11.1 परिचय

आपल्या आतापर्यंतच्या अभ्यासात आपण संख्या आणि आकारांबद्दल अभ्यास केला आहे. आपण संख्या, संख्यांवरील क्रिया आणि संख्यांचे गुणधर्म शिकलो आहोत. आपण आपल्या जीवनातील विविध समस्यांमध्ये संख्यांचे ज्ञान वापरले आहे. गणिताची ती शाखा ज्यामध्ये आपण संख्या अभ्यासली तिला अंकगणित म्हणतात. आपण दोन आणि तीन मोजमापाच्या आकृती आणि त्यांचे गुणधर्म देखील शिकलो आहोत. गणिताची ती शाखा ज्यामध्ये आपण आकार अभ्यासले तिला भूमिती म्हणतात. आता आपण गणिताच्या आणखी एका शाखेचा अभ्यास सुरू करत आहोत. तिला बीजगणित म्हणतात.

आपण ज्या नवीन शाखेचा अभ्यास करणार आहोत तिचे मुख्य वैशिष्ट्य म्हणजे अक्षरांचा वापर. अक्षरांचा वापर करून आपण नियम आणि सूत्रे सामान्य पद्धतीने लिहू शकतो. अक्षरांचा वापर करून आपण कोणत्याही संख्येबद्दल बोलू शकतो, फक्त एका विशिष्ट संख्येबद्दल नाही. दुसरे म्हणजे, अक्षरांमुळे अज्ञात राशींसाठी स्थान असते. अज्ञात राशी ठरवण्याच्या पद्धती शिकल्यामुळे आपण कोडी आणि दैनंदिन जीवनातील अनेक समस्या सोडवण्यासाठी शक्तिशाली साधने विकसित करतो. तिसरे म्हणजे, अक्षरे संख्यांसाठी असल्यामुळे त्यांवर संख्यांप्रमाणे क्रिया केल्या जाऊ शकतात. यामुळे बीजगणितीय व्यंजक आणि त्यांचे गुणधर्म यांचा अभ्यास होतो.

तुम्हाला बीजगणित रंजक आणि उपयुक्त वाटेल. समस्या सोडवण्यात ते खूप उपयुक्त आहे. आपण सोप्या उदाहरणांसह आपला अभ्यास सुरू करूया.

11.2 काडीपट्टीचे नमुने

अमीना आणि सरिता काडीपट्ट्यांचे नमुने तयार करत आहेत. त्यांनी इंग्रजी वर्णमालेतील अक्षरांचे सोपे नमुने तयार करण्याचे ठरवले. अमीना दोन काडीपट्ट्या घेते आणि आकृती 11.1 (a) मध्ये दाखवल्याप्रमाणे L अक्षर तयार करते.

नंतर सरिता देखील दोन काडीपट्ट्या घेते, आणखी एक $L$ अक्षर तयार करते आणि अमीनाने तयार केलेल्या अक्षराजवळ ठेवते [आकृती 11.1 (b)].

नंतर अमीना आणखी एक $L$ जोडते आणि आकृती 11.1 (c) मधील बिंदूंनी दाखवल्याप्रमाणे हे सुरू राहते.

त्यांचा मित्र अप्पू आत येतो. तो नमुना पाहतो. अप्पू नेहमी प्रश्न विचारतो. तो मुलींना विचारतो, “सात L तयार करण्यासाठी किती काडीपट्ट्या लागतील”? अमीना आणि सरिता पद्धतशीर आहेत. त्या 1L, 2Ls, 3Ls आणि यापुढे नमुने तयार करत जातात आणि एक तक्ता तयार करतात.

तक्ता 1

अप्पूला तक्ता 1 वरून त्याच्या प्रश्नाचे उत्तर मिळते; 7Ls साठी 14 काडीपट्ट्या लागतात.

