ଗଣିତ ହେଉଛି ସମସ୍ତ ବିଜ୍ଞାନର ରାଣୀ ଏବଂ ସେବିକା - E.T. BELL

11.1 ପରିଚୟ

ଆପଣ ମନେ ରଖିପାରନ୍ତି ଯେ ଏକ ସମତଳରେ ଏକ ବିନ୍ଦୁର ସ୍ଥାନ ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କରିବାକୁ, ଆମକୁ ସେହି ସମତଳରେ ଦୁଇଟି ପରସ୍ପର ଲମ୍ବ ସରଳରେଖା ଆବଶ୍ୟକ ହୁଏ। ଏହି ରେଖାଗୁଡ଼ିକୁ ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ଅକ୍ଷ କୁହାଯାଏ ଏବଂ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାକୁ ଅକ୍ଷମାନଙ୍କ ସହିତ ସମ୍ବନ୍ଧିତ ବିନ୍ଦୁର ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ କୁହାଯାଏ। ପ୍ରକୃତ ଜୀବନରେ, ଆମକୁ କେବଳ ଏକ ସମତଳରେ ଅବସ୍ଥିତ ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କ ସହିତ କାର୍ଯ୍ୟ କରିବାକୁ ପଡ଼େ ନାହିଁ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ବିଭିନ୍ନ ସମୟରେ ଆକାଶରେ ଫିଙ୍ଗା ହୋଇଥିବା ଏକ ବଲ୍ର ସ୍ଥାନ କିମ୍ବା ଏକ ବିମାନ ଯାତ୍ରା ସମୟରେ ବିଭିନ୍ନ ସମୟରେ ଗୋଟିଏ ସ୍ଥାନରୁ ଅନ୍ୟ ସ୍ଥାନକୁ ଉଡ଼ିବା ସମୟରେ ତାହାର ସ୍ଥାନ ବିଚାର କରନ୍ତୁ।

ସେହିପରି, ଯଦି ଆମେ ଗୋଟିଏ କୋଠରିର ଛାତରୁ ଝୁଲୁଥିବା ଏକ ବିଦ୍ୟୁତ୍ ବଲ୍ବର ସର୍ବନିମ୍ନ ଅଗ୍ରଭାଗର ସ୍ଥାନ କିମ୍ବା କୋଠରିର ଛାତ ପଖାର କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ଅଗ୍ରଭାଗର ସ୍ଥାନ ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କରିବାକୁ ଚାହୁଁ, ତେବେ ଆମକୁ କେବଳ କୋଠରିର ଦୁଇଟି ଲମ୍ବ କାନ୍ଥରୁ ବିନ୍ଦୁର ଲମ୍ବ ଦୂରତା ନୁହେଁ, ବରଂ କୋଠରିର ମେଜିରୁ ବିନ୍ଦୁର ଉଚ୍ଚତା ମଧ୍ୟ ଆବଶ୍ୟକ ହେବ। ତେଣୁ, ଆମକୁ କେବଳ ଦୁଇଟି ନୁହେଁ ବରଂ ତିନୋଟି ସଂଖ୍ୟା ଆବଶ୍ୟକ ଯାହା ତିନୋଟି ପରସ୍ପର ଲମ୍ବ ସମତଳ, ଯଥା କୋଠରିର ମେଜି ଏବଂ କୋଠରିର ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ କାନ୍ଥରୁ ବିନ୍ଦୁର ଲମ୍ବ ଦୂରତାକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ। ତିନୋଟି ଦୂରତାକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରୁଥିବା ତିନୋଟି ସଂଖ୍ୟାକୁ ତିନୋଟି ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ସମତଳ ସହିତ ସମ୍ବନ୍ଧିତ ବିନ୍ଦୁର ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ କୁହାଯାଏ। ତେଣୁ, ଆକାଶରେ ଏକ ବିନ୍ଦୁର ତିନୋଟି ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ଅଛି। ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ, ଆମେ ତ୍ରିବିମୀୟ ଆକାଶରେ ଜ୍ୟାମିତିର ମୌଳିକ ଧାରଣାଗୁଡ଼ିକୁ ଅଧ୍ୟୟନ କରିବା।*

