१३.१ परिचय: समतल आकृत्या आणि घन आकार

या अध्यायात, तुम्ही पाहिलेल्या आकृत्या आयाम या संकल्पनेच्या आधारे वर्गीकृत कराल.

आपल्या दैनंदिन जीवनात, आपण पुस्तके, चेंडू, आईस्क्रीम कोन इत्यादी अनेक वस्तू आपल्या आजूबाजूला पाहतो, ज्यांचे वेगवेगळे आकार असतात. यापैकी बहुतेक वस्तूंमध्ये एक सामाईक गोष्ट म्हणजे त्यांना काही लांबी, रुंदी आणि उंची किंवा खोली असते.

म्हणजेच, त्या सर्व जागा व्यापतात आणि त्यांना तीन आयाम आहेत.

म्हणूनच, त्यांना त्रिमितीय आकार म्हणतात.

मागील इयत्तांमध्ये आपण पाहिलेले काही त्रिमितीय आकार (म्हणजेच घन आकार) तुम्हाला आठवतात का?

हे करून पहा

या प्रत्येकासारखे काही वस्तू ओळखण्याचा प्रयत्न करा.

त्याचप्रमाणे, कागदावर काढलेल्या आकृत्या ज्यांना फक्त लांबी आणि रुंदी असते त्यांना द्विमितीय (म्हणजेच समतल) आकृत्या म्हणतात. मागील इयत्तांमध्ये आपण काही द्विमितीय आकृत्या देखील पाहिल्या आहेत.

द्विमितीय आकृत्या नावांशी जुळवा (आकृती १३.२):

टीप: आपण २-आयामासाठी 2-D आणि ३-आयामासाठी 3-D असे लहान रूप वापरू शकतो.

१३.२ पृष्ठभाग, कडा आणि शिरोबिंदू

घन आकारांचे पृष्ठभाग, शिरोबिंदू आणि कडा, जे तुम्ही आधी अभ्यासले होते, ते तुम्हाला आठवतात का? येथे तुम्ही त्यांना एका घनासाठी पाहू शकता:

घनाचे ८ कोपरे हे त्याचे शिरोबिंदू आहेत. घनाचा आराखडा तयार करणारे १२ रेषाखंड त्याच्या कडा आहेत. घनाची त्वचा म्हणून असलेले ६ सपाट चौरस पृष्ठभाग त्याचे पृष्ठभाग आहेत.

हे करा

खालील सारणी पूर्ण करा:

तुम्ही पाहू शकता की, द्विमितीय आकृत्या त्रिमितीय आकारांचे पृष्ठभाग म्हणून ओळखल्या जाऊ शकतात? उदाहरणार्थ, एका वृत्तचितीला दोन पृष्ठभाग असतात जे वर्तुळे असतात, आणि एका पिरॅमिडला, ज्याचा आकार असा असतो, त्याचे पृष्ठभाग त्रिकोण असतात.

आता आपण हे त्रिमितीय आकार कागदावर, म्हणजेच द्विमितीय पृष्ठभागावर, कसे दृश्यमान करता येतील ते पाहण्याचा प्रयत्न करू.

हे करण्यासाठी, आपण त्रिमितीय वस्तूंशी जवळून परिचित होऊ इच्छितो. चला निव्वळ म्हणून ओळखल्या जाणाऱ्या गोष्टी बनवून हे आकार तयार करण्याचा प्रयत्न करूया.

१३.३ ३-डी आकार बनवण्यासाठी निव्वळ

एक कार्डबोर्डचा डबा घ्या. डबा सपाट ठेवण्यासाठी कडा कापा. आता त्या डब्यासाठी तुमच्याकडे एक निव्वळ आहे. निव्वळ हा द्विमितीय मध्ये एक प्रकारचा आराखडा असतो [आकृती १३.४ (i)], जो दुमडल्यावर [आकृती १३.४ (ii)], एक त्रिमितीय आकार तयार करतो [आकृती १३.४ (iii)].

