ତୁମ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀଙ୍କ ପାଇଁ ଜ୍ଞାନର ସମ୍ପର୍କ ବାସ୍ତବ ଜୀବନ ସହିତ ଅତି ସ୍ପଷ୍ଟ ହେଉ ଏବଂ ସେମାନେ ବୁଝନ୍ତୁ ଯେ ଜ୍ଞାନ ଦ୍ୱାରା କିପରି ବିଶ୍ୱକୁ ରୂପାନ୍ତରିତ କରାଯାଇପାରେ। - ବର୍ଟ୍ରାଣ୍ଡ ରସେଲ

10.1 ପରିଚୟ

ପୂର୍ବବର୍ତ୍ତୀ ଅଧ୍ୟାୟ 10ରେ, ଆମେ ଏକ ରେଖାର ସମୀକରଣର ବିଭିନ୍ନ ରୂପ ଅଧ୍ୟୟନ କରିଛୁ। ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ, ଆମେ ଅନ୍ୟ କେତେକ ବକ୍ରରେଖା ବିଷୟରେ ଅଧ୍ୟୟନ କରିବା, ଯଥା: ବୃତ୍ତ, ଦୀର୍ଘବୃତ୍ତ, ପରାବଲୟ ଏବଂ ଅତିପରବଲୟ। ପରାବଲୟ ଏବଂ ଅତିପରବଲୟ ନାମଗୁଡ଼ିକ ଆପୋଲୋନିଅସ୍ ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଇଥିଲା। ଏହି ବକ୍ରରେଖାଗୁଡ଼ିକ ପ୍ରକୃତରେ ଶାଖାପ୍ରଶାଖା ଛେଦ ବା ସାଧାରଣତଃ କୋନିକ୍ ଭାବରେ ଜଣାଶୁଣା, କାରଣ ସେଗୁଡ଼ିକ ଏକ ସମତଳ ସହିତ ଏକ ଦ୍ୱି-ନ୍ୟାପ୍ଡ ସଠିକ୍ ବୃତ୍ତାକାର ଶଙ୍କୁର ଛେଦନରୁ ପ୍ରାପ୍ତ ହୋଇପାରେ। ଏହି ବକ୍ରରେଖାଗୁଡ଼ିକର ଗ୍ରହଗୁଡ଼ିକର ଗତି, ଟେଲିସ୍କୋପ୍ ଏବଂ ଆଣ୍ଟେନାର ଡିଜାଇନ୍, ଫ୍ଲାସ୍ଲାଇଟ୍ ଏବଂ ଅଟୋମୋବାଇଲ୍ ହେଡ଼ଲାଇଟ୍ ଆଦିରେ ପ୍ରତିଫଳକ ଭାବରେ ବ୍ୟବହାରର ଏକ ଅତି ବିସ୍ତୃତ ପରିସର ରହିଛି।

ଆପୋଲୋନିଅସ୍ (262 B.C. -190 B.C.)

ବର୍ତ୍ତମାନ, ପରବର୍ତ୍ତୀ ବିଭାଗଗୁଡ଼ିକରେ ଆମେ ଦେଖିବା କିପରି ଏକ ସମତଳର ଛେଦନ ଏକ ଦ୍ୱି-ନ୍ୟାପ୍ଡ ସଠିକ୍ ବୃତ୍ତାକାର ଶଙ୍କୁ ସହିତ ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାରର ବକ୍ରରେଖା ସୃଷ୍ଟି କରେ।

10.2 ଏକ ଶଙ୍କୁର ଛେଦ

ମନେକର $l$ ଏକ ସ୍ଥିର ଭୂଲମ୍ବ ରେଖା ହେଉ ଏବଂ $m$ ହେଉ ଅନ୍ୟ ଏକ ରେଖା ଯାହା ଏକ ସ୍ଥିର ବିନ୍ଦୁ $V$ ରେ ଏହାକୁ ଛେଦ କରେ ଏବଂ ଏହା ସହିତ $\alpha$ କୋଣରେ ହୋଇଥାଏ (ଚିତ୍ର 10.1)।