11.2 ତ୍ରିବିମୀୟ ଆକାଶରେ ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ଅକ୍ଷ ଏବଂ ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ସମତଳ

ଏକ ବିନ୍ଦୁ $O$ ରେ ଛେଦ କରୁଥିବା ତିନୋଟି ସମତଳ ବିଚାର କରନ୍ତୁ ଯେପରି ଏହି ତିନୋଟି ସମତଳ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଅଟନ୍ତି (ଚିତ୍ର 11.1)। ଏହି ତିନୋଟି ସମତଳ $X^{\prime} OX, Y^{\prime} OY$ ଏବଂ $Z^{\prime} OZ$ ରେଖା ବରାବର ଛେଦ କରନ୍ତି, ଯାହାକୁ ଯଥାକ୍ରମେ $x, y$ ଏବଂ $z$-ଅକ୍ଷ କୁହାଯାଏ। ଆମେ ଧ୍ୟାନ ଦେଇପାରିବା ଯେ ଏହି ରେଖାଗୁଡ଼ିକ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଅଟନ୍ତି। ଏହି ରେଖାଗୁଡ଼ିକ ଆୟତାକାର ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ପ୍ରଣାଳୀ ଗଠନ କରନ୍ତି। XOY, YOZ ଏବଂ ZOX ସମତଳଗୁଡ଼ିକୁ ଯଥାକ୍ରମେ XY-ସମତଳ, YZ-ସମତଳ ଏବଂ ZX-ସମତଳ କୁହାଯାଏ, ଏଗୁଡ଼ିକ ତିନୋଟି ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ସମତଳ ଭାବରେ ଜଣାଶୁଣା। ଆମେ XOY ସମତଳକୁ କାଗଜର ସମତଳ ଏବଂ

ଚିତ୍ର 11.1 ରେଖା $Z^{\prime} OZ$ କୁ ସମତଳ $XOY$ ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଭାବରେ ନେଉଛୁ। ଯଦି କାଗଜର ସମତଳକୁ କ୍ଷିତିଜ ସମତଳ ଭାବରେ ବିଚାର କରାଯାଏ, ତେବେ ରେଖା $Z^{\prime} OZ$ ଭୂଲମ୍ବ ହେବ। XY-ସମତଳରୁ $OZ$ ଦିଗରେ ଉପରକୁ ମାପିବା ଦୂରତାଗୁଡ଼ିକୁ ଧନାତ୍ମକ ଏବଂ $OZ^{\prime}$ ଦିଗରେ ତଳକୁ ମାପିବା ଦୂରତାଗୁଡ଼ିକୁ ଋଣାତ୍ମକ ଭାବରେ ନିଆଯାଏ। ସେହିପରି, $ZX$-ସମତଳର ଡାହାଣକୁ $OY$ ବରାବର ମାପିବା ଦୂରତାକୁ ଧନାତ୍ମକ, ZX-ସମତଳର ବାମକୁ ଏବଂ $O Y^{\prime}$ ବରାବର ମାପିବା ଦୂରତାକୁ ଋଣାତ୍ମକ, YZ-ସମତଳର ସାମ୍ନାକୁ $O X$ ବରାବର ମାପିବା ଦୂରତାକୁ ଧନାତ୍ମକ ଏବଂ ଏହାର ପଛକୁ $OX^{\prime}$ ବରାବର ମାପିବା ଦୂରତାକୁ ଋଣାତ୍ମକ ଭାବରେ ନିଆଯାଏ। ବିନ୍ଦୁ $O$ କୁ ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ପ୍ରଣାଳୀର ମୂଳବିନ୍ଦୁ କୁହାଯାଏ। ତିନୋଟି ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ସମତଳ ଆକାଶକୁ ଆଠଟି ଭାଗରେ ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତି ଯାହାକୁ ଅଷ୍ଟାନ୍ତ କୁହାଯାଏ। ଏହି ଅଷ୍ଟାନ୍ତଗୁଡ଼ିକୁ $XOYZ, X^{\prime} OYZ, X^{\prime} OY Y, XOY ’ Z, XOYZ$, $X^{\prime} OYZ, X^{\prime} OY^{\prime} Z^{\prime}$ ଏବଂ $XOY^{\prime} Z^{\prime}$ ଭାବରେ ନାମିତ କରାଯାଇପାରେ ଏବଂ ଯଥାକ୍ରମେ I, II, III, …, VIII ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ।

