१.१ पूर्णांकांच्या बेरीज आणि वजाबाकीचे गुणधर्म

आपण सहावीत पूर्ण संख्या आणि पूर्णांक याबद्दल शिकलो आहोत. तसेच पूर्णांकांची बेरीज आणि वजाबाकी याबद्दलही शिकलो आहोत.

१.१.१ बेरीज अंतर्गत संवृत्तता (क्लोजर)

आपण शिकलो आहोत की दोन पूर्ण संख्यांची बेरीज पुन्हा एक पूर्ण संख्या असते. उदाहरणार्थ, $17+24=41$ जी पुन्हा एक पूर्ण संख्या आहे. आपल्याला माहित आहे की, हा गुणधर्म पूर्ण संख्यांच्या बेरीजसाठी संवृत्तता गुणधर्म म्हणून ओळखला जातो.

आता पाहूया की हा गुणधर्म पूर्णांकांसाठी सत्य आहे का.

खाली काही पूर्णांकांच्या जोड्या आहेत. खालील सारणी पाहा आणि ती पूर्ण करा.

तुम्ही काय पाहता? दोन पूर्णांकांची बेरीज नेहमीच पूर्णांक असते का?

अशी काही पूर्णांकांची जोडी सापडली का ज्यांची बेरीज पूर्णांक नाही?

पूर्णांकांची बेरीज पूर्णांक देते म्हणून, आपण म्हणतो की पूर्णांक बेरीज अंतर्गत संवृत्त आहेत.

सर्वसाधारणपणे, कोणत्याही दोन पूर्णांक $a$ आणि $b, a+b$ साठी $a$ + $b, a+b$ हा पूर्णांक असतो.

१.१.२ वजाबाकी अंतर्गत संवृत्तता

जेव्हा आपण एका पूर्णांकातून दुसरा पूर्णांक वजा करतो तेव्हा काय होते? त्यांचा फरकही पूर्णांक आहे असे आपण म्हणू शकतो का?

खालील सारणी पाहा आणि ती पूर्ण करा:

तुम्ही काय पाहता? अशी काही पूर्णांकांची जोडी आहे का ज्यांचा फरक पूर्णांक नाही? पूर्णांक वजाबाकी अंतर्गत संवृत्त आहेत असे आपण म्हणू शकतो का? होय, आपण पाहू शकतो की पूर्णांक वजाबाकी अंतर्गत संवृत्त आहेत.

अशाप्रकारे, जर $a$ आणि $b$ हे दोन पूर्णांक असतील तर $a-b$ हाही एक पूर्णांक असतो. पूर्ण संख्या हा गुणधर्म पाळतात का?

१.१.३ विनिमेयता गुणधर्म (कम्युटेटिव्हिटी)

आपल्याला माहित आहे की $3+5=5+3=8$, म्हणजेच, पूर्ण संख्या कोणत्याही क्रमाने बेरीज करता येतात. दुसऱ्या शब्दांत, पूर्ण संख्यांसाठी बेरीज विनिमेय आहे.

आपण पूर्णांकांसाठीही हेच म्हणू शकतो का?

आपल्याकडे $5+(-6)=-1$ आणि $(-6)+5=-1$ आहे.

तर, $5+(-6)=(-6)+5$.

खालील समान आहेत का?

(i) $(-8)+(-9)$ आणि $(-9)+(-8)$

(ii) $(-23)+32$ आणि $32+(-23)$

(iii) $(-45)+0$ आणि $0+(-45)$

पूर्णांकांच्या पाच इतर जोड्यांसह हे करून पहा. क्रम बदलला तेव्हा बेरीज वेगळी असलेली पूर्णांकांची जोडी सापडते का? नक्कीच नाही. आपण म्हणतो की पूर्णांकांसाठी बेरीज विनिमेय आहे.

सर्वसाधारणपणे, कोणत्याही दोन पूर्णांक $a$ आणि $b$ साठी, आपण म्हणू शकतो

$ a+b=b+a $

• आपल्याला माहित आहे की पूर्ण संख्यांसाठी वजाबाकी विनिमेय नाही. पूर्णांकांसाठी ती विनिमेय आहे का?