ଚିତ୍ର 10.1

ଧରାଯାଉ ଆମେ ରେଖା $m$ କୁ ରେଖା $l$ ଚାରିପାଖରେ ଏପରି ଭାବରେ ଘୁରାଉ ଯେପରିକି କୋଣ $\alpha$ ସ୍ଥିର ରହେ। ତେବେ ଉତ୍ପନ୍ନ ପୃଷ୍ଠଟି ଏକ ଦ୍ୱି-ନ୍ୟାପ୍ଡ ସଠିକ୍ ବୃତ୍ତାକାର ଖାଲି ଶଙ୍କୁ ଅଟେ ଯାହାକୁ ଏଠାରେ ଶଙ୍କୁ ଭାବରେ ଉଲ୍ଲେଖ କରାଯାଇଛି ଏବଂ ଉଭୟ ଦିଗରେ ଅନିୟମିତ ଭାବରେ ବିସ୍ତାରିତ ହୋଇଥାଏ (ଚିତ୍ର 10.2)।

ଚିତ୍ର 10.2

ବିନ୍ଦୁ $V$ କୁ ଶୀର୍ଷ କୁହାଯାଏ; ରେଖା $l$ ହେଉଛି ଶଙ୍କୁର ଅକ୍ଷ। ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ରେଖା $m$ କୁ ଶଙ୍କୁର ଏକ ଜେନେରେଟର କୁହାଯାଏ। ଶୀର୍ଷ ଶଙ୍କୁକୁ ଦୁଇଟି ଅଂଶରେ ବିଭକ୍ତ କରେ ଯାହାକୁ ନ୍ୟାପ୍ କୁହାଯାଏ।

ଯଦି ଆମେ ଏକ ସମତଳର ଛେଦନ ଏକ ଶଙ୍କୁ ସହିତ ନେଇଥାଉ, ତେବେ ଏହିପରି ପ୍ରାପ୍ତ ଛେଦକୁ ଶାଖାପ୍ରଶାଖା ଛେଦ କୁହାଯାଏ। ତେଣୁ, ଶାଖାପ୍ରଶାଖା ଛେଦ ହେଉଛି ବକ୍ରରେଖା ଯାହା ଏକ ସଠିକ୍ ବୃତ୍ତାକାର ଶଙ୍କୁକୁ ଏକ ସମତଳ ଦ୍ୱାରା ଛେଦ କରି ପ୍ରାପ୍ତ ହୁଏ।

ଶଙ୍କୁ ସହିତ ଛେଦକାରୀ ସମତଳର ସ୍ଥିତି ଉପରେ ନିର୍ଭର କରି ଏବଂ ଏହା ଶଙ୍କୁର ଭୂଲମ୍ବ ଅକ୍ଷ ସହିତ କରିଥିବା କୋଣ ଦ୍ୱାରା ଆମେ ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାରର ଶାଖାପ୍ରଶାଖା ଛେଦ ପ୍ରାପ୍ତ କରୁ। ମନେକର $\beta$ ହେଉଛି ଛେଦକାରୀ ସମତଳ ଶଙ୍କୁର ଭୂଲମ୍ବ ଅକ୍ଷ ସହିତ କରିଥିବା କୋଣ (ଚିତ୍ର 10.3)।

ଚିତ୍ର 10.3

ସମତଳର ଶଙ୍କୁ ସହିତ ଛେଦନ ଶଙ୍କୁର ଶୀର୍ଷରେ କିମ୍ବା ଶୀର୍ଷର ତଳେ କିମ୍ବା ଉପରେ ନ୍ୟାପ୍ ର ଅନ୍ୟ କୌଣସି ଅଂଶରେ ହୋଇପାରେ।

10.2.1 ବୃତ୍ତ, ଦୀର୍ଘବୃତ୍ତ, ପରାବଲୟ ଏବଂ ଅତିପରବଲୟ

ଯେତେବେଳେ ସମତଳ ଶଙ୍କୁର ନ୍ୟାପ୍ (ଶୀର୍ଷ ବ୍ୟତୀତ) କୁ କାଟେ, ଆମେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ପରିସ୍ଥିତି ପାଇଥାଉ:

(କ) ଯେତେବେଳେ $\beta=90^{\circ}$, ଛେଦଟି ଏକ ବୃତ୍ତ (ଚିତ୍ର 10.4)।

ଚିତ୍ର 10.4

(ଖ) ଯେତେବେଳେ $\alpha<\beta<90^{\circ}$, ଛେଦଟି ଏକ ଦୀର୍ଘବୃତ୍ତ (ଚିତ୍ର 10.5)।

ଚିତ୍ର 10.5

(ଗ) ଯେତେବେଳେ $\beta=\alpha$; ଛେଦଟି ଏକ ପରାବଲୟ (ଚିତ୍ର 10.6)।

ଚିତ୍ର 10.6

(ଉପରୋକ୍ତ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପରିସ୍ଥିତିରେ, ସମତଳ ଶଙ୍କୁର ଗୋଟିଏ ନ୍ୟାପ୍ କୁ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଭାବରେ ଅତିକ୍ରମ କରି କାଟିଥାଏ)।