11.3 ଆକାଶରେ ଏକ ବିନ୍ଦୁର ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ

ଆକାଶରେ ଏକ ସ୍ଥିର ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ପ୍ରଣାଳୀ ବାଛିସାରିବା ପରେ, ଯାହା ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ଅକ୍ଷ, ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ସମତଳ ଏବଂ ମୂଳବିନ୍ଦୁକୁ ନେଇ ଗଠିତ, ଆମେ ବର୍ତ୍ତମାନ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରୁଛୁ ଯେ କିପରି, ଆକାଶରେ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ଦିଆଗଲେ, ଆମେ ତାହା ସହିତ ତିନୋଟି ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ $(x, y, z)$ ସଂଯୁକ୍ତ କରୁ ଏବଂ ବିପରୀତତଃ, ତିନୋଟି ସଂଖ୍ୟା $(x, y, z)$ର ଏକ ତ୍ରୟୀ ଦିଆଗଲେ, କିପରି, ଆମେ ଆକାଶରେ ଏକ ବିନ୍ଦୁ ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କରୁ।

ଚିତ୍ର 11.2

ଆକାଶରେ ଏକ ବିନ୍ଦୁ $P$ ଦିଆଗଲେ, ଆମେ XY-ସମତଳ ଉପରେ ଏକ $\mathbf{X}$ ଲମ୍ବ PM ଅଙ୍କନ କରୁ ଯେଉଁଠାରେ M ଏହି ଲମ୍ବର ପାଦବିନ୍ଦୁ (ଚିତ୍ର 11.2)। ତା’ପରେ, ବିନ୍ଦୁ M ରୁ, ଆମେ $x$-ଅକ୍ଷ ପ୍ରତି ଏକ ଲମ୍ବ ML ଅଙ୍କନ କରୁ, ଯାହା L ଠାରେ ମିଳିତ ହୁଏ। ମନେକର OL ହେଉଛି $x, LM$, $y$ ହେଉ ଏବଂ MP ହେଉଛି $z$। ତେବେ $x, y$ ଏବଂ $z$ କୁ ଯଥାକ୍ରମେ ଆକାଶରେ ବିନ୍ଦୁ $P$ର $x, y$ ଏବଂ $z$ ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ କୁହାଯାଏ। ଚିତ୍ର 11.2ରେ, ଆମେ ଧ୍ୟାନ ଦେଇପାରିବା ଯେ ବିନ୍ଦୁ $P(x, y, z)$ ଅଷ୍ଟାନ୍ତ XOYZରେ ଅବସ୍ଥିତ ଏବଂ ତେଣୁ ସମସ୍ତ $x, y$, $z$ ଧନାତ୍ମକ। ଯଦି $P$ ଅନ୍ୟ କୌଣସି ଅଷ୍ଟାନ୍ତରେ ଥାଆନ୍ତା, ତେବେ $x, y$ ଏବଂ $z$ର ଚିହ୍ନ ଅନୁସାରେ ପରିବର୍ତ୍ତନ ହୋଇଥାନ୍ତା। ଏହିପରି, ଆକାଶରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବିନ୍ଦୁ $P$ ସହିତ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାର ଏକ କ୍ରମିତ ତ୍ରୟୀ $(x, y, z)$ ସମ୍ପର୍କିତ।

