4.1 प्रस्तावना

भूमितीचा इतिहास प्राचीन आणि समृद्ध आहे. ‘Geometry’ हा शब्द ग्रीक शब्द ‘Geometron’ चा इंग्रजी समतुल्य आहे. ‘Geo’ म्हणजे पृथ्वी आणि ‘metron’ म्हणजे मापन. इतिहासकारांच्या मते, भूमितीय संकल्पना प्राचीन काळात कला, वास्तुशास्त्र आणि मापनाच्या गरजेमुळे आकाराला आल्या. यात अशी प्रसंगी समाविष्ट आहेत जेव्हा लागवडीच्या जमिनीच्या सीमा तक्रारी न देता चिन्हांकित कराव्या लागत. भव्य राजवाडे, मंदिरे, तलाव, धरणे आणि शहरे, कला आणि वास्तुकला यांच्या बांधकामाने या संकल्पनांना बळ मिळाले. आजही भूमितीय संकल्पना सर्व प्रकारच्या कलेत,

मापन, वास्तुकला, अभियांत्रिकी, कापड डिझायनिंग इत्यादीमध्ये प्रतिबिंबित होतात. तुम्ही वेगवेगळ्या वस्तू जसे की खोक्या, टेबले, पुस्तके, तुम्ही शाळेत दुपारच्या जेवणासाठी नेणारा टिफिन बॉक्स, ज्याच्याशी तुम्ही खेळता त्या चेंडू इत्यादी पाहता आणि वापरता. अशा सर्व वस्तूंचे आकार वेगवेगळे असतात. तुम्ही वापरता त्या रुलरची, ज्याने तुम्ही लिहिता त्या पेन्सिलची रेषा सरळ असते. बांगडीचे, एक रुपयाच्या नाण्याचे किंवा चेंडूचे चित्र गोलाकार दिसते.

येथे, तुम्ही काही मनोरंजक तथ्ये शिकाल जी तुम्हाला तुमच्या आजूबाजूला असलेल्या आकारांबद्दल अधिक जाणून घेण्यास मदत करतील.

4.2 बिंदू

पेन्सिलच्या तीक्ष्ण टोकाने कागदावर एक टिंब ठेवा. टोक जितके तीक्ष्ण, टिंब तितकेच बारीक. हे जवळजवळ अदृश्य सूक्ष्म टिंब तुम्हाला बिंदूची कल्पना देईल.

एका बिंदूने एक स्थान निश्चित केले जाते.

बिंदूसाठी काही आदर्श उदाहरणे पुढीलप्रमाणे :

जर तुम्ही कागदावर तीन बिंदू चिन्हांकित केले, तर त्यांना वेगळे ओळखणे आवश्यक आहे. यासाठी त्यांना दर्शविले जाते

हे बिंदू बिंदू A, बिंदू B आणि बिंदू C असे वाचले जातील.

अर्थात, टिंबे अदृश्यपणे बारीक असावीत.

हे करून पहा

1. पेन्सिलच्या तीक्ष्ण टोकाने कागदावर चार बिंदू चिन्हांकित करा आणि त्यांना A, C, P, H अशा अक्षरांनी नावे द्या. या बिंदूंना वेगवेगळ्या प्रकारे नाव देण्याचा प्रयत्न करा. एक मार्ग असा असू शकतो

2. आकाशातील ताऱ्यादेखील आपल्याला बिंदूची कल्पना देते. तुमच्या दैनंदिन जीवनात अशा किमान पाच परिस्थिती ओळखा.

4.3 रेषाखंड

कागदाचा तुकडा दुमडा आणि उघडा. तुम्हाला एक दुमड दिसते का? हे रेषाखंडाची कल्पना देते. त्याचे दोन टोकबिंदू A आणि B आहेत.

एक बारीक दोरा घ्या. त्याची दोन्ही टोके धरा आणि ताणा (सैल न ठेवता). तो एक रेषाखंड दर्शवितो. हातांनी धरलेली टोके ही रेषाखंडाची टोकबिंदू आहेत.

