प्रकरण १२ सांख्यिकी
१२.१ आकडेवारीचे आलेखीय निरूपण
आकडेवारीचे सारणीद्वारे निरूपण आधीच चर्चा केले आहे. आता आपण आकडेवारीच्या दुसऱ्या निरूपणाकडे, म्हणजेच आलेखीय निरूपणाकडे लक्ष देतो. एक चित्र हजार शब्दांपेक्षा श्रेष्ठ आहे असे म्हटले जाते. सामान्यतः वैयक्तिक घटकांमधील तुलना आलेखाद्वारे सर्वोत्तम दर्शविली जाते. तेव्हा निरूपण वास्तविक आकडेवारीपेक्षा समजण्यास सोपे होते. या विभागात आपण खालील आलेखीय निरूपणांचा अभ्यास करू.
(अ) स्तंभालेख
(ब) एकसमान रुंदीचे आणि बदलत्या रुंदीचे आयतालेख
(क) वारंवारता बहुभुज
(अ) स्तंभालेख
मागील इयत्तांमध्ये, तुम्ही आधीच स्तंभालेखांचा अभ्यास केला आहे आणि ते बनविले आहेत. येथे आपण त्यांची अधिक औपचारिक पद्धतीने चर्चा करू. आठवा की स्तंभालेख हे आकडेवारीचे चित्रमय निरूपण आहे ज्यामध्ये सामान्यतः एकसमान रुंदीचे स्तंभ एका अक्षावर (म्हणा, $x$-अक्ष) चल दर्शविताना त्यांच्यामध्ये समान अंतर ठेवून काढले जातात. चलाची मूल्ये दुसऱ्या अक्षावर (म्हणा, $y$-अक्ष) दाखविली जातात आणि स्तंभांची उंची चलाच्या मूल्यांवर अवलंबून असते.
उदाहरण १ : नववीच्या एका विशिष्ट वर्गात, ४० विद्यार्थ्यांना त्यांच्या जन्माच्या महिन्याबद्दल विचारणा करण्यात आली आणि प्राप्त झालेल्या आकडेवारीसाठी खालील आलेख तयार करण्यात आला:
आकृती १२.१
वरील स्तंभालेख निरीक्षण करा आणि खालील प्रश्नांची उत्तरे द्या:
(i) नोव्हेंबर महिन्यात किती विद्यार्थी जन्मले?
(ii) कोणत्या महिन्यात सर्वाधिक विद्यार्थी जन्मले?
उकल : लक्षात घ्या की येथे चल म्हणजे ‘जन्म महिना’ आणि चलाचे मूल्य म्हणजे ‘जन्मलेल्या विद्यार्थ्यांची संख्या’.
(i) नोव्हेंबर महिन्यात ४ विद्यार्थी जन्मले.
(ii) ऑगस्ट महिन्यात सर्वाधिक विद्यार्थी जन्मले.
आता पुढील उदाहरण विचारात घेऊन स्तंभालेख कसा बनविला जातो ते आठवूया.
उदाहरण २ : ₹ २०,००० मासिक उत्पन्न असलेल्या एका कुटुंबाने विविध शीर्षकांखाली दरमहा खालील खर्चाची योजना केली होती:
सारणी १२.१
| शीर्षक | खर्च (हजार रुपयांत) |
|---|---|
| किराणा | ४ |
| भाडे | ५ |
| मुलांचे शिक्षण | ५ |
| औषधोपचार | २ |
| इंधन | २ |
| मनोरंजन | १ |
| इतर | १ |
वरील आकडेवारीसाठी स्तंभालेख काढा.
उकल : आपण खालील चरणांमध्ये या आकडेवारीचा स्तंभालेख काढू. लक्षात घ्या की दुसऱ्या स्तंभातील एकक हजार रुपये आहे. म्हणून, ‘किराणा’ यासमोरचे ‘४’ म्हणजे ₹४०००.
१. आपण शीर्षके (चल) क्षैतिज अक्षावर कोणतेही प्रमाण निवडून दर्शवू, कारण स्तंभाची रुंदी महत्त्वाची नाही. परंतु स्पष्टतेसाठी, आपण सर्व स्तंभांसाठी समान रुंदी घेतो आणि त्यांच्यामध्ये समान अंतर राखतो. एक शीर्षक एका एककाने दर्शवू.