तक्ता लिहिताना अमीनाला जाणवते की आवश्यक असलेल्या काडीपट्ट्यांची संख्या तयार केलेल्या Ls च्या संख्येच्या दुप्पट आहे.

आवश्यक असलेल्या काडीपट्ट्यांची संख्या $=2 \times$ Ls ची संख्या.

सोयीसाठी, आपण Ls च्या संख्येसाठी अक्षर $n$ लिहूया. जर एक $\mathrm{L}$ तयार केली, तर $n=1$; जर दोन Ls तयार केले, तर $n=2$ आणि यापुढे; त्यामुळे, $n$ कोणतीही नैसर्गिक संख्या $1,2,3,4,5, \ldots$ असू शकते. आपण म्हणतो, आवश्यक असलेल्या काडीपट्ट्यांची संख्या $=2 \times n$.

$2 \times n$ लिहण्याऐवजी आपण $2 n$ लिहितो. लक्षात घ्या की $2 n$ हे $2 \times n$ सारखेच आहे.

अमीना तिच्या मित्रांना सांगते की तिचा नियम कोणत्याही संख्येतील Ls तयार करण्यासाठी आवश्यक असलेल्या काडीपट्ट्यांची संख्या देतो.

त्यामुळे, $n=1$ साठी, आवश्यक असलेल्या काडीपट्ट्यांची संख्या $=2 \times 1=2$

$n=2$ साठी, आवश्यक असलेल्या काडीपट्ट्यांची संख्या $=2 \times 2=4$

$n=3$ साठी, आवश्यक असलेल्या काडीपट्ट्यांची संख्या $=2 \times 3=6$ इ.

हे संख्या तक्ता 1 मधील संख्यांशी जुळतात.

सरिता म्हणते, “नियम खूप शक्तिशाली आहे! नियम वापरून मी सांगू शकते की $100 Ls$ तयार करण्यासाठी किती काडीपट्ट्या लागतील. एकदा नियम माहित झाल्यावर मला नमुना काढण्याची किंवा तक्ता तयार करण्याची गरज नाही”.

तुम्ही सरिताशी सहमत आहात का?

11.3 चलाची संकल्पना

वरील उदाहरणात आपण Ls चे नमुने तयार करण्यासाठी आवश्यक असलेल्या काडीपट्ट्यांची संख्या देणारा नियम शोधला. नियम होता:

आवश्यक असलेल्या काडीपट्ट्यांची संख्या $=\mathbf{2} \boldsymbol{{}n}$

येथे, $n$ हे नमुन्यातील Ls ची संख्या आहे, आणि $n$ हे $1,2,3,4, \ldots$ मूल्ये घेते. आपण पुन्हा एकदा तक्ता 1 पाहूया. तक्त्यात, $n$ चे मूल्य बदलत जाते (वाढत जाते). त्यामुळे, आवश्यक असलेल्या काडीपट्ट्यांची संख्या देखील बदलत जाते (वाढत जाते).

$\boldsymbol{n}$ हे चलाचे उदाहरण आहे. त्याचे मूल्य निश्चित नाही; ते कोणतेही मूल्य घेऊ शकते $\mathbf{1,2,3,4,} \ldots$. आपण चल $\boldsymbol{n}$ वापरून आवश्यक असलेल्या काडीपट्ट्यांची संख्या देणारा नियम लिहिला.

‘चल’ हा शब्द काहीतरी जे बदलू शकते, म्हणजेच बदलत असते, याचा अर्थ घेतो. चलाचे मूल्य निश्चित नाही. ते वेगवेगळी मूल्ये घेऊ शकते.

चलांबद्दल अधिक जाणून घेण्यासाठी आपण आणखी एक काडीपट्टीच्या नमुन्याचे उदाहरण पाहूया.

11.4 आणखी काडीपट्टीचे नमुने

अमीना आणि सरिता काडीपट्टीच्या नमुन्यांमध्ये खूप रस घेत आहेत. आता त्या $C$ अक्षराचा नमुना तयार करू इच्छितात. एक $C$ तयार करण्यासाठी त्या तीन काडीपट्ट्या वापरतात जसे की आकृती 11.2(a) मध्ये दाखवले आहे.

