१२.१ परिचय

सममिती ही एक महत्त्वाची भौमितिक संकल्पना आहे, जी सहसा निसर्गात आढळते आणि जवळजवळ प्रत्येक क्षेत्रातील क्रियाकलापांमध्ये वापरली जाते. कलाकार, व्यावसायिक, कपडे किंवा दागिन्यांचे डिझाइनर, कार उत्पादक, आर्किटेक्ट आणि इतर अनेक लोक सममितीची कल्पना वापरतात. मधमाशीची पोळे, फुले, झाडांची पाने, धार्मिक चिन्हे, गालिचे आणि रुमाल येथे तुम्हाला सर्वत्र सममितीय डिझाइन आढळतील.

तुम्हाला तुमच्या मागील वर्गात रेषीय सममितीची ‘ओळख’ आधीच झाली आहे.

एका आकृतीला रेषीय सममिती असते, जर ती आकृती ज्या रेषेभोवती दुमडली जाऊ शकते की आकृतीचे दोन भाग एकमेकांशी जुळतील.

तुम्हाला ही कल्पना आठवायला आवडेल. तुम्हाला मदत करण्यासाठी येथे काही क्रियाकलाप आहेत.

तुम्ही गोळा केलेल्या डिझाइनमध्ये सममितीच्या रेषा (ज्यांना अक्ष असेही म्हणतात) ओळखण्याचा आनंद घ्या.

चला आता सममितीवरील आपल्या कल्पना आणखी मजबूत करूया. खालील आकृत्यांचा अभ्यास करा ज्यात सममितीच्या रेषा ठिपक्या रेषांनी चिन्हांकित केल्या आहेत. [आकृती १२.१ (i) ते (iv)]

१२.२ नियमित बहुभुजांसाठी सममितीच्या रेषा

तुम्हाला माहित आहे की बहुभुज ही अनेक रेषाखंडांनी बनलेली बंद आकृती असते. सर्वात कमी रेषाखंडांनी बनलेले बहुभुज म्हणजे त्रिकोण. (अजून कमी रेषाखंडांनी काढता येणारे बहुभुज असू शकते का? याचा विचार करा).

जर बहुभुजाच्या सर्व बाजू समान लांबीच्या असतील आणि सर्व कोन समान मापाचे असतील तर त्याला नियमित बहुभुज म्हणतात. अशाप्रकारे, समभुज त्रिकोण हे तीन बाजूंचे नियमित बहुभुज आहे. चार बाजूंचे नियमित बहुभुज तुम्ही नाव देऊ शकता का?

समभुज त्रिकोण नियमित आहे कारण त्याच्या प्रत्येक बाजूची लांबी सारखीच आहे आणि त्याचा प्रत्येक कोन $60^{\circ}$ मापाचा आहे (आकृती १२.२).

आकृती १२.२

चौरस देखील नियमित आहे कारण त्याच्या सर्व बाजू समान लांबीच्या आहेत आणि त्याचा प्रत्येक कोन काटकोन (म्हणजेच, $90^{\circ}$ ) आहे. त्याचे कर्ण एकमेकांचे लंबदुभाजक आहेत असे दिसते (आकृती १२.३).

आकृती १२.३

जर पंचकोन नियमित असेल, तर स्वाभाविकच, त्याच्या बाजूंची लांबी समान असावी. तुम्हाला नंतर शिकायला मिळेल की त्याच्या प्रत्येक कोनाचे माप $108^{\circ}$ आहे (आकृती १२.४).

आकृती १२.४

आकृती १२.५

नियमित षटकोनाच्या सर्व बाजू समान असतात आणि त्याच्या प्रत्येक कोनाचे माप $120^{\circ}$ असते. तुम्हाला या आकृत्यांबद्दल आणखी नंतर शिकायला मिळेल (आकृती १२.५).