(ଘ) ଯେତେବେଳେ $0 \leq \beta<\alpha$; ସମତଳ ଉଭୟ ନ୍ୟାପ୍ ଦେଇ କାଟେ ଏବଂ ଛେଦନର ବକ୍ରରେଖା ଏକ ଅତିପରବଲୟ (ଚିତ୍ର 10.7)।

ଚିତ୍ର 10.7

10.2.2 ଅବକ୍ଷୟିତ ଶାଖାପ୍ରଶାଖା ଛେଦ

ଯେତେବେଳେ ସମତଳ ଶଙ୍କୁର ଶୀର୍ଷରେ କାଟେ, ଆମେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ବିଭିନ୍ନ କେଶ୍ ପାଇଥାଉ:

(କ) ଯେତେବେଳେ $\alpha<\beta \leq 90^{\circ}$, ତେବେ ଛେଦଟି ଏକ ବିନ୍ଦୁ (ଚିତ୍ର 10.8)।

ଚିତ୍ର 10.8

(ଖ) ଯେତେବେଳେ $\beta=\alpha$, ସମତଳରେ ଶଙ୍କୁର ଏକ ଜେନେରେଟର ଅଛି ଏବଂ ଛେଦଟି ଏକ ସରଳ ରେଖା (ଚିତ୍ର 10.9)।

ଚିତ୍ର 10.9

ଏହା ଏକ ପରାବଲୟର ଅବକ୍ଷୟିତ କେଶ୍।

(ଗ) ଯେତେବେଳେ $0 \leq \beta<\alpha$, ଛେଦଟି ଛେଦକାରୀ ସରଳ ରେଖାର ଏକ ଯୁଗ୍ମ (ଚିତ୍ର 10.10)। ଏହା ଏକ ଅତିପରବଲୟର ଅବକ୍ଷୟିତ କେଶ୍।

ଚିତ୍ର 10.8 (କ)

ଚିତ୍ର 10.8 (ଖ)

ନିମ୍ନଲିଖିତ ବିଭାଗଗୁଡ଼ିକରେ, ଆମେ ଏହି ଶାଖାପ୍ରଶାଖା ଛେଦଗୁଡ଼ିକର ପ୍ରତ୍ୟେକର ସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକୁ ମାନକ ରୂପରେ ଜ୍ୟାମିତୀୟ ଗୁଣଧର୍ମ ଉପରେ ଆଧାରିତ କରି ସ୍ଥିର କରିବା।

10.3 ବୃତ୍ତ

ସଂଜ୍ଞା 1 ଏକ ବୃତ୍ତ ହେଉଛି ଏକ ସମତଳରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ବିନ୍ଦୁର ସେଟ୍ ଯାହା ସେହି ସମତଳରେ ଥିବା ଏକ ସ୍ଥିର ବିନ୍ଦୁଠାରୁ ସମାନ ଦୂରତାରେ ଅଛି।

ସ୍ଥିର ବିନ୍ଦୁକୁ ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର କୁହାଯାଏ ଏବଂ କେନ୍ଦ୍ରରୁ ବୃତ୍ତ ଉପରିସ୍ଥ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଦୂରତାକୁ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ କୁହାଯାଏ (ଚିତ୍ର 10.11)।

ଚିତ୍ର 10.11

ବୃତ୍ତର ସମୀକରଣ ସରଳତମ ହୁଏ ଯଦି ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର ମୂଳବିନ୍ଦୁରେ ଥାଏ। ତଥାପି, ଆମେ ନିମ୍ନରେ ଏକ ଦିଆଯାଇଥିବା କେନ୍ଦ୍ର ଏବଂ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ସହିତ ବୃତ୍ତର ସମୀକରଣ ବାହାର କରୁ (ଚିତ୍ର 10.12)।

