५.१ प्रस्तावना

आपल्या सभोवतालचे सर्व आकार वक्र किंवा रेषा वापरून तयार केलेले असतात. आपल्या सभोवताली आपल्याला कोपरे, कडा, समतल, उघडे वक्र आणि बंद वक्र दिसतात. आपण त्यांचे वर्गीकरण रेषाखंड, कोन, त्रिकोण, बहुभुज आणि वर्तुळ असे करतो. आपल्याला असे आढळते की त्यांचे आकार आणि मापे वेगवेगळी असतात. आता त्यांच्या आकारांची तुलना करण्यासाठी साधने विकसित करण्याचा प्रयत्न करूया.

५.२ रेषाखंडांचे मापन

आपण अनेक रेषाखंड काढलेले आहेत आणि पाहिले आहेत. त्रिकोण तीन रेषाखंडांपासून तयार होतो, चौकोन चार रेषाखंडांपासून तयार होतो.
$\quad$ रेषाखंड हा रेषेचा एक निश्चित भाग असतो. यामुळे रेषाखंड मोजणे शक्य होते. प्रत्येक रेषाखंडाचे हे माप एक अद्वितीय संख्या असते ज्याला त्याची “लांबी” म्हणतात. रेषाखंडांची तुलना करण्यासाठी आपण ही कल्पना वापरतो.

कोणत्याही दोन रेषाखंडांची तुलना करण्यासाठी, आपण त्यांच्या लांबीत एक संबंध शोधतो. हे अनेक प्रकारे करता येते.

(i) निरीक्षणाद्वारे तुलना:

फक्त पाहून तुम्ही सांगू शकता का की कोणता लांब आहे?

तुम्ही पाहू शकता की $\overline{AB}$ लांब आहे.

परंतु तुमच्या नेहमीच्या निर्णयावर नेहमीच विश्वास ठेवता येत नाही.

उदाहरणार्थ, येथे दिलेले रेषाखंड पहा:

या दोघांमधील लांबीतील फरक स्पष्ट नसू शकतो. यामुळे तुलना करण्याच्या इतर पद्धती आवश्यक असतात.

या जवळच्या आकृतीत, $\overline{AB}$ आणि $\overline{PQ}$ यांची लांबी सारखीच आहे. हे फार स्पष्ट नाही.

म्हणून, रेषाखंडांची तुलना करण्याच्या चांगल्या पद्धती आपल्याला आवश्यक आहेत.

(ii) अनुरेखनाद्वारे तुलना

$\overline{AB}$ आणि $\overline{CD}$ यांची तुलना करण्यासाठी, आपण ट्रेसिंग पेपर वापरतो, $\overline{CD}$ चे अनुरेखन करतो आणि ते अनुरेखित रेषाखंड $\overline{AB}$ वर ठेवतो.

आता तुम्ही ठरवू शकता का की $\overline{AB}$ आणि $\overline{CD}$ मध्ये कोणता लांब आहे?

ही पद्धत रेषाखंडाचे अनुरेखन करण्यातील अचूकतेवर अवलंबून असते. शिवाय, दुसऱ्या लांबीशी तुलना करायची असेल तर दुसरा रेषाखंड अनुरेखित करावा लागेल. हे कठीण आहे आणि प्रत्येक वेळी तुलना करायची असेल तर लांबी अनुरेखित करता येत नाहीत.

(iii) रूलर आणि डिव्हायडर वापरून तुलना

तुमच्या इन्स्ट्रुमेंट बॉक्समधील सर्व साधने तुम्ही पाहिली आहेत किंवा ओळखू शकता का? इतर गोष्टींबरोबरच, तुमच्याकडे एक रूलर आणि एक डिव्हायडर असतात.

रूलर त्याच्या एका काठावर कसा चिन्हांकित केलेला आहे ते लक्षात घ्या. ते 15 भागांमध्ये विभागलेले आहे. या 15 भागांपैकी प्रत्येकाची लांबी $1 cm$ आहे.

