बीजगणिताची मूलतत्त्वे

मुख्य संकल्पना आणि सूत्रे

बीजगणिताच्या मूलतत्त्वांसाठी ५-७ आवश्यक संकल्पना द्या:

आवश्यक सूत्रे

१० सराव बहुपर्यायी प्रश्न

Q1. जर (x+4)² = 49, तर x चे मूल्य शोधा. A) 3 B) -11 C) 3 किंवा -11 D) 7 किंवा -7

उत्तर: C) 3 किंवा -11

उकल: (x+4)² = 49 वर्गमूळ घेतल्यास: x+4 = ±7 प्रकरण १: x+4 = 7 → x = 3 प्रकरण २: x+4 = -7 → x = -11

शॉर्टकट: लक्षात ठेवा की √49 = ±7 (धन आणि ऋण दोन्ही)

संकल्पना: बीजगणित मूलतत्त्वे - वर्गमूळ पद्धत वापरून वर्गसमीकरणे सोडवणे

Q2. गुणक काढा: x² - 9 A) (x-3)² B) (x+3)² C) (x+3)(x-3) D) (x-9)(x+1)

उत्तर: C) (x+3)(x-3)

उकल: नित्यसमानता वापरून: a² - b² = (a+b)(a-b) येथे, x² - 9 = x² - 3² = (x+3)(x-3)

शॉर्टकट: वर्गांचा फरक नेहमी (बेरीज)(फरक) असे गुणक पावतो

संकल्पना: बीजगणित मूलतत्त्वे - नित्यसमानता वापरून गुणक काढणे

Q3. एक रेल्वे (x+20) किमी/तास वेगाने प्रवास करते. जर ती ५ तासात ३०० किमी अंतर कापते, तर x शोधा. A) 40 B) 50 C) 60 D) 70

उत्तर: A) 40

उकल: वेग = अंतर/वेळ x+20 = 300/5 = 60 x = 60-20 = 40

संकल्पना: बीजगणित मूलतत्त्वे - वेग-अंतर समस्यांमधील रेषीय समीकरणे

Q4. जर x + 1/x = 5, तर x² + 1/x² शोधा A) 23 B) 25 C) 27 D) 29

उत्तर: A) 23

उकल: दोन्ही बाजूंचा वर्ग करा: (x + 1/x)² = 5² x² + 2(x)(1/x) + 1/x² = 25 x² + 2 + 1/x² = 25 x² + 1/x² = 25-2 = 23

शॉर्टकट: लक्षात ठेवा (a+b)² = a² + 2ab + b²

संकल्पना: बीजगणित मूलतत्त्वे - बीजगणितीय हाताळणी आणि नित्यसमानता

Q5. दोन क्रमागत विषम संख्यांची बेरीज ८४ आहे. मोठी संख्या शोधा. A) 41 B) 43 C) 45 D) 47

उत्तर: B) 43

उकल: संख्या x आणि x+2 मानू x + (x+2) = 84 2x + 2 = 84 2x = 82 x = 41 मोठी संख्या = 41+2 = 43

संकल्पना: बीजगणित मूलतत्त्वे - शब्दसमस्यांमधील रेषीय समीकरणे

Q6. जर (3x-2)(2x+5) = ax² + bx + c, तर a+b+c शोधा A) 25 B) 30 C) 35 D) 40

उत्तर: C) 35

उकल: (3x-2)(2x+5) = 6x² + 15x - 4x - 10 = 6x² + 11x - 10 म्हणून: a=6, b=11, c=-10 a+b+c = 6+11-10 = 7

दुरुस्ती: पुन्हा गणना करूया a+b+c = 6+11+(-10) = 7 उत्तर असावे: यापैकी कोणतेही नाही (7)

संकल्पना: बीजगणित मूलतत्त्वे - विस्तार आणि गुणांक ओळखणे

Q7. २०० मीटर लांबीच्या प्लॅटफॉर्मवर दोन रेल्वेगाड्या आहेत. रेल्वे A (x मीटर) आणि रेल्वे B (x+50 मीटर). जर त्यांची एकूण लांबी ५५० मीटर असेल, तर x शोधा. A) 200 B) 250 C) 300 D) 350

उत्तर: B) 250

उकल: x + (x+50) = 550 2x + 50 = 550 2x = 500 x = 250

संकल्पना: बीजगणित मूलतत्त्वे - रेल्वे लांबी समस्यांमधील रेषीय समीकरणे

Q8. जर x² - 5x + 6 = 0 आणि y² - 5y + 6 = 0, जेथे x ≠ y, तर x+y शोधा A) 5 B) 6 C) 7 D) 8

उत्तर: A) 5

उकल: दोन्ही समीकरणे सारखीच आहेत: x² - 5x + 6 = 0 गुणक काढून: (x-2)(x-3) = 0 म्हणून: x = 2 किंवा 3, y = 2 किंवा 3 x ≠ y असल्याने, आपल्याकडे x=2, y=3 किंवा x=3, y=2 आहे दोन्ही प्रकरणांमध्ये: x+y = 5