पूर्णांक ५ आणि (-३) विचारात घ्या.

$5-(-3)$ हे $(-3)-5$ सारखेच आहे का? नाही, कारण $5-(-3)=5+3=8$, आणि $(-3)-5$

$=-3-5=-8$.

पूर्णांकांच्या किमान पाच वेगवेगळ्या जोड्या घ्या आणि हे तपासा.

आपण असा निष्कर्ष काढतो की पूर्णांकांसाठी वजाबाकी विनिमेय नाही.

१.१.४ सहचारिता गुणधर्म (असोसिएटिव्हिटी)

खालील उदाहरणे पाहा:

पूर्णांक $-3,-2$ आणि -५ विचारात घ्या.

$(-5)+[(-3)+(-2)]$ आणि $[(-5)+(-3)]+(-2)$ पाहा.

पहिल्या बेरजेत (-३) आणि (-२) एकत्र गटबद्ध केले आहेत आणि दुसऱ्यामध्ये (-५) आणि (-३) एकत्र गटबद्ध केले आहेत. आपल्याला वेगवेगळे परिणाम मिळतात का ते तपासू.

$ (-5)+[(-3)+(-2)] $

$ [(-5)+(-3)]+(-2) $

दोन्ही प्रकरणांमध्ये, आपल्याला -१० मिळते.

म्हणजेच,

$ (-5)+[(-3)+(-2)]=[(-5)+(-2)]+(-3) $

त्याचप्रमाणे $-3,1$ आणि -७ विचारात घ्या.

$ \begin{aligned} & (-3)+[1+(-7)]=-3+……=…… \\ & [(-3)+1]+(-7)=-2+……=…… \end{aligned} $

$(-3)+[1+(-7)]$ हे $[(-3)+1]+(-7)$ सारखेच आहे का?

अशी आणखी पाच उदाहरणे घ्या. तुम्हाला असे कोणतेही उदाहरण सापडणार नाही जिथे बेरीज वेगवेगळी आहेत. पूर्णांकांसाठी बेरीज सहचारी आहे.

सर्वसाधारणपणे कोणत्याही पूर्णांक $a, b$ आणि $c$ साठी, आपण म्हणू शकतो

$ a+(b+c)=(a+b)+c $

१.१.५ बेरीज अभिज्ञेय (ऍडिटिव्ह आयडेंटिटी)

जेव्हा आपण कोणत्याही पूर्ण संख्येत शून्य मिळवतो, तेव्हा आपल्याला तीच पूर्ण संख्या मिळते. शून्य हे पूर्ण संख्यांसाठी बेरीज अभिज्ञेय आहे. पूर्णांकांसाठीही ते बेरीज अभिज्ञेय आहे का?

खालील पाहा आणि रिकाम्या जागा भरा:

(i) $(-8)+0=-8$

(ii) $0+(-8)=-8$

(iii) $(-23)+0=……$

(iv) $0+(-37)=-37$

(v) $0+(-59)=……$

(vi) $0+……$ $=-43$

(vii) $-61+……$ $=-61$

(viii) $……-0=……$

वरील उदाहरणे दर्शवितात की शून्य हे पूर्णांकांसाठी बेरीज अभिज्ञेय आहे.

तुम्ही इतर कोणत्याही पाच पूर्णांकांमध्ये शून्य मिळवून हे सत्यापित करू शकता.

सर्वसाधारणपणे, कोणत्याही पूर्णांक $a$ साठी

$ a+0=a=0+a $

हे करून पहा

१. अशा पूर्णांकांची जोडी लिहा ज्यांची बेरीज देते

(अ) ऋण पूर्णांक

(ब) शून्य

(क) दोन्ही पूर्णांकांपेक्षा लहान असलेला पूर्णांक.

(ड) फक्त एका पूर्णांकापेक्षा लहान असलेला पूर्णांक.

