10.1 परिचय

आपल्याला माहित आहे का?

पृथ्वीची चुक 5,970,000,000,000, 000, 000, 000, $000 kg$. आपण आधीच्या वर्गात अगदी मोठ्या संख्या कसे अधिक सोप्या पद्धतीने घातांकांच्या वापराने लिहायला शिकलो आहोत, जसे की, $5.97 \times 10^{24} kg$.

आपण $10^{24}$ म्हणून 10 च्या 24 घातांकावर आढळलेले मूल्य वाचतो.

आपण जाणतो $\quad$ $\quad$ $ 2^{5}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 $

आणि $\quad$ $\quad$ $ 2^{m}=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times \ldots \times 2 \times 2 \ldots(m \text{ वेळा }) $

आता आपण शोधूया की $2^{-2}$ किती आहे?

10.2 नकारात्मक घातांकांच्या शक्ती

आपल्याला माहित आहे,

$ \begin{aligned} & 10^{1}=10=\frac{100}{10} \\ & 10^1= 10 = \frac{100}{10} \\ & 10^{0}=1=\frac{10}{10} \\ & 10^{-1}=? \end{aligned} $

घातांक 1 ने कमी होत असताना, मूल्य आधीच्या मूल्याच्या दहा वेळा चौकोर आहे.

उपरोक्त शैलीचे सुद्धा अनुसरण करून, आपण $10^{-1}=\frac{1}{10}$ मिळवतो

सारांशानुसार: $ \begin{aligned} & 10^{-2}=\frac{1}{10} \div 10=\frac{1}{10} \times \frac{1}{10}=\frac{1}{100}=\frac{1}{10^{2}} \\ & 10^{-3}=\frac{1}{100} \div 10=\frac{1}{100} \times \frac{1}{10}=\frac{1}{1000}=\frac{1}{10^{3}} \end{aligned} $

$10^{-10}$ किती आहे?

आता खालील पहा.

त्यामुळे उपरोक्त शैली पाहून, आम्ही म्हणतो

$ \begin{aligned} & 3^{-1}=1 \div 3=\frac{1}{3} \\ & 3^{-2}=\frac{1}{3} \div 3=\frac{1}{3 \times 3}=\frac{1}{3^{2}} \\ & 3^{-3}=\frac{1}{3^{2}} \div 3=\frac{1}{3^{2}} \times \frac{1}{3}=\frac{1}{3^{3}} \end{aligned} $

आता आपण $2^{-2}$ चे मूल्य सारख्या पद्धतीने शोधू शकता.

आम्हाला,

$ \begin{matrix} 10^{-2} & =\frac{1}{10^{2}} & \text{ किंवा } & 10^{2} & =\frac{1}{10^{-2}} \\ 10^{-3} & =\frac{1}{10^{3}} & \text{ किंवा } & 10^{3} & =\frac{1}{10^{-3}} \\ 3^{-2} & =\frac{1}{3^{2}} & \text{ किंवा } & 3^{2} & =\frac{1}{3^{-2}} & \text{ इ. } \end{matrix} $

सामान्यतः, आपण कोणत्याही शून्य नसलेल्या पूर्णांकासाठी $a, a^{-m}=\frac{1}{a^{m}}$, जेणेकरून $m$ एक सकारात्मक पूर्णांक आहे. $a^{-m}$ $a^{m}$ चे गुणाकारात्मक व्युत्क्रम आहे.

या प्रश्नांचा प्रयत्न करा

खालीलप्रमाणे गुणाकारात्मक व्युत्क्रम शोधा.

(i) $2^{-4}$ $\quad$ (ii) $10^{-5}$ $\quad$ (iii) $7^{-2}$ $\quad$ (iv) $5^{-3}$ $\quad$ (v) $10^{-100}$

आपण 1425 सारख्या संख्या घातांकांच्या वापराने $1 \times 10^{3}+4 \times 10^{2}+2 \times 10^{1}+5 \times 10^{\circ}$ म्हणून विस्तृत रूपात कसे लिहायला शिकलो आहोत.