येथे तुम्ही कडा योग्य रीतीने वेगळे करून एक निव्वळ मिळवले. उलट प्रक्रिया शक्य आहे का?

येथे एका डब्यासाठी निव्वळ नमुना आहे (आकृती १३.५). निव्वळची मोठी प्रत बनवा आणि योग्य रीतीने दुमडून आणि चिकटवून डबा बनवण्याचा प्रयत्न करा. (तुम्ही योग्य एकके वापरू शकता). डबा हा एक घन आहे. तो एक घनाभाच्या आकाराची त्रिमितीय वस्तू आहे.

त्याचप्रमाणे, तुम्ही त्याच्या तिरप्या पृष्ठभागावर एक चीर कापून शंकूसाठी एक निव्वळ मिळवू शकता (आकृती १३.६).

वेगवेगळ्या आकारांसाठी तुमच्याकडे वेगवेगळी निव्वळ असतात. दिलेल्या निव्वळची मोठी प्रत बनवा (आकृती १३.७) आणि दर्शविलेले त्रिमितीय आकार बनवण्याचा प्रयत्न करा. (तुम्ही कार्डबोर्डच्या पट्ट्या व पेपर क्लिप वापरून आराखड्याचे मॉडेल देखील तयार करू इच्छू शकता).

आपण गिझा (इजिप्त) मधील ग्रेट पिरॅमिडसारखा पिरॅमिड बनवण्यासाठी एक निव्वळ बनवण्याचा देखील प्रयत्न करू शकतो (आकृती १३.८). त्या पिरॅमिडला चौरस पाया आणि चारही बाजूंना त्रिकोण असतात.

दिलेल्या निव्वळने तुम्ही तो बनवू शकता का ते पहा (आकृती १३.९).

हे करून पहा

येथे तुम्हाला चार निव्वळ सापडतात (आकृती १३.१०). त्यापैकी दोन योग्य निव्वळ टेट्राहेड्रॉन बनवण्यासाठी आहेत. कोणती निव्वळ टेट्राहेड्रॉन बनवतील हे तुम्ही शोधू शकता का ते पहा.

उदाहरणे १३.१

१. कोणती निव्वळ घन बनवण्यासाठी वापरता येतील ते ओळखा (निव्वळच्या प्रती कापून वापरून पहा):

२. फासे हे प्रत्येक पृष्ठभागावर ठिपके असलेले घन असतात. फाश्याच्या विरुद्ध पृष्ठभागांवर एकूण सात ठिपके असतात.

येथे फासे (घन) बनवण्यासाठी दोन निव्वळ आहेत; प्रत्येक चौरसात घातलेली संख्या त्या चौरसातील ठिपक्यांची संख्या दर्शवते.

योग्य संख्या रिकाम्या जागेत भरा, लक्षात ठेवा की विरुद्ध पृष्ठभागांवरील संख्यांची बेरीज ७ असावी.

३. हे फाश्यासाठी निव्वळ असू शकते का?

तुमचे उत्तर स्पष्ट करा.

४. येथे घन बनवण्यासाठी एक अपूर्ण निव्वळ आहे. किमान दोन वेगवेगळ्या प्रकारे ती पूर्ण करा. लक्षात ठेवा की घनाला सहा पृष्ठभाग असतात. येथील निव्वळमध्ये किती आहेत? (दोन वेगळी आकृत्या द्या. तुम्हाला आवडत असेल तर, सुलभतेसाठी तुम्ही चौकटी असलेला कागद वापरू शकता.)

५. निव्वळ योग्य घनाशी जुळवा:

हे खेळा

तुम्ही आणि तुमचा मित्र पाठीमागे पाठी लावून बसा. तुमपैकी एक ३-डी आकार बनवण्यासाठी निव्वळ वाचतो, तर दुसरा ती कॉपी करून वर्णन केलेली ३-डी वस्तू रेखाटण्याचा किंवा बनवण्याचा प्रयत्न करतो.

