गेल्या वर्षीचे NEET प्रश्न - अवकल समीकरणे

NEET 2019: अवकल समीकरण $\dfrac{dy}{dx} + y = \cos x$ सोडवा.

उत्तर:

दिलेल्या अवकल समीकरणाचा आकार $\dfrac{dy}{dx} + Py = Q$ आहे, जिथे $P = 1$ आणि $Q = \cos x$. समाकलन घटक $\mu(x) = e^{\int P dx} = e^x$ आहे.

अवकल समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना $\mu(x)$ च्या द्वारे गुणाकार केल्याने, आपण

$$ e^x \dfrac{dy}{dx} + e^x y = e^x \cos x $$

असे मिळतात. अशा प्रकारे, $\dfrac{d}{dx}(e^x y) = e^x \cos x$

दोन्ही बाजूंना समाकलन केल्याने, आपण

$$ e^x y = \int e^x \cos x dx + C $$

$$ e^x y = e^x \sin x + C $$

दोन्ही बाजूंना $e^x$ भागाने भागविल्याने, आपण

$$ y = \sin x + C e^{-x} $$