आता 1425.36 चे सारख्या पद्धतीने विस्तृत रूपात कसे व्यक्त करावे हे पाहूया.

आम्हाला $1425.36=1 \times 1000+4 \times 100+2 \times 10+5 \times 1+\frac{3}{10}+\frac{6}{100}$

$ =1 \times 10^{3}+4 \times 10^{2}+2 \times 10+5 \times 1+3 \times 10^{-1}+6 \times 10^{-2} $

$ 10^{-1} =\frac{1}{10}, 10^{-2}=\frac{1}{10^2}=\frac{1}{100} $

या प्रश्नांचा प्रयत्न करा

खालील संख्या घातांकांच्या वापराने विस्तृत करा.

(i) 1025.63 $\quad$ (ii) 1256.249

10.3 घातांकांचे नियम

आम्ही जाणून घेतले आहे की कोणत्याही शून्य नसलेल्या पूर्णांकासाठी $a, a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$, जेणेकरून $m$ आणि $n$ प्राकृतिक संख्या आहेत. हे नियम घातांक नकारात्मक असल्यासही लागू होते? आपण शोधूया.

(i)

त्यामुळे, $2^{-3} \times 2^{-2}=\frac{1}{2^{3}} \times \frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{2^{3} \times 2^{2}}=\frac{1}{2^{3+2}}=2^{-}$

(ii) $(-3)^{-4} \times(-3)^{-3}$ घ्या

$ \begin{aligned} (-3)^{-4} \times(-3)^{-3} & =\frac{1}{(-3)^{4}} \times \frac{1}{(-3)^{3}} \\ & =\frac{1}{(-3)^{4} \times(-3)^{3}}=\frac{1}{(-3)^{4+3}}=(-3)^{-7} \end{aligned} $

(iii) आता $5^{-2} \times 5^{4}$ पहा

$ 5^{-2} \times 5^{4}=\frac{1}{5^{2}} \times 5^{4}=\frac{5^{4}}{5^{2}}=5^{4-2}=5^{(2)}{(-2)+4=2} $

वर्ग VII मध्ये, आपण जाणून घेतले आहे की कोणत्याही शून्य नसलेल्या पूर्णांकासाठी $a, \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$, जेणेकरून

(iv) आता $(-5)^{-4} \times(-5)^{2}$ $m$ आणि $n$ प्राकृतिक संख्या आहेत आणि $m>n$.

$ \begin{aligned} (-5)^{-4} \times(-5)^{2} & =\frac{1}{(-5)^{4}} \times(-5)^{2}=\frac{(-5)^{2}}{(-5)^{4}}=\frac{1}{(-5)^{4} \times(-5)^{-2}} \\ & =\frac{1}{(-5)^{4-2}}=(-5)^{-(2)} \longrightarrow{\underbrace{(-4)+2=-2}} \end{aligned} $

सामान्यतः, आपण कोणत्याही शून्य नसलेल्या पूर्णांकासाठी $a$, $a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$, जेणेकरून $m$ आणि $n$ पूर्णांक आहेत.

या प्रश्नांचा प्रयत्न करा

सोपे करा आणि घातांकाच्या रूपात लिहा.

(i) $(-2)^{-3} \times(-2)^{-4}$ $\quad$ (ii) $p^{3} \times p^{-10}$ $\quad$ (iii) $3^{2} \times 3^{-5} \times 3^{6}$

त्याच मार्गाने आपण खालील घातांकांचे नियम सत्यापित करू शकता, जेणेकरून $a$ आणि $b$ शून्य नसलेले पूर्णांक आहेत आणि $m, n$ कोणतेही पूर्णांक आहेत.

(i) $\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$ $\quad$ (ii) $(a^{m})^{n}=a^{m n}$ $\quad$ (iii) $a^{m} \times b^{m}=(a b)^{m}$

(iv) $\frac{a^{m}}{b^{m}}=(\frac{a}{b})^{m}$ $\quad$ (v) $a^{0}=1$

आपण खालील घातांकांचे नियमांचा वापर करून काही उदाहरणे सोलिड करूया.