२. आपण खर्च (मूल्य) उभ्या अक्षावर दर्शवू. कमाल खर्च ₹ ५००० असल्याने, आपण प्रमाण १ एकक = ₹ १००० असे निवडू शकतो.
३. आपले पहिले शीर्षक, म्हणजे किराणा, दर्शवण्यासाठी आपण १ एकक रुंदी आणि ४ एकक उंचीचा आयताकृती स्तंभ काढतो.
४. त्याचप्रमाणे, इतर शीर्षके दोन सलग स्तंभांमध्ये १ एकक अंतर ठेवून दर्शविली जातात.
स्तंभालेख आकृती १२.२ मध्ये काढला आहे.
आकृती १२.२
येथे, तुम्ही आकडेवारीची सापेक्ष वैशिष्ट्ये एका दृष्टीक्षेपात सहज कल्पना करू शकता, उदा., शिक्षणावरील खर्च वैद्यकीय खर्चापेक्षा दुप्पटहून अधिक आहे. म्हणून, काही प्रकारे ते सारणीच्या स्वरूपापेक्षा आकडेवारीचे चांगले निरूपण करते.
कृती १ : कृती १ च्या त्या चार गटांचा विचार करून, योग्य स्तंभालेखाद्वारे आकडेवारी दर्शवा.
आता सलग वर्ग अंतरालांसाठीचे वारंवारता वितरण सारणी आलेखीय पद्धतीने कशी दर्शविली जाऊ शकते ते पाहू.
(ब) आयतालेख
हे स्तंभालेखासारखेच एक निरूपण आहे, परंतु ते सलग वर्ग अंतरालांसाठी वापरले जाते. उदाहरणार्थ, एका वर्गातील ३६ विद्यार्थ्यांचे वजन दर्शविणारी वारंवारता वितरण सारणी १२.२ विचारात घ्या:
सारणी १२.२
| वजन (किलोमध्ये) | विद्यार्थ्यांची संख्या |
|---|---|
| $30.5-35.5$ | ९ |
| $35.5-40.5$ | ६ |
| $40.5-45.5$ | १५ |
| $45.5-50.5$ | ३ |
| $50.5-55.5$ | १ |
| $55.5-60.5$ | २ |
| एकूण | ३६ |
वरील आकडेवारी आलेखीय पद्धतीने खालीलप्रमाणे दर्शवू:
(i) आपण वजने योग्य प्रमाणात क्षैतिज अक्षावर दर्शवू. आपण प्रमाण $1 \mathrm{~cm}=5 \mathrm{~kg}$ असे निवडू शकतो. तसेच, पहिले वर्ग अंतराल ३०.५ पासून सुरू होत असल्याने आणि शून्यापासून नसल्याने, आपण अक्षावर एक खाच किंवा विराम चिन्हांकित करून ते आलेखावर दाखवतो.
(ii) आपण विद्यार्थ्यांची संख्या (वारंवारता) योग्य प्रमाणात उभ्या अक्षावर दर्शवू. कमाल वारंवारता १५ असल्याने, ही कमाल वारंवारता समाविष्ट करण्यासाठी प्रमाण निवडणे आवश्यक आहे.
(iii) आता आपण वर्ग-आकाराइतकी रुंदी आणि संबंधित वर्ग अंतरालांच्या वारंवारतेनुसार लांबी असलेले आयत (किंवा आयताकृती स्तंभ) काढतो. उदाहरणार्थ, वर्ग अंतराल $30.5-35.5$ साठीचा आयत $1 \mathrm{~cm}$ रुंदीचा आणि $4.5 \mathrm{~cm}$ लांबीचा असेल.
(iv) अशाप्रकारे, आपल्याला आकृती १२.३ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे आलेख मिळतो:
आकृती १२.३
लक्षात घ्या की सलग आयतांमध्ये कोणतेही अंतर नसल्यामुळे, परिणामी आलेख एका घन आकृतीसारखा दिसतो. याला आयतालेख म्हणतात, जो सलग वर्ग असलेल्या गटबद्ध वारंवारता वितरणाचे आलेखीय निरूपण आहे. तसेच, स्तंभालेखापेक्षा वेगळे, याच्या बांधणीमध्ये स्तंभाची रुंदी महत्त्वपूर्ण भूमिका बजावते.
येथे, खरेतर, उभ्या केलेल्या आयतांचे क्षेत्रफळ संबंधित वारंवारतांच्या प्रमाणात असते. तथापि, आयतांची रुंदी सर्व समान असल्याने, आयतांची लांबी वारंवारतांच्या प्रमाणात असते. म्हणूनच, आपण वरील (iii) नुसार लांबी काढतो.
