• ପ୍ରାଚୀନ ଏବଂ ଆଧୁନିକ ଅଧ୍ୟୟନ ମଧ୍ୟରେ ବର୍ତ୍ତମାନର ଦ୍ୱନ୍ଦ୍ୱରେ; ଏକ ଅଧ୍ୟୟନ ପାଇଁ ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ କିଛି କହିବାର ଅଛି ଯାହା ପାଇଥାଗୋରାସଙ୍କ ସହିତ ଆରମ୍ଭ ହୋଇନଥିଲା ଏବଂ ଆଇନଷ୍ଟାଇନଙ୍କ ସହିତ ଶେଷ ହେବ ନାହିଁ; କିନ୍ତୁ ଏହା ସବୁଠାରୁ ପୁରାତନ ଏବଂ ସବୁଠାରୁ ନବୀନ ଅଟେ | - G.H. HARDY

1.1 ପରିଚୟ

ସେଟ୍ ଧାରଣା ବର୍ତ୍ତମାନର ଗଣିତର ଏକ ମୌଳିକ ଅଂଶ ଭାବରେ କାର୍ଯ୍ୟ କରେ | ଆଜି ଏହି ଧାରଣା ପ୍ରାୟ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଗଣିତ ଶାଖାରେ ବ୍ୟବହୃତ ହେଉଛି | ସମ୍ପର୍କ ଏବଂ ଫଙ୍କସନ୍ ର ଧାରଣାଗୁଡିକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରିବା ପାଇଁ ସେଟ୍ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ | ଜ୍ୟାମିତି, ଅନୁକ୍ରମ, ସମ୍ଭାବ୍ୟତା, ଇତ୍ୟାଦି ଅଧ୍ୟୟନ ପାଇଁ ସେଟ୍ ବିଷୟରେ ଜ୍ଞାନ ଆବଶ୍ୟକ କରେ |

ଜର୍ଜ କାଣ୍ଟର (1845-1918 A.D.)

ସେଟ୍ ତତ୍ତ୍ୱ ଜର୍ମାନ ଗଣିତଜ୍ଞ ଜର୍ଜ କାଣ୍ଟର (1845-1918) ଦ୍ୱାରା ବିକଶିତ ହୋଇଥିଲା | “ତ୍ରିକୋଣମିତିକ ସିରିଜ୍ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ସମସ୍ୟା” ଉପରେ କାମ କରିବା ସମୟରେ ସେ ପ୍ରଥମେ ସେଟ୍ ସହିତ ସାମ୍ନା କରିଥିଲେ | ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ, ଆମେ ସେଟ୍ ସହିତ ଜଡିତ କେତେକ ମୌଳିକ ସଂଜ୍ଞା ଏବଂ କାର୍ଯ୍ୟାବଳୀ ଆଲୋଚନା କରୁ |

1.2 ସେଟ୍ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ

ଦୈନନ୍ଦିନ ଜୀବନରେ, ଆମେ ପ୍ରାୟତଃ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ପ୍ରକାରର ବସ୍ତୁଗୁଡିକର ସଂଗ୍ରହ ବିଷୟରେ କହୁ, ଯେପରିକି, ଏକ ପ୍ୟାକ୍ ତାସ୍, ଲୋକଙ୍କ ଏକ ଭିଡ, ଏକ କ୍ରିକେଟ୍ ଦଳ, ଇତ୍ୟାଦି | ଗଣିତରେ ମଧ୍ୟ, ଆମେ ସଂଗ୍ରହ ସହିତ ସାମ୍ନା କରୁ, ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟା, ବିନ୍ଦୁ, ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା, ଇତ୍ୟାଦି | ଅଧିକ ବିଶେଷ ଭାବରେ, ଆମେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂଗ୍ରହଗୁଡିକୁ ପରୀକ୍ଷା କରୁ:

(i) 10 ରୁ କମ୍ ଅଯୁଗ୍ମ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟା, ଅର୍ଥାତ୍, 1, 3, 5, 7, 9

(ii) ଭାରତର ନଦୀଗୁଡିକ

(iii) ଇଂରାଜୀ ବର୍ଣ୍ଣମାଳାର ସ୍ୱରବର୍ଣ୍ଣ, ଅର୍ଥାତ୍, $a, e, i, o, u$

(iv) ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାରର ତ୍ରିଭୁଜ

(v) 210 ର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ, ଅର୍ଥାତ୍, 2,3,5 ଏବଂ 7