ବିପରୀତତଃ, ଯେକୌଣସି ତ୍ରୟୀ $(x, y, z)$ ଦିଆଗଲେ, ଆମେ ପ୍ରଥମେ $x$-ଅକ୍ଷ ଉପରେ ବିନ୍ଦୁ $L$କୁ $x$ ସହିତ ସମ୍ପର୍କିତ କରି ସ୍ଥିର କରିବୁ, ତା’ପରେ XY-ସମତଳରେ ବିନ୍ଦୁ $M$କୁ ଏପରି ଭାବରେ ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କରିବୁ ଯେ $(x, y)$ ହେଉଛନ୍ତି XY-ସମତଳରେ ବିନ୍ଦୁ Mର ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ। ଧ୍ୟାନ ଦିଅନ୍ତୁ ଯେ LM ହେଉଛି $x$-ଅକ୍ଷ ପ୍ରତି ଲମ୍ବ କିମ୍ବା $y$-ଅକ୍ଷ ସହ ସମାନ୍ତର। ବିନ୍ଦୁ Mରେ ପହଞ୍ଚିବା ପରେ, ଆମେ XY-ସମତଳ ପ୍ରତି ଏକ ଲମ୍ବ MP ଅଙ୍କନ କରୁ ଏବଂ ଏହା ଉପରେ ବିନ୍ଦୁ $P$କୁ $z$ ସହିତ ସମ୍ପର୍କିତ କରି ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କରୁ। ଏହିପରି ପ୍ରାପ୍ତ ବିନ୍ଦୁ $P$ର ତା’ପରେ ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ $(x, y, z)$ ଅଛି। ଏହିପରି, ଆକାଶରେ ଥିବା ବିନ୍ଦୁମାନଙ୍କ ଏବଂ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାର କ୍ରମିତ ତ୍ରୟୀ $(x, y, z)$ ମଧ୍ୟରେ ଏକ-ଏକ ସମ୍ପର୍କ ରହିଛି।

ବିକଳ୍ପ ଭାବରେ, ଆକାଶରେ ଥିବା ବିନ୍ଦୁ $P$ ମାଧ୍ୟମରେ, ଆମେ ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ସମତଳ ସହ ସମାନ୍ତର ତିନୋଟି ସମତଳ ଅଙ୍କନ କରୁ, ଯାହା $x$-ଅକ୍ଷ, $y$-ଅକ୍ଷ ଏବଂ $z$-ଅକ୍ଷକୁ ଯଥାକ୍ରମେ ବିନ୍ଦୁ $A, B$ ଏବଂ $C$ରେ ଛେଦ କରେ (ଚିତ୍ର 11.3)। ମନେକର $OA=x, OB=y$ ଏବଂ $OC=z$। ତେବେ, ବିନ୍ଦୁ $P$ର ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ $x, y$ ଏବଂ $z$ ହେବ ଏବଂ ଆମେ $P(x, y, z)$ ଲେଖୁ। ବିପରୀତତଃ, $x, y$ ଏବଂ $z$ ଦିଆଗଲେ, ଆମେ ତିନୋଟି ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ଅକ୍ଷ ଉପରେ ତିନୋଟି ବିନ୍ଦୁ $A, B$ ଏବଂ $C$ ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କରୁ। ବିନ୍ଦୁ $A, B$ ଏବଂ $C$ ମାଧ୍ୟମରେ ଆମେ ଯଥାକ୍ରମେ YZ-ସମତଳ, ZX-ସମତଳ ଏବଂ XY-ସମତଳ ସହ ସମାନ୍ତର ସମତଳ ଅଙ୍କନ କରୁ,

ଚିତ୍ର 11.3

ଯଥାକ୍ରମେ। ଏହି ତିନୋଟି ସମତଳ, ଯଥା ADPF, BDPE ଏବଂ CEPFର ଛେଦବିନ୍ଦୁ ସ୍ପଷ୍ଟତଃ ହେଉଛି ବିନ୍ଦୁ $P$, ଯାହା କ୍ରମିତ ତ୍ରୟୀ $(x, y, z)$ ସହ ସମ୍ପର୍କିତ। ଆମେ ଦେଖୁଛୁ ଯେ ଯଦି $P(x, y, z)$ ଆକାଶରେ କୌଣସି ବିନ୍ଦୁ ହୁଏ, ତେବେ $x, y$ ଏବଂ $z$ ଯଥାକ୍ରମେ YZ, ZX ଏବଂ XY ସମତଳମାନଙ୍କରୁ ଲମ୍ବ ଦୂରତା।

ଟିପ୍ପଣୀ - ମୂଳବିନ୍ଦୁ $O$ର ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ହେଉଛି $(0,0,0)$। $x$-ଅକ୍ଷ ଉପରେ ଥିବା ଯେକୌଣସି ବିନ୍ଦୁର ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ $(x, 0,0)$ ଭାବରେ ହେବ ଏବଂ YZ-ସମତଳରେ ଥିବା ଯେକୌଣସି ବିନ୍ଦୁର ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ $(0, y, z)$ ଭାବରେ ହେବ।