रेषाखंडासाठी काही आदर्श उदाहरणे पुढीलप्रमाणे :

तुमच्या आजूबाजूच्या वातावरणातून रेषाखंडांची आणखी उदाहरणे शोधण्याचा प्रयत्न करा.

कागदाच्या पत्र्यावर कोणतेही दोन बिंदू A आणि B चिन्हांकित करा. A ला B शी जोडण्याचे सर्व संभाव्य मार्ग शोधण्याचा प्रयत्न करा. (आकृती 4.1)

$A$ ते $B$ पर्यंतचा सर्वात लहान मार्ग कोणता?

बिंदू $A$ ते $B$ पर्यंतचा हा सर्वात लहान जोड ($A$ आणि $B$ यांचा समावेश करून) येथे दाखविल्याप्रमाणे एक रेषाखंड आहे. त्याला $\overline{AB}$ किंवा $\overline{BA}$ असे दर्शविले जाते. बिंदू $A$ आणि $B$ यांना खंडाचे टोकबिंदू म्हणतात.

हे करून पहा

1. आकृती 4.2 मधील रेषाखंडांची नावे द्या. $A$, प्रत्येक रेषाखंडाचा टोकबिंदू आहे का?

4.4 रेषा

कल्पना करा की $A$ ते $B$ पर्यंतचा रेषाखंड (म्हणजेच $\overline{AB}$ ) $A$ च्या पलीकडे एका दिशेने आणि $B$ च्या पलीकडे दुसऱ्या दिशेने कोणत्याही टोकाशिवाय वाढवला आहे (आकृती पहा). आता तुम्हाला एका रेषेचे आदर्श उदाहरण मिळते.

तुम्हाला वाटते तुम्ही रेषेचे संपूर्ण चित्र काढू शकता? नाही. (का?)

दोन बिंदू $A$ आणि $B$ मधून जाणारी रेषा $\overline{{}A B}$ असे लिहिली जाते. ती दोन्ही दिशांमध्ये अनिश्चित काळापर्यंत वाढते. म्हणून त्यात असंख्य बिंदू असतात. (याचा विचार करा).

एक रेषा निश्चित करण्यासाठी दोन बिंदू पुरेसे आहेत. आपण म्हणतो ‘दोन बिंदू एक रेषा निश्चित करतात’.

लगतची आकृती (आकृती 4.3) ही रेषा PQ ची आहे जी $\overline{PQ}$ असे लिहिली जाते. कधीकधी एका रेषेला $l, m$ सारख्या एका अक्षराने दर्शविले जाते.

4.5 छेदणाऱ्या रेषा

आकृती (आकृती 4.4) पहा. दोन रेषा $l_1$ आणि $l_2$ दाखवल्या आहेत. दोन्ही रेषा बिंदू $P$ मधून जातात. आपण म्हणतो $l_1$ आणि $l_2$ या बिंदू $P$ वर छेदतात. जर दोन रेषांना एक समान बिंदू असेल, तर त्यांना छेदणाऱ्या रेषा म्हणतात.

छेदणाऱ्या रेषांच्या जोडीसाठी काही आदर्श उदाहरणे पुढीलप्रमाणे (आकृती 4.5):

छेदणाऱ्या रेषांच्या जोडीसाठी आणखी काही आदर्श उदाहरणे शोधण्याचा प्रयत्न करा.

हे करा

कागदाचा एक पत्रा घ्या. छेदणाऱ्या रेषांची जोडी दर्शविण्यासाठी दोन दुमड (आणि त्यांना चुरड्या पाडा) तयार करा आणि चर्चा करा :

(a) दोन रेषा एकापेक्षा जास्त बिंदूंवर छेदू शकतात का?
(b) एका बिंदूवर दोनपेक्षा जास्त रेषा छेदू शकतात का?

4.6 समांतर रेषा

चला या टेबलकडे पाहूया (आकृती 4.6). वरचा भाग ABCD सपाट आहे. तुम्हाला काही बिंदू आणि रेषाखंड दिसतात का?

छेदणारे रेषाखंड आहेत का?

होय, AB आणि BC हे बिंदू B वर छेदतात.