१३.४ सपाट पृष्ठभागावर घन रेखाटणे

तुमचा रेखाटण्याचा पृष्ठभाग म्हणजे कागद, जो सपाट असतो. जेव्हा तुम्ही घन आकार रेखाटता, तेव्हा प्रतिमा त्रिमितीय दिसण्यासाठी काहीशा विकृत केल्या जातात. ही एक दृश्य भ्रम आहे. तुम्हाला येथे मदत करण्यासाठी दोन तंत्रे सापडतील.

१३.४.१ तिरपी रेखाचित्रे

येथे एका घनाची आकृती आहे (आकृती १३.११). हे स्पष्ट कल्पना देते की समोरून पाहिल्यावर घन कसा दिसतो. तुम्हाला काही पृष्ठभाग दिसत नाहीत. काढलेल्या आकृतीमध्ये, लांबी

समान नाहीत, जशी घनामध्ये असावीत. तरीही, तुम्ही ते घन म्हणून ओळखू शकता. घनाच्या अशा रेखाचित्राला तिरपे रेखाचित्र म्हणतात.

तुम्ही अशी रेखाचित्रे कशी काढू शकता? चला तंत्र शिकण्याचा प्रयत्न करूया.

तुम्हाला चौकटी (रेषा किंवा ठिपके) असलेला कागद लागेल. सुरुवातीला या पत्रकांवर रेखाटण्याचा सराव केल्याने नंतर साध्या कागदावर (चौकटी रेषा किंवा ठिपक्यांच्या मदतीशिवाय!) ते रेखाटणे सोपे होईल. चला एका $3 \times 3 \times 3$ (प्रत्येक कडा ३ एकक) घनाचे तिरपे रेखाचित्र काढण्याचा प्रयत्न करूया (आकृती १३.१२).

वरील तिरप्या रेखाचित्रात, तुम्ही खालील गोष्टी लक्षात घेतल्या?

(i) समोरच्या पृष्ठभागाचे आकार आणि त्याच्या विरुद्ध बाजूचे आकार समान आहेत; आणि

(ii) कडा, ज्या घनामध्ये सर्व समान असतात, त्या रेखाचित्रात तशाच दिसतात, जरी कडांची वास्तविक मापे अशी घेतलेली नसतात.

आता तुम्ही घनाभाचे (लक्षात ठेवा या प्रकरणात पृष्ठभाग आयत असतात) तिरपे रेखाचित्र काढण्याचा प्रयत्न करू शकता.

टीप: तुम्ही अशी रेखाचित्रे काढू शकता ज्यामध्ये मापे दिलेल्या घनाशी सुसंगत असतात. हे करण्यासाठी आपल्याला सममितीय पत्रक म्हणून ओळखल्या जाणाऱ्या गोष्टीची आवश्यकता आहे. चला दिलेल्या सममितीय पत्रकावर $4 ~cm$ लांबी, $3 ~cm$ रुंदी आणि $3 ~cm$ उंचीचे माप असलेला घनाभ बनवण्याचा प्रयत्न करूया.

१३.४.२ सममितीय रेखाचित्रे

तुम्ही सममितीय ठिपक्यांचे पत्रक पाहिले आहे का? (पुस्तकाच्या शेवटी एक नमुना दिला आहे). असे पत्रक कागदाला ठिपके किंवा रेषांनी बनवलेल्या लहान समभुज त्रिकोणांमध्ये विभागते. ज्या रेखाचित्रांमध्ये मापे घनाशी सुसंगत असतात, अशी रेखाचित्रे काढण्यासाठी आपण सममितीय ठिपक्यांची पत्रके वापरू शकतो. [मागील आवरणाच्या आतल्या बाजूला दिलेले (तिसरे आवरण पृष्ठ).]

चला $4 \times 3 \times 3$ मापांच्या घनाभाचे सममितीय रेखाचित्र काढण्याचा प्रयत्न करूया (म्हणजे लांबी, रुंदी आणि उंची बनवणाऱ्या कडा अनुक्रमे ४, ३, ३ एकक आहेत) (आकृती १३.१३).

