ध्रुवीय प्रवाहाचे बेरीज कसे शोधायचे

ध्रुवीय प्रवाह म्हणजे एखाद्या संख्यांची श्रृंखला आहे जिथे प्रत्येक पद आर्थिक प्रवाहाच्या परिपथाच्या परावर्तनाचे आहे. ध्रुवीय प्रवाहाची पहिली काही पदे खालीलप्रमाणे आहेत:

$$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \dots$$

ध्रुवीय प्रवाहाच्या पहिल्या n पदांचे बेरीज एक सोप्या बंद रूपातील सूत्राशी नाही.

$$H_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$$

हे सूत्र खालील चरणांच्या माध्यमातून व्युत्पन्न केले जाऊ शकते:

1. आर्थिक प्रवाहाच्या पहिल्या n पदांच्या बेरीजाचे सूत्र सुरू करा:

$$A_n = \sum_{i=1}^n (a + (i-1)d) = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$$

जेथे a हे पहिले पद, d ही सामान्य फरक आणि n हे पदांची संख्या आहे.

2. आर्थिक प्रवाहाच्या बेरीजाच्या सूत्रात a = 1 आणि d = -1/n ची जागा घ्या:

$$H_n = \sum_{i=1}^n \left(1 + \left(i-1\right)\left(-\frac{1}{n}\right)\right) = n\left(1 - \frac{n-1}{n}\right)$$

3. अभिव्यक्ती सोपी करा:

$$H_n = \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n^2+n}{2}$$

म्हणून, ध्रुवीय प्रवाहाच्या पहिल्या n पदांचे बेरीज एक सोप्या बंद रूपातील सूत्राशी नाही.

$$H_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{i} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$$

उदाहरण

ध्रुवीय श्रृंखलेच्या पहिल्या 10 पदांचे बेरीज शोधा:

$$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}, \frac{1}{8}, \frac{1}{9}, \frac{1}{10}$$

आर्थिक प्रवाहाच्या पहिल्या n पदांच्या बेरीजाच्या सूत्राचा वापर करून, आम्ही खालील असे माहिती घेतो:

$$H_{10} = \sum_{i=1}^{10} \frac{1}{i} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{10} \approx 2.92897$$

म्हणून, ध्रुवीय प्रवाहाच्या पहिल्या 10 पदांचे बेरीज अंदाजे 2.92897 आहे.

ध्रुवीय श्रृंखलेचे बेरीज सूत्र

ध्रुवीय प्रवाह म्हणजे एखाद्या संख्यांची श्रृंखला जिथे प्रत्येक पद आर्थिक प्रवाहाच्या परिपथाचे आहे. ध्रुवीय प्रवाहाची पहिली काही पदे खालीलप्रमाणे आहेत:

$$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \dots$$

ध्रुवीय प्रवाहाच्या पहिल्या n पदांचे बेरीज एक सोप्या बंद रूपातील सूत्राशी नाही.

$$H_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} = \ln(n) + \gamma$$

जेथे γ ही ओएलर-मशेरोनीची गुणांक आहे, जी अंदाजे 0.5772156649 च्या जवळ आहे.

ध्रुवीय श्रृंखलेच्या बेरीज चे गुणधर्म

ध्रुवीय प्रवाहाच्या पहिल्या n पदांचे बेरीजाचे काही चांगले गुणधर्म आहेत. उदाहरणार्थ:

• ध्रुवीय प्रवाहाच्या पहिल्या n पदांचे बेरीज नैसर्गिक लॉगरिदम आणि ओएलर-मशेरोनीच्या गुणांकाच्या एकत्र नेहमी जास्त असते.
• ध्रुवीय प्रवाहाच्या पहिल्या n पदांचे बेरीज नैसर्गिक लॉगरिदम आणि ओएलर-मशेरोनीच्या गुणांकाच्या एकत्र नेहमी कमी असते.
• ध्रुवीय प्रवाहाच्या पहिल्या n पदांचे बेरीज n ला अनंत पर्यंत अनंत जाते.

ध्रुवीय श्रृंखलेच्या बेरीजाचे वापर

ध्रुवीय श्रृंखलेच्या पहिल्या n पदांचे बेरीज गणित आणि भौतिकशास्त्रात अनेक वापरांचा आहे. उदाहरणार्थ, ते वापरले जाते:

• क्रॉमाच्या अंतरावर क्षेत्रफळ शोधण्यासाठी.
• अवयवाचे आयतन शोधण्यासाठी.
• बाबतीत केंद्र शोधण्यासाठी.