(इ) दोन्ही पूर्णांकांपेक्षा मोठा असलेला पूर्णांक.

२. अशा पूर्णांकांची जोडी लिहा ज्यांचा फरक देते

(अ) ऋण पूर्णांक.

(ब) शून्य.

(क) दोन्ही पूर्णांकांपेक्षा लहान असलेला पूर्णांक.

(ड) फक्त एका पूर्णांकापेक्षा मोठा असलेला पूर्णांक.

(इ) दोन्ही पूर्णांकांपेक्षा मोठा असलेला पूर्णांक.

उदाहरण १ अशा पूर्णांकांची जोडी लिहा ज्यांची

(अ) बेरीज -३ $\qquad$ (ब) फरक -५

(क) फरक २ $\quad$ (ड) बेरीज ०

उत्तर

(अ) $(-1)+(-2)=-3$ किंवा $(-5)+2=-3$

(ब) $(-9)-(-4)=-5$ किंवा $(-2)-3=-5$

(क) $(-7)-(-9)=2$ किंवा $1-(-1)=2$

(ड) $(-10)+10=0$ किंवा $5+(-5)=0$

तुम्ही या उदाहरणांमध्ये आणखी जोड्या लिहू शकता का?

उदाहरण १.१

१. अशा पूर्णांकांची जोडी लिहा ज्यांची:

(अ) बेरीज -७ $\qquad$ (ब) फरक -१० $\qquad$ (क) बेरीज ०

२. (अ) अशी दोन ऋण पूर्णांकांची जोडी लिहा ज्यांचा फरक ८ देते.

(ब) एक ऋण पूर्णांक आणि एक धन पूर्णांक अशी जोडी लिहा ज्यांची बेरीज -५ आहे.

(क) एक ऋण पूर्णांक आणि एक धन पूर्णांक अशी जोडी लिहा ज्यांचा फरक -३ आहे.

३. एका स्पर्धेत, संघ $A$ ने तीन सलग फेऱ्यांमध्ये -४०, १०, ० गुण मिळवले आणि संघ $B$ ने $10,0,-40$ गुण मिळवले. कोणत्या संघाने जास्त गुण मिळवले? आपण पूर्णांक कोणत्याही क्रमाने बेरीज करू शकतो असे म्हणू शकतो का?

४. खालील विधाने सत्य करण्यासाठी रिकाम्या जागा भरा:

(i) $(-5)+(-8)=(-8)+(\ldots \ldots \ldots \ldots)$.

(ii) $-53+\ldots \ldots \ldots \ldots .=-53$

(iii) $17+\ldots \ldots \ldots \ldots=0$

(iv) $[13+(-12)]+(\ldots \ldots \ldots \ldots)=.13+[(-12)+(-7)]$

(v) $(-4)+[15+(-3)]=[-4+15]+\ldots \ldots \ldots$

१.२ पूर्णांकांचा गुणाकार

आपण पूर्णांकांची बेरीज आणि वजाबाकी करू शकतो. आता पूर्णांकांचा गुणाकार कसा करायचा ते शिकूया.

१.२.१ धन पूर्णांक आणि ऋण पूर्णांक यांचा गुणाकार

आपल्याला माहित आहे की पूर्ण संख्यांचा गुणाकार ही पुनरावृत्ती बेरीज असते. उदाहरणार्थ,

$ ५+५+५=३ \times ५=१५ $

तुम्ही पूर्णांकांची बेरीज अशाच प्रकारे दर्शवू शकता का?