ମନ୍ତବ୍ୟ ଏକ ବିନ୍ଦୁର ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କର ଚିହ୍ନ ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କରେ ଯେ ବିନ୍ଦୁଟି କେଉଁ ଅଷ୍ଟାନ୍ତରେ ଅବସ୍ଥିତ। ନିମ୍ନଲିଖିତ ସାରଣୀଟି ଆଠଟି ଅଷ୍ଟାନ୍ତରେ ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କର ଚିହ୍ନ ଦର୍ଶାଉଛି।

ସାରଣୀ 11.1

ଉଦାହରଣ 1 ଚିତ୍ର 11.3ରେ, ଯଦି $P$ ହେଉଛି $(2,4,5)$, ତେବେ $F$ର ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ସମାଧାନ ବିନ୍ଦୁ $F$ ପାଇଁ, OY ବରାବର ମାପିବା ଦୂରତା ଶୂନ୍ୟ। ତେଣୁ, $F$ର ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ହେଉଛି $(2,0,5)$।

ଉଦାହରଣ 2 ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଯେଉଁ ଅଷ୍ଟାନ୍ତରେ ବିନ୍ଦୁମାନ $(-3,1,2)$ ଏବଂ $(-3,1,-2)$ ଅବସ୍ଥିତ।

ସମାଧାନ ସାରଣୀ 11.1ରୁ, ବିନ୍ଦୁ $(-3,1,2)$ ଦ୍ୱିତୀୟ ଅଷ୍ଟାନ୍ତରେ ଅବସ୍ଥିତ ଏବଂ ବିନ୍ଦୁ $(-3,1,-2)$ ଅଷ୍ଟାନ୍ତ VIରେ ଅବସ୍ଥିତ।

11.4 ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା

ଆମେ ଦ୍ୱିବିମୀୟ ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ପ୍ରଣାଳୀରେ ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା ବିଷୟରେ ଅଧ୍ୟୟନ କରିଛୁ। ଆସନ୍ତୁ ବର୍ତ୍ତମାନ ଏହି ଅଧ୍ୟୟନକୁ ତ୍ରିବିମୀୟ ପ୍ରଣାଳୀକୁ ବିସ୍ତାର କରିବା।

ମନେକର $P(x_1, y_1, z_1)$ ଏବଂ $Q(x_2, y_2, z_2)$ ହେଉଛି ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ଯାହାକୁ ଏକ ଆୟତାକାର ଅକ୍ଷ $OX, OY$ ଏବଂ $OZ$ର ଏକ ପ୍ରଣାଳୀ ସହ ସମ୍ପର୍କିତ କରାଯାଇଛି। ବିନ୍ଦୁ $P$ ଏବଂ $Q$ ମାଧ୍ୟମରେ ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ସମତଳ ସହ ସମାନ୍ତର ସମତଳ ଅଙ୍କନ କର ଯାହା ଦ୍ୱାରା ଗୋଟିଏ କର୍ଣ୍ଣ PQ (ଚିତ୍ର 11.4) ସହିତ ଏକ ଆୟତାକାର ସମାନ୍ତର ପିପ୍ଡ ଗଠିତ ହୁଏ।

ଚିତ୍ର 11.4

ବର୍ତ୍ତମାନ, ଯେହେତୁ $\angle PAQ$ ହେଉଛି ଏକ ସମକୋଣ $\quad \mathbf{X}$, ତେଣୁ ଏହା ଅନୁସରଣ କରେ ଯେ, ତ୍ରିଭୁଜ PAQରେ,

$ PQ^{2}=PA^{2}+AQ^{2} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ldots(1) $

ଆଉ, ତ୍ରିଭୁଜ ANQ ହେଉଛି ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ ଯେଉଁଥିରେ $\angle ANQ$ ଏକ ସମକୋଣ।

ତେଣୁ $\quad\quad\quad AQ^{2}=AN^{2}+NQ^{2} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \ldots(2)$

