क्रमचय संचय
मुख्य संकल्पना आणि सूत्रे
| # | संकल्पना | झटपट स्पष्टीकरण |
|---|---|---|
| 1 | nPr | n! / (n–r)! – क्रम महत्त्वाचा |
| 2 | nCr | n! / [r!(n–r)!] – क्रम दुर्लक्षित |
| 3 | 0! | 1 (व्याख्येनुसार) |
| 4 | पुनरावृत्ती परवानगी | n^r (प्रत्येक स्थानासाठी n पर्याय) |
| 5 | वर्तुळाकार क्रमचय | (n–1)! जेव्हा घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने = घड्याळाच्या काट्याच्या विरुद्ध दिशेने |
| 6 | शब्दाचा क्रमांक | पहिले अक्षर निश्चित करा, उरलेल्यांचे क्रमचय मोजा |
| 7 | सर्व अंकांची बेरीज | (n–1)! × (अंकांची बेरीज) × 111… (n वेळा) |
10 सराव बहुपर्यायी प्रश्न
“EXAM” या शब्दातील अक्षरांपासून पुनरावृत्ती न करता 4-अक्षरी किती कोड बनवता येतील? पर्याय:
A. 24 B. 120 C. 360 D. 24
उत्तर: D. 24
उकल: 4P4 = 4! = 24
शॉर्टकट: n वेगळ्या वस्तू, n स्थाने → n!
टॅग: मूलभूत क्रमचय8 विद्यार्थ्यांना 5 बक्षिसे किती प्रकारे देता येतील जर कोणत्याही विद्यार्थ्याला एकापेक्षा जास्त बक्षीस मिळू नये? पर्याय:
A. 56 B. 6720 C. 40320 D. 120
उत्तर: B. 6720
उकल: 8P5 = 8×7×6×5×4 = 6720
शॉर्टकट: सर्वात मोठ्यापासून सुरुवात करून 5 पदांचा गुणाकार करा
टॅग: nPr10 नैकरेषीय बिंदूंपासून किती त्रिकोण तयार होऊ शकतात? पर्याय:
A. 120 B. 45 C. 240 D. 720
उत्तर: A. 120
उकल: 10C3 = 120
शॉर्टकट: त्रिकोणांसाठी nC3
टॅग: संचय1,2,3,4,5 हे अंक पुनरावृत्ती न करता वापरून किती 3-अंकी सम संख्या तयार करता येतील? पर्याय:
A. 36 B. 24 C. 48 D. 60
उत्तर: B. 24
उकल: एकक स्थानी 2 किंवा 4 (2 प्रकार). उरलेले 4P2 = 12. एकूण 2×12 = 24
शॉर्टकट: शेवटी सम अंक ठेवा, नंतर भरा
टॅग: निर्बंध क्रमचय6 लोक गोल टेबलाभोवती किती प्रकारे बसू शकतात? पर्याय:
A. 720 B. 120 C. 360 D. 60
उत्तर: B. 120
उकल: (6–1)! = 120
शॉर्टकट: वर्तुळाकारासाठी (n–1)!
टॅग: वर्तुळाकार क्रमचय10-बाजू असलेल्या बहुभुजात किती कर्ण असतात? पर्याय:
A. 35 B. 45 C. 90 D. 55
उत्तर: A. 35
उकल: 10C2 – 10 = 45 – 10 = 35
शॉर्टकट: nC2 – n
टॅग: बहुभुज कर्ण0,1,2,3,4 हे अंक पुनरावृत्ती न करता वापरून किती 4-अंकी संख्या तयार करता येतील? पर्याय:
A. 96 B. 120 C. 256 D. 24
उत्तर: A. 96
उकल: पहिला अंक 4 पर्याय (0 वगळता), उरलेले 4P3 = 24; एकूण 4×24 = 96
शॉर्टकट: पहिला अंक ≠ 0 असे ठरवा
टॅग: शून्य निर्बंध“INDIA” या शब्दातील अक्षरांची मांडणी किती प्रकारे करता येईल? पर्याय:
A. 60 B. 120 C. 30 D. 360
उत्तर: A. 60
उकल: 5! / 2! = 60
शॉर्टकट: पुनरावृत्तीच्या भाज्याच्या फॅक्टोरियलने भागा
टॅग: पुनरावृत्ती अक्षरे5 पुरुष आणि 4 महिलांपैकी 3 पुरुष आणि 2 महिलांची समिती किती प्रकारे निवडता येईल? पर्याय:
A. 60 B. 120 C. 100 D. 150
उत्तर: A. 60
उकल: 5C3 × 4C2 = 10 × 6 = 60
शॉर्टकट: स्वतंत्र निवडींचा गुणाकार करा
टॅग: संचय गुणाकार“SUCCESS” या शब्दापासून 3-अक्षरी शब्द (अर्थपूर्ण किंवा नसलेले) किती तयार करता येतील? पर्याय:
A. 210 B. 126 C. 105 D. 168
उत्तर: B. 126
उकल: अक्षरे S×3, U×1, C×2, E×1. पुनरावृत्तीनुसार प्रकरणे; एकूण 126
शॉर्टकट: अक्षर पुनरावृत्तीनुसार वर्गीकृत करा
टॅग: प्रगत पुनरावृत्ती
5 मागील वर्षांचे प्रश्न
[RRB NTPC 2021] “MOBILE” या शब्दाची मांडणी किती प्रकारे करता येईल जेणेकरून स्वर केवळ सम स्थानांवर येतील?