ध्रुवीय प्रवाहाच्या पहिल्या n पदांचे बेरीज एक सोप्या सूत्राशी नाही आणि एक सामान्य बंद रूपातील अभिव्यक्तीशी नाही. म्हणून, ते गणित आणि भौतिकशास्त्रातील विविध समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी वापरले जाऊ शकणारे एक शक्तिशाली साधन नाही. ध्रुवीय प्रवाहांच्या गुणधर्मांचे समजून घेऊन, तुम्ही अनुमान पद्धती किंवा अंकीय तंत्रे वापरून त्याप्रमाणे अशा समस्या निराकरण करू शकता ज्याचे निराकरण इतके अशक्य किंवा अश्रय होऊ शकते.

अनंत ध्रुवीय श्रृंखलेचे बेरीज

ध्रुवीय प्रवाह म्हणजे एखाद्या संख्यांची श्रृंखला जिथे प्रत्येक पद आर्थिक प्रवाहाच्या परिपथाचे आहे. ध्रुवीय प्रवाहाची पहिली काही पदे खालीलप्रमाणे आहेत:

$$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \dots$$

ध्रुवीय श्रृंखलेच्या पहिल्या n पदांचे बेरीज खालील सूत्राने दिले जाते:

$$H_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}$$

अनंत ध्रुवीय श्रृंखलेचे बेरीज म्हणजे पहिल्या n पदांच्या बेरीजाची अनंत पर्यंत अनंत जाते. म्हणजे,

$$H = \lim_{n\to\infty} H_n = \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} \right)$$

हे अनंत अस्तित्वात नाही, ज्ञातील अनंत ध्रुवीय प्रवाहाचे बेरीज अस्तित्वात नाही.

पुरावा.

अनंत ध्रुवीय श्रृंखलेचे बेरीज अस्तित्वात नाही याचे पुरावा करण्यासाठी, आम्ही खालील तुलना परीक्षणाचा वापर करू शकतो.

तुलना परीक्षण:** $a_n$ आणि $b_n$ हे दोन सकारात्मक पदांचे श्रृंखले असतील जेथे $a_n \le b_n$ सर्व $n$ साठी असते, तर $ \sum\limits_{n=1}^\infty b_n$ अस्तित्वात असल्यास, $ \sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ देखील अस्तित्वात असते.

या प्रकारे, आम्ही ध्रुवीय प्रवाहाला खालील अस्तित्वात नाही श्रृंखलेशी तुलना करू शकतो:

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} > 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{2^{k}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \dots$$

उजडलेली श्रृंखला एक गुणोत्तर श्रृंखला आहे जिथे $r = \frac{1}{2}$, जी 1 पेक्षा कमी आहे. म्हणून, डाव्या बाजूची श्रृंखला तुलना परीक्षणाने अस्तित्वात आहे.

अनंत ध्रुवीय प्रवाहाचे बेरीज अस्तित्वात नाही. हे म्हणजे श्रृंखला $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots$ एक अल्पांतरित मूल्याला अस्तित्वात नाही.

निराकृत उदाहरणे ध्रुवीय प्रवाहाच्या बेरीजावर

उदाहरण 1:

ध्रुवीय श्रृंखलेच्या पहिल्या 10 पदांचे बेरीज शोधा:

$$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}, \frac{1}{8}, \frac{1}{9}, \frac{1}{10}$$

निराकरण:

ध्रुवीय प्रवाहाच्या पहिल्या n पदांच्या बेरीजासाठी सामान्य सूत्र नाही. ध्रुवीय श्रृंखलेचे बेरीज एक बंद रूपातील अभिव्यक्तीशी नाही आणि सामान्यतः पद दर पद अंदाजे किंवा शोधले जाते.

$$H_n = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}\right)$$

n = 10 ची जागा घेऊन सूत्रात, आम्ही खालील मिळाले:

$$H_{10} = \frac{10}{2(10+1)} = \frac{10}{22} = \frac{5}{11}$$

म्हणून, दिलेल्या ध्रुवीय प्रवाहाच्या पहिल्या 10 पदांचे बेरीज अंदाजे 1.818 आहे.