खालील संख्या रेषेवरून आपल्याकडे आहे, $(-5)+(-5)+(-5)=-15$

पण आपण असेही लिहू शकतो

$ \qquad(-५)+(-५)+(-५)=३ \times(-५) $

म्हणून, $ \qquad ३ \times(-५)=-१५ $

हे करून पहा

संख्या रेषेचा वापर करून शोधा:

$ \begin{aligned} & ४ \times(-८), \\ & ८ \times(-२), \\ & ३ \times(-७), \\ & १० \times(-१) \end{aligned} $

त्याचप्रमाणे: $ (-४)+(-४)+(-४)+(-४)+(-४)=५ \times(-४)=-२० $

$ \text{आणि}\quad (-३)+(-३)+(-३)+(-३)=\ldots \ldots \ldots= \ldots \ldots \ldots $

$ \text{तसेच, }\qquad(-७)+(-७)+(-७)=\ldots \ldots \ldots =\ldots \ldots \ldots $

संख्या रेषेचा वापर न करता धन पूर्णांक आणि ऋण पूर्णांक यांचा गुणाकार कसा शोधायचा ते पाहूया.

$3 \times(-5)$ वेगळ्या पद्धतीने शोधूया. प्रथम $3 \times 5$ शोधा आणि नंतर मिळालेल्या गुणाकाराच्या आधी वजा चिन्ह (-) लावा. तुम्हाला -१५ मिळते. म्हणजेच आपण $-(3 \times 5)$ शोधतो आणि -१५ मिळवतो.

त्याचप्रमाणे, $ \qquad ५ \times(-४)=-(५ \times ४)=-२० . $

अशाच प्रकारे शोधा,

$ \begin{matrix} ४ \times(-८)= \ldots \ldots= \ldots \ldots , ३ \times(-७)=\ldots \ldots = \ldots \ldots \\ ६ \times(-५)=\ldots \ldots = \ldots \ldots , २ \times(-९)= \ldots \ldots = \ldots \ldots \end{matrix} $

हे करून पहा

शोधा:

(i) $6 \times(-19)$

(ii) $12 \times(-32)$

(iii) $7 \times(-22)$

या पद्धतीचा वापर करून आपल्याकडे आहे,

$ १० \times(-४३)=\ldots \ldots -(१० \times ४३)=-४३० $

आतापर्यंत आपण पूर्णांकांचा गुणाकार (धन पूर्णांक) $\times$ (ऋण पूर्णांक) अशा स्वरूपात केला.

आता त्यांचा गुणाकार (ऋण पूर्णांक) $\times$ (धन पूर्णांक) अशा स्वरूपात करूया.

आपण प्रथम $-3 \times 5$ शोधू.

हे शोधण्यासाठी, खालील नमुना पाहा:

आपल्याकडे आहे,

$ \begin{aligned} & ३ \times ५=१५ \\ & २ \times ५=१०=१५-५ \\ & १ \times ५=५=१०-५ \\ & ० \times ५=०=५-५ \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \text{म्हणून} \quad & -१ \times ५=०-५=-५ \\ & -२ \times ५=-५-५=-१० \\ & -३ \times ५=-१०-५=-१५ \\ \end{aligned} $

आपल्याकडे आधीच $\qquad 3 \times(-5)=-15$ आहे

म्हणून आपल्याला $\qquad (-3) \times 5=-15=3 \times(-5)$ मिळते

अशा नमुन्यांचा वापर करून, आपल्याला $(-5) \times 4=-20=5 \times(-4)$ हे देखील मिळते

नमुन्यांचा वापर करून, $(-4) \times 8,(-3) \times 7,(-6) \times 5$ आणि $(-2) \times 9$ शोधा

तपासा की, $(-4) \times 8=4 \times(-8),(-3) \times 7=3 \times(-7),(-6) \times 5=6 \times(-5)$ आणि: $ (-२) \times ९=२ \times(-९) $

याचा वापर करून आपल्याला मिळते,

$ (-३३) \times ५=३३ \times(-५)=-१६५ $

अशाप्रकारे आपल्याला आढळते की धन पूर्णांक आणि ऋण पूर्णांक यांचा गुणाकार करताना, आपण त्यांचा पूर्ण संख्या म्हणून गुणाकार करतो आणि गुणाकाराच्या आधी वजा चिन्ह (-) लावतो. अशाप्रकारे आपल्याला ऋण पूर्णांक मिळतो.