प्रत्येक सेंटीमीटर 10 उपभागांमध्ये विभागलेला आहे. $cm$ च्या विभाजनाचा प्रत्येक उपभाग $1 mm$ आहे.

1 मिमी म्हणजे 0.1 सेमी.
2 मिमी म्हणजे 0.2 सेमी आणि असेच.
2.3 सेमी म्हणजे 2 सेमी आणि 3 मिमी.

एका सेंटीमीटरमध्ये किती मिलिमीटर असतात? $1 cm=10$ $mm$ असल्याने, $2 cm$ आपण कसे लिहू? $3 mm$ ? $7.7 cm$ म्हणजे काय?

रूलरचा शून्य चिन्ह A वर ठेवा. B च्या विरुद्ध असलेले चिन्ह वाचा. यामुळे $\overline{A B}$ ची लांबी मिळते. समजा लांबी $5.8 cm$ आहे, आपण असे लिहू शकतो,

लांबी $A B=5.8 cm$ किंवा अधिक सोप्या पद्धतीने $A B=5.8 cm$.

या प्रक्रियेतसुद्धा त्रुटींची जागा असते. रूलरची जाडी त्यावरील चिन्हे वाचण्यात अडचणी निर्माण करू शकते.

विचार करा, चर्चा करा आणि लिहा

1. आपल्याला इतर कोणत्या त्रुटी आणि अडचणी येऊ शकतात?

2. रूलरवरील चिन्ह योग्य प्रकारे पाहिले नाही तर कोणत्या प्रकारच्या त्रुटी होऊ शकतात? त्या टाळता कशा येतील?

स्थान निश्चिती त्रुटी

योग्य माप मिळवण्यासाठी, डोळा योग्य स्थितीत, चिन्हाच्या अगदी उभ्या वर असावा. अन्यथा कोनीय दृष्टीने पाहिल्यामुळे त्रुटी होऊ शकतात.

आपण ही समस्या टाळू शकतो का? यापेक्षा चांगली पद्धत आहे का?

लांबी मोजण्यासाठी डिव्हायडर वापरूया.

डिव्हायडर उघडा. त्याच्या एका बाजूचा टोकबिंदू A वर आणि दुसऱ्या बाजूचा टोकबिंदू B वर ठेवा. डिव्हायडरचे उघडणे बिघडले नाही याची काळजी घेऊन, डिव्हायडर उचलून रूलरवर ठेवा. एक टोकबिंदू रूलरच्या शून्य चिन्हावर आहे याची खात्री करा. आता दुसऱ्या टोकबिंदूच्या विरुद्ध असलेले चिन्ह वाचा.

हे करून पहा

1. कोणतेही पोस्टकार्ड घ्या. त्याच्या दोन लगतच्या बाजू मोजण्यासाठी वरील तंत्र वापरा.

2. सपाट वरचा भाग असलेली कोणतीही तीन वस्तू निवडा. डिव्हायडर आणि रूलर वापरून वरच्या भागाच्या सर्व बाजू मोजा.

उदाहरणे ५.१

1. केवळ निरीक्षणाद्वारे रेषाखंडांची तुलना करण्यात कोणता तोटा आहे?

3. रेषाखंडाची लांबी मोजताना रूलरपेक्षा डिव्हायडर वापरणे चांगले का?

4. कोणताही रेषाखंड काढा, समजा $\overline{AB}$. $A$ आणि $B$ यांच्या मध्ये असलेला कोणताही बिंदू $C$ घ्या. $AB, BC$ आणि $AC$ यांची लांबी मोजा. $AB=AC+CB$ आहे का?

[सूचना: जर $A, B, C$ हे रेषेवरील कोणतेही तीन बिंदू असतील जसे की $A C+C B=A B$, तर आपणास खात्रीपूर्वक म्हणता येईल की $C$ हा बिंदू $A$ आणि $B$ यांच्या मध्ये आहे.]