उदाहरण 1 : $2^{-3}$ चे मूल्य शोधा (i) $\frac{1}{3^{-2}}$

समाधान:

(i) $2^{-3}=\frac{1}{2^{3}}=\frac{1}{8}$ (ii) $\frac{1}{3^{-2}}=3^{2}=3 \times 3=9$

उदाहरण 2 : सोपे करा

(i) $(-4)^{5} \times(-4)^{-10}$ (ii) $2^{5} \div 2^{-6}$ $\quad$

समाधान:

(i) $(-4)^{5} \times(-4)^{-10}=(-4)^{(5-10)}=(-4)^{-5}=\frac{1}{(-4)^{5}} \quad(a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}, a^{-m}=\frac{1}{a^{m}})$

(ii) $2^{5} \div 2^{-6}=2^{5-(-6)}=2^{11} \quad(a^{m} \div a^{n}=a^{m-n})$

उदाहरण 3 : $4^{-3}$ चे आधार 2 असलेल्या शक्तीमध्ये व्यक्त करा.

समाधान: आम्हाला, $4=2 \times 2=2^{2}$

त्यामुळे, $(4)^{-3}=(2 \times 2)^{-3}=(2^{2})^{-3}=2^{2 \times(-3)}=2^{-6} \quad[(a^{m})^{n}=a^{m n}]$

उदाहरण 4 : सोपे करा आणि उत्तर घातांकाच्या रूपात लिहा.

(i) $(2^{5} \div 2^{8})^{5} \times 2^{-5}$

(iii) $\frac{1}{8} \times(3)^{-3}$ (ii) $(-4)^{-3} \times(5)^{-3} \times(-5)^{-3}$

(iv) $(-3)^{4} \times(\frac{5}{3})^{4}$

समाधान:

(i) $(2^{5} \div 2^{8})^{5} \times 2^{-5}=(2^{5-8})^{5} \times 2^{-5}=(2^{-3})^{5} \times 2^{-5}=2^{-15-5}=2^{-20}=\frac{1}{2^{20}}$

(ii) $(-4)^{-3} \times(5)^{-3} \times(-5)^{-3}=[(-4) \times 5 \times(-5)]^{-3}=[100]^{-3}=\frac{1}{100^{3}}$

[नियम $a^{m} \times b^{m}=(a b)^{m}, a^{-m}=\frac{1}{a^{m}}$ वापरून ]

(iii) $\frac{1}{8} \times(3)^{-3}=\frac{1}{2^{3}} \times(3)^{-3}=2^{-3} \times 3^{-3}=(2 \times 3)^{-3}=6^{-3}=\frac{1}{6^{3}}$

(iv) $(-3)^{4} \times(\frac{5}{3})^{4}=(-1 \times 3)^{4} \times \frac{5^{4}}{3^{4}}=(-1)^{4} \times 3^{4} \times \frac{5^{4}}{3^{4}}$

$ =(-1)^{4} \times 5^{4}=5^{4} \quad[(-1)^{4}=1] $

उदाहरण 5 : $m$ शोधा जेणेकरून $(-3)^{m+1} \times(-3)^{5}=(-3)^{7}$

समाधान: $(-3)^{m+1} \times(-3)^{5}=(-3)^{7}$

$ \begin{aligned} (-3)^{m+1+5} & =(-3)^{7} \\ (-3)^{m+6} & =(-3)^{7} \end{aligned} $

दोन्ही बाजूंना एकच आधार आहे जो 1 आणि -1 पेक्षा वेगळे आहे, म्हणून त्यांचे घातांक एकच असावे.

त्यामुळे, $ m+6=7 $

किंवा: $ m=7-6=1 $

उदाहरण 6 : $(\frac{2}{3})^{-2}$ चे मूल्य शोधा.

$a^{n}=1$ फक्त $n=0$. हे कोणत्याही $a$ साठीही कार्य करेल. $a=1,1^{1}=1^{2}=1^{3}=1^{-2}=\ldots=1$ किंवा $(1)^{n}=$ 1 अनंत बर्‍या $n$ साठी.