तक्ता 2 Cs चा नमुना तयार करण्यासाठी आवश्यक असलेल्या काडीपट्ट्यांची संख्या देतो.

तक्ता 2

तुम्ही तक्त्यात रिकाम्या ठेवलेल्या नोंदी पूर्ण करू शकता का?

सरिता नियम मांडते:

आवश्यक असलेल्या काडीपट्ट्यांची संख्या $=\mathbf{3} \boldsymbol{{}n}$

तिने Cs च्या संख्येसाठी अक्षर $n$ वापरले आहे; $n$ हे चल आहे जे $1,2,3,4, \ldots$ मूल्ये घेते

तुम्ही सरिताशी सहमत आहात का?

लक्षात ठेवा $3 n$ हे $3 \times n$ सारखेच आहे.

नंतर, अमीना आणि सरिता Fs चा नमुना तयार करू इच्छितात. त्या एक F तयार करण्यासाठी 4 काडीपट्ट्या वापरतात जसे की आकृती 11.3(a) मध्ये दाखवले आहे.

तुम्ही आता $F$ चे नमुने तयार करण्याचा नियम लिहू शकता का?

वर्णमालेतील आणखी अक्षरे आणि काडीपट्ट्यांपासून तयार करता येणारे आकार यांचा विचार करा. उदाहरणार्थ, U $(\bigsqcup)$ , V (\/), त्रिकोण ($\triangle$), चौरस ($\square$) इ. कोणतेही पाच निवडा आणि त्यांचे काडीपट्टीचे नमुने तयार करण्याचे नियम लिहा.

11.5 चलांची आणखी उदाहरणे

आपण चल दाखवण्यासाठी अक्षर $n$ वापरले आहे. राजू विचारतो, “मग $m$ का नाही”? $n$ बद्दल काही विशेष नाही, कोणतेही अक्षर वापरता येते.

कोणतेही अक्षर $m, l, p, x, y, z$ इ. चल दाखवण्यासाठी वापरता येते. लक्षात ठेवा, चल म्हणजे असे एक अंक ज्याचे मूल्य निश्चित नाही. उदाहरणार्थ, संख्या 5 किंवा संख्या 100 किंवा कोणतीही दिलेली संख्या चल नाही. त्यांचे मूल्य निश्चित आहे. त्याचप्रमाणे, त्रिकोणाच्या कोनांची संख्या निश्चित मूल्य आहे म्हणजेच 3. ती चल नाही. चौरसाच्या कोपऱ्यांची संख्या (4) निश्चित आहे; ती देखील चल नाही. पण $\boldsymbol{{}n}$ आपण पाहिलेल्या उदाहरणांमध्ये चल आहे. ती विविध मूल्ये $1,2,3,4, \ldots$ घेते.

आता आपण अधिक परिचित परिस्थितीत चलांचा विचार करूया.

विद्यार्थी शाळेच्या पुस्तक दुकानातून नोटबुक विकत घ्यायला गेले. एका नोटबुकची किंमत ₹ 5 आहे. मुन्नूला 5 नोटबुक्स विकत घ्यायच्या आहेत, अप्पूला 7 नोटबुक्स विकत घ्यायच्या आहेत, साराला 4 नोटबुक्स विकत घ्यायच्या आहेत आणि यापुढे. विद्यार्थ्याने नोटबुक विकत घ्यायला दुकानात गेल्यावर किती पैसे घ्यावेत?

हे त्यावर अवलंबून असेल की विद्यार्थ्याला किती नोटबुक्स विकत घ्यायच्या आहेत. विद्यार्थी एकत्र येऊन तक्ता तयार करतात.