4. जर $A, B, C$ हे रेषेवरील तीन बिंदू असतील जसे की $AB=5 cm, BC=3 cm$ आणि $AC=8 cm$, तर त्यापैकी कोणता बिंदू इतर दोघांमध्ये आहे?

5. तपासा, की $D$ हा $\overline{AG}$ चा मध्यबिंदू आहे का.

6. जर $B$ हा $\overline{AC}$ चा मध्यबिंदू असेल आणि $C$ हा $\overline{BD}$ चा मध्यबिंदू असेल, जेथे $A, B, C, D$ हे सरळ रेषेवर असतील, तर $AB=CD$ असे का?

7. पाच त्रिकोण काढा आणि त्यांच्या बाजू मोजा. प्रत्येक बाबतीत तपासा, की कोणत्याही दोन बाजूंच्या लांबींची बेरीज नेहमीच तिसऱ्या बाजूपेक्षा कमी आहे का.

५.३ कोन - ‘काटकोन’ आणि ‘सरळकोन’

भूगोलात दिशांबद्दल तुम्ही ऐकले असेल. आपल्याला माहित आहे की चीन हा भारताच्या उत्तरेस आहे, श्रीलंका दक्षिणेस आहे. आपल्याला हेही माहित आहे की सूर्य पूर्वेस उगवतो आणि पश्चिमेस मावळतो. चार मुख्य दिशा आहेत. त्या उत्तर (N), दक्षिण (S), पूर्व (E) आणि पश्चिम (W) आहेत.

उत्तरेच्या विरुद्ध कोणती दिशा आहे हे तुम्हाला माहिती आहे का?

पश्चिमेच्या विरुद्ध कोणती दिशा आहे?

तुम्हाला आधीच माहित असलेल्या गोष्टी आठवा. आता हे ज्ञान वापरून कोनांचे काही गुणधर्म शिकूया.

उत्तरेकडे तोंड करून उभे रहा.

हे करा

पूर्वेकडे वळण्यासाठी घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने वळा.

आपण म्हणतो, तुम्ही एक काटकोनाने वळलात आहात.

यानंतर घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने ‘काटकोन-वळण’ द्या.

आता तुमचे तोंड दक्षिणेकडे असेल.

जर तुम्ही घड्याळाच्या काट्याच्या विरुद्ध दिशेने काटकोनाने वळलात, तर तुमचे तोंड कोणत्या दिशेला असेल? ते पुन्हा पूर्वेकडेच असेल! (का?)

खालील स्थितीचा अभ्यास करा:

उत्तरेकडे तोंड करण्यापासून दक्षिणेकडे तोंड करण्यापर्यंत, तुम्ही दोन काटकोनांनी वळलात आहात. हे दोन काटकोनांच्या एकाच वळणासारखेच नाही का?

उत्तरेकडून पूर्वेकडे वळण हे काटकोनाने होते.

उत्तरेकडून दक्षिणेकडे वळण हे दोन काटकोनांनी होते; त्याला सरळकोन म्हणतात. (NS ही सरळ रेषा आहे!)

दक्षिणेकडे तोंड करून उभे रहा.

सरळकोनाने वळा.

आता तुमचे तोंड कोणत्या दिशेला आहे?

तुमचे तोंड उत्तरेकडे आहे!

उत्तरेकडून दक्षिणेकडे वळण्यासाठी, तुम्ही एक सरळकोनाचे वळण घेतले, पुन्हा दक्षिणेकडून उत्तरेकडे वळण्यासाठी, तुम्ही त्याच दिशेने दुसरे सरळकोनाचे वळण घेतले. अशाप्रकारे, दोन सरळकोनांनी वळून तुम्ही तुमच्या मूळ स्थितीत पोहोचता.

विचार करा, चर्चा करा आणि लिहा

तुमच्या मूळ स्थितीत पोहोचण्यासाठी त्याच दिशेने तुम्हाला किती काटकोनांनी वळावे लागेल?