नियमित बहुभुज सममितीय आकृत्या असतात आणि म्हणून त्यांच्या सममितीच्या रेषा अगदी मनोरंजक असतात,

प्रत्येक नियमित बहुभुजात जितक्या बाजू असतात तितक्याच सममितीच्या रेषा असतात [आकृती १२.६ (i) - (iv)]. आपण म्हणतो की, त्यांच्यात अनेक सममिती रेषा असतात.

कदाचित, तुम्हाला कागद दुमडून याचा शोध घ्यायला आवडेल. पुढे जा!

रेषीय सममितीची संकल्पना आरशातील प्रतिबिंबाशी जवळून संबंधित आहे. जेव्हा एखाद्या आकाराचा एक भाग दुसऱ्या भागाचे आरशातील प्रतिबिंब असतो तेव्हा त्याला रेषीय सममिती असते (आकृती १२.७). अशाप्रकारे, आरशाची रेषा सममितीची रेषा कल्पना करण्यास मदत करते (आकृती १२.८).

आकार समान आहे, पण दुसऱ्या बाजूने!

हा पंचिंग गेम खेळा!

दुमडणे ही सममितीची रेषा (किंवा अक्ष) आहे. दुमडलेल्या कागदावर वेगवेगळ्या ठिकाणी केलेल्या पंच आणि त्यांच्या संबंधित सममिती रेषांचा अभ्यास करा (आकृती १२.१०).

क्रियाकलाप १२.१

१. पंच केलेल्या छिद्रांसह आकृत्या कॉपी करा आणि खालील आकृत्यांसाठी सममितीचे अक्ष शोधा:

२. सममितीची रेषा/रेषा दिली असता, इतर छिद्र/छिद्रे शोधा:

३. खालील आकृत्यांमध्ये, आरशाची रेषा (म्हणजेच, सममितीची रेषा) ठिपक्या रेषेने दिली आहे. ठिपक्या (आरशाच्या) रेषेत प्रतिबिंब करून प्रत्येक आकृती पूर्ण करा. (कदाचित तुम्ही ठिपक्या रेषेसोबत आरसा ठेवून प्रतिमेसाठी आरशात पाहू शकता). तुम्ही पूर्ण केलेल्या आकृतीचे नाव आठवू शकता का?

४. खालील आकृत्यांमध्ये एकापेक्षा जास्त सममिती रेषा आहेत. अशा आकृत्यांमध्ये अनेक सममिती रेषा असतात असे म्हटले जाते.

खालील प्रत्येक आकृतीमध्ये अनेक सममिती रेषा असल्यास, त्या ओळखा:

५. येथे दिलेली आकृती कॉपी करा.

कोणताही एक कर्ण सममितीची रेषा म्हणून घ्या आणि आकृती कर्णाबद्दल सममित होईल अशा काही चौरस रंगवा. हे करण्याचा एकापेक्षा जास्त मार्ग आहे का? आकृती दोन्ही कर्णांबद्दल सममित असेल का?

६. आकृती कॉपी करा आणि प्रत्येक आकार आरशाच्या रेषा/रेषांबद्दल सममित होईल अशाप्रकारे पूर्ण करा:

७. खालील आकृत्यांसाठी सममिती रेषांची संख्या सांगा:

(अ) समभुज त्रिकोण

(ब) समद्विभुज त्रिकोण

(क) विषमभुज त्रिकोण

(ड) चौरस

(इ) आयत

(फ) समभुज चौकोन

(ग) समांतरभुज चौकोन

(ह) चौकोन

(इ) नियमित षटकोन

(ज) वर्तुळ

८. इंग्रजी वर्णमालेतील कोणत्या अक्षरांमध्ये प्रतिबिंब सममिती (म्हणजेच, आरशातील प्रतिबिंबाशी संबंधित सममिती) असते.

(अ) उभ्या आरशाबद्दल

(ब) आडव्या आरशाबद्दल

(क) दोन्ही आडव्या आणि उभ्या आरशांबद्दल

९. सममितीची रेषा नसलेल्या आकारांची तीन उदाहरणे द्या.