तक्ता 3

अक्षर $m$ विद्यार्थ्याला विकत घ्यायच्या असलेल्या नोटबुक्सच्या संख्येसाठी आहे; $m$ हे चल आहे, जे कोणतीही मूल्य $1,2,3,4, \ldots$ घेऊ शकते. $m$ नोटबुक्सची एकूण किंमत नियमाने दिली जाते:

एकूण किंमत रुपयांमध्ये $=5 \times$ आवश्यक असलेल्या नोटबुक्सची संख्या

$ =5 m $

जर मुन्नूला 5 नोटबुक्स विकत घ्यायच्या असतील, तर $m=5$ घेतल्यास आपण म्हणतो की मुन्नूने शाळेच्या पुस्तक दुकानात $₹ 5 \times 5$ किंवा $₹ 25$ पैसे घ्यावेत.

आपण आणखी एक उदाहरण घेऊया. शाळेतील प्रजासत्ताक दिन साजरा करण्यासाठी मुले मुख्य पाहुण्यांच्या उपस्थितीत सामूहिक व्यायाम करणार आहेत. ते एका रांगेत 10 मुलांप्रमाणे उभे राहतात (आकृती 11.4). व्यायामात किती मुले असू शकतात?

मुलांची संख्या रांगांच्या संख्येवर अवलंबून असेल. आकृती 11.4 मध्ये 1 रांग असल्यास 10 मुले असतील. जर 2 रांगा असतील तर $2 \times 10$ किंवा 20 मुले असतील आणि यापुढे. जर $r$ रांगा असतील तर व्यायामात $10 r$ मुले असतील; येथे, $r$ हे चल आहे जे रांगांच्या संख्येसाठी आहे आणि त्यामुळे ते $1,2,3,4, \ldots$ मूल्ये घेते.

आतापर्यंत पाहिलेल्या सर्व उदाहरणांमध्ये चलाला एका संख्येने गुणले गेले होते. खालीलप्रमाणे संख्या चलात जोडली किंवा वजा केली जाणारी वेगवेगळ्या परिस्थिती देखील असू शकतात.

सरिता म्हणते की तिच्याकडे अमीनापेक्षा 10 अधिक खेळणी आहेत. जर अमीनाकडे 20 खेळणी असतील तर सरिताकडे 30 आहेत. जर अमीनाकडे 30 खेळणी असतील तर सरिताकडे 40 आहेत आणि यापुढे. आपल्याला अमीनाकडे नेमकी किती खेळणी आहेत हे माहित नाही. तिच्याकडे कोणतीही संख्या असू शकते.

पण आपल्याला माहित आहे की, सरिताच्या खेळण्या $=$ अमीनाच्या खेळण्या +10 .

आपण अमीनाच्या खेळण्यांसाठी अक्षर $x$ वापरू. येथे, $x$ हे चल आहे, जे कोणतीही मूल्य $1,2,3,4, \ldots, 10, \ldots, 20, \ldots, 30, \ldots$ घेऊ शकते. $x$ वापरून आपण सरिताच्या खेळण्या $=x+10$ लिहितो. व्यंजक $(x+10)$ ला ‘$x$ प्लस दहा’ असे वाचले जाते. याचा अर्थ $x$ मध्ये 10 जोडले. जर $x$ असेल तर $20,(x+10)$ 30 आहे. जर $x$ असेल तर $30,(x+10)$ 40 आहे आणि यापुढे.

व्यंजक $(x+10)$ ला पुढे सुलभ केले जाऊ शकत नाही.

$x+10$ आणि $10 x$ यांना गोंधू नका, ते वेगळे आहेत.

$10 x, x$ मध्ये $(x+10), 10$ ला 10 ने गुणले आहे. $x$ मध्ये $x$ मध्ये 10 जोडले आहे.

आपण $x=2,10 x=10 \times 2=20$ च्या काही मूल्यांसाठी हे तपासू शकतो.

उदाहरणार्थ,

जर $x+10=2+10=12$ आणि $x=10,10 x=10 \times 10=100$.