लक्षात घ्या की सममितीय रेखाचित्रात मापे नेमक्या आकाराची असतात;

उदाहरण १ येथे एका घनाभाचे तिरपे रेखाचित्र आहे [आकृती १३.१४(i)]. या रेखाचित्राशी जुळणारे सममितीय रेखाचित्र काढा.

उकल

येथे उकल आहे [आकृती १३.१४(ii)]. मापांची काळजी कशी घेतली जाते ते लक्षात घ्या.

तुम्ही (i) ‘लांबी’ (ii) ‘रुंदी’ (iii) ‘उंची’ बरोबर किती एकके घेतली आहेत? ती तिरप्या रेखाचित्रात नमूद केलेल्या एककांशी जुळतात का?

उदाहरणे १३.२

१. सममितीय ठिपक्यांचा कागद वापरा आणि दिलेल्या प्रत्येक आकारासाठी सममितीय रेखाचित्र बनवा:

२. घनाभाची मापे $5 ~cm, 3 ~cm$ आणि $2 ~cm$ आहेत. या घनाभाची तीन वेगवेगळी सममितीय रेखाचित्रे काढा.

३. प्रत्येक $2 ~cm$ कडा असलेले तीन घन एकमेकांशेजारी ठेवून एक घनाभ तयार केला आहे. या घनाभाचे तिरपे किंवा सममितीय रेखाचित्र काढा.

४. दिलेल्या प्रत्येक सममितीय आकारासाठी तिरपे रेखाचित्र बनवा:

५. खालील प्रत्येकासाठी (i) एक तिरपे रेखाचित्र आणि (ii) एक सममितीय रेखाचित्र द्या:

(अ) $5 ~cm, 3 ~cm$ आणि $2 ~cm$ मापांचा घनाभ. (तुमचे रेखाचित्र अद्वितीय आहे का?)

(ब) $4 ~cm$ लांबीची कडा असलेला घन.

पुस्तकाच्या शेवटी सममितीय पत्रक जोडलेले आहे. तुम्ही तुमच्या मित्राने सांगितलेल्या मापांचे काही घन किंवा घनाभ त्यावर बनवण्याचा प्रयत्न करू शकता.

१३.४.३ घन वस्तूंचे मानसिक चित्रण

हे करा

कधीकधी जेव्हा तुम्ही एकत्रित आकार पाहता, तेव्हा त्यापैकी काही तुमच्या दृष्टीकोनातून लपलेले असू शकतात.

येथे काही क्रियाकलाप आहेत जे तुम्ही तुमच्या मोकळ्या वेळेत काही घन वस्तू आणि त्या कशा दिसतात याचे मानसिक चित्रण करण्यास मदत करण्यासाठी करू शकता. काही घन घ्या आणि आकृती १३.१६ मध्ये दाखवल्याप्रमाणे त्यांची मांडणी करा.

आता तुमच्या मित्राला बाणाच्या खुणेने दर्शविलेल्या दृश्यातून पाहिल्यावर किती घन आहेत याचा अंदाज लावण्यास सांगा.

हे करून पहा

खालील मांडण्यांमध्ये घनांची संख्या अंदाज लावण्याचा प्रयत्न करा (आकृती १३.१७).

असे मानसिक चित्रण खूप उपयुक्त आहे. समजा तुम्ही अशा घनांना जोडून एक घनाभ तयार करता. घनाभाची लांबी, रुंदी आणि उंची किती असेल हे तुम्ही अंदाज लावू शकाल.

उदाहरण २ जर $2 ~cm$ ने $2 ~cm$ ने $2 ~cm$ मापांचे दोन घन एकमेकांशेजारी ठेवले, तर परिणामी घनाभाची मापे किती असतील?

उकल

जसे तुम्ही पाहू शकता (आकृती १३.१८) जेव्हा एकमेकांशेजारी ठेवले जाते, तेव्हा लांबी हे एकमेव माप वाढते, ती $2+2=4 ~cm$ होते.

रुंदी $=2 ~cm$ आणि उंची $=2 ~cm$.