त्याच दिशेने दोन सरळकोनांनी (किंवा चार काटकोनांनी) वळल्यास एक पूर्ण वळण होते. या एका पूर्ण वळणाला एक आवर्तन म्हणतात. एका आवर्तनासाठीचा कोन हा पूर्णकोन असतो.

घड्याळाच्या चेहऱ्यावर आपण अशी आवर्तने पाहू शकतो. जेव्हा घड्याळाचा काटा एका स्थानावरून दुसऱ्या स्थानावर जातो, तेव्हा तो एका कोनातून वळतो.

समजा घड्याळाच्या काट्याची सुरुवात 12 वाजता होते आणि तो पुन्हा 12 वाजेपर्यंत फिरतो. त्याने एक आवर्तन केले नाही का? मग, तो किती काटकोनांनी हलला आहे? ही उदाहरणे विचारात घ्या:

हे करून पहा

1. अर्ध्या आवर्तनासाठी कोनाचे नाव काय?

2. एक चतुर्थांश आवर्तनासाठी कोनाचे नाव काय?

3. घड्याळावर एक चतुर्थांश, अर्धे आणि तीन चतुर्थांश आवर्तनाच्या पाच इतर परिस्थिती काढा.

लक्षात घ्या की तीन चतुर्थांश आवर्तनासाठी कोणतेही विशेष नाव नाही.

उदाहरणे ५.२

1. घड्याळाचा तासकाटा घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने किती अंश आवर्तन करतो, जेव्हा तो येथून जातो

(a) 3 ते 9
(b) 4 ते 7
(c) 7 ते 10
(d) 12 ते 9
(e) 1 ते 10
(f) 6 ते 3

2. घड्याळाचा काटा कोठे थांबेल जर तो

(a) 12 वाजता सुरू होऊन $\frac{1}{2}$ आवर्तन घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने करतो?
(b) 2 वाजता सुरू होऊन $\frac{1}{2}$ आवर्तन घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने करतो?
(c) 5 वाजता सुरू होऊन $\frac{1}{4}$ आवर्तन घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने करतो?
(d) 5 वाजता सुरू होऊन $\frac{3}{4}$ आवर्तन घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने करतो?

3. तुमचे तोंड कोणत्या दिशेला असेल जर तुम्ही सुरुवात कराल

(a) पूर्वेकडे तोंड करून $\frac{1}{2}$ आवर्तन घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने केले?
(b) पूर्वेकडे तोंड करून $1 \frac{1}{2}$ आवर्तन घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने केले?
(c) पश्चिमेकडे तोंड करून $\frac{3}{4}$ आवर्तन घड्याळाच्या काट्याच्या विरुद्ध दिशेने केले?
(d) दक्षिणेकडे तोंड करून एक पूर्ण आवर्तन केले?

(याच्या शेवटच्या प्रश्नासाठी आपण घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने किंवा विरुद्ध दिशेने हे निर्दिष्ट करावे का? का नाही?)

4. तुम्ही किती अंश आवर्तन केले आहे जर तुम्ही उभे राहून

(a) पूर्वेकडे तोंड करून घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने उत्तरेकडे वळलात?
(b) दक्षिणेकडे तोंड करून घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने पूर्वेकडे वळलात?
(c) पश्चिमेकडे तोंड करून घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने पूर्वेकडे वळलात?

5. घड्याळाचा तासकाटा किती काटकोनांनी वळतो ते शोधा जेव्हा तो येथून जातो

(a) 3 ते 6
(b) 2 ते 8
(c) 5 ते 11
(d) 10 ते
(e) 12 ते 9
(f) 12 ते 6

6. तुम्ही किती काटकोन करता जर तुम्ही सुरुवात कराल

(a) दक्षिणेकडे तोंड करून घड्याळाच्या काट्याच्या दिशेने पश्चिमेकडे वळलात?
(b) उत्तरेकडे तोंड करून घड्याळाच्या काट्याच्या विरुद्ध दिशेने पूर्वेकडे वळलात?
(c) पश्चिमेकडे तोंड करून पश्चिमेकडे वळलात?
(d) दक्षिणेकडे तोंड करून उत्तरेकडे वळलात?