जर $x+10=10+10=20$ आणि $x$.

राजू आणि बाळू हे भाऊ आहेत. बाळू राजूपेक्षा 3 वर्षांनी लहान आहे. जेव्हा राजू 12 वर्षांचा असतो तेव्हा बाळू 9 वर्षांचा असतो. जेव्हा राजू 15 वर्षांचा असतो तेव्हा बाळू 12 वर्षांचा असतो. आपल्याला राजूचे वय नेमके माहित नाही. ते कोणतेही असू शकते. राजूचे वर्षांमध्ये वय $x$ ने दर्शवू, $x$ हे चल आहे. जर राजूचे वर्षांमध्ये वय $(x-3)$ असेल, तर बाळूचे वर्षांमध्ये वय $(x-3)$ आहे. व्यंजक $x$ ला $x$ मायनस तीन असे वाचले जाते. जसे अपेक्षित आहे, जेव्हा $(x-3)$ 12 असतो, तेव्हा $x$ 9 असते आणि जेव्हा $15,(x-3)$ असते तेव्हा $T$ 12 असते.

सराव 11.1

1. खालील काडीपट्टीचे नमुने तयार करण्यासाठी आवश्यक असलेल्या काडीपट्ट्यांचा नियम शोधा. नियम लिहिण्यासाठी चल वापरा.

(a) $\substack{— \\ | }$ अक्षराचा नमुना $Z$ म्हणून
(b) $\substack{— \\ / \\ —}$ अक्षराचा नमुना $U$ म्हणून
(c) $\bigsqcup$ अक्षराचा नमुना $V$ म्हणून
(d) $\mathbf{V}$ अक्षराचा नमुना $E$ म्हणून
(e) $|\substack{- \\ - \\ -}$ अक्षराचा नमुना $S$ म्हणून
(f) $|\substack{- \\ - \\ -}|$ अक्षराचा नमुना $A$ म्हणून
(g) $\mathbf{|\substack{- \\ - \\ }|}$ अक्षराचा नमुना $n$ म्हणून

2. आपल्याला आधीच L, C आणि F अक्षरांच्या नमुन्यांचा नियम माहित आहे. प्र. 1 मधील काही अक्षरांमुळे आपल्याला L ने दिलेला नियम मिळतो. ती कोणती आहेत? हे का होते?

3. कॅडेट्स परेडमध्ये मार्च करत आहेत. एका रांगेत 5 कॅडेट्स आहेत. रांगांच्या संख्येसाठी कॅडेट्सची संख्या देणारा नियम कोणता आहे? (रांगांच्या संख्येसाठी $b$ वापरा.)

4. जर एका डब्यात 50 आंबे असतील तर डब्यांच्या संख्येच्या अनुषंगाने एकूण आंब्यांची संख्या कशी लिहाल? (डब्यांच्या संख्येसाठी $s$ वापरा.)

5. शिक्षक प्रत्येक विद्यार्थ्याला 5 पेन्सिल्स देतात. तुम्ही सांगू शकता का की विद्यार्थ्यांच्या संख्येसाठी किती पेन्सिल्स आवश्यक आहेत? (विद्यार्थ्यांच्या संख्येसाठी $t$ वापरा.)

6. एक पक्षी एका मिनिटात 1 किलोमीटर उडतो. तुम्ही पक्षी उडण्याच्या वेळेच्या मिनिटांमध्ये पक्षी कापलेले अंतर कसे व्यक्त करू शकता? (उडण्याच्या वेळेसाठी मिनिटांमध्ये $r$ वापरा.)

7. राधा खडूने डॉट रांगोळी (डॉट्स जोडणाऱ्या रेषांचा सुंदर नमुना) काढत आहे. तिच्या एका रांगेत 9 डॉट्स आहेत. $x$ रांगांसाठी तिच्या रांगोळीत किती डॉट्स असतील? जर 8 रांगा असतील तर किती डॉट्स आहेत? जर 10 रांगा असतील तर?