हे करून पहा

आकृती १३.१९

१. दोन फासे एकमेकांशेजारी दाखवल्याप्रमाणे ठेवले आहेत: खालील विरुद्ध पृष्ठभागावर एकूण किती असेल ते तुम्ही सांगू शकता का?

(अ) $5+6$

(ब) $4+3$

(लक्षात ठेवा की फाश्यावर विरुद्ध पृष्ठभागांवरील संख्यांची बेरीज ७ असते)

२. प्रत्येक $2 ~cm$ कडा असलेले तीन घन एकमेकांशेजारी ठेवून एक घनाभ तयार केला आहे. तिरपे रेखाचित्र काढण्याचा प्रयत्न करा आणि त्याची लांबी, रुंदी आणि उंची किती असू शकते ते सांगा.

१३.५ घनाचे वेगवेगळे छेद पाहणे

आता एक वस्तू, जी ३-डी मध्ये आहे, ती वेगवेगळ्या प्रकारे कशी पाहता येते ते पाहूया.

१३.५.१ वस्तू पाहण्याचा एक मार्ग म्हणजे ती कापणे किंवा छेदणे छेद खेळ

येथे ब्रेडचा एक लोफ आहे (आकृती १३.२०). तो चौरस पृष्ठभाग असलेल्या घनाभासारखा आहे. तुम्ही त्याला सुरीने ‘कापता’.

आकृती १३.२०

जेव्हा तुम्ही ‘उभा’ काप देतो, तेव्हा तुम्हाला आकृती १३.२० मध्ये दाखवल्याप्रमाणे अनेक तुकडे मिळतात. प्रत्येक तुकड्याचा पृष्ठभाग चौरस असतो! आपण या पृष्ठभागाला संपूर्ण ब्रेडचा ‘छेद’ म्हणतो. या प्रकरणात छेद जवळजवळ चौरस असतो.

सावधान! जर तुमचा काप ‘उभा’ नसेल तर तुम्हाला वेगळा छेद मिळू शकतो! याचा विचार करा. तुम्हाला मिळालेल्या छेदाची सीमा एक समतल वक्र असते. तुम्ही ते लक्षात घेतात का?

एक स्वयंपाकघरातील खेळ

स्वयंपाकघरात स्वयंपाकासाठी भाज्या कापल्या जातात तेव्हा त्यांचे छेद तुम्ही पाहिले आहेत का? विविध तुकड्यांचे निरीक्षण करा आणि छेद म्हणून मिळणाऱ्या आकारांबद्दल जागरूक व्हा.

हे खेळा

खालील घनांची मातीची (किंवा प्लास्टिसिनची) मॉडेल्स बनवा आणि उभे किंवा आडवे काप द्या.

तुम्हाला मिळालेल्या छेदांची अंदाजे रेखाचित्रे काढा. शक्य तेथे त्यांना नावे द्या.

आकृती १३.२१

उदाहरणे १३.३

१. खालील घनांना

(i) उभा काप $\qquad$ (ii) आडवा काप

दिल्यास तुम्हाला कोणते छेद मिळतील?

(अ) विट $\qquad$ (ब) गोल सफरचंद $\qquad$ (क) फासा

(ड) गोलाकार नळी $\qquad$ (इ) आईस्क्रीम कोन

१३.५.२ दुसरा मार्ग म्हणजे सावलीचा खेळ

सावलीचा खेळ

त्रिमितीय वस्तू द्विमितीय मध्ये कशा पाहता येतात हे दर्शवण्यासाठी सावली चांगला मार्ग आहे. तुम्ही सावलीचा खेळ पाहिला आहे का? हा प्रकाशित पार्श्वभूमीसमोर घन सांधे असलेल्या आकृत्यांचा वापर करून हलणाऱ्या प्रतिमा निर्माण करणारा मनोरंजनाचा एक प्रकार आहे.

आकृती १३.२२ हे गणितातील कल्पनांचा काही अप्रत्यक्ष वापर करते.

