प्रकाश किरणाचे भिन्नीकरण ऑप्टिक्स आणि ऑप्टिकल उपकरणे

प्रश्न 1:

एकच रंगबेरीच्या प्रकाश किरण एका काचच्या पातळीवर $60^\circ$ अंशात प्रवेश करते. ऑरेच्या अवस्थेतील काचचे पातळीवरील भिन्नीकरणाचे अंश $r$ आहे. $r$ चे मूल्य काय आहे?

(1) $30^\circ$ (2) $45^\circ$ (3) $60^\circ$ (4) $\sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})$

समाधान:

स्नेलच्या नियमानुसार, प्रवेशाचे अंश ($i$), भिन्नीकरणाचे अंश ($r$) आणि दोन्ही माध्यमांच्या पातळीवरील भिन्नीकरणाच्या अंशांचे संबंध ($n_1$ आणि $n_2$) खालीलप्रमाणे दिलेला आहे:

$$n_1 \sin i = n_2 \sin r$$

येथे, प्रकाश किरण हवेतून प्रवेश करते, म्हणून $n_1 = 1$. काचचे पातळीवरील भिन्नीकरणाचे अंश $n_2 = \sqrt{3}$ आहे, आणि प्रवेशाचे अंश $i = 60^\circ$ आहे. या मूल्यांना स्नेलच्या नियमात टाकून:

$$1 \cdot \sin 60^\circ = \sqrt{3} \sin r$$$$\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \sin r$$$$\sin r = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} = \frac{1}{2}$$ $$r = \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 30^\circ$$

म्हणून, योग्य उत्तर आहे (1) $30^\circ$.

---

प्रश्न 2:

एक संयुक्त मायक्रोस्कोपची ऑब्जेक्टिव ल्यूझची फ्यूचल लांबी 2.0 cm आणि एयप्ल्सची फ्यूचल लांबी 5.0 cm आहे. ऑब्जेक्ट ऑब्जेक्टिव ल्यूझच्या 2.5 cm दूरीत ठेवले आहे. जर शेवटचे प्रतिमा अशिक्षणीय दृश्याच्या कमीत कमी दूरीत (D = 25 cm) निर्माण होत असेल, तर मायक्रोस्कोपची विकृती शक्ती काय आहे?

(1) 12.5 (2) 25 (3) 100 (4) 250

समाधान:

प्रथम, ऑब्जेक्टिव ल्यूझद्वारे निर्माण होणाऱ्या प्रतिमेची दूरी ($v_o$) लांबीच्या नियमाचा वापर करून शोधूया:

$$\frac{1}{f_o} = \frac{1}{v_o} - \frac{1}{u_o}$$

$f_o = 2.0$ cm आणि $u_o = -2.5$ cm दिलेल्या आहे (ऑब्जेक्ट दूरी संवादानुसार नकारात्मक आहे):

$$\frac{1}{2.0} = \frac{1}{v_o} - \frac{1}{-2.5}$$$$\frac{1}{2.0} = \frac{1}{v_o} + \frac{1}{2.5}$$$$\frac{1}{v_o} = \frac{1}{2.0} - \frac{1}{2.5} = \frac{2.5 - 2.0}{2.0 \times 2.5} = \frac{0.5}{5.0} = \frac{1}{10}$$ $$v_o = 10 \text{ cm}$$

ऑब्जेक्टिव ल्यूझद्वारे निर्माण होणाऱ्या विकृती ($m_o$) खालीलप्रमाणे आहे:

$$m_o = \frac{v_o}{u_o} = \frac{10}{-2.5} = -4$$

आता, एयप्ल्ससाठी, शेवटची प्रतिमा अशिक्षणीय दृश्याच्या कमीत कमी दूरीत ($D = 25$ cm) निर्माण होते. ऑब्जेक्टिव द्वारे निर्माण होणारी प्रतिमा एयप्ल्ससाठी ऑब्जेक्ट म्हणून कार्य करते. एयप्ल्ससाठी ऑब्जेक्ट दूरी $u_e$ आणि प्रतिमेची दूरी $v_e = -D = -25$ cm असेल. एयप्ल्सची फ्यूचल लांबी $f_e = 5.0$ cm आहे. एयप्ल्ससाठी लांबीच्या नियमाचा वापर करून:

$$\frac{1}{f_e} = \frac{1}{v_e} - \frac{1}{u_e}$$$$\frac{1}{5.0} = \frac{1}{-25} - \frac{1}{u_e}$$$$\frac{1}{u_e} = -\frac{1}{25} - \frac{1}{5.0} = -\frac{1}{25} - \frac{5}{25} = -\frac{6}{25}$$ $$u_e = -\frac{25}{6} \text{ cm}$$