कोणते रेषाखंड A वर छेदतात? C वर? D वर?

AD आणि CD रेषा छेदतात का?

$\overline{AD}$ आणि $\overline{BC}$ रेषा छेदतात का?

तुम्हाला असे आढळेल की टेबलाच्या पृष्ठभागावर असे रेषाखंड आहेत जे कितीही दूर वाढवले तरीही भेटणार नाहीत. $\overline{{}AD}$ आणि $\overline{BC}$ अशी एक जोडी बनवतात. तुम्ही टेबलच्या वरच्या बाजूला रेषांची (ज्या भेटत नाहीत) अशी आणखी एक जोडी ओळखू शकता का?

अशा रेषांना ज्या भेटत नाहीत त्यांना समांतर म्हटले जाते; आणि त्यांना समांतर रेषा म्हणतात.

विचार करा, चर्चा करा आणि लिहा

तुम्हाला समांतर रेषा आणखी कोठे दिसतात? दहा उदाहरणे शोधण्याचा प्रयत्न करा.

जर दोन रेषा $\overline{{}AB}$ आणि $\overline{{}CD}$ समांतर असतील, तर आपण $\overline{{}AB} \| \overline{{}CD}$ असे लिहू.

जर दोन रेषा $l_1$ आणि $l_2$ समांतर असतील, तर आपण $l_1 \| l_2$ असे लिहू.

तुम्ही खालील आकृत्यांमध्ये समांतर रेषा ओळखू शकता का?

4.7 किरण

किरणासाठी काही आदर्श उदाहरणे पुढीलप्रमाणे:

किरण हा रेषेचा एक भाग आहे. तो एका बिंदूपासून सुरू होतो (ज्याला प्रारंभ बिंदू किंवा आरंभ बिंदू म्हणतात) आणि एका दिशेने अंतहीनपणे जातो.

येथे दाखवलेल्या किरणाची आकृती (आकृती 4.7) पहा. किरणावर दोन बिंदू दाखवले आहेत. ते (a) A, प्रारंभ बिंदू (b) $P$, किरणाच्या मार्गावरील एक बिंदू.

आपण त्याला $\overline{{}AP}$ असे दर्शवतो.

हे करून पहा

1. या चित्रात (आकृती 4.8) दिलेल्या किरणांची नावे द्या.

2. $T$ या प्रत्येक किरणाचा प्रारंभ बिंदू आहे का?

आकृती 4.8

विचार करा, चर्चा करा आणि लिहा

जर $\overline{{}PQ}$ हा किरण असेल,

(a) त्याचा प्रारंभ बिंदू कोणता?

(b) बिंदू $Q$ किरणावर कोठे आहे?

(c) आपण असे म्हणू शकतो की $Q$ हा या किरणाचा प्रारंभ बिंदू आहे?

येथे एक किरण $\overline{{}OA}$ आहे (आकृती 4.9). तो $O$ वर सुरू होतो आणि बिंदू $A$ मधून जातो. तो बिंदू $B$ मधूनदेखील जातो.

तुम्ही त्याला $\overline{{}OB}$ असेही नाव देऊ शकता का? का?

$\overline{{}OA}$ आणि $\overline{{}OB}$ येथे समान आहेत.

आपण $\overline{{}OA}$ ला $\overline{{}AO}$ असे लिहू शकतो का? का किंवा का नाही?

पाच किरण काढा आणि त्यांना योग्य नावे द्या.

या प्रत्येक किरणावरील बाण काय दर्शवतात?

उदाहरणे 4.1

1. आकृतीचा वापर करून नावे द्या :

(a) पाच बिंदू
(b) एक रेषा
(c) चार किरण
(d) पाच रेषाखंड

2. दिलेल्या चार अक्षरांपैकी एकावेळी फक्त दोन अक्षरे निवडून, दिलेली रेषा सर्व संभाव्य (बारा) प्रकारे नावे द्या.

3. आकृतीचा वापर करून नावे द्या :

(a) बिंदू $E$ असलेली रेषा.
(b) A मधून जाणारी रेषा.
(c) ज्या रेषेवर O आहे
(d) छेदणाऱ्या रेषांच्या दोन जोड्या.