आता, वरीलपेक्षा वेगळ्या परिस्थितीचा विचार करू.
उदाहरण ३ : एका शिक्षिकेला १०० गुणांच्या गणिताच्या चाचणीत विद्यार्थ्यांच्या दोन विभागांच्या कामगिरीचे विश्लेषण करायचे होते. त्यांच्या कामगिरीकडे पाहता, तिला आढळले की काही विद्यार्थ्यांना २० पेक्षा कमी गुण मिळाले आणि काहींना ७० किंवा त्यापेक्षा जास्त गुण मिळाले. म्हणून तिने त्यांना बदलत्या आकाराच्या अंतरालांमध्ये गटबद्ध करण्याचा निर्णय घेतला: $0-20,20-30, \ldots, 60-70$, ७० - १००. नंतर तिने खालील सारणी तयार केली:
सारणी १२.३
| गुण | विद्यार्थ्यांची संख्या |
|---|---|
| $0-20$ | ७ |
| $20-30$ | १० |
| $30-40$ | १० |
| $40-50$ | २० |
| $50-60$ | २० |
| $60-70$ | १५ |
| $70-$ वरील | ८ |
| एकूण | ९० |
या सारणीसाठी एका विद्यार्थ्याने आकृती १२.४ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे आयतालेख तयार केला.
आकृती १२.४
काळजीपूर्वक हे आलेखीय निरूपण तपासा. तुम्हाला असे वाटते का की ते आकडेवारी योग्यरित्या दर्शवते? नाही, आलेख आपल्याला एक चुकीचे चित्र देत आहे. आपण आधी नमूद केल्याप्रमाणे, आयतालेखामध्ये आयतांचे क्षेत्रफळ वारंवारतांच्या प्रमाणात असते. आधी ही समस्या उद्भवली नव्हती, कारण सर्व आयतांची रुंदी समान होती. परंतु येथे, आयतांची रुंदी बदलत असल्याने, वरील आयतालेख योग्य चित्र देत नाही. उदाहरणार्थ, तो $70-100$ या अंतरालातील वारंवारता $60-70$ पेक्षा जास्त दाखवतो, जी प्रकरण नाही.
म्हणून, आयतांची लांबी अशी बदलणे आवश्यक आहे की क्षेत्रफळ पुन्हा वारंवारतांच्या प्रमाणात राहील.
खालील चरणांचे अनुसरण करावे लागेल:
१. किमान वर्ग-आकार असलेले वर्ग अंतराल निवडा. वरील उदाहरणात, किमान वर्ग-आकार १० आहे. २. नंतर आयतांची लांबी वर्ग-आकार १० च्या प्रमाणात बदलली जाते.
उदाहरणार्थ, जेव्हा वर्ग-आकार २० असेल, तेव्हा आयताची लांबी ७ असेल. म्हणून जेव्हा वर्ग-आकार १० असेल, तेव्हा आयताची लांबी $\frac{7}{20} \times 10=3.5$ असेल.
त्याचप्रमाणे, अशा पद्धतीने पुढे जाताना, आपल्याला खालील सारणी मिळते:
सारणी १२.४
| गुण | वारंवारता | वर्गाची रुंदी | आयताची लांबी |
|---|---|---|---|
| $0-20$ | ७ | २० | $\frac{7}{20} \times 10=3.5$ |
| $20-30$ | १० | १० | $\frac{10}{10} \times 10=10$ |
| $30-40$ | १० | १० | $\frac{10}{10} \times 10=10$ |
| $40-50$ | २० | १० | $\frac{20}{10} \times 10=20$ |
| $50-60$ | २० | १० | $\frac{20}{10} \times 10=20$ |
| $60-70$ | १५ | १० | $\frac{15}{10} \times 10=15$ |
| $70-100$ | ८ | ३० | $\frac{8}{30} \times 10=2.67$ |
आपण प्रत्येक बाबतीत १० गुणांच्या अंतरालासाठी ही लांबी काढली असल्याने, आपण या लांबीला “प्रति १० गुण अंतरालातील विद्यार्थ्यांचे प्रमाण” म्हणू शकतो.
म्हणून, बदलत्या रुंदीचा योग्य आयतालेख आकृती १२.५ मध्ये दिला आहे.