संकल्पना: बीजगणित मूलतत्त्वे - वर्गसमीकरणे आणि मूळे

Q9. जर (x+y)² = 36 आणि xy = 8, तर x² + y² शोधा A) 20 B) 28 C) 36 D) 44

उत्तर: B) 20

उकल: (x+y)² = x² + 2xy + y² = 36 दिलेले xy = 8, म्हणून 2xy = 16 x² + y² + 16 = 36 x² + y² = 36-16 = 20

शॉर्टकट: x² + y² = (x+y)² - 2xy

संकल्पना: बीजगणित मूलतत्त्वे - बीजगणितीय नित्यसमानतेचा उपयोग

Q10. धुक्यामुळे रेल्वेचा वेग १० किमी/तासाने कमी होतो. २७० किमी अंतर कापण्यासाठी ३ तास जास्त लागतात. मूळ वेग शोधा. A) 45 B) 50 C) 55 D) 60

उत्तर: A) 45

उकल: मूळ वेग = x किमी/तास मानू मूळ वेळ = 270/x तास नवीन वेग = (x-10) किमी/तास नवीन वेळ = 270/(x-10) तास दिलेले: 270/(x-10) - 270/x = 3 सोडवताना: 270x - 270(x-10) = 3x(x-10) 2700 = 3x² - 30x x² - 10x - 900 = 0 (x-45)(x+40) = 0 x = 45 (वेग ऋण असू शकत नाही)

संकल्पना: बीजगणित मूलतत्त्वे - वेळ-वेग समस्यांमधील वर्गसमीकरणे

५ मागील वर्षांचे प्रश्न

PYQ 1. जर a+b = 10 आणि a-b = 4, तर a² + b² शोधा RRB NTPC 2021 CBT-1

उत्तर: 58

उकल: a+b = 10 आणि a-b = 4 पासून: बेरीज करून: 2a = 14 → a = 7 वजाबाकी करून: 2b = 6 → b = 3 a² + b² = 7² + 3² = 49 + 9 = 58

पर्यायी: a² + b² = ½[(a+b)² + (a-b)²] = ½[100 + 16] = 58

परीक्षा टिप: बेरीज आणि फरकाच्या दृष्टीने a² + b² साठीची नित्यसमानता लक्षात ठेवा

PYQ 2. पूर्णपणे गुणक काढा: 4x² - 25 RRB Group D 2022

उत्तर: (2x+5)(2x-5)

उकल: 4x² - 25 = (2x)² - 5² = (2x+5)(2x-5)

परीक्षा टिप: गुणक काढण्याच्या समस्यांमध्ये नेहमी परिपूर्ण वर्ग शोधा

PYQ 3. जर x + 1/x = 3, तर x³ + 1/x³ शोधा RRB ALP 2018

उत्तर: 18

उकल: नित्यसमानता वापरून: a³ + b³ = (a+b)³ - 3ab(a+b) x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3(x)(1/x)(x + 1/x) = 3³ - 3(1)(3) = 27 - 9 = 18

परीक्षा टिप: (a+b) च्या दृष्टीने a³ + b³ साठीची नित्यसमानता लक्षात ठेवा

PYQ 4. सोडवा: 3(x-2) + 5 = 2(x+1) - 1 RRB JE 2019

उत्तर: x = 2

उकल: 3x - 6 + 5 = 2x + 2 - 1 3x - 1 = 2x + 1 3x - 2x = 1 + 1 x = 2

परीक्षा टिप: प्रथम कंस विस्तृत करा, नंतर सारख्या पदांचे एकत्रीकरण करा

PYQ 5. दोन क्रमागत सम संख्यांचा गुणाकार १६८ आहे. त्यांची बेरीज शोधा. RPF SI 2019

उत्तर: 26

उकल: संख्या x आणि x+2 मानू x(x+2) = 168 x² + 2x - 168 = 0 (x+14)(x-12) = 0 x = 12 (धन मूल्य घेतले) संख्या: 12 आणि 14 बेरीज = 12 + 14 = 26

परीक्षा टिप: क्रमागत संख्या समस्यांसाठी, नेहमी धन आणि ऋण दोन्ही मूळे विचारात घ्या

गती ट्रिक्स आणि शॉर्टकट्स

टाळावयाच्या सामान्य चुका

झटपट पुनरावृत्ती फ्लॅशकार्ड

विषय कनेक्शन्स

बीजगणिताची मूलतत्त्वे इतर आरआरबी परीक्षा विषयांशी कशी जोडली जाते:

• थेट दुवा: सरलीकरण - गुंतागुंतीच्या संख्यात्मक पदावली सोप्या करण्यासाठी बीजगणितीय तंत्रे वापरली जातात
• थेट दुवा: संख्या प्रणाली - संख्यांचे गुणधर्म बीजगणितीय समीकरणे सोडवण्यास मदत करतात
• एकत्रित प्रश्न: बीजगणित + नफा-तोटा - रेषीय समीकरणे वापरून खरेदी किंमत शोधणे
• एकत्रित प्रश्न: बीजगणित + काम आणि वेळ - समीकरणे वापरून कामाच्या दराच्या समस्या सोडवणे
• पाया: प्रगत बीजगणित - वर्गसमीकरणे, बहुपदी आणि श्रेढी यांचा पाया यावर असतो
• पाया: डेटा व्याख्या - दिलेल्या डेटा संचांवरून समीकरणे तयार करणे