हे करून पहा

१. शोधा:

(अ) $15 \times(-16)\qquad $ (ब) $21 \times(-32)$

(क) $(-42) \times 12\qquad $ (ड) $-55 \times 15$

२. तपासा की

(अ) $25 \times(-21)=(-25) \times 21\qquad $ (ब) $(-23) \times 20=23 \times(-20)$

अशी आणखी पाच उदाहरणे लिहा.

सर्वसाधारणपणे, कोणत्याही दोन धन पूर्णांक $a$ आणि $b$ साठी आपण म्हणू शकतो

$ a \times(-b)=(-a) \times b=-(a \times b) $

१.२.२ दोन ऋण पूर्णांकांचा गुणाकार

तुम्ही $(-3) \times(-2)$ हा गुणाकार शोधू शकता का?

खालील पाहा:

$ \begin{aligned} & -३ \times ४=-१२ \\ & -३ \times ३=-९=-१२-(-३) \\ & -३ \times २=-६=-९-(-३) \\ & -३ \times १=-३=-६-(-३) \\ & -३ \times ०=०=-३-(-३) \\ & -३ \times-१=०-(-३)=०+३=३ \\ & -३ \times-२=३-(-३)=३+३=६ \end{aligned} $

तुम्हाला काही नमुना दिसतो का? गुणाकार कसे बदलतात ते पाहा.

या निरीक्षणावर आधारित, खालील पूर्ण करा:

$ -३ \times-३=\ldots \ldots -३ \times-४=\ldots \ldots $

आता हे गुणाकार पाहा आणि रिकाम्या जागा भरा:

$ \begin{aligned} & -४ \times ४=-१६ \\ & -४ \times ३=-१२=-१६+४ \\ & -४ \times २= \ldots \ldots=-१२+४ \\ & -४ \times १=\ldots \ldots \\ & -४ \times ०=\ldots \ldots \\ & -४ \times(-१)=\ldots \ldots \\ & -४ \times(-२)= \ldots \ldots\\ & -४ \times(-३)=\ldots \ldots \end{aligned} $

हे करून पहा

(i) $(-5) \times 4$ पासून सुरुवात करून, $(-5) \times(-6)$ शोधा

(ii) $(-6) \times 3$ पासून सुरुवात करून, $(-6) \times(-7)$ शोधा

या नमुन्यांवरून आपल्याला आढळते की,

$ \begin{aligned} & (-३) \times(-१)=३=३ \times १ \\ & (-३) \times(-२)=६=३ \times २ \\ & (-३) \times(-३)=९=३ \times ३ \\ & \text{आणि} \quad (-४) \times(-१)=४=४ \times १ \\ & \text{ म्हणून, } \quad(-४) \times(-२)=४ \times २=\ldots \ldots \\ & (-४) \times(-३)=\ldots \ldots=\ldots \ldots \end{aligned} $

म्हणून हे गुणाकार पाहता आपण असे म्हणू शकतो की दोन ऋण पूर्णांकांचा गुणाकार हा धन पूर्णांक असतो. आपण दोन ऋण पूर्णांकांचा पूर्ण संख्या म्हणून गुणाकार करतो आणि गुणाकाराच्या आधी धन चिन्ह (+) लावतो.

अशाप्रकारे, आपल्याकडे $\quad(-10) \times(-12)=+120=120$ आहे

त्याचप्रमाणे $\quad(-15) \times(-6)=+90=90$

सर्वसाधारणपणे, कोणत्याही दोन धन पूर्णांक $a$ आणि $b$ साठी,

$ (-a) \times(-b)=a \times b $

हे करून पहा

शोधा: $(-31) \times(-100),(-25) \times(-72),(-83) \times(-28)$

खेळ १

(i) -१०४ ते १०४ पर्यंत चिन्हांकित असलेला एक बोर्ड घ्या जसे आकृतीत दाखवले आहे.

(ii) दोन निळे आणि दोन लाल फासे असलेली एक पिशवी घ्या. निळ्या फाश्यावरील ठिपक्यांची संख्या धन पूर्णांक दर्शवते आणि लाल फाश्यावरील ठिपक्यांची संख्या ऋण पूर्णांक दर्शवते.