8. लीला राधेची धाकटी बहीण आहे. लीला राधेपेक्षा 4 वर्षांनी लहान आहे. तुम्ही राधेच्या वयाच्या अनुषंगाने लीचे वय कसे लिहू शकता? राधेचे वय $l$ वर्षे माना.

9. आईने लाडू केले आहेत. ती काही लाडू पाहुण्यांना आणि कुटुंबीयांना देते; तरीही 5 लाडू शिल्लक राहतात. जर आईने दिलेले लाडू $x$ आहेत, तर तिने किती लाडू केले?

10. मोठ्या डब्यातील संत्री लहान डब्यांमध्ये हलवायची आहेत. जेव्हा मोठा डबा रिकामा होतो, तेव्हा त्यातील संत्री दोन लहान डबे भरतात आणि तरीही 10 संत्री बाहेर राहतात. जर लहान डब्यातील संत्र्यांची संख्या $n$ मानली, तर मोठ्या डब्यातील संत्र्यांची संख्या किती आहे?

11. (a) खालील चौरसांचे काडीपट्टीचे नमुने पाहा (आकृती 11.6). चौरे वेगळे नाहीत. दोन शेजारील चौरसांना एक सामाईक काडीपट्टी आहे. नमुने निरिक्षण करा आणि चौरसांच्या संख्येच्या अनुषंगाने काडीपट्ट्यांची संख्या देणारा नियम शोधा

(सूचना: शेवटची उभी काडी काढल्यास तुम्हाला Cs चा नमुना मिळेल.)

(b) आकृती 11.7 त्रिकोणांचे काडीपट्टीचे नमुने देते. वरील सराव 11 (a) प्रमाणे, त्रिकोणांच्या संख्येच्या अनुषंगाने काडीपट्ट्यांची संख्या देणारा सामान्य नियम शोधा.

आपण काय चर्चा केली?

1. आपण काडीपट्ट्यांचा वापर करून अक्षरे आणि आणखी आकार तयार करण्याचे नमुने पाहिले. आपण दिलेल्या आकाराची पुनरावृत्ती करण्यासाठी आवश्यक असलेल्या काडीपट्ट्यांची सामान्य संबंध कशी लिहावी हे आपण शिकलो. दिलेल्या आकाराची पुनरावृत्ती होण्याची वेळा बदलतात; ती 1,2,3,.. मूल्ये घेते. ती चल आहे, काही अक्षरांनी $n, l, m, p, x, y, z$ ने दर्शवली जाते.

2. चल वेगवेगळी मूल्ये घेते, त्याचे मूल्य निश्चित नाही. चौरसाची लांबी कोणतीही मूल्ये घेऊ शकते. ती चल आहे. पण त्रिकोणाच्या कोनांची संख्या निश्चित मूल्य 3 आहे. ती चल नाही.

3. आपण कोणतेही अक्षर $x-3, x+3,2 n, 5 m, \dfrac{p}{3}, 2 y+3,3 l-5$ इ. चल दाखवण्यासाठी वापरू शकतो.

4. चल आपल्याला कोणत्याही व्यावहारिक परिस्थितीत संबंध व्यक्त करण्याची परवानगी देते.

5. चल ही संख्या आहे, जरी त्याचे मूल्य निश्चित नाही. आपण स्थिर संख्यांप्रमाणे त्यावर बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार आणि भागाकार या क्रिया करू शकतो. वेगवेगळ्या क्रिया वापरून आपण https://temp-public-img-folder.s3.amazonaws.com/sathee.prutor.images/sathee_image/https___cdn_mathpix_com_snip_images_eqY5N-brFT0t_cdwsRLJhroWxdrt_-vjvYdBmcNOVgo_original_fullsize_png.jpg" इ. व्यंजक चलांसह तयार करू शकतो.