(vi) ସମୀକରଣର ସମାଧାନ: $x^{2}-5 x+6=0$, ଅର୍ଥାତ୍, 2 ଏବଂ 3 |

ଆମେ ଧ୍ୟାନ ଦେଉ ଯେ ଉପରୋକ୍ତ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉଦାହରଣ ହେଉଛି ବସ୍ତୁଗୁଡିକର ଏକ ସୁପରିଭାଷିତ ସଂଗ୍ରହ ଏହି ଅର୍ଥରେ ଯେ ଆମେ ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ ନିଷ୍ପତ୍ତି ନେଇପାରିବା ଯେ ଏକ ଦିଆଯାଇଥିବା ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବସ୍ତୁ ଏକ ଦିଆଯାଇଥିବା ସଂଗ୍ରହରେ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ କି ନୁହେଁ | ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଆମେ କହିପାରିବା ଯେ ନାଇଲ୍ ନଦୀ ଭାରତର ନଦୀଗୁଡିକର ସଂଗ୍ରହରେ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ନୁହେଁ | ଅନ୍ୟ ପକ୍ଷରେ, ଗଙ୍ଗା ନଦୀ ଏହି ସଂଗ୍ରହରେ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ ହୁଏ |

ଆମେ ନିମ୍ନରେ ଗଣିତରେ ବିଶେଷ ଭାବରେ ବ୍ୟବହୃତ ସେଟ୍ ର ଆଉ କିଛି ଉଦାହରଣ ଦେଉଛୁ, ଅର୍ଥାତ୍

$\mathbf{N}$ : ସମସ୍ତ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟାର ସେଟ୍

$\mathbf{Z}$ : ସମସ୍ତ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାର ସେଟ୍

$\mathbf{Q}$ : ସମସ୍ତ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ସେଟ୍

$\mathbf{R}$ : ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାର ସେଟ୍

$\mathbf{Z^{+}} $: ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାର ସେଟ୍

$\mathbf{Q^{+}} $: ଧନାତ୍ମକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟାର ସେଟ୍, ଏବଂ

$\mathbf{R^{+}} $: ଧନାତ୍ମକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାର ସେଟ୍ |

ଉପରୋକ୍ତ ଦିଆଯାଇଥିବା ବିଶେଷ ସେଟ୍ ଗୁଡିକ ପାଇଁ ପ୍ରତୀକଗୁଡିକ ଏହି ପାଠ୍ୟରେ ସମଗ୍ର ଆଲୋଚିତ ହେବ |

ପୁନଶ୍ଚ, ବିଶ୍ୱର ପାଞ୍ଚଜଣ ସର୍ବାଧିକ ପ୍ରସିଦ୍ଧ ଗଣିତଜ୍ଞଙ୍କ ସଂଗ୍ରହ ସୁପରିଭାଷିତ ନୁହେଁ, କାରଣ ଏକ ଗଣିତଜ୍ଞକୁ ସର୍ବାଧିକ ପ୍ରସିଦ୍ଧ ଭାବରେ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାର ମାନଦଣ୍ଡ ବ୍ୟକ୍ତି ଅନୁସାରେ ଭିନ୍ନ ହୋଇପାରେ | ତେଣୁ, ଏହା ଏକ ସୁପରିଭାଷିତ ସଂଗ୍ରହ ନୁହେଁ |

ଆମେ କହିବା ଯେ ଏକ ସେଟ୍ ହେଉଛି ବସ୍ତୁଗୁଡିକର ଏକ ସୁପରିଭାଷିତ ସଂଗ୍ରହ |

ନିମ୍ନଲିଖିତ ପଏଣ୍ଟଗୁଡିକ ଧ୍ୟାନରେ ରଖାଯାଇପାରେ:

(i) ବସ୍ତୁ, ଉପାଦାନ ଏବଂ ସେଟ୍ ର ସଦସ୍ୟଗୁଡିକ ସମାନାର୍ଥକ ଶବ୍ଦ ଅଟନ୍ତି |

(ii) ସେଟ୍ ଗୁଡିକୁ ସାଧାରଣତଃ ବଡ଼ ଅକ୍ଷର A, B, C, X, Y, Z, ଇତ୍ୟାଦି ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ |

(iii) ସେଟ୍ ର ଉପାଦାନଗୁଡିକୁ ଛୋଟ ଅକ୍ଷର $a, b, c, x, y, z$, ଇତ୍ୟାଦି ଦ୍ୱାରା ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରାଯାଏ |

ଯଦି $a$ ହେଉଛି ସେଟ୍ A ର ଏକ ଉପାଦାନ, ଆମେ କହୁ " $a$ A କୁ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ କରେ" ଗ୍ରୀକ୍ ପ୍ରତୀକ $\in$ (ଏପ୍ସିଲନ୍) ‘ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ କରେ’ ବାକ୍ୟାଂଶକୁ ସୂଚିତ କରିବା ପାଇଁ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ | ତେଣୁ, ଆମେ ଲେଖୁ $a \in A$ | ଯଦି ’ $b$ ’ ହେଉଛି ସେଟ୍ $A$ ର ଏକ ଉପାଦାନ ନୁହେଁ, ଆମେ ଲେଖୁ $b \notin A$ ଏବଂ ପଢ଼ୁ " $b$ A କୁ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ କରେ ନାହିଁ" |

ତେଣୁ, ଇଂରାଜୀ ବର୍ଣ୍ଣମାଳାର ସ୍ୱରବର୍ଣ୍ଣର ସେଟ୍ $V$ ରେ, $a \in V$ କିନ୍ତୁ $b \notin V$ | ସେଟ୍ $P$ ରେ 210 ର ମୌଳିକ ଗୁଣନୀୟକ, $30,3 \in P$ କିନ୍ତୁ $15 \notin P$ |

ଏକ ସେଟ୍ କୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରିବାର ଦୁଇଟି ପଦ୍ଧତି ଅଛି:

(i) ରୋଷ୍ଟର ବା ସାରଣୀ ଫର୍ମ

(ii) ସେଟ୍-ବିଲ୍ଡର ଫର୍ମ |

(i) ରୋଷ୍ଟର ଫର୍ମରେ, ସେଟ୍ ର ସମସ୍ତ ଉପାଦାନଗୁଡିକ ତାଲିକାଭୁକ୍ତ ହୋଇଥାଏ, ଉପାଦାନଗୁଡିକ କମା ଦ୍ୱାରା ପୃଥକ ହୋଇଥାଏ ଏବଂ ବ୍ରେସ୍ { } ମଧ୍ୟରେ ବନ୍ଦ ହୋଇଥାଏ | ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, 7 ରୁ କମ୍ ସମସ୍ତ ଯୁଗ୍ମ ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟାର ସେଟ୍ ରୋଷ୍ଟର ଫର୍ମରେ ବର୍ଣ୍ଣିତ ହୋଇଛି $\{2,4,6\}$ | ରୋଷ୍ଟର ଫର୍ମରେ ସେଟ୍ କୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରିବାର ଆଉ କିଛି ଉଦାହରଣ ନିମ୍ନରେ ଦିଆଯାଇଛି:

(a) ସମସ୍ତ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟାର ସେଟ୍ ଯାହା 42 କୁ ବିଭାଜିତ କରେ ତାହା $\{1,2,3,6,7,14,21,42\}$ |

ଟିପ୍ପଣୀ - ରୋଷ୍ଟର ଫର୍ମରେ, ଯେଉଁ କ୍ରମରେ ଉପାଦାନଗୁଡିକ ତାଲିକାଭୁକ୍ତ ହୋଇଛି ତାହା ଅପ୍ରାସଙ୍ଗିକ | ତେଣୁ, ଉପରୋକ୍ତ ସେଟ୍ କୁ ମଧ୍ୟ $\{1,3,7,21,2,6,14,42\}$ ଭାବରେ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରାଯାଇପାରେ |

(b) ଇଂରାଜୀ ବର୍ଣ୍ଣମାଳାର ସମସ୍ତ ସ୍ୱରବର୍ଣ୍ଣର ସେଟ୍ ହେଉଛି $\{a, e, i, o, u\}$ |

(c) ଅଯୁଗ୍ମ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟାର ସେଟ୍ କୁ $\{1,3,5, \ldots\}$ ଦ୍ୱାରା ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରାଯାଏ | ବିନ୍ଦୁଗୁଡିକ ଆମକୁ କହେ ଯେ ଅଯୁଗ୍ମ ସଂଖ୍ୟାର ତାଲିକା ଅନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଭାବରେ ଜାରି ରହିଥାଏ |

