बदल $2.73 \times 10^{-5}$ आहे.

उत्तर

घन तांब्याच्या घनाच्या एका कडेची लांबी, $l=10 cm=0.1 m$

हायड्रॉलिक दाब, $p=7.0 \times 10^{6} Pa$

तांब्याचे आकारस्थिरता मापांक, $B=140 \times 10^{9} Pa$

आकारस्थिरता मापांक, $B=\frac{p}{\frac{\Delta V}{V}}$

जिथे,

$\frac{\Delta V}{V}=$ आकारमानी ताण

$\Delta V=$ आकारमानात बदल

$V=$ मूळ आकारमान.

$\Delta V=\frac{p V}{B}$

घनाचे मूळ आकारमान, $V=l^{3}$

$\therefore \Delta V=\frac{p l^{3}}{B}$

$ \begin{aligned} & =\frac{7 \times 10^{6} \times(0.1)^{3}}{140 \times 10^{9}} \\ & =5 \times 10^{-8} m^{3} \\ & =5 \times 10^{-2} cm^{-3} \end{aligned} $

म्हणून, घन तांब्याच्या घनाचे आकारमान आकुंचन $5 \times 10^{-2} cm^{-3}$ आहे.

उत्तर

पाण्याचे आकारमान, $V=1 L$

पाणी $0.10 \%$ ने संकुचित करायचे आहे असे दिले आहे. $\therefore$ अंशात्मक बदल, $\frac{\Delta V}{V}=\frac{0.1}{100 \times 1}=10^{-3}$

आकारस्थिरता मापांक, $B=\frac{\rho}{\Delta V}$

$p=B \times \frac{\Delta V}{V}$

पाण्याचे आकारस्थिरता मापांक, $B=2.2 \times 10^{9} Nm^{-2}$

$ \begin{aligned} p & =2.2 \times 10^{9} \times 10^{-3} \\ & =2.2 \times 10^{6} Nm^{-2} \end{aligned} $

म्हणून, पाण्यावरील दाब $2.2 \times 10^{6} Nm^{-2}$ असावा.