4. (a) एक दिलेला बिंदू (b) दोन दिलेले बिंदू यांमधून किती रेषा काढता येतील?

5. प्रत्येक खालील प्रकरणात एक उग्र आकृती काढा आणि योग्यरित्या नावे द्या:

(a) बिंदू $P$ हा $\overline{AB}$ वर आहे.
(b) $\overline{XY}$ आणि $\overline{PQ}$ यांचा छेदनबिंदू $M$ आहे.
(c) रेषा $l$ मध्ये $E$ आणि $F$ आहेत पण $D$ नाही.
(d) $\overline{OP}$ आणि $\overline{OQ}$ यांचा भेटण्याचा बिंदू $O$ आहे.

6. रेषा $\overline{{}MN}$ ची खालील आकृती विचारात घ्या. दिलेल्या आकृतीच्या संदर्भात खालील विधाने सत्य आहेत की असत्य ते सांगा.

(a) Q, M, O, N, P हे बिंदू रेषा $\overline{{}MN}$ वर आहेत.
(b) $M, O, N$ हे रेषाखंड $\overline{MN}$ वरील बिंदू आहेत.
(c) $M$ आणि $N$ हे रेषाखंड $\overline{MN}$ चे टोकबिंदू आहेत.
(d) $O$ आणि $N$ हे रेषाखंड $\overline{OP}$ चे टोकबिंदू आहेत.
(e) $M$ हा रेषाखंड $\overline{QO}$ चा एक टोकबिंदू आहे.
(f) $M$ हा किरण $\overline{{}OP}$ वरील बिंदू आहे.
(g) किरण $\overline{{}OP}$ हा किरण $\overline{{}QP}$ पेक्षा वेगळा आहे.
(h) किरण $\overline{{}OP}$ हा किरण $\overline{{}OM}$ सारखाच आहे.
(i) किरण $\overline{{}OM}$ हा किरण $\overline{{}OP}$ च्या विरुद्ध नाही.
(j) $O$ हा $\overline{{}OP}$ चा प्रारंभ बिंदू नाही.
(k) $N$ हा $\overline{{}NP}$ आणि $\overline{{}NM}$ चा प्रारंभ बिंदू आहे.

4.8 वक्र

तुम्ही कधी कागदाचा तुकडा घेऊन फक्त डूडल केले आहे का? तुमच्या डूडलिंगच्या परिणामी येणारी चित्रे यांना वक्र म्हणतात.

तुम्ही यापैकी काही रेखाचित्रे कागदावरून पेन्सिल न उचलता आणि रुलरचा वापर न करतादेखील काढू शकता. ही सर्व वक्र आहेत (आकृती 4.10).

दैनंदिन वापरात ‘वक्र’ म्हणजे “सरळ नसलेले”. गणितामध्ये, वक्र आकृती 4.10 (iv) मध्ये दाखवल्याप्रमाणे सरळ असू शकते.

लक्षात घ्या की आकृती 4.10 मधील वक्र (iii) आणि (vii) एकमेकांना छेदतात, तर आकृती 4.10 मधील वक्र (i), (ii), (v) आणि (vi) एकमेकांना छेदत नाहीत. जर एखादे वक्र स्वतःला छेदत नसेल, तर त्याला साधे वक्र म्हणतात.

आणखी पाच साधी वक्रे आणि पाच अशी वक्रे काढा जी साधी नाहीत.

आता हे विचारात घ्या (आकृती 4.11).

यात काय फरक आहे? पहिले म्हणजे आकृती 4.11 (i) हे उघडे वक्र आहे आणि दुसरे म्हणजे आकृती 4.11(ii) हे बंद वक्र आहे. तुम्ही आकृती 4.10 (i), (ii), (v), (vi) मधून काही बंद आणि उघडी वक्रे ओळखू शकता का? प्रत्येकी पाच अशी वक्रे काढा जी उघडी आणि बंद आहेत.