$a=-1$ साठी,

$(-1)^{0}=(-1)^{2}=(-1)^{4}=(-1)^{-2}=\ldots=1$ किंवा $(-1)^{p}=1$ कोणत्याही सम पूर्णांकासाठी $p$.

समाधान: $(\frac{2}{3})^{-2}=\frac{2^{-2}}{3^{-2}}=\frac{3^{2}}{2^{2}}=\frac{9}{4}$

उदाहरण 7 : सोपे करा (i) ${(\frac{1}{3})^{-2}-(\frac{1}{2})^{-3}} \div(\frac{1}{4})^{-2}$

समाधान:

(i) ${(\frac{1}{3})^{-2}-(\frac{1}{2})^{-3}} \div(\frac{1}{4})^{-2}={\frac{1^{-2}}{3^{-2}}-\frac{1^{-3}}{2^{-3}}} \div \frac{1^{-2}}{4^{-2}}$

$ ={\frac{3^{2}}{1^{2}}-\frac{2^{3}}{1^{3}}} \div \frac{4^{2}}{1^{2}}={9-8} \div 16=\frac{1}{16} $

(ii) $(\frac{5}{8})^{-7} \times(\frac{8}{5})^{-5}=\frac{5^{-7}}{8^{-7}} \times \frac{8^{-5}}{5^{-5}}=\frac{5^{-7}}{5^{-5}} \times \frac{8^{-5}}{8^{-7}}=5^{(-7)-(-5)} \times 8^{(-5)-(-7)}$

$ =5^{-2} \times 8^{2}=\frac{8^{2}}{5^{2}}=\frac{64}{25} $

प्रशिक्षण 10.1

1. मूल्य शोधा.

(i) $3^{-2}$

(ii) $(-4)^{-2}$

(iii) $(\frac{1}{2})^{-5}$

2. सोपे करा आणि उत्तर सकारात्मक घातांकाच्या पद्धतीने व्यक्त करा.

(i) $(-4)^{5} \div(-4)^{8}$

(ii) $(\frac{1}{2^{3}})^{2}$

(iii) $(-3)^{4} \times(\frac{5}{3})^{4}$

(iv) $(3^{-7} \div 3^{-10}) \times 3^{-5}$

(v) $2^{-3} \times(-7)^{-3}$

3. $(3^{\circ}+4^{-1}) \times 2^{2}$ चे मूल्य शोधा

(i) $(2^{-1} \times 4^{-1}) \div 2^{-2}$

(ii) $(\frac{1}{2})^{-2}+(\frac{1}{3})^{-2}+(\frac{1}{4})^{-2}$

(iii) $(3^{-1}+4^{-1}+5^{-1})^{0}$

(iv) $\frac{8^{-1} \times 5^{3}}{2^{-4}}$

4. मूल्य शोधा (i) $m$

5. $5^{m} \div 5^{-3}=5^{5}$ साठी ${(\frac{1}{3})^{-1}-(\frac{1}{4})^{-1}}^{-1}$ चे मूल्य शोधा.

6. मूल्य शोधा (i) $(\frac{5}{8})^{-7} \times(\frac{8}{5})^{-4}$ (ii) $\frac{25 \times t^{-4}}{5^{-3} \times 10 \times t^{-8}}(t \neq 0)$

7. सोपे करा. (i) $\frac{3^{-5} \times 10^{-5} \times 125}{5^{-7} \times 6^{-5}}$ (ii) $149,600,000,000 m$

10.4 घातांकांचा वापर अधिक लहान संख्या आणि मानक रूपात व्यक्त करण्यासाठी

खालील घटना पहा.

1. पृथ्वीतून सूर्याकडे अंतर $300,000,000 m / sec$.

2. प्रकाशाची गती $20 mm$.

3. वर्ग VII गणित पुस्तकाची चौक $0.000007 mm$.

4. लाल रक्तचापाचा सरासरी व्यास $0.005 cm$.

5. माणूसच्या रक्तबांधीची चौक $0.01 cm$ ते $384,467,000 m$ या श्रेणीत आहे.

6. पृथ्वीतून चंद्राकडे अंतर $0.00001275 m$ (अंदाजे).