१०. सममितीच्या रेषेला तुम्ही इतर काय नाव देऊ शकता?

(अ) समद्विभुज त्रिकोणाच्या?

(ब) वर्तुळाच्या?

१२.३ परिवर्तन सममिती

घड्याळाचे काटे फिरतात तेव्हा तुम्ही काय म्हणता?

तुम्ही म्हणता की ते परिवलन करतात. घड्याळाचे काटे फक्त एकाच दिशेने, एका निश्चित बिंदूभोवती, घड्याळाच्या चेहऱ्याच्या केंद्राभोवती फिरतात.

घड्याळाच्या काट्यांच्या हालचालीसारखे परिवलन, त्याला घड्याळाच्या काट्यांच्या दिशेने परिवलन म्हणतात; अन्यथा ते घड्याळाच्या काट्यांच्या विरुद्ध दिशेने असते असे म्हटले जाते.

छतावरील पंख्याच्या पात्यांच्या परिवलनाबद्दल तुम्ही काय म्हणू शकता? ते घड्याळाच्या काट्यांच्या दिशेने फिरतात की घड्याळाच्या काट्यांच्या विरुद्ध दिशेने? किंवा ते दोन्ही दिशेने फिरतात का?

जर तुम्ही सायकलचे चाक फिरवले तर ते परिवलन करते. ते कोणत्याही दिशेने फिरू शकते: घड्याळाच्या काट्यांच्या दिशेने आणि घड्याळाच्या काट्यांच्या विरुद्ध दिशेने दोन्ही. (i) घड्याळाच्या काट्यांच्या दिशेने परिवलन आणि (ii) घड्याळाच्या काट्यांच्या विरुद्ध दिशेने परिवलन या प्रत्येकासाठी तीन उदाहरणे द्या.

जेव्हा एखादी वस्तू फिरते, तेव्हा तिचा आकार आणि आकारमान बदलत नाही. परिवलन एखाद्या वस्तूला एका निश्चित बिंदूभोवती फिरवते. हा निश्चित बिंदू म्हणजे परिवलनाचे केंद्र. घड्याळाच्या काट्यांचे परिवलन केंद्र काय आहे? याचा विचार करा.

आकृती १२.११

परिवलनादरम्यान होणाऱ्या वळणाच्या कोनाला परिवलन कोन म्हणतात. तुम्हाला माहित आहे की, पूर्ण वळण म्हणजे $360^{\circ}$ चे परिवलन. (i) अर्ध्या वळणासाठी? (ii) चतुर्थांश वळणासाठी? परिवलन कोनाचे अंश माप काय आहे?

अर्धे वळण म्हणजे $180^{\circ}$ ने परिवलन; चतुर्थांश वळण म्हणजे $90^{\circ}$ ने परिवलन.

जेव्हा १२ वाजतात, तेव्हा घड्याळाचे काटे एकत्र असतात. ३ वाजेपर्यंत, मिनिट काट्याने तीन पूर्ण वळणे घेतली असतील; पण तास काट्याने फक्त चतुर्थांश वळण घेतले असेल. ६ वाजता त्यांची स्थिती काय असेल तुम्ही म्हणू शकता का?

तुम्ही कधी कागदी पवनचक्की बनवली आहे का? चित्रातील कागदी पवनचक्की सममितीय दिसते (आकृती १२.११); पण तुम्हाला कोणतीही सममिती रेषा सापडत नाही. कोणतीही दुमडणी तुम्हाला एकरूप अर्ध्या भाग मिळविण्यास मदत करू शकत नाही. तथापि जर तुम्ही ते निश्चित बिंदूभोवती $90^{\circ}$ ने फिरवले, तर पवनचक्की नक्की तशीच दिसेल. आपण म्हणतो की पवनचक्कीला परिवर्तन सममिती आहे.