ଚିତ୍ର 10.12

ମନେକର $C(h, k)$ ହେଉ କେନ୍ଦ୍ର ଏବଂ $r$ ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ। ମନେକର $P(x, y)$ ବୃତ୍ତ ଉପରେ କୌଣସି ବିନ୍ଦୁ ହେଉ (ଚିତ୍ର 10.12)। ତେବେ, ସଂଜ୍ଞା ଅନୁସାରେ, $|CP|=r$। ଦୂରତା ସୂତ୍ର ଦ୍ୱାରା, ଆମେ ପାଇଥାଉ

ଅର୍ଥାତ୍

$ \begin{aligned} & \sqrt{(x-h)^{2}+-k)^{2}}=r & (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2} \end{aligned} $

ଏହା କେନ୍ଦ୍ର $(h, k)$ ଏବଂ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r$ ସହିତ ବୃତ୍ତର ଆବଶ୍ୟକୀୟ ସମୀକରଣ।

ଉଦାହରଣ 1 କେନ୍ଦ୍ର $(0,0)$ ଏବଂ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ $r$ ସହିତ ବୃତ୍ତର ଏକ ସମୀକରଣ ଖୋଜ।

ସମାଧାନ ଏଠାରେ $h=k=0$। ତେଣୁ, ବୃତ୍ତର ସମୀକରଣ ହେଉଛି $x^{2}+y^{2}=r^{2}$।

ଉଦାହରଣ 2 କେନ୍ଦ୍ର $(-3,2)$ ଏବଂ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 4 ସହିତ ବୃତ୍ତର ସମୀକରଣ ଖୋଜ।

ସମାଧାନ ଏଠାରେ $h=-3, k=2$ ଏବଂ $r=4$। ତେଣୁ, ଆବଶ୍ୟକୀୟ ବୃତ୍ତର ସମୀକରଣ ହେଉଛି

$$ (x+3)^{2}+(y-2)^{2}=16 $$

ଉଦାହରଣ 3 ବୃତ୍ତ $x^{2}+y^{2}+8 x+10 y-8=0$ ର କେନ୍ଦ୍ର ଏବଂ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ଖୋଜ।

ସମାଧାନ ଦିଆଯାଇଥିବା ସମୀକରଣ ହେଉଛି

$$ (x^{2}+8 x)+(y^{2}+10 y)=8 $$

ବର୍ତ୍ତମାନ, ବନ୍ଧନୀ ଭିତରେ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରି, ଆମେ ପାଇଥାଉ

$ (x^{2}+8 x+16)+(y^{2}+10 y+25)=8+16+25 $

ଅର୍ଥାତ୍

$ (x+4)^{2}+(y+5)^{2}=49 $

ଅର୍ଥାତ୍

$[x-(-4)]^2 + [y-(-5)]^2 = 7^2$

ତେଣୁ, ଦିଆଯାଇଥିବା ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ର $(-4,-5)$ ରେ ଏବଂ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ 7 ଅଟେ।

ଉଦାହରଣ 4 ବୃତ୍ତର ସମୀକରଣ ଖୋଜ ଯାହା ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ $(2,-2)$, ଏବଂ $(3,4)$ ଦେଇ ଗତି କରେ ଏବଂ ଯାହାର କେନ୍ଦ୍ର ରେଖା $x+y=2$ ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ।

ସମାଧାନ ମନେକର ବୃତ୍ତର ସମୀକରଣ ହେଉ $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$।

ଯେହେତୁ ବୃତ୍ତ $(2,-2)$ ଏବଂ $(3,4)$ ଦେଇ ଗତି କରେ, ଆମେ ପାଇଥାଉ

$$ \begin{equation*} (2-h)^{2}+(-2-k)^{2}=r^{2} \tag{1} \end{equation*} $$

ଏବଂ $$ \begin{equation*} (3-h)^{2}+(4-k)^{2}=r^{2} \tag{2} \end{equation*} $$

ଆଉ ଯେହେତୁ କେନ୍ଦ୍ର ରେଖା $x+y=2$ ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ, ଆମେ ପାଇଥାଉ

$$ \begin{equation*} h+k=2 \tag{3} \end{equation*} $$

ସମୀକରଣ (1), (2) ଏବଂ (3) କୁ ସମାଧାନ କରି, ଆମେ ପାଇଥାଉ

$ h=0.7, \quad k=1.3 \text{ and } r^{2}=12.58 $

ତେଣୁ, ଆବଶ୍ୟକୀୟ ବୃତ୍ତର ସମୀକରଣ ହେଉଛି

$ (x-0.7)^{2}+(y-1.3)^{2}=12.58 . $

10.4 ପରାବଲୟ

ସଂଜ୍ଞା 2 ଏକ ପରାବଲୟ ହେଉଛି ଏକ ସମତଳରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ବିନ୍ଦୁର ସେଟ୍ ଯାହା ସେହି ସମତଳରେ ଥିବା ଏକ ସ୍ଥିର ରେଖା ଏବଂ ଏକ ସ୍ଥିର ବିନ୍ଦୁ (ରେଖା ଉପରେ ନୁହେଁ) ଠାରୁ ସମାନ ଦୂରତାରେ ଅଛି।