शेवटच्या प्रतिमेच्या D दूरीत निर्माण होणाऱ्या एयप्ल्सद्वारे निर्माण होणारी विकृती ($m_e$) खालीलप्रमाणे आहे:

$$m_e = 1 + \frac{D}{f_e} = 1 + \frac{25}{5.0} = 1 + 5 = 6$$

संयुक्त मायक्रोस्कोपची एकूण विकृती शक्ती ($M$) ऑब्जेक्टिव आणि एयप्ल्सच्या विकृतींच्या गुणनाने आहे:

$$M = m_o \times m_e = (-4) \times 6 = -24$$

पण, दिलेल्या पर्यायांमध्ये मात्रा दिलेली आहे. शेवटच्या प्रतिमेच्या D दूरीत निर्माण होणाऱ्या एयप्ल्सची विकृती नियम $1 + \frac{D}{f_e}$ आहे.

गणना पुन्हा तपासूया.

ऑब्जेक्टिव ल्यूझ: $u_o = -2.5$ cm, $f_o = 2.0$ cm $\frac{1}{v_o} = \frac{1}{f_o} + \frac{1}{u_o} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2.5} = \frac{2.5 - 2}{5} = \frac{0.5}{5} = 0.1$ $v_o = 10$ cm $m_o = \frac{v_o}{|u_o|} = \frac{10}{2.5} = 4$ (मात्रा)

एयप्ल्स: $f_e = 5$ cm, $D = 25$ cm शेवटच्या प्रतिमेच्या D दूरीत निर्माण होणाऱ्या एयप्ल्सची विकृती: $m_e = 1 + \frac{D}{f_e} = 1 + \frac{25}{5} = 1 + 5 = 6$

एकूण विकृती शक्ती $M = m_o \times m_e = 4 \times 6 = 24$.

दिलेल्या पर्यायांशी सुसंगतता दिसून येत नाही. गणना आणि प्रश्न नोंद पुन्हा एकदा तपासूया.

मला एक संभाव्य बिंदू दिसून येतो. ऑब्जेक्टिव द्वारे निर्माण होणाऱ्या प्रतिमेची एयप्ल्सच्या फ्यूचल बिंदूवर आहे की नाही हे विचारात घ्यावे लागेल जर सामान्य समायोजनासाठी ऑब्जेक्टिव द्वारे निर्माण होणारी प्रतिमा एयप्ल्सच्या फ्यूचल बिंदूवर आहे अशी जाणीव नसल्यास. पण, प्रश्नात शेवटच्या प्रतिमेच्या D दूरीत निर्माण होण्याची जाणीव दिली आहे, जी एक विशिष्ट सेटअपची जाणीव देते.

$u_e$ एयप्ल्ससाठी पुन्हा गणना करूया: $\frac{1}{f_e} = \frac{1}{v_e} - \frac{1}{u_e}$ $\frac{1}{5} = \frac{1}{-25} - \frac{1}{u_e}$ $\frac{1}{u_e} = -\frac{1}{25} - \frac{1}{5} = -\frac{1 + 5}{25} = -\frac{6}{25}$ $u_e = -\frac{25}{6}$ cm

एयप्ल्सची विकृती $m_e = \frac{v_e}{u_e} = \frac{-25}{-25/6} = 6$.

ऑब्जेक्टिवची विकृती $m_o = \frac{v_o}{u_o} = \frac{10}{-2.5} = -4$.

एकूण विकृती $M = m_o \times m_e = (-4) \times 6 = -24$. मात्रा 24 आहे, जी पर्यायांमध्ये नाही.

$\frac{D}{f_e}$ एक सामान्य अनुमान विचारात घ्यावा जेणेकरून ऑब्जेक्टिव द्वारे निर्माण होणारी प्रतिमा खूप दूर आहे आणि एयप्ल्स साधारण विकसित करणारे म्हणून कार्य करते.

$M \approx -\frac{v_o}{u_o} \left(1 + \frac{D}{f_e}\right)$ नियमाचा वापर करून $M \approx -\frac{10}{-2.5} \left(1 + \frac{25}{5}\right) = 4 \times 6 = 24$ मिळते.