आकृती १२.१२

एका पूर्ण वळणात, नक्की चार स्थिती असतात ($90^{\circ}$, $180^{\circ}, 270^{\circ}$ आणि $360^{\circ}$ या कोनांद्वारे परिवलन केल्यावर) जेव्हा पवनचक्की नक्की तशीच दिसते. यामुळेच, आपण म्हणतो की त्याची परिवर्तन सममिती क्रम ४ ची आहे.

परिवर्तन सममितीसाठी येथे आणखी एक उदाहरण आहे.

$P$ हा एक कोपरा असलेला चौरस विचारात घ्या (आकृती १२.१३).

चौकोनाच्या केंद्राभोवती चतुर्थांश वळणे करू या जे $\mathbf{x}$ ने चिन्हांकित केले आहे.

आकृती १२.१३ (i) ही प्रारंभिक स्थिती आहे. केंद्राभोवती $90^{\circ}$ ने परिवलन केल्याने आकृती १२.१३ (ii) मिळते. आता $P$ ची स्थिती लक्षात घ्या. पुन्हा $90^{\circ}$ द्वारे फिरवा आणि तुम्हाला आकृती १२.१३ (iii) मिळेल. अशाप्रकारे, जेव्हा तुम्ही चार चतुर्थांश वळणे पूर्ण करता, तेव्हा चौरस त्याच्या मूळ स्थितीत पोहोचतो. तो आता आकृती १२.१३ (i) प्रमाणेच दिसतो. $P$ ने घेतलेल्या स्थानांद्वारे हे पाहता येते.

अशाप्रकारे चौरसाला त्याच्या केंद्राभोवती क्रम $\mathbf{4}$ ची परिवर्तन सममिती असते. या प्रकरणात लक्षात घ्या की,

(i) परिवलनाचे केंद्र म्हणजे चौरसाचे केंद्र.

(ii) परिवलनाचा कोन $90^{\circ}$ आहे.

(iii) परिवलनाची दिशा घड्याळाच्या काट्यांच्या दिशेने आहे.

(iv) परिवर्तन सममितीचा क्रम ४ आहे.

प्रयत्न करा

१. (अ) समभुज त्रिकोणासाठी परिवर्तन सममितीचा क्रम आता तुम्ही सांगू शकता का? (आकृती १२.१४)

(ब) जेव्हा त्रिकोण त्याच्या केंद्राभोवती $120^{\circ}$ ने फिरवला जातो तेव्हा तो नक्की तसाच दिसतो अशा किती स्थिती आहेत?

२. खालीलपैकी कोणत्या आकारांमध्ये (आकृती १२.१५) चिन्हांकित बिंदूभोवती परिवर्तन सममिती आहे.

हे करा

दोन एकसारखे समांतरभुज चौकोन काढा, एक-ABCD कागदाच्या तुकड्यावर आणि दुसरा A’ B’ C’ D’ पारदर्शक शीटवर. त्यांच्या कर्णांच्या छेदनबिंदूंना अनुक्रमे $O$ आणि $O^{\prime}$ असे चिन्हांकित करा (आकृती १२.१६). $O$ वर.

समांतरभुज चौकोन असे ठेवा की $A^{\prime}$ $A, B^{\prime}$ वर पडतो आणि असेच. $O^{\prime}$ नंतर पडतो

आकृती १२.१६

आकारांवर $O$ या बिंदूवर पिन टाका.

आता पारदर्शक आकार घड्याळाच्या काट्यांच्या दिशेने फिरवा.

एका पूर्ण फेरीत आकार किती वेळा एकरूप होतात?

परिवर्तन सममितीचा क्रम काय आहे?

जिथे आपल्याकडे पिन आहे तो बिंदू म्हणजे परिवलनाचे केंद्र. हा या प्रकरणात कर्णांचा छेदनबिंदू आहे.