ସ୍ଥିର ରେଖାକୁ ପରାବଲୟର ନିର୍ଦ୍ଦେଶିକା କୁହାଯାଏ ଏବଂ ସ୍ଥିର ବିନ୍ଦୁ $F$ କୁ ଫୋକସ୍ (ନାଭି) କୁହାଯାଏ (ଚିତ୍ର 10.13)। (‘ପାରା’ ଅର୍ଥ ‘ପାଇଁ’ ଏବଂ ‘ବୋଲା’ ଅର୍ଥ ‘ଫୋପାଡ଼ିବା’, ଅର୍ଥାତ୍, ଯେତେବେଳେ ଆପଣ ଏକ ବଲ୍କୁ ବାୟୁରେ ଫୋପାଡ଼ନ୍ତି ସେତେବେଳେ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଆକୃତି)।

ଚିତ୍ର 10.13

ଟିପ୍ପଣୀ - ଯଦି ସ୍ଥିର ବିନ୍ଦୁ ସ୍ଥିର ରେଖା ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ, ତେବେ ସମତଳରେ ଥିବା ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକର ସେଟ୍, ଯାହା ସ୍ଥିର ବିନ୍ଦୁ ଏବଂ ସ୍ଥିର ରେଖାଠାରୁ ସମାନ ଦୂରତାରେ ଅଛି, ତାହା ସ୍ଥିର ବିନ୍ଦୁ ଦେଇ ଯାଇଥିବା ସରଳ ରେଖା ଏବଂ ସ୍ଥିର ରେଖାକୁ ଲମ୍ବ ଅଟେ। ଆମେ ଏହି ସରଳ ରେଖାକୁ ପରାବଲୟର ଅବକ୍ଷୟିତ କେଶ୍ ଭାବରେ କହୁ।

ଫୋକସ୍ ଦେଇ ଯାଇଥିବା ଏବଂ ନିର୍ଦ୍ଦେଶିକାକୁ ଲମ୍ବ ହୋଇଥିବା ଏକ ରେଖାକୁ ପରାବଲୟର ଅକ୍ଷ କୁହାଯାଏ। ପରାବଲୟ ସହିତ ଅକ୍ଷର ଛେଦନ ବିନ୍ଦୁକୁ ପରାବଲୟର ଶୀର୍ଷ କୁହାଯାଏ (ଚିତ୍ର 10.14)।

ଚିତ୍ର 10.14

10.4.1 ପରାବଲୟର ମାନକ ସମୀକରଣ

ଏକ ପରାବଲୟର ସମୀକରଣ ସରଳତମ ହୁଏ ଯଦି ଶୀର୍ଷ ମୂଳବିନ୍ଦୁରେ ଥାଏ ଏବଂ ସମମିତିର ଅକ୍ଷ $x$-ଅକ୍ଷ ବା $y$-ଅକ୍ଷ ସହିତ ସମାନ୍ତରାଳ ହୁଏ। ପରାବଲୟର ଏହିପରି ଚାରୋଟି ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଅନୁସ୍ଥାପନ ନିମ୍ନରେ ଚିତ୍ର 10.15 (କ) ରୁ (ଘ) ରେ ଦର୍ଶାଯାଇଛି।

(କ)

(ଖ)

$x^{2}=4 a y$

(ଗ)

$x^{2}=-4 a y$

(ଘ)

ଆମେ ଉପରେ ଚିତ୍ର 10.15 (କ) ରେ ଦର୍ଶାଯାଇଥିବା ପରାବଲୟର ସମୀକରଣ ବାହାର କରିବା ଯାହାର ଫୋକସ୍ $(a, 0) a>0$; ଏବଂ ନିର୍ଦ୍ଦେଶିକା $x=-a$ ନିମ୍ନରେ ଅଛି:

ମନେକର $F$ ଫୋକସ୍ ହେଉ ଏବଂ $l$ ନିର୍ଦ୍ଦେଶିକା ହେଉ। ମନେକର FM ନିର୍ଦ୍ଦେଶିକାକୁ ଲମ୍ବ ହେଉ ଏବଂ FM କୁ ବିନ୍ଦୁ O ରେ ସମଦ୍ବିଖଣ୍ଡ କରୁ। MO କୁ X ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ବଢ଼ାଅ। $(-a, y)$ B ପରାବଲୟର ସଂଜ୍ଞା ଅନୁସାରେ, ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁ $O$ ପରାବଲୟ ଉପରେ ଅଛି ଏବଂ ଏହାକୁ ପରାବଲୟର ଶୀର୍ଷ କୁହାଯାଏ। $O$ କୁ ମୂଳବିନ୍ଦୁ ଭାବରେ ନିଅ, $OX$ $x$-ଅକ୍ଷ ଏବଂ $OY$ ଏହାକୁ ଲମ୍ବ ହୋଇଥିବା ରେଖାକୁ $y$-ଅକ୍ଷ ଭାବରେ ନିଅ। ମନେକର ନିର୍ଦ୍ଦେଶିକାରୁ ଫୋକସ୍ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଦୂରତା $2 a$ ହେଉ। ତେବେ, ଫୋକସ୍ ର ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ $(a, 0)$, ଏବଂ ନିର୍ଦ୍ଦେଶିକାର ସମୀକରଣ ହେଉଛି $x+a=0$ ଯେପରି ଚିତ୍ର 10.16 ରେ ଅଛି।

ଚିତ୍ର $\mathbf{1 0 . 1 6}$

ମନେକର $P(x, y)$ ପରାବଲୟ ଉପରେ କୌଣସି ବିନ୍ଦୁ ହେଉ ଯେପରିକି

$$ PF=PB, \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(1) $$

ଯେଉଁଠାରେ $PB$ $l$ କୁ ଲମ୍ବ ଅଟେ। $B$ ର ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ $(-a, y)$। ଦୂରତା ସୂତ୍ର ଦ୍ୱାରା, ଆମେ ପାଇଥାଉ

$ PF=\sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}} \text{ and } PB=\sqrt{(x+a)^{2}} $

ଯେହେତୁ $PF=PB$, ଆମେ ପାଇଥାଉ

$ \sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}}=\sqrt{(x+a)^{2}} $

ଅର୍ଥାତ୍ $ \quad\quad\quad(x-a)^{2}+y^{2}=(x+a)^{2}$

କିମ୍ବା $\quad\quad\quad x^{2}-2 a x+a^{2}+y^{2}=x^{2}+2 a x+a^{2}$

କିମ୍ବା $\quad\quad\quad y^{2}=4 a x(a>0)$।

ତେଣୁ, ପରାବଲୟ ଉପରେ କୌଣସି ବିନ୍ଦୁ ସନ୍ତୁଷ୍ଟ କରେ

$ y^{2}=4 a x \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(2) $

ବିପରୀତତଃ, ମନେକର $P(x, y)$ ସମୀକରଣ (2) କୁ ସନ୍ତୁଷ୍ଟ କରେ

$ \begin{aligned} PF & =\sqrt{(x-a)^{2}+y^{2}} \quad=\sqrt{(x-a)^{2}+4 a x} \\ & =\sqrt{(x+a)^{2}}=PB \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(3) \end{aligned} $

ଏବଂ ତେଣୁ $P(x, y)$ ପରାବଲୟ ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ।

ଏହିପରି, (2) ଏବଂ (3) ରୁ ଆମେ ପ୍ରମାଣିତ କରିଛୁ ଯେ ଶୀର୍ଷ ମୂଳବିନ୍ଦୁରେ, ଫୋକସ୍ $(a, 0)$ ଏବଂ ନିର୍ଦ୍ଦେଶିକା $x=-a$ ସହିତ ପରାବଲୟର ସମୀକରଣ ହେଉଛି $y^{2}=4 a x$।

ଆଲୋଚନା ସମୀକରଣ (2) ରେ, ଯେହେତୁ $a>0, x$ କୌଣସି ଧନାତ୍ମକ ମୂଲ୍ୟ କିମ୍ବା ଶୂନ୍ୟ ଗ୍ରହଣ କରିପାରେ କିନ୍ତୁ କୌଣସି ଋଣାତ୍ମକ ମୂଲ୍ୟ ନୁହେଁ ଏବଂ ବକ