(iii) प्रत्येक खेळाडू आपला काउंटर शून्यावर ठेवेल.

(iv) प्रत्येक खेळाडू एकावेळी पिशवीतून दोन फासे बाहेर काढेल आणि फेक देईल.

(v) प्रत्येक फेकीनंतर, खेळाडूला फाश्यांवर चिन्हांकित केलेल्या संख्यांचा गुणाकार करावा लागेल.

(vi) जर गुणाकार धन पूर्णांक असेल तर खेळाडू आपला काउंटर १०४ च्या दिशेने हलवेल; जर गुणाकार ऋण पूर्णांक असेल तर खेळाडू आपला काउंटर -१०४ च्या दिशेने हलवेल.

(vii) जो खेळाडू प्रथम एकतर -१०४ किंवा १०४ वर पोहोचेल तो विजेता आहे.

१.३ पूर्णांकांच्या गुणाकाराचे गुणधर्म

१.३.१ गुणाकार अंतर्गत संवृत्तता

१. खालील सारणी पाहा आणि ती पूर्ण करा:

तुम्ही काय पाहता? अशी पूर्णांकांची जोडी सापडते का ज्यांचा गुणाकार पूर्णांक नाही? नाही. यामुळे आपल्याला कल्पना येते की दोन पूर्णांकांचा गुणाकार पुन्हा एक पूर्णांक असतो. म्हणून आपण असे म्हणू शकतो की पूर्णांक गुणाकार अंतर्गत संवृत्त आहेत.

सर्वसाधारणपणे,

$a \times b$ हा पूर्णांक आहे, सर्व पूर्णांक $a$ आणि $b$ साठी.

पूर्णांकांच्या आणखी पाच जोड्यांचा गुणाकार शोधा आणि वरील विधान सत्यापित करा.

१.३.२ गुणाकाराची विनिमेयता

आपल्याला माहित आहे की पूर्ण संख्यांसाठी गुणाकार विनिमेय आहे. आपण असे म्हणू शकतो की, पूर्णांकांसाठीही गुणाकार विनिमेय आहे?

खालील सारणी पाहा आणि ती पूर्ण करा:

तुमची निरीक्षणे काय आहेत? वरील उदाहरणे सूचित करतात की पूर्णांकांसाठी गुणाकार विनिमेय आहे. अशी आणखी पाच उदाहरणे लिहा आणि सत्यापित करा.

सर्वसाधारणपणे, कोणत्याही दोन पूर्णांक $a$ आणि $b$ साठी,

$ a \times b=b \times a $

१.३.३ शून्याने गुणाकार

आपल्याला माहित आहे की कोणतीही पूर्ण संख्या शून्याने गुणल्यास शून्य मिळते. आधी केलेल्या नमुन्यांवरून मिळालेले ऋण पूर्णांक आणि शून्य यांचे गुणाकार पाहा.

$ (-३) \times ०=० $

$0 \times(-4)=0$

$-5 \times 0=……$

$0 \times(-6)=……$

हे दर्शवते की ऋण पूर्णांक आणि शून्य यांचा गुणाकार शून्य असतो.

सर्वसाधारणपणे, कोणत्याही पूर्णांक $a$ साठी,

$ a \times 0=0 \times a=0 $

१.३.४ गुणाकार अभिज्ञेय (मल्टिप्लिकेटिव्ह आयडेंटिटी)

आपल्याला माहित आहे की १ हे पूर्ण संख्यांसाठी गुणाकार अभिज्ञेय आहे.

तपासा की १ हे पूर्णांकांसाठीही गुणाकार अभिज्ञेय आहे. १ सह पूर्णांकांचे खालील गुणाकार पाहा.

$ \begin{matrix} (-३) \times १=-३ & १ \times ५=५ \\ (-४) \times १=\ldots \ldots & १ \times ८=\ldots \ldots \\ १ \times