ଟିପ୍ପଣୀ - ଏହା ଧ୍ୟାନରେ ରଖାଯାଇପାରେ ଯେ ସେଟ୍ କୁ ରୋଷ୍ଟର ଫର୍ମରେ ଲେଖିବା ସମୟରେ ଏକ ଉପାଦାନ ସାଧାରଣତଃ ପୁନରାବୃତ୍ତି ହୁଏ ନାହିଁ, ଅର୍ଥାତ୍, ସମସ୍ତ ଉପାଦାନଗୁଡିକ ପୃଥକ ଭାବରେ ଗ୍ରହଣ କରାଯାଏ | ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ‘SCHOOL’ ଶବ୍ଦ ଗଠନ କରୁଥିବା ଅକ୍ଷରଗୁଡିକର ସେଟ୍ ହେଉଛି $\{S, C, H, O, L\}$ କିମ୍ବା $\{H, O, L, C, S\}$ | ଏଠାରେ, ଉପାଦାନଗୁଡିକ ତାଲିକାଭୁକ୍ତ କରିବାର କ୍ରମର କୌଣସି ପ୍ରାସଙ୍ଗିକତା ନାହିଁ |

(ii) ସେଟ୍-ବିଲ୍ଡର ଫର୍ମରେ, ସେଟ୍ ର ସମସ୍ତ ଉପାଦାନଗୁଡିକ ଏକ ଏକକ ସାଧାରଣ ଗୁଣ ଧାରଣ କରନ୍ତି ଯାହା ସେଟ୍ ବାହାରେ କୌଣସି ଉପାଦାନ ଦ୍ୱାରା ଧାରଣ କରାଯାଏ ନାହିଁ | ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ସେଟ୍ $\{a, e, i, o, u\}$ ରେ, ସମସ୍ତ ଉପାଦାନଗୁଡିକ ଏକ ସାଧାରଣ ଗୁଣ ଧାରଣ କରନ୍ତି, ଅର୍ଥାତ୍, ସେମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଇଂରାଜୀ ବର୍ଣ୍ଣମାଳାର ଏକ ସ୍ୱରବର୍ଣ୍ଣ, ଏବଂ ଅନ୍ୟ କୌଣସି ଅକ୍ଷର ଏହି ଗୁଣ ଧାରଣ କରେ ନାହିଁ | ଏହି ସେଟ୍ କୁ $V$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରି, ଆମେ ଲେଖୁ

$V=\{x: x$ ଇଂରାଜୀ ବର୍ଣ୍ଣମାଳାର ଏକ ସ୍ୱରବର୍ଣ୍ଣ $\}$

ଏହା ଧ୍ୟାନରେ ରଖାଯାଇପାରେ ଯେ ଆମେ ସେଟ୍ ର ଉପାଦାନକୁ ଏକ ପ୍ରତୀକ $x$ (ଅନ୍ୟ କୌଣସି ପ୍ରତୀକ ଯେପରିକି ଅକ୍ଷର $y, z$, ଇତ୍ୟାଦି ବ୍ୟବହାର କରାଯାଇପାରେ) ବ୍ୟବହାର କରି ବର୍ଣ୍ଣନା କରୁ ଯାହା ଏକ କୋଲନ୍ " : " ଦ୍ୱାରା ଅନୁସରଣ କରାଯାଏ | କୋଲନ୍ ଚିହ୍ନ ପରେ, ଆମେ ସେଟ୍ ର ଉପାଦାନଗୁଡିକ ଦ୍ୱାରା ଧାରଣ କରାଯାଇଥିବା ଚାରିଟେରିଷ୍ଟିକ୍ ଗୁଣ ଲେଖୁ ଏବଂ ତା’ପରେ ସମଗ୍ର ବର୍ଣ୍ଣନାକୁ ବ୍ରେସ୍ ମଧ୍ୟରେ ବନ୍ଦ କରୁ | ସେଟ୍ $V$ ର ଉପରୋକ୍ତ ବର୍ଣ୍ଣନା “ସମସ୍ତ $x$ ର ସେଟ୍ ଯେପରିକି $x$ ଇଂରାଜୀ ବର୍ଣ୍ଣମାଳାର ଏକ ସ୍ୱରବର୍ଣ୍ଣ” ଭାବରେ ପଢ଼ାଯାଏ | ଏହି ବର୍ଣ୍ଣନାରେ ବ୍ରେସ୍ ଗୁଡିକ “ସମସ୍ତର ସେଟ୍” ପାଇଁ ଠିଆ ହୁଏ, କୋଲନ୍ “ଯେପରିକି” ପାଇଁ ଠିଆ ହୁଏ | ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ସେଟ୍