आकृती १२.५
(क) वारंवारता बहुभुज
परिमाणवाचक आकडेवारी आणि तिच्या वारंवारता दर्शविण्याचा आणखी एक दृश्य मार्ग आहे. हा एक बहुभुज आहे. आपण काय म्हणतो ते पाहण्यासाठी, आकृती १२.३ द्वारे दर्शविलेला आयतालेख विचारात घ्या. या आयतालेखातील लगतच्या आयतांच्या वरच्या बाजूंचे मध्यबिंदू रेषाखंडांद्वारे जोडू. या मध्यबिंदूंना B, C, D, E, F आणि G असे म्हणू. रेषाखंडांनी जोडल्यावर, आपल्याला BCDEFG ही आकृती मिळते (आकृती १२.६ पहा). बहुभुज पूर्ण करण्यासाठी, आपण असे गृहीत धरतो की ३०.५ - ३५.५ च्या आधी आणि ५५.५ - ६०.५ च्या नंतर शून्य वारंवारतेचे एक वर्ग अंतराल आहे आणि त्यांचे मध्यबिंदू अनुक्रमे $\mathrm{A}$ आणि $\mathrm{H}$ आहेत. $\mathrm{ABCDEFGH}$ हा आकृती १२.३ मध्ये दाखवलेल्या आकडेवारीशी संबंधित वारंवारता बहुभुज आहे. आपण हे आकृती १२.६ मध्ये दाखवले आहे.
आकृती १२.६
जरी सर्वात कमी वर्गाच्या आधी आणि सर्वात जास्त वर्गाच्या नंतर कोणताही वर्ग नसला तरी, शून्य वारंवारतेची दोन वर्ग अंतराल जोडल्याने वारंवारता बहुभुजाचे क्षेत्रफळ आयतालेखाच्या क्षेत्रफळाइतके करणे शक्य होते. असे का होते? (सूचना : एकरूप त्रिकोणांचे गुणधर्म वापरा.)
आता, प्रश्न उद्भवतो: जेव्हा पहिल्या वर्गाच्या आधी कोणताही वर्ग नसतो तेव्हा आपण बहुभुज कसा पूर्ण करू? अशा परिस्थितीचा विचार करूया.
उदाहरण ४ : एका चाचणीत वर्गातील ५१ विद्यार्थ्यांनी मिळवलेले १०० पैकी गुण, सारणी १२.५ मध्ये दिलेले आहेत, ते विचारात घ्या.
सारणी १२.५
| गुण | विद्यार्थ्यांची संख्या |
|---|---|
| $0-10$ | ५ |
| $10-20$ | १० |
| $20-30$ | ४ |
| $30-40$ | ६ |
| $40-50$ | ७ |
| $50-60$ | ३ |
| $60-70$ | २ |
| $70-80$ | २ |
| $80-90$ | ३ |
| $90-100$ | ९ |
| एकूण | ५१ |
या वारंवारता वितरण सारणीशी संबंधित वारंवारता बहुभुज काढा.
उकल : प्रथम या आकडेवारीसाठी आयतालेख काढू आणि आयतांच्या शीर्षस्थानाचे मध्यबिंदू अनुक्रमे B, C, D, E, F, G, H, I, J, K असे चिन्हांकित करू. येथे, पहिला वर्ग $0-10$ आहे. म्हणून, $0-10$ च्या आधीचा वर्ग शोधण्यासाठी, आपण क्षैतिज अक्ष ऋण दिशेने वाढवतो आणि काल्पनिक वर्ग-अंतराल $(-10)-0$ चा मध्यबिंदू शोधतो. पहिला अंतिम बिंदू, म्हणजे $\mathrm{B}$, हा क्षैतिज अक्षाच्या ऋण दिशेने शून्य वारंवारतेसह या मध्यबिंदूशी जोडला जातो. हा रेषाखंड उभ्या अक्षाला जेथे भेटतो त्या बिंदूला $\mathrm{A}$ असे चिन्हांकित केले जाते. दिलेल्या आकडेवारीच्या शेवटच्या वर्गाच्या नंतरच्या वर्गाचा मध्यबिंदू $\mathrm{L}$ असू द्या. तर OABCDEFGHIJKL हा वारंवारता बहुभुज आहे, जो आकृती १२.७ मध्ये दाखवला आहे.