(1) ଏବଂ (2)ରୁ, ଆମ ପାଖରେ ଅଛି

$$ \mathrm{PQ}^{2}=\mathrm{PA}^{2}+\mathrm{AN}^{2}+\mathrm{NQ}^{2} $$

ବର୍ତ୍ତମାନ $\quad\quad\quad\mathrm{PA}=y _{2}-y _{1}, \mathrm{AN}=x _{2}-x _{1}$ ଏବଂ $\mathrm{NQ}=z _{2}-z _{1}$

ତେଣୁ $\quad\quad\quad\mathrm{PQ}^{2}=\left(x _{2}-x _{1}\right)^{2}+\left(y _{2}-y _{1}\right)^{2}+\left(z _{2}-z _{1}\right)^{2}$

ତେଣୁ $\quad\quad\quad PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}+(z_2-z_1)^{2}}$

ଏହା ଆମକୁ ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ $(x_1, y_1, z_1)$ ଏବଂ $(x_2, y_2, z_2)$ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା ଦେଇଥାଏ।

ବିଶେଷ କରି, ଯଦି $x_1=y_1=z_1=0$, ଅର୍ଥାତ୍, ବିନ୍ଦୁ $P$ ହେଉଛି ମୂଳବିନ୍ଦୁ $O$, ତେବେ $OQ=\sqrt{x_2{ }^{2}+y_2{ }^{2}+z_2{ }^{2}}$, ଯାହା ମୂଳବିନ୍ଦୁ $O$ ଏବଂ ଯେକୌଣସି ବିନ୍ଦୁ $Q(x_2, y_2, z_2)$ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା ଦେଇଥାଏ।

ଉଦାହରଣ 3 ବିନ୍ଦୁମାନ $P(1,-3,4)$ ଏବଂ $Q(-4,1,2)$ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ସମାଧାନ ବିନ୍ଦୁମାନ $P(1,-3,4)$ ଏବଂ $Q(-4,1,2)$ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା PQ ହେଉଛି

$ \begin{aligned} PQ & =\sqrt{(-4-1)^{2}+(1+3)^{2}+(2-4)^{2}} \\ & =\sqrt{25+16+4} \\ & =\sqrt{45}=3 \sqrt{5} \text{ units } \end{aligned} $

ଉଦାହରଣ 4 ଦର୍ଶାଅ ଯେ ବିନ୍ଦୁମାନ $P(-2,3,5)$, $Q(1,2,3)$ ଏବଂ $R(7,0,-1)$ ସରଳରେଖୀୟ।

ସମାଧାନ ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ବିନ୍ଦୁମାନ ସରଳରେଖୀୟ ହେବେ ଯଦି ସେମାନେ ଏକ ସରଳରେଖା ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ହୁଅନ୍ତି।

ବର୍ତ୍ତମାନ,

$ \begin{aligned} & P Q=\sqrt{(1+2)^{2}+(2-3)^{2}+(3-5)^{2}}=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14} \\ & Q R=\sqrt{(7-1)^{2}+(0-2)^{2}+(-1-3)^{2}}=\sqrt{36+4+16}=\sqrt{56}=2 \sqrt{14} \end{aligned} $

ଏବଂ

$ P R=\sqrt{(7+2)^{2}+(0-3)^{2}+(-1-5)^{2}}=\sqrt{81+9+36}=\sqrt{126}=3 \sqrt{14} $

ଏହିପରି, $PQ+QR=PR$। ତେଣୁ, $P, Q$ ଏବଂ $R$ ସରଳରେଖୀୟ।

ଉଦାହରଣ 5 ବିନ୍ଦୁମାନ A $(3,6,9), B(10,20,30)$ ଏବଂ C $(25,-41,5)$, ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ କି?

ସମାଧାନ ଦୂରତା ସୂତ୍ର ଦ୍ୱାରା, ଆମ ପାଖରେ ଅଛି

$ \begin{aligned} AB^{2} & =(10-3)^{2}+(20-6)^{2}+(30-9)^{2} \\ & =49+196+441=686 \\ BC^{2} & =(25-10)^{2}+(-41-20)^{2}+(5-30)^{2} \\ & =225+3721+625=4571 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} CA^{2} & =(3-25)^{2}+(6+41)^{2}+(9-5)^{2} \\ &