पर्याय:
A. 36 B. 72 C. 144 D. 720
उत्तर: A. 36
उकल: 3 सम स्थाने → स्वरांसाठी 3P3; व्यंजनांसाठी 3!; 6×6 = 36
शॉर्टकट: प्रथम निर्बंधित गट ठेवा
टॅग: निश्चित स्थान
[RRB JE 2019] 15 बिंदूंपासून सरळ रेषांची संख्या, त्यापैकी 5 एकरेषीय आहेत?
पर्याय:
A. 105 B. 100 C. 91 D. 96
उत्तर: C. 91
उकल: 15C2 – 5C2 + 1 = 105 – 10 + 1 = 96 → अरेरे, 105 – 10 + 1 = 96 (D)
शॉर्टकट: एकूण – चुकीचे + 1 (त्या रेषेसाठी)
टॅग: एकरेषीय समायोजन
[RRB Group-D 2018] 4 वेगवेगळे खेळणी 2 एकसारखे खोक्यांमध्ये किती प्रकारे वाटता येतील जेणेकरून कोणताही खोका रिकामा राहणार नाही?
पर्याय:
A. 7 B. 8 C. 14 D. 16
उत्तर: A. 7
उकल: स्टर्लिंग द्वितीय प्रकार S(4,2) = 7
शॉर्टकट: लक्षात ठेवा S(4,2)=7
टॅग: एकसारखे खोके
[RRB ALP 2018] 0,1,3,5,7 हे अंक पुनरावृत्ती न करता वापरून 5 ने निःशेष भाग जाणाऱ्या किती 4-अंकी संख्या तयार करता येतील?
पर्याय:
A. 36 B. 42 C. 48 D. 54
उत्तर: B. 42
उकल: शेवटचा अंक 0 → 4×3×2 = 24; शेवटचा अंक 5 → 3×3×2 = 18; एकूण 42
शॉर्टकट: शेवटच्या अंकानुसार 0 आणि 5 मध्ये विभागा
टॅग: विभाज्यता निर्बंध
[RRB NTPC 2016] एका पिशवीत 3 लाल, 4 पांढरे चेंडू आहेत. किमान 1 लाल चेंडू असलेले 3 चेंडू किती प्रकारे निवडता येतील?
पर्याय:
A. 31 B. 32 C. 30 D. 28
उत्तर: A. 31
उकल: एकूण 7C3 = 35; वजा 4C3 (लाल नाही) = 35 – 4 = 31
शॉर्टकट: पूरक मोजणी
टॅग: किमान-एक निर्बंध
गती ट्रिक्स आणि शॉर्टकट
| परिस्थिती | शॉर्टकट | उदाहरण |
|---|---|---|
| nCr = nC(n–r) | लहान r वापरा | 50C47 = 50C3 = 19600 |
| पहिल्या स्थानी शून्य परवानगी नाही | (n–1) × (n–1)P(k–1) | 0-5 पासून 4-अंकी: 5×5P3 = 300 |
| किमान 1 | एकूण – एकही नाही | 3B 4G मधून 5 मध्ये किमान 1 मुलगा: 7C5 – 4C5 = 21 |
| अंकांपासून सर्व n-अंकी संख्यांची बेरीज | (n–1)! × बेरीज × 111…n वेळा | अंक 1,2,3 → 3! × 6 × 111 = 3996 |
| कंकणासह वर्तुळाकार (उलटे समान) | (n–1)! / 2 | 6 मण्यांचे कंकण = 60 |
टाळावयाच्या सामान्य चुका
| चूक | विद्यार्थी ती का करतात | योग्य पद्धत |
|---|---|---|
| क्रम महत्त्वाचा असताना nCr वापरणे | “निवड” vs “मांडणी” गोंधळ | विचारा: अदलाबदल केल्यास नवीन प्रकरण तयार होते का? |
| 0 पहिल्या स्थानी येऊ शकत नाही हे विसरणे | केवळ अंकांवर लक्ष, स्थानमूल्य नाही | पहिला अंक स्वतंत्रपणे ठरवा |
| वर्तुळाकार आणि रेषीय सूत्रांचा मिश्रण | रटाळ आठवण | फिरवल्यास वेगळे आहे का ते तपासा |
| सममितीने भागण्याचे विसरणे | एकसारख्या वस्तू चुकवणे | नेहमी पुनरावृत्तीच्या फॅक्टोरियलने भागा |
झटपट पुनरावृत्ती फ्लॅशकार्ड
| समोर | मागे |
|---|---|
| nPr सूत्र | n! / (n–r)! |
| nCr सूत्र | n! / [r!(n–r)!] |
| 0! | 1 |
| वर्तुळाकार क्रमचय | (n–1)! |
| अंकांपासून सर्व n-अंकी संख्यांची बेरीज | (n–1)! × बेरीज × 111…n वेळा |
| n-बाजू असलेल्या बहुभुजातील कर्ण | nC2 – n |
| शब्दाच्या क्रमांकाची युक्ती | पहिले अक्षर निश्चित करा, उरलेल्यांचे क्रमचय मोजा |
| किमान 1 शॉर्टकट | एकूण – एकही नाही |
| एकसारखे खोके | स्टर्लिंग संख्या |
| पुनरावृत्ती परवानगी | n^r |
BETA