उदाहरण 2:

ध्रुवीय श्रृंखलेच्या पहिल्या 20 पदांचे बेरीज शोधा:

$$1, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \frac{1}{9}, \frac{1}{11}, \frac{1}{13}, \frac{1}{15}, \frac{1}{17}, \frac{1}{19}, \frac{1}{21}, \frac{1}{23}, \frac{1}{25}, \frac{1}{27}, \frac{1}{29}, \frac{1}{31}, \frac{1}{33}, \frac{1}{35}, \frac{1}{37}, \frac{1}{39}$$

निराकरण:

आर्थिक प्रवाहाच्या पहिल्या n पदांच्या बेरीजाच्या सूत्राचा वापर करून, आम्ही खालील मिळाले:

$$H_{20} = \frac{20}{2(20+1)} = \frac{20}{42} = \frac{10}{21}$$

म्हणून, दिलेल्या ध्रुवीय प्रवाहाच्या पहिल्या 20 पदांचे बेरीज अंदाजे 0.4878 आहे.

उदाहरण 3:

ध्रुवीय श्रृंखलेच्या पहिल्या 50 पदांचे बेरीज शोधा:

$$1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \frac{1}{25}, \frac{1}{36}, \frac{1}{49}, \frac{1}{64}, \frac{1}{81}, \frac{1}{100}, \frac{1}{121}, \frac{1}{144}, \frac{1}{169}, \frac{1}{196}, \frac{1}{225}, \frac{1}{256}, \frac{1}{289}, \frac{1}{324}, \frac{1}{361}, \frac{1}{400}, \dots$$

निराकरण:

आर्थिक प्रवाहाच्या पहिल्या n पदांच्या बेरीजाच्या सूत्राचा वापर करून, आम्ही खालील मिळाले:

$$H_{50} = \frac{50}{2(50+1)} = \frac{50}{101} \approx 0.495$$

म्हणून, दिलेल्या ध्रुवीय प्रवाहाच्या पहिल्या 50 पदांचे बेरीज अंदाजे 4.95 आहे.

ध्रुवीय प्रवाहाच्या बेरीजावरील सामान्य प्रश्न

ध्रुवीय प्रवाहाचे बेरीज म्हणजे काय?

ध्रुवीय प्रवाहाचे बेरीज आर्थिक प्रवाहाच्या पदांच्या परावर्तनांचे बेरीज आहे.

ध्रुवीय प्रवाहाच्या बेरीजासाठी सूत्र म्हणजे काय?

ध्रुवीय श्रृंखलेचे बेरीज सूत्र खालीलप्रमाणे आहे:

$$H_n = \frac{n}{2} \left( a_1 + a_n \right)$$

जेथे:

$H_n$ हे ध्रुवीय श्रृंखलेचे पहिल्या $n$ पदांचे बेरीज आहे

• $a_1$ हे ध्रुवीय प्रवाहाचे पहिले पद आहे
• $a_n$ हे ध्रुवीय प्रवाहाचे $n$वे पद आहे

ध्रुवीय प्रवाहांची काही उदाहरणे काय आहेत?

ध्रुवीय प्रवाहांची काही उदाहरणे खालीलप्रमाणे आहेत:

• श्रृंखला 1, 1/2, 1/3, 1/4, …
• श्रृंखला 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …
• श्रृंखला 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, …

ध्रुवीय प्रवाहांचे काही वापर काय आहेत?

ध्रुवीय प्रवाहांचे अनेक वापर आहेत, जसे की:

• संगीतात, ध्रुवीय प्रवाह ध्वनी आणि सूक्ष्म ध्वनी तयार करण्यासाठी वापरले जातात. भौतिकशास्त्रात, ध्रुवीय गती घटकांच्या गतीचे अभ्यास करण्यासाठी वापरली जाते. गणितात, ध्रुवीय प्रवाह श्रृंखलांच्या गुणधर्मांचे अभ्यास करण्यासाठी वापरले जातात.

ध्रुवीय प्रवाहांबद्दल काही सामान्य चूक काय आहेत?

ध्रुवीय प्रवाहांबद्दल काही सामान्य चूक खालीलप्रमाणे आहेत:

• ध्रुवीय प्रवाह नेहमी वाढत नसतात.
• ध्रुवीय प्रवाह नेहमी कमी होत नसतात.
• ध्रुवीय प्रवाह नेहमी अस्तित्वात नसतात.

खरं आहे, ध्रुवीय प्रवाह वाढत किंवा कमी होऊ शकतात किंवा अस्फुट करू शकतात, आणि ते अस्तित्वात किंवा अस्तित्वात नसू शकतात.