आकृती १२.७
वारंवारता बहुभुज आयतालेख काढल्याशिवाय स्वतंत्रपणे देखील काढता येतात. यासाठी, आकडेवारीमध्ये वापरलेल्या वर्ग-अंतरालांचे मध्यबिंदू आवश्यक असतात. या वर्ग-अंतरालांच्या मध्यबिंदूंना वर्ग-चिन्हे म्हणतात.
वर्ग अंतरालाचे वर्ग-चिन्ह शोधण्यासाठी, आपण वर्गाची वरची मर्यादा आणि खालची मर्यादा यांची बेरीज करतो आणि त्याला २ ने भागतो. अशाप्रकारे,
$$ \text { Class-mark }=\frac{\text { Upper limit }+ \text { Lower limit }}{2} $$
एक उदाहरण विचारात घेऊ.
उदाहरण ५ : एका शहरात, जीवनावश्यक वस्तूंच्या निर्देशांकावरील अभ्यासात केलेल्या साप्ताहिक निरीक्षणे खालील सारणीत दिली आहेत:
सारणी १२.६
| जीवनावश्यक वस्तूंचा निर्देशांक | आठवड्यांची संख्या |
|---|---|
| $140-150$ | ५ |
| $150-160$ | १० |
| $160-170$ | २० |
| $170-180$ | ९ |
| $180-190$ | ६ |
| $190-200$ | २ |
| एकूण | ५२ |
वरील आकडेवारीसाठी (आयतालेख बनवल्याशिवाय) वारंवारता बहुभुज काढा.
उकल : आपल्याला आयतालेखाशिवाय वारंवारता बहुभुज काढायचा असल्याने, वरील दिलेल्या वर्गांची, म्हणजेच $140-150,150-160, \ldots$ ची वर्ग-चिन्हे शोधू.
$140-150$ साठी, वरची मर्यादा $=150$, आणि खालची मर्यादा $=140$
म्हणून, वर्ग-चिन्ह $=\frac{150+140}{2}=\frac{290}{2}=145$.
त्याच पद्धतीने पुढे जाताना, आपल्याला इतर वर्गांची वर्ग-चिन्हे देखील सापडतात. म्हणून, प्राप्त झालेली नवीन सारणी खालील सारणीप्रमाणे आहे:
सारणी १२.७
| वर्ग | वर्ग-चिन्हे | वारंवारता |
|---|---|---|
| $140-150$ | १४५ | ५ |
| $150-160$ | १५५ | १० |
| $160-170$ | १६५ | २० |
| $170-180$ | १७५ | ९ |
| $180-190$ | १८५ | ६ |
| $190-200$ | १९५ | २ |
| एकूण | ५२ |
आता आपण वर्ग-चिन्हे क्षैतिज अक्षावर, वारंवारता उभ्या अक्षावर प्लॉट करून आणि नंतर बिंदू $\mathrm{B}(145,5), \mathrm{C}(155,10), \mathrm{D}(165,20), \mathrm{E}(175,9), \mathrm{F}(185,6)$ आणि $\mathrm{G}(195,2)$ प्लॉट करून आणि रेषाखंडांनी जोडून वारंवारता बहुभुज काढू शकतो. आपण सर्वात कमी वर्ग १४० - १५० च्या आधीच्या वर्ग १३० - १४० च्या वर्ग-चिन्हाशी संबंधित बिंदू शून्य वारंवारतेसह, म्हणजेच $\mathrm{A}(135,0)$, आणि बिंदू $\mathrm{H}(205,0)$ हा $\mathrm{G}(195,2)$ नंतर लगेच येतो तो प्लॉट करणे विसरू नये. म्हणून, परिणामी वारंवारता बहुभुज ABCDEFGH असेल (आकृती १२.८ पहा).
आकृती १२.८
वारंवारता बहुभुजाचा वापर तेव्हा केला जातो जेव्हा आकडेवारी सलग आणि खूप मोठी असते. समान स्वरूपाच्या दोन भिन्न आकडेवारीच्या संचांची तुलना करण्यासाठी हे खूप उपयुक्त आहे, उदाहरणार्थ, एकाच वर्गाच्या दोन भिन्न विभागांच्या कामगिरीची तुलना करण्यासाठी.
१२.२ सारांश
या प्रकरणात, आपण खालील मुद्द्यांचा अभ्यास केला:
१. आकडेवारी स्तंभालेख, आयतालेख आणि वारंवारता बहुभुज या स्वरूपात आलेखीय पद्धतीने कशी सादर केली जाऊ शकते.
BETA