या क्रियाकलापासाठी तुम्हाला प्रकाशाचा स्रोत आणि काही घन आकारांची आवश्यकता असेल. (जर तुमच्याकडे ओव्हरहेड प्रोजेक्टर असेल, तर घन दिव्याखाली ठेवा आणी हे प्रयोग करा.)

शंकूच्या अगदी समोर एक टॉर्च लावून ठेवा. तो पडद्यावर

आकृती १३.२३ कोणत्या प्रकारची सावली टाकतो? (आकृती १३.२३)

घन त्रिमितीय आहे; सावलीचा आयाम किती आहे?

जर, शंकूऐवजी, तुम्ही वरील खेळात घन ठेवला, तर तुम्हाला कोणत्या प्रकारची सावली मिळेल?

प्रकाशाच्या स्रोताच्या वेगवेगळ्या स्थिती आणि घन वस्तूच्या वेगवेगळ्या स्थितीसह प्रयोग करा. तुम्हाला मिळणाऱ्या सावल्यांच्या आकार आणि आकारमानावर त्यांचा परिणाम अभ्यासा.

येथे आणखी एक मजेदार प्रयोग आहे जो तुम्ही कदाचित आधीच केला असेल: जेव्हा दुपारची वेळ असेल आणि सूर्य अगदी त्याच्या वर असेल तेव्हा एक गोलाकार ताट उघड्यावर आकृती १३.२४ (i) मध्ये दाखवल्याप्रमाणे ठेवा. तुम्हाला कोणती सावली मिळते?

(i)

ते

सूर्याच्या स्थिती आणि निरीक्षणाच्या वेळेशी संबंधित सावल्यांचा अभ्यास करा.

उदाहरणे १३.४

१. खालील घनांवर एक बल्ब जळत ठेवला आहे. प्रत्येक प्रकरणात मिळणाऱ्या सावलीचा आकार नाव द्या. सावलीचे अंदाजे रेखाचित्र देण्याचा प्रयत्न करा. (तुम्ही प्रथम प्रयोग करून नंतर या प्रश्नांची उत्तरे देण्याचा प्रयत्न करू शकता).

२. येथे काही ३-डी वस्तूंच्या सावल्या आहेत, जेव्हा ओव्हरहेड प्रोजेक्टरच्या दिव्याखाली पाहिले जातात. प्रत्येक सावलीशी जुळणारे घन ओळखा. (यासाठी अनेक उत्तरे असू शकतात!)

३. खालील विधाने सत्य आहेत का तपासा:

(i) घन आयताच्या आकारात सावली टाकू शकतो.

(ii) घन षटकोनाच्या आकारात सावली टाकू शकतो.

१३.५.३ तिसरा मार्ग म्हणजे विशिष्ट कोनातून पाहून वेगवेळे दृश्ये मिळवणे

एखादी वस्तू समोरून, बाजूने किंवा वरून पाहता येते. प्रत्येक वेळी वेगळे दृश्य मिळते (आकृती १३.२५).

येथे एका इमारतीची वेगवेगळी दृश्ये कशी मिळतात याचे उदाहरण आहे. (आकृती १३.२६)

तुम्ही घन जोडून बनवलेल्या आकृत्यांसाठी हे करू शकता.

घन एकत्र ठेवण्याचा आणि नंतर वेगवेगळ्या बाजूंनी अशी रेखाचित्रे बनवण्याचा प्रयत्न करा.

हे करून पहा

१. प्रत्येक घनासाठी, तीन दृश्ये (१), (२), (३) दिली आहेत. प्रत्येक घनासाठी संबंधित वरचे, समोरचे आणि बाजूचे दृश्य ओळखा.

२. प्रत्येक घनाचे बाणाने दर्शविलेल्या दिशेने पाहिल्याप्रमाणे दृश्य काढा.

आपण काय चर्चा केली?

१. वर्तुळ, चौरस, आयत, चौकोन आणि त्रिकोण ही समतल आकृत्यांची उदाहरणे आहेत; घन, घनाभ, गोल, वृत्तचिती, शंकू आणि पिरॅमिड ही घन आ