प्रत्येक वस्तूची परिवर्तन सममिती क्रम १ ची असते, कारण $360^{\circ}$ (म्हणजेच, एक पूर्ण परिवलन) च्या परिवलनानंतर ती समान स्थिती व्यापते. अशा प्रकरणांमध्ये आपल्यासाठी काहीच रस नाही.

तुमच्या आजूबाजूला अनेक आकार आहेत, ज्यात परिवर्तन सममिती असते (आकृती १२.१७).

उदाहरणार्थ, जेव्हा तुम्ही काही फळे कापता, तेव्हा क्रॉस-सेक्शन्स परिवर्तन सममिती असलेले आकार असतात. तुम्ही त्यांना पाहिल्यावर हे तुम्हाला आश्चर्यचकित करू शकते [आकृती १२.१७(i)].

मग अनेक रोड साइन आहेत जे परिवर्तन सममिती प्रदर्शित करतात. पुढच्या वेळी जेव्हा तुम्ही गर्दीच्या रस्त्यावर चालता, तेव्हा अशी रोड साइन ओळखण्याचा प्रयत्न करा आणि परिवर्तन सममितीचा क्रम शोधा [आकृती १२.१७(ii)].

परिवर्तन सममितीसाठी आणखी काही उदाहरणे विचारात घ्या. प्रत्येक प्रकरणात चर्चा करा:

(i) परिवलनाचे केंद्र (ii) परिवलनाचा कोन

(iii) ज्या दिशेने परिवलन प्रभावित होते आणि

(iv) परिवर्तन सममितीचा क्रम.

प्रयत्न करा

दिलेल्या आकृत्यांची $\times($ (आकृती १२.१७) बिंदूभोवती परिवर्तन सममितीचा क्रम द्या.

क्रियाकलाप १२.२

१. खालीलपैकी कोणत्या आकृत्यांमध्ये १ पेक्षा जास्त क्रमाची परिवर्तन सममिती आहे:

२. प्रत्येक आकृतीसाठी परिवर्तन सममितीचा क्रम द्या:

१२.४ रेषीय सममिती आणि परिवर्तन सममिती

तुम्ही आतापर्यंत अनेक आकार आणि त्यांच्या सममितीचे निरीक्षण करत आहात. आतापर्यंत तुम्हाला हे समजले असेल की काही आकारांमध्ये फक्त रेषीय सममिती असते, काहींमध्ये फक्त परिवर्तन सममिती असते आणि काहींमध्ये रेषीय सममिती आणि परिवर्तन सममिती दोन्ही असतात.

उदाहरणार्थ, चौरस आकाराचा विचार करा (आकृती १२.१९).

त्यात किती सममिती रेषा आहेत?

त्यात काही परिवर्तन सममिती आहे का?

जर ‘होय’, तर परिवर्तन सममितीचा क्रम काय आहे?

याचा विचार करा.

आकृती १२.१९

वर्तुळ ही सर्वात परिपूर्ण सममितीय आकृती आहे, कारण ते त्याच्या केंद्राभोवती कोणत्याही कोनात फिरवता येते आणि त्याच वेळी त्यात अमर्याद संख्येने सममिती रेषा असतात. कोणतेही वर्तुळ पॅटर्न पहा. केंद्रातून जाणारी प्रत्येक रेषा (म्हणजेच प्रत्येक व्यास) (प्रतिबिंब) सममितीची रेषा बनवते आणि प्रत्येक कोनासाठी त्याच्यात केंद्राभोवती परिवर्तन सममिती असते.

हे करा

इंग्रजी वर्णमालेतील काही अक्षरांमध्ये मोहक सममितीय रचना असतात. कोणत्या कॅपिटल अक्षरांमध्ये फक्त एक सममिती रेषा असते ($\mathbf{E}$ सारखी)? कोणत्या कॅपिटल अक्षरांमध्ये क्रम २ ची परिवर्तन सममिती असते (I सारखी)?