आकृतीमधील स्थान

टेनिस कोर्टमधील कोर्ट लाइन ते तीन भागांमध्ये विभागते: रेषेच्या आत, रेषेवर आणि रेषेच्या बाहेर. तुम्ही रेषा ओलांडल्याशिवाय आत प्रवेश करू शकत नाही.

एक कंपाऊंड भिंत तुमचे घर रस्त्यापासून वेगळे करते. तुम्ही कंपाऊंडच्या ‘आत’, कंपाऊंडच्या सीमेवर ‘वर’ आणि कंपाऊंडच्या ‘बाहेर’ याबद्दल बोलता.

अशाप्रकारे, बंद वक्रात तीन भाग असतात.

(i) वक्राचा आतील भाग (‘आत’)
(ii) वक्राची सीमा (‘वर’) आणि
(iii) वक्राचा बाह्य भाग (‘बाहेर’).

आकृती 4.12 मध्ये, A आतील भागात आहे, C बाह्य भागात आहे आणि B वक्रावर आहे.

वक्राचा आतील भाग आणि त्याची सीमा मिळून त्याचा “प्रदेश” म्हणतात.

4.9 बहुभुज

ही आकृत्या 4.13 (i), (ii), (iii), (iv), (v) आणि (vi) पहा.

तुम्ही काय म्हणू शकता? ती बंद आहेत का? त्या प्रत्येक एकमेकांपासून कशा वेगळ्या आहेत? (i), (ii), (iii), (iv) आणि (vi) विशेष आहेत कारण ती पूर्णपणे रेषाखंडांनी बनलेली आहेत. यापैकी (i), (ii), (iii) आणि (iv) ही साधी बंद वक्रे देखील आहेत. त्यांना बहुभुज म्हणतात.

म्हणून, जर एखादी आकृती पूर्णपणे रेषाखंडांनी बनलेली साधी बंद आकृती असेल तर ती बहुभुज आहे. दहा वेगवेगळ्या आकाराची बहुभुज काढा.

हे करा

खालीलप्रमाणे बहुभुज तयार करण्याचा प्रयत्न करा

1. पाच काड्या.

2. चार काड्या.

3. तीन काड्या.

4. दोन काड्या.

कोणत्या प्रकरणात ते शक्य नव्हते? का?

बाजू, शिरोबिंदू आणि कर्ण

येथे दिलेली आकृती (आकृती 4.14) तपासा.

त्याला बहुभुज म्हणण्यासाठी समर्थन द्या.

बहुभुज बनवणाऱ्या रेषाखंडांना त्याच्या बाजू म्हणतात.

बहुभुज ABCDE च्या बाजू कोणत्या आहेत? (लक्षात घ्या की कोपरे क्रमाने कशी नावे दिली आहेत.)

बाजू $\overline{AB}, \overline{BC}, \overline{CD}, \overline{DE}$ आणि $\overline{EA}$ आहेत.

बाजूंच्या जोडीच्या भेटण्याच्या बिंदूला त्याचा शिरोबिंदू म्हणतात.

बाजू $\overline{AE}$ आणि $\overline{ED}$ यांचा $E$ वर मेळ आहे, म्हणून $E$ हा बहुभुज $ABCDE$ चा शिरोबिंदू आहे. बिंदू $B$ आणि $C$ त्याचे इतर शिरोबिंदू आहेत. या बिंदूंवर भेटणाऱ्या बाजूंची नावे देऊ शकता का?

वरील बहुभुज $A B C D E$ चे इतर शिरोबिंदू नावे देऊ शकता का?

सामाईक टोक असलेल्या कोणत्याही दोन बाजूंना बहुभुजाच्या लगतच्या बाजू म्हणतात.

बाजू $\overline{AB}$ आणि $\overline{BC}$ लगतच्या आहेत का? $\overline{AE}$ आणि $\overline{DC}$ बद्दल काय?

बहुभुजाच्या एकाच बाजूच्या टोकबिंदूंना लगतचे शिरोबिंदू म्हणतात. शिरोबिंदू E आणि D लगतचे आहेत, तर शिरोबिंदू $A$ आणि $D$ लगतचे शिरोबिंदू नाहीत. तुम्हाला समजते का का?