7. घड्याळाचा तासकाटा कोठे थांबेल जर तो सुरू होतो

(a) 6 वाजता आणि 1 काटकोनाने वळतो?
(b) 8 वाजता आणि 2 काटकोनांनी वळतो?
(c) 10 वाजता आणि 3 काटकोनांनी वळतो?
(d) 7 वाजता आणि 2 सरळकोनांनी वळतो?

५.४ कोन - ‘लघुकोन’, ‘विशालकोन’ आणि ‘प्रतिवर्ती कोन’

काटकोन आणि सरळकोन म्हणजे काय हे आपण पाहिले. तथापि, आपल्याला भेटणारे सर्व कोन या दोन प्रकारांपैकी एक नसतात. भिंतीशी (किंवा जमिनीशी) शिडीने केलेला कोन हा काटकोन किंवा सरळकोन नसतो.

विचार करा, चर्चा करा आणि लिहा

काटकोनापेक्षा लहान कोन असतात का? काटकोनापेक्षा मोठे कोन असतात का? सुताराचा चौकोन तुम्ही पाहिला आहे का? तो इंग्रजी वर्णमालेतील “L” अक्षरासारखा दिसतो. काटकोन तपासण्यासाठी तो तो वापरतो. चला आपणसुद्धा काटकोनासाठी अशाच प्रकारचा ‘चाचणीकर्ता’ बनवूया.

हे करा

तुमच्या तात्पुरत्या ‘काटकोन-चाचणीकर्त्याचे’ निरीक्षण करा. [आपण त्याला RA चाचणीकर्ता म्हणू का?] एक काठ दुसऱ्या काठावर सरळ रेषेत संपतो का?
$\quad$ समजा कोपरे असलेला कोणताही आकार दिला आहे. कोपऱ्यावरील कोन तपासण्यासाठी तुम्ही तुमचा RA चाचणीकर्ता वापरू शकता.

काठ कागदाच्या कोनांशी जुळतात का? जर होय, तर ते काटकोन दर्शविते.

हे करून पहा

1. घड्याळाचा तासकाटा 12 वरून 5 वर जातो.

तासकाट्याचे आवर्तन 1 काटकोनापेक्षा जास्त आहे का?

2. घड्याळाचा तासकाटा 5 वरून 7 वर जातो तेव्हा तो कोणत्या प्रकारचा कोन करतो? हा कोन 1 काटकोनापेक्षा जास्त आहे का?

3. खालील कोन काढा आणि तुमच्या RA चाचणीकर्त्याने तपासा.

(a) 12 वरून 2 पर्यंत जाताना
(b) 6 वरून 7 पर्यंत जाताना
(c) 4 वरून 8 पर्यंत जाताना
(d) 2 वरून 5 पर्यंत जाताना

4. कोपरे असलेले पाच वेगवेगळे आकार घ्या. कोपऱ्यांना नावे द्या. तुमच्या चाचणीकर्त्याने त्यांची तपासणी करा आणि प्रत्येक बाबतीत तुमचे निकाल सारणीबद्ध करा:

इतर नावे

• काटकोनापेक्षा लहान कोनाला लघुकोन म्हणतात. हे लघुकोन आहेत.

तुम्ही पाहता का की त्यापैकी प्रत्येक एका आवर्तनाच्या एक चतुर्थांशापेक्षा कमी आहे? तुमच्या RA चाचणीकर्त्याने त्यांची तपासणी करा.

• जर एखादा कोन काटकोनापेक्षा मोठा, परंतु सरळकोनापेक्षा लहान असेल, तर त्याला विशालकोन म्हणतात. हे विशालकोन आहेत.