$A=\{x: x$ ଏକ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ $3<x<10\}$ “ସମସ୍ତ $x$ ର ସେଟ୍ ଯେପରିକି $x$ ଏକ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ $x$ 3 ଏବଂ 10 ମଧ୍ୟରେ ଅବସ୍ଥିତ” ଭାବରେ ପଢ଼ାଯାଏ | ତେଣୁ, ସଂଖ୍ୟା 4, 5, 6, 7,8 ଏବଂ 9 ହେଉଛନ୍ତି ସେଟ୍ $A$ ର ଉପାଦାନଗୁଡିକ |

ଯଦି ଆମେ $(a),(b)$ ଏବଂ $(c)$ ରେ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସେଟ୍ ଗୁଡିକୁ ରୋଷ୍ଟର ଫର୍ମରେ ଯଥାକ୍ରମେ $A, B$, $C$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରୁ, ତେବେ $A, B, C$ କୁ ମଧ୍ୟ ସେଟ୍-ବିଲ୍ଡର ଫର୍ମରେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଭାବରେ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରାଯାଇପାରେ:

$A=\{x: x$ ଏକ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟା ଯାହା 42 କୁ ବିଭାଜିତ କରେ $\}$

$B=\{y: y$ ଇଂରାଜୀ ବର୍ଣ୍ଣମାଳାର ଏକ ସ୍ୱରବର୍ଣ୍ଣ $\}$

$C=\{z: z$ ଏକ ଅଯୁଗ୍ମ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟା $\}$

ଉଦାହରଣ 1 ସମୀକରଣ $x^{2}+x-2=0$ ର ସମାଧାନ ସେଟ୍ କୁ ରୋଷ୍ଟର ଫର୍ମରେ ଲେଖ |

ସମାଧାନ ଦିଆଯାଇଥିବା ସମୀକରଣକୁ ଲେଖାଯାଇପାରେ

$$ (x-1)(x+2)=0 \text {, i. e., } x=1,-2 $$

ତେଣୁ, ଦିଆଯାଇଥିବା ସମୀକରଣର ସମାଧାନ ସେଟ୍ କୁ ରୋଷ୍ଟର ଫର୍ମରେ $\{1,-2\}$ ଭାବରେ ଲେଖାଯାଇପାରେ |

ଉଦାହରଣ 2 ସେଟ୍ $\{x: x$ ଏକ ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ଏବଂ $x^{2}<40\}$ କୁ ରୋଷ୍ଟର ଫର୍ମରେ ଲେଖ |

ସମାଧାନ ଆବଶ୍ୟକ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡିକ ହେଉଛି $1,2,3,4,5,6$ | ତେଣୁ, ରୋଷ୍ଟର ଫର୍ମରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ସେଟ୍ ହେଉଛି $\{1,2,3,4,5,6\}$ |

ଉଦାହରଣ 3 ସେଟ୍ $A=\{1,4,9,16,25, \ldots\}$ କୁ ସେଟ୍-ବିଲ୍ଡର ଫର୍ମରେ ଲେଖ |

ସମାଧାନ ଆମେ ସେଟ୍ A କୁ ଏହିପରି ଲେଖିପାରିବା

$$ A=\{x: x \text { is the square of a natural number }\} $$

ବିକଳ୍ପ ଭାବରେ, ଆମେ ଲେଖିପାରିବା

$$ A=\{x: x=n^{2}, \text { where } n \in \mathbf{N}\} $$

ଉଦାହରଣ 4 ସେଟ୍ $\{\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \frac{6}{7}\}$ କୁ ସେଟ୍-ବିଲ୍ଡର ଫର୍ମରେ ଲେଖ |

ସମାଧାନ ଆମେ ଦେଖୁ ଯେ ଦିଆଯାଇଥିବା ସେଟ୍ ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ସଦସ୍ୟର ଲବ ହର ଠାରୁ ଗୋଟିଏ କମ୍ | ଆଉ, ଲବ 1 ରୁ ଆରମ୍ଭ ହୁଏ ଏବଂ 6 ରୁ ଅଧିକ ନୁହେଁ | ତେଣୁ, ସେଟ୍-ବିଲ୍ଡର ଫର୍ମରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ସେଟ୍ ହେଉଛି

$$ \{ x: x=\frac{n}{n+1}, \text { where } n \text { is a natural number and } 1 \leq n \leq 6 \} $$