लगतचे नसलेल्या शिरोबिंदूंच्या जोड्या विचारात घ्या. या शिरोबिंदूंच्या जोडणीला बहुभुजाचे कर्ण म्हणतात.

आकृती 4.15 मध्ये, $\overline{AC}, \overline{AD}, \overline{BD}, \overline{BE}$ आणि $\overline{CE}$ कर्ण आहेत.

$\overline{BC}$ हा कर्ण आहे का, का किंवा का नाही?

जर तुम्ही लगतचे शिरोबिंदू जोडण्याचा प्रयत्न केला, तर परिणाम कर्ण असेल का?

आकृती ABCDE (आकृती 4.15) च्या सर्व बाजू, लगतच्या बाजू, लगतच्या शिरोबिंदूंची नावे द्या.

एक बहुभुज $ABCDEFGH$ काढा आणि बहुभुजाच्या सर्व बाजू, लगतच्या बाजू आणि शिरोबिंदू तसेच कर्ण यांची नावे द्या.

उदाहरणे 4.2

1. खालील वक्रांचे वर्गीकरण (i) उघडी किंवा (ii) बंद असे करा.

2. खालील गोष्टी स्पष्ट करण्यासाठी उग्र आकृत्या काढा:

(a) उघडे वक्र
(b) बंद वक्र.

3. कोणतेही बहुभुज काढा आणि त्याचा आतील भाग रंगवा.

4. दिलेली आकृती विचारात घ्या आणि प्रश्नांची उत्तरे द्या :

(a) हे वक्र आहे का?
(b) हे बंद आहे का?

5. शक्य असल्यास, खालील प्रत्येक गोष्ट एका उग्र आकृतीद्वारे स्पष्ट करा:

(a) असे बंद वक्र जे बहुभुज नाही.
(b) पूर्णपणे रेषाखंडांनी बनलेले उघडे वक्र.
(c) दोन बाजू असलेले बहुभुज.

4.10 कोन

कोपरे तयार झाल्यावर कोन बनतात.

येथे एक चित्र आहे (आकृती 4.16) जिथे बॉक्सचा वरचा भाग हिंग केलेल्या झाकणासारखा आहे. बॉक्सच्या कडा AD आणि दरवाजाच्या कडा AP यांची कल्पना दोन किरण $\overline{{}AD}$ आणि $\overline{{}AP}$ म्हणून करता येते. या दोन किरणांचा एक समान आरंभ बिंदू $A$ आहे. येथील दोन किरण मिळून एक कोन बनवतात असे म्हटले जाते. एक कोन हा एका समान आरंभ बिंदूपासून सुरू होणाऱ्या दोन किरणांनी बनलेला असतो. कोन बनवणाऱ्या दोन किरणांना कोनाचे बाहू किंवा बाजू म्हणतात. समान आरंभ बिंदूला कोनाचा शिरोबिंदू म्हणतात.

हा किरण $\overline{{}OP}$ आणि $\overline{{}OQ}$ (आकृती 4.17) ने बनलेला कोन आहे. हे दर्शवण्यासाठी आपण शिरोबिंदूवर एक लहान वक्र वापरतो. (आकृती 4.17 पहा). O हा शिरोबिंदू आहे. बाजू कोणत्या आहेत? त्या $\overline{{}OP}$ आणि $\overline{{}OQ}$ नाहीत का?

आपण या कोनाला कसे नाव देऊ शकतो? आपण साधेपणाने म्हणू शकतो की हा $O$ वरील कोन आहे. अधिक विशिष्ट होण्यासाठी आपण प्रत्येक बाजूला एक बिंदू आणि शिरोबिंदू ओळखून कोनाला नाव देतो. कोन POQ हा अशा प्रकारे कोनाला नाव देण्याचा एक चांगला मार्ग आहे. आपण हे $\angle POQ$ असे दर्शवतो.

विचार करा, चर्चा करा आणि लिहा

आकृती (आकृती 4.18) पहा. कोनाचे नाव