तुम्ही पाहता का की त्यापैकी प्रत्येक एका आवर्तनाच्या एक चतुर्थांशापेक्षा जास्त परंतु अर्ध्या आवर्तनापेक्षा कमी आहे? तपासण्यासाठी तुमचा RA चाचणीकर्ता मदत करू शकतो.

मागील उदाहरणांतील विशालकोन ओळखा.

• प्रतिवर्ती कोन हा सरळकोनापेक्षा मोठा असतो.

तो अशा प्रकारे दिसतो. (कोनाचे चिन्ह पहा)

तुम्ही आधी बनवलेल्या आकारांमध्ये काही प्रतिवर्ती कोन होते का?

त्यांची तपासणी तुम्ही कशी कराल?

हे करून पहा

1. तुमच्या सभोवताली पहा आणि कोन तयार करण्यासाठी कोपऱ्यांवर भेटणाऱ्या कडा ओळखा. अशा दहा परिस्थिती यादी करा.
2. अशा दहा परिस्थिती यादी करा जेथे लघुकोन तयार होतात.
3. अशा दहा परिस्थिती यादी करा जेथे काटकोन तयार होतात.
4. अशा पाच परिस्थिती शोधा जेथे विशालकोन तयार होतात.
5. अशा पाच इतर परिस्थिती यादी करा जेथे प्रतिवर्ती कोन दिसू शकतात.

उदाहरणे ५.३

1. जुळवा:

(i) सरळकोन $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\quad$ (a) एका आवर्तनाच्या एक चतुर्थांशापेक्षा कमी
(ii) काटकोन $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ (b) अर्ध्या आवर्तनापेक्षा जास्त
(iii) लघुकोन $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\quad$ (c) एका आवर्तनाचा अर्धा भाग
(iv) विशालकोन $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\quad$ (d) एका आवर्तनाचा एक चतुर्थांश भाग
(v) प्रतिवर्ती कोन $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\quad$ (e) $\frac{1}{4}$ आणि $\frac{1}{2}$ या आवर्तनाच्या दरम्यान
$\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\qquad$ $\quad$ $\qquad$ (f) 20 चा घटक

2. खालीलपैकी प्रत्येक कोनाचे वर्गीकरण काटकोन, सरळकोन, लघुकोन, विशालकोन किंवा प्रतिवर्ती कोन असे करा:

५.५ कोनांचे मापन

आपण बनवलेला तात्पुरता ‘काटकोन चाचणीकर्ता’ हा काटकोनाशी कोनांची तुलना करण्यासाठी उपयुक्त आहे. आपण कोनांचे वर्गीकरण लघुकोन, विशालकोन किंवा प्रतिवर्ती कोन असे करू शकलो.

परंतु यामुळे अचूक तुलना मिळत नाही. दोन विशालकोनांपैकी कोणता मोठा आहे हे ते शोधू शकत नाही. म्हणून तुलनेत अधिक अचूक होण्यासाठी, आपल्याला कोन ‘मोजणे’ आवश्यक आहे. हे आपण ‘प्रोट्रॅक्टर’ वापरून करू शकतो.

कोनाचे माप

आपण आपल्या मापाला ‘अंश माप’ म्हणतो. एक पूर्ण आवर्तन 360 समान भागांमध्ये विभागलेले असते. प्रत्येक भाग हा एक अंश असतो. ‘तीनशे साठ अंश’ सांगण्यासाठी आपण $360^{\circ}$ लिहितो.

विचार करा, चर्चा करा आणि लिहा

अर्ध्या आवर्तनात किती अंश असतात? एका काटकोनात? एका सरळकोनात?

$180^{\circ}$ करण्यासाठी किती काटकोन लागतात? $360^{\circ}$ ?

हे करा

1. चुडी वापरून वर्तुळाकार आकार कापून काढा किंवा त्या आकाराची साधारण वर्तुळाकार शीट घ्या.

2. ती दोनदा दुमडून दर्श