अशा ओळींवर विचार करण्याचा प्रयत्न करून, तुम्ही खालील सारणी भरू शकाल:

क्रियाकलाप १२.३

१. अशा कोणत्याही दोन आकृत्यांची नावे सांगा ज्यात रेषीय सममिती आणि परिवर्तन सममिती दोन्ही आहेत.

२. जेथे शक्य असेल तेथे, एक रेखाचित्र काढा

(i) एक त्रिकोण ज्यामध्ये १ पेक्षा जास्त क्रमाची रेषीय आणि परिवर्तन सममिती दोन्ही आहेत.

(ii) एक त्रिकोण ज्यामध्ये फक्त रेषीय सममिती आहे आणि १ पेक्षा जास्त क्रमाची परिवर्तन सममिती नाही.

(iii) एक चौकोन ज्यामध्ये १ पेक्षा जास्त क्रमाची परिवर्तन सममिती आहे पण रेषीय सममिती नाही.

(iv) एक चौकोन ज्यामध्ये रेषीय सममिती आहे पण १ पेक्षा जास्त क्रमाची परिवर्तन सममिती नाही.

३. जर एखाद्या आकृतीमध्ये दोन किंवा अधिक सममिती रेषा असतील, तर त्यात १ पेक्षा जास्त क्रमाची परिवर्तन सममिती असावी का?

४. रिकाम्या जागा भरा:

५. अशा चौकोनांची नावे सांगा ज्यात रेषीय आणि परिवर्तन सममिती दोन्ही १ पेक्षा जास्त क्रमाची आहेत.

६. केंद्राभोवती $60^{\circ}$ ने फिरवल्यानंतर, एक आकृती तिच्या मूळ स्थितीप्रमाणेच नक्की दिसते. आकृतीसाठी हे इतर कोणत्या कोनात होईल?

७. आपल्याकडे १ पेक्षा जास्त क्रमाची परिवर्तन सममिती असू शकते का ज्याचा परिवलन कोन आहे

(i) $45^{\circ}$ ?

(ii) $17^{\circ}$ ?

आपण काय चर्चा केली?

१. एखाद्या आकृतीला रेषीय सममिती असते, जर ती आकृती ज्या रेषेभोवती दुमडली जाऊ शकते की आकृतीचे दोन भाग एकमेकांशी जुळतील.

२. नियमित बहुभुजांच्या बाजू आणि कोन समान असतात. त्यांच्यात अनेक (म्हणजेच एकापेक्षा जास्त) सममिती रेषा असतात.

३. प्रत्येक नियमित बहुभुजात जितक्या बाजू असतात तितक्याच सममितीच्या रेषा असतात.

४. आरशातील प्रतिबिंबामुळे सममिती येते, ज्याखाली डावी-उजवी अभिमुखता काळजी घेणे आवश्यक आहे.

५. परिवलन एखाद्या वस्तूला एका निश्चित बिंदूभोवती फिरवते.

हा निश्चित बिंदू म्हणजे परिवलनाचे केंद्र.

ज्या कोनातून वस्तू फिरते तो म्हणजे परिवलनाचा कोन.

अर्धे वळण म्हणजे $180^{\circ}$ ने परिवलन; चतुर्थांश वळण म्हणजे $90^{\circ}$ ने परिवलन. परिवलन घड्याळाच्या काट्यांच्या दिशेने किंवा घड्याळाच्या काट्यांच्या विरुद्ध दिशेने असू शकते.

६. जर, परिवलनानंतर, एखादी वस्तू नक्की तशीच दिसत असेल, तर आपण म्हणतो की तिला परिवर्तन सममिती आहे.

७. एका पूर्ण वळणात ($360^{\circ}$ च्या), एखादी वस्तू नक्की तशीच दिसते त्या वेळेच्या संख्येला परिवर्तन सममितीचा क्रम म्हणतात. उदाहरणार्थ, चौरसाच्या सममिती