7. वनस्पती कोशिकेचा आकार $695000 km$.

8. सूर्याचा सरासरी त्रिज्या $503600 kg$.

9. अंतराळ शिफ्ट च्या ठोस रोकड बॉस्टरमध्ये प्रोपेलटंटची चुक $0.0016 cm$.

10. कागदाची चौक $0.000003 m$.

11. कंप्युटर चिपवरील ताराचा व्यास $8848 m$.

12. एव्हरेस्ट पर्वताची उंची $2 cm, 8848 m$.

खालील घटना पाहून दिसते की काही संख्या आपण $6,95,000 km$, $150,000,000,000 m$ सारख्या वाचू शकता. काही मोठ्या संख्या आहेत $0.000007 m$ आणि काही खूप लहान संख्या आहेत $150,000,000,000=1.5 \times 10^{11}$.

उपरोक्त घटनांमधून खूप मोठ्या आणि खूप लहान संख्या ओळखा आणि त्यांना पाठोपाठ तक्त्यामध्ये लिहा:

आम्ही आधीच्या वर्गात अधिक मोठ्या संख्या कसे मानक रूपात व्यक्त करायला शिकलो आहोत.

उदाहरणार्थ: $0.000007 m$

आता, आपण $0.0016 cm$ मानक रूपात कसे व्यक्त करावे हे प्रयत्न करूया.

$ \begin{aligned} 0.000007 & =\frac{7}{1000000}=\frac{7}{10^{6}}=7 \times 10^{-6} \\ 0.000007 m & =7 \times 10^{-6} m \end{aligned} $

सारांशानुसार, कागदाची चौक $1.6 \times 10^{-3} cm$.

पुन्हा पाहा

0.0016 डेसिमल 1233 जागा उजव्या बाजूने हलवले.

या प्रश्नांचा प्रयत्न करा

1. खालील संख्या मानक रूपात लिहा.

(i) 0.000000564

(ii) 0.0000021

(iii) 21600000

(iv) 15240000

2. दिलेल्या सर्व घटना मानक रूपात लिहा.

10.4.1 खूप मोठ्या आणि खूप लहान संख्या तुलना करणे

सूर्याचा व्यास $1.4 \times 10^{9} m$ आणि पृथ्वीचा व्यास $1.2756 \times 10^{7} m$.

आपण पृथ्वीच्या व्यासाची तुलना सूर्याच्या व्यासाशी करू इच्छित असल्यास.

सूर्याचा व्यास $=1.4 \times 10^{9} m$

पृथ्वीचा व्यास $=1.2756 \times 10^{7} m$

त्यामुळे $\frac{1.4 \times 10^{9}}{1.2756 \times 10^{7}}=\frac{1.4 \times 10^{9-7}}{1.2756}=\frac{1.4 \times 100}{1.2756}$ जो अंदाजे 100 आहे

म्हणून, सूर्याचा व्यास पृथ्वीच्या व्यासाच्या अनुमानित 100 वेळा आहे.

आपण लाल रक्तचापाचे आकार $0.000007 m$ ते वनस्पती कोशिकेच्या आकाराशी तुलना करू शकता जो $0.00001275 m$ आहे.

$ \begin{aligned} & \text{ लाल रक्तचापाचा आकार }=0.000007 m=7 \times 10^{-6} m \\ & \text{ वनस्पती कोशिकेचा आकार }=0.00001275=1.275 \times 10^{-5} m \end{aligned} $

त्यामुळे, $\frac{7 \times 10^{-6}}{1.275 \times 10^{-5}}=\frac{7 \times 10^{-6-(-5)}}{1.275}=\frac{7 \times 10^{-1}}{1.275}=\frac{0.7}{1.275}=\frac{0.7}{1.3}=\frac{1}{2}$ (अंदाजे.)

म्हणून लाल रक्तचाप वनस्पती कोशिकेच्या आकाराच्या अर्ध्याचा आहे.

पृथ्वीची चुक $5.97 \times 10^{24} kg$ आणि चंद्राची चुक $7.35 \times 10^{22} kg$. एकूण चुक किती?

