PYQ NEET- घूर्णी गति L-1

प्रश्न: एका ठोस गोलाकाराच्या द्रव्यमान $M$ आणि त्याच्या त्रिज्या $R$ असलेल्या गोलाकाराच्या आपल्या अक्षाभोवती घूर्णी त्रिज्येचे अनुपात त्या द्रव्यमान $M$ आणि त्रिज्या $R$ असलेल्या पातळ गिरफ्ता गोलाकाराच्या अक्षाभोवती घूर्णी त्रिज्येच्या अनुपात आहे :-#

A) $5: 3$
B) $2: 5$
C) $\sqrt{5}: \sqrt{3}$
D) $\sqrt{3}: \sqrt{5}$

उत्तर: $\sqrt{3}: \sqrt{5}$#

समाधान:#

या समस्येचे निराकरण करण्यासाठी, एका ठोस गोलाकाराची $\left(\mathrm{K}_1\right)$ आणि एका पातळ गिरफ्ता गोलाकाराची $\left(\mathrm{K}_2\right)$ घूर्णी त्रिज्या दर्शविणारा अनुपात शोधावा लागेल, ज्यांचे द्रव्यमान $M$ आणि त्रिज्या $R$ असेल.

ठोस गोलाकाराचे आपल्या अक्षाभोवती घूर्णी दिशेने घूर्णी पुरवठा (I) अशा रूपात दिलेला आहे:
$$ I_{\text {solid }}=\frac{2}{5} M R^2 $$

घूर्णी त्रिज्या $(\mathrm{K})$ घूर्णी पुरवठा $(\mathrm{I})$ आणि द्रव्यमान $(\mathrm{M})$ यांच्यातील संबंध अशा सूत्राने दिला आहे:
$$ I=M K^2 $$

म्हणून, ठोस गोलाकारासाठी, आम्ही $\mathrm{K}1$ चा अवलंब करून शोधू शकतो:
$$ \begin{aligned} & K_1^2=\frac{I{\text {solid }}}{M}=\frac{2}{5} R^2 \ & K_1=R \sqrt{\frac{2}{5}} \end{aligned} $$

आता, पातळ गिरफ्ता गोलाकारासाठी, अक्षाभोवती घूर्णी पुरवठा अशा रूपात दिला आहे:
$$ I_{\text {hollow }}=\frac{2}{3} M R^2 $$

आम्ही $\mathrm{K}2$ चा अवलंब करून शोधू शकतो:
$$ K_2^2=\frac{I{\text {hollow }}}{M}=\frac{2}{3} R^2 $$
$$ K_2=R \sqrt{\frac{2}{3}} $$

आता, आम्हाला अनुपात $K_1: K_2$ शोधावा लागेल:
$$ \frac{K_1}{K_2}=\frac{R \sqrt{\frac{2}{5}}}{R \sqrt{\frac{2}{3}}} $$

R घटक बायपास होतात आणि आम्हाला बाकी असा अनुपात आहे:
$$ \frac{K_1}{K_2}=\frac{\sqrt{\frac{2}{5}}}{\sqrt{\frac{2}{3}}} $$

भागाच्या बाजूंनी वर्गखोली घेऊन सोपे करा:
$$ \frac{K_1}{K_2}=\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{5} \sqrt{2}} $$

आता, 2 घटकांची वर्गखोली बायपास होतात आणि आम्हाला असा अनुपात मिळतो:
$$ \frac{K_1}{K_2}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} $$