दिलेल्या पर्यायांशी किंवा मला एखादा सूक्ष्म बिंदू दिसून येत नाही अशी भूल आहे की दिलेल्या पर्यायांमध्ये किंवा या प्रश्नांसाठी वापरल्या जाणाऱ्या सामान्य अनुमानांमध्ये आहे. एक सामान्य अनुमान म्हणजे संयुक्त मायक्रोस्कोपची विकृती शक्ती $M \approx -\frac{L}{f_o} \left(1 + \frac{D}{f_e}\right)$ आहे, जिथे $L$ ट्यूब लांबी (ऑब्जेक्टिवच्या दुसऱ्या फ्यूचल बिंदू आणि एयप्ल्सच्या पहिल्या फ्यूचल बिंदूमधील दूरी) आहे. येथे $L$ नाही.

मूलभूत अवधारणा अनुसरून परिणाम घेण्याचा पुन्हा प्रयत्न करूया.

$m_o = \frac{v_o}{u_o} = \frac{10}{-2.5} = -4$

एयप्ल्ससाठी, ऑब्जेक्ट दूरी $u_e = -\frac{25}{6}$ cm आणि $f_e = 5$ cm आहे. एयप्ल्सची एंजिओल विकृती $m_e = \frac{D}{|u_e|} = \frac{25}{25/6} = 6$ आहे.

एकूण विकृती शक्ती $M = m_o \times m_e = -4 \times 6 = -24$. मात्रा 24 आहे.

दिलेल्या पर्यायांशी सुसंगतता दिसून येत नाही. गणना आणि प्रश्न नोंद पुन्हा एकदा तपासूया. काही गोष्टी नजरबंद करल्या गेल्या नाहीत की दिसून येत नाहीत.

काही गणना गलती आहे की नाही? $\frac{1}{v_o} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2.5} = 0.5 - 0.4 = 0.1 \implies v_o = 10$ cm. योग्य. $m_o = -\frac{10}{2.5} = -4$. योग्य. $\frac{1}{u_e} = \frac{1}{f_e} - \frac{1}{v_e} = \frac{1}{5} - \frac{1}{-25} = \frac{1}{5} + \frac{1}{25} = \frac{5+1}{25} = \frac{6}{25} \implies u_e = -\frac{25}{6}$ cm. योग्य. $m_e = \frac{v_e}{u_e} = \frac{-25}{-25/6} = 6$. योग्य. $M = m_o \times m_e = -4 \times 6 = -24$.

मात्रा विचारात घेतल्यास, 24 आहे, जी पर्यायांमध्ये नाही. शेवटच्या प्रतिमेच्या अंतराळावर निर्माण होण्याचे अनुमान विचारात घ्यावे जेणेकरून $m_e = \frac{D}{f_e} = \frac{25}{5} = 5$. तेव्हा $M = m_o \times m_e = -4 \times 5 = -20$ (मात्रा 20, पर्यायांमध्ये नाही).

पर्यायांपासून पुन्हा प्रयत्न करूया जेणेकरून कोणतेही सुसंगत परिसर दिसून येईल. याचा अनुमान करणे सामान्यतः फायदेहीत नाही पण संभाव्य गलती ओळखण्यास मदत करू शकते.

$M = 25$ विचारात घ्यावे, $m_e = 1 + \frac{25}{5} = 6$, तर $m_o = \frac{25}{6} = \frac{v_o}{2.5} \implies v_o = \frac{25 \times 2.5}{6} \approx 10.4$ cm. ऑब्जेक्टिवसाठी लांबीच्या नियमाचा वापर करून: $\frac{1}{2} = \frac{1}{10.4} - \frac{1}{-2.5} = \frac{1}{10.4} + \frac{1}{2.5} \approx 0.096 + 0.4 = 0.496$, जी $0.5$ च्या जवळ आहे. यामुळे पर्याय (2) शक्यतो इच्छित आहे, किंवा मूल्यांमध्ये सूक्ष्म गोंधळाची आहे.

विश्लेषणानुसार, आणि दिलेल्या पर्यायांशी सुसंगततेच्या संदर्भात अनुमान किंवा सूक्ष्म गोंधळाची जाणीव करून, आमच्या तपासून मिळालेल्या 24 च्या आधारे सर्वात जवळचे उत्तर आहे (2) 25.

म्हणून, सर्वात जवळचे उत्तर आहे (2) 25.