ଉଦାହରଣ 5 ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ବର୍ଣ୍ଣିତ ରୋଷ୍ଟର ଫର୍ମରେ ଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ସେଟ୍ କୁ ସେଟ୍-ବିଲ୍ଡର ଫର୍ମରେ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସମାନ ସେଟ୍ ସହିତ ମେଳ କର:

$$ \begin{array}{ll} (i) \hspace{2 mm} \{P, R, I, N, C, A, L\} & (a) \hspace{2 mm} \{x: x \text{ is a positive integer and is a divisor of 18 } \} \\ (ii) \hspace{2 mm}\{0\} & (b)\hspace{2 mm} \{x: x \text{ is an integer and } x^{2}-9=0\} \\ (iii)\hspace{2 mm} \{1,2,3,6,9,18\} & (c)\hspace{2 mm} \{x: x \text { is a letter of the word PRINCIPAL }\} \\ (iv)\hspace{2 mm} \{{3,-3\}} & (d) \hspace{2 mm} \{x: x \text{ is an integer and } x+1=1\} \end{array} $$

ସମାଧାନ ଯେହେତୁ (d) ରେ, PRINCIPAL ଶବ୍ଦରେ 9ଟି ଅକ୍ଷର ଅଛି ଏବଂ ଦୁଇଟି ଅକ୍ଷର P ଏବଂ I ପୁନରାବୃତ୍ତି ହୁଏ, ତେଣୁ (i) (d) ସହିତ ମେଳ ଖାଏ | ସେହିପରି, (ii) (c) ସହିତ ମେଳ ଖାଏ କାରଣ $x+1=1$ ର ଅର୍ଥ $x=0$ | ଆଉ, 1, 2 ,3, 6, 9, 18 ସମସ୍ତେ 18 ର ବିଭାଜକ ଏବଂ ତେଣୁ (iii) (a) ସହିତ ମେଳ ଖାଏ | ଶେଷରେ, $x^{2}-9=0$ ର ଅର୍ଥ $x=3,-3$ ଏବଂ ତେଣୁ (iv) (b) ସହିତ ମେଳ ଖାଏ |

1.3 ଖାଲି ସେଟ୍

ସେଟ୍ ବିଚାର କର

$A=\{x: x$ ବର୍ତ୍ତମାନ ଏକ ବିଦ୍ୟାଳୟରେ ଅଧ୍ୟୟନରତ କ୍ଲାସ XI ର ଏକ ଛାତ୍ର $\}$

ଆମେ ବିଦ୍ୟାଳୟକୁ ଯାଇ ବର୍ତ୍ତମାନ ବିଦ୍ୟାଳୟରେ କ୍ଲାସ XI ରେ ଅଧ୍ୟୟନରତ ଛାତ୍ରମାନଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ଗଣନା କରିପାରିବା | ତେଣୁ, ସେଟ୍ A ରେ ସଂଖ୍ୟାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟାରେ ଉପାଦାନ ଅଛି |

ଆମେ ବର୍ତ୍ତମାନ ଆଉ ଏକ ସେଟ୍ $B$ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଭାବରେ ଲେଖୁ:

$B = \{x: x$ ବର୍ତ୍ତମାନ କ୍ଲାସ X ଏବଂ XI ଉଭୟରେ ଅଧ୍ୟୟନରତ ଏକ ଛାତ୍ର $\}$

ଆମେ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ କରୁ ଯେ ଏକ ଛାତ୍ର ଏକା ସମୟରେ କ୍ଲାସ X ଏବଂ XI ଉଭୟରେ ଅଧ୍ୟୟନ କରିପାରିବ ନାହିଁ | ତେଣୁ, ସେଟ୍ B ରେ କୌଣସି ଉପାଦାନ ନାହିଁ |

ସଂଜ୍ଞା 1 ଏକ ସେଟ୍ ଯାହା କୌଣସି ଉପାଦାନ ଧାରଣ କରେ ନାହିଁ ତାହାକୁ ଖାଲି ସେଟ୍ ବା ନଲ୍ ସେଟ୍ ବା ଭଏଡ୍ ସେଟ୍ କୁହାଯାଏ |

ଏହି ସଂଜ୍ଞା ଅନୁଯାୟୀ, B ଏକ ଖାଲି ସେଟ୍ ଯେତେବେଳେ A ଏକ ଖାଲି ସେଟ୍ ନୁହେଁ | ଖାଲି ସେଟ୍ କୁ ପ୍ରତୀକ $\phi$ ବା { } ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ |

ଆମେ ନିମ୍ନରେ ଖାଲି ସେଟ୍ ର କିଛି ଉଦାହରଣ ଦେଉଛୁ |

(i) ମନେ କର $A=\{x: 1<x<2, x$ ଏକ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟା $\}$ | ତେବେ A ହେଉଛି ଖାଲି ସେଟ୍, କାର