$ \begin{aligned} \text{ एकूण चुक } & =5.97 \times 10^{24} kg+7.35 \times 10^{22} kg . \\ & =5.97 \times 100 \times 10^{22}+7.35 \times 10^{22} \\ & =597 \times 10^{22}+7.35 \times 10^{22} \\ & =(597+7.35) \times 10^{22} \\ & =604.35 \times 10^{22} kg . \end{aligned} $

$\boxed{\text{When we have to add numbers i standard form, we convert them into numbers with the same exponents}}$

सूर्य आणि पृथ्वीमधील अंतर $1.496 \times 10^{11} m$ आणि

पृथ्वी आणि चंद्रमधील अंतर $3.84 \times 10^{8} m$.

सौर ग्रहणात चंद्र पृथ्वी आणि सूर्यामधील बाजू येतो.

त्याच वेळी चंद्र आणि सूर्यामधील अंतर किती आहे.

$ \begin{aligned} \text { सूर्य आणि पृथ्वीमधील अंतर } & =1.496 \times 10^{11} \mathrm{~m} \\ \text { पृथ्वी आणि चंद्रमधील अंतर } & =3.84 \times 10^8 \mathrm{~m} \\ \text { सूर्य आणि चंद्रमधील अंतर } & =1.496 \times 10^{11}-3.84 \times 10^8 \\ & =1.496 \times 1000 \times 10^8-3.84 \times 10^8 \\ & =(1496-3.84) \times 10^8 \mathrm{~m}=1492.16 \times 10^8 \mathrm{~m} \end{aligned} $

उदाहरण 8 : खालील संख्या मानक रूपात व्यक्त करा. (i) 0.000035 (ii) 4050000 समाधान: (i) $0.000035=3.5 \times 10^{-5}$ (ii) $4050000=4.05 \times 10^{6}$

उदाहरण 9 : खालील संख्या सामान्य रूपात व्यक्त करा. (i) $3.52 \times 10^{5}$ (ii) $7.54 \times 10^{-4}$ (iii) $3 \times 10^{-5}$

समाधान:

प्रशिक्षण 10.2

1. खालील संख्या मानक रूपात व्यक्त करा.

(i) 0.0000000000085

(ii) 0.00000000000942

(iii) 6020000000000000

(iv) 0.00000000837

(v) 31860000000

2. खालील संख्या सामान्य रूपात व्यक्त करा. (i) $3.02 \times 10^{-6}$ (ii) $4.5 \times 10^{4}$ (iii) $3 \times 10^{-8}$ (iv) $1.0001 \times 10^{9}$ (v) $5.8 \times 10^{12}$ (vi) $3.61492 \times 10^{6}$

3. खालील सूचना मधील संख्या मानक रूपात व्यक्त करा.

(i) 1 मायक्रॉन $\frac{1}{1000000} m$ च्या बरोबर आहे.

(ii) इलेक्ट्रॉनची खाडे $0.000,000,000,000,000,000,16$ कूलम्ब.

(iii) बॅक्टीरियाचा आकार $0.0000005 m$

(iv) वनस्पती कोशिकेचा आकार $0.00001275 m$

(v) मोठ्या कागदाची चौक $0.07 mm$

4. एक स्टॅकमध्ये 5 पुस्तके आहेत ज्यांची चौक $20 mm$ आणि 5 कागद पाने आहेत ज्यांची चौक $0.016 mm$. स्टॅकची एकूण चौक किती आहे.

आम्ही काय चर्चा केली?

1. नकारात्मक घातांकांच्या संख्या खालील घातांकांचे नियम पाळतात.

(a) $a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$

(b) $a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$

(c) $(a^{m})^{n}=a^{m n}$

(d) $a^{m} \times b^{m}=(a b)^{m}$

(e) $a^{0}=1$

(f) $\frac{a^{m}}{b^{m}}=(\frac{a}{b})^{m}$

2. खूप लहान संख्या नकारात्मक घातांकांच्या वापराने मानक रूपात व्यक्त केल्या जाऊ शकतात.