କ୍ୟାଲକୁଲସ୍ ଏକ ଚାବି ଭାବରେ, ଗଣିତକୁ ପ୍ରକୃତିର ଗତିର ବ୍ୟାଖ୍ୟା ପାଇଁ ସଫଳତାର ସହିତ ପ୍ରୟୋଗ କରାଯାଇପାରେ - ୱାଇଟହେଡ୍

12.1 ପରିଚୟ

ଏହି ଅଧ୍ୟାୟ କ୍ୟାଲକୁଲସ୍ ପାଇଁ ଏକ ପରିଚୟ। କ୍ୟାଲକୁଲସ୍ ହେଉଛି ଗଣିତର ସେହି ଶାଖା ଯାହା ମୁଖ୍ୟତଃ ଏକ ଫଳନର ମୂଲ୍ୟରେ ପରିବର୍ତ୍ତନର ଅଧ୍ୟୟନ ସହିତ ଜଡିତ, ଯେତେବେଳେ ଡୋମେନ୍ର ବିନ୍ଦୁଗୁଡିକ ପରିବର୍ତ୍ତନ ହୁଏ। ପ୍ରଥମେ, ଆମେ ଅବକଳନର (ବାସ୍ତବରେ ଏହାକୁ ସଂଜ୍ଞା ନ ଦେଇ) ଏକ ସହଜ ଧାରଣା ଦେଉ। ତା’ପରେ ଆମେ ସୀମାର ଏକ ସରଳ ସଂଜ୍ଞା ଦେଇ କିଛି ସୀମାର ବୀଜଗଣିତ ଅଧ୍ୟୟନ କରୁ। ତା’ପରେ ଆମେ ଅବକଳନର ସଂଜ୍ଞାକୁ ଫେରିଯାଇ କିଛି ଅବକଳନର ବୀଜଗଣିତ ଅଧ୍ୟୟନ କରୁ। ଆମେ କେତେକ ମାନକ ଫଳନର ଅବକଳନ ମଧ୍ୟ ପ୍ରାପ୍ତ କରୁ।

ସାର୍ ଆଇଜାକ୍ ନିଉଟନ୍ (1642-1727 ଖ୍ରୀଷ୍ଟାବ୍ଦ)

12.2 ଅବକଳନର ସହଜ ଧାରଣା

ଭୌତିକ ପରୀକ୍ଷଣଗୁଡିକ ନିଶ୍ଚିତ କରିଛି ଯେ ଏକ ଉଚ୍ଚ ପାହାଡ଼ରୁ ଛାଡିଦିଆଯାଇଥିବା ଶରୀର ସାର୍ ଆଇଜାକ୍ ନିଉଟନ୍ $(1642-1727)$ ମିଟର ଦୂରତା ଅତିକ୍ରମ କରେ $t$ ସେକେଣ୍ଡରେ, ଅର୍ଥାତ୍, ଶରୀର ଦ୍ୱାରା ଅତିକ୍ରମ କରାଯାଇଥିବା ମିଟରରେ ଦୂରତା $s$ ସମୟ $t$ ସେକେଣ୍ଡରେ ଏକ ଫଳନ ଭାବରେ ଦିଆଯାଇଛି $s=4.9 t^{2}$।

ସଂଲଗ୍ନ ସାରଣୀ 13.1 ଏକ ଉଚ୍ଚ ପାହାଡ଼ରୁ ଛାଡିଦିଆଯାଇଥିବା ଏକ ଶରୀରର ବିଭିନ୍ନ ସମୟ ବ୍ୟବଧାନରେ ମିଟରରେ ଅତିକ୍ରାନ୍ତ ଦୂରତା ଦେଇଛି।

ଲକ୍ଷ୍ୟ ହେଉଛି ଏହି ତଥ୍ୟରୁ ସମୟ $t=2$ ସେକେଣ୍ଡରେ ଶରୀରର ବେଗ ଖୋଜିବା। ଏହି ସମସ୍ୟାକୁ ସମାଧାନ କରିବାର ଏକ ଉପାୟ ହେଉଛି $t=2$ ସେକେଣ୍ଡରେ ଶେଷ ହେଉଥିବା ବିଭିନ୍ନ ସମୟ ବ୍ୟବଧାନ ପାଇଁ ହାରାହାରି ବେଗ ଖୋଜିବା ଏବଂ ଆଶା କରିବା ଯେ ଏଗୁଡିକ $t=2$ ସେକେଣ୍ଡରେ ବେଗ ଉପରେ କିଛି ଆଲୋକ ପକାଇବ।

$t=t_1$ ଏବଂ $t=t_2$ ମଧ୍ୟରେ ହାରାହାରି ବେଗ $t=t_l$ ଏବଂ $t=t_2$, ସେକେଣ୍ଡ ମଧ୍ୟରେ ଅତିକ୍ରାନ୍ତ ଦୂରତା ସହିତ ସମାନ ହୁଏ ଯାହାକୁ $(t_2-t_1)$ ଦ୍ୱାରା ଭାଗ କରାଯାଇଛି। ତେଣୁ ପ୍ରଥମ ଦୁଇ ସେକେଣ୍ଡରେ ହାରାହାରି ବେଗ

$$ \begin{aligned} & =\frac{\text{ Distance travelled between } t_2=2 \text{ and } t_1=0}{\text{ Time interval }(t_2-t_1)} \\ & =\frac{(19.6-0) m}{(2-0) s}=9.8 m / s . \end{aligned} $$

ସେହିପରି, $t=1$ ଏବଂ $t=2$ ମଧ୍ୟରେ ହାରାହାରି ବେଗ ହେଉଛି

$$ \frac{(19.6-4.9) m}{(2-1) s}=14.7 m / s $$

ସେହିଭଳି ଆମେ ବିଭିନ୍ନ $t_1$ ପାଇଁ $t=t_1$ ଏବଂ $t=2$ ମଧ୍ୟରେ ହାରାହାରି ବେଗ ଗଣନା କରୁ। ନିମ୍ନଲିଖିତ ସାରଣୀ 13.2 $(v), t=t_1$ ସେକେଣ୍ଡ ଏବଂ $t=2$ ସେକେଣ୍ଡ ପାଇଁ ହାରାହାରି ବେଗ ଦେଇଛି।

ସାରଣୀ 12.1

ସାରଣୀ 12.2

ସାରଣୀ 12.2ରୁ, ଆମେ ଦେଖୁଛୁ ଯେ ହାରାହାରି ବେଗ ଧୀରେ ଧୀରେ ବଢୁଛି। ଯେତେବେଳେ ଆମେ $t=2$ରେ ଶେଷ ହେଉଥିବା ସମୟ ବ୍ୟବଧାନଗୁଡିକୁ ଛୋଟ କରୁ, ଆମେ ଦେଖୁ ଯେ ଆମେ $t=2$ରେ ବେଗ ସମ୍ବନ୍ଧରେ ଏକ ଉନ୍ନତ ଧାରଣା ପାଇଥାଉ। 1.99 ସେକେଣ୍ଡ ଏବଂ 2 ସେକେଣ୍ଡ ମଧ୍ୟରେ କିଛି ନାଟକୀୟ ଘଟଣା ନହେବାର ଆଶା କରି, ଆମେ ନିଷ୍କର୍ଷ କରୁ ଯେ $t=2$ ସେକେଣ୍ଡରେ ହାରାହାରି ବେଗ ଠିକ୍ $19.551 m / s$ ଠାରୁ ଉପରେ।

ଏହି ନିଷ୍କର୍ଷ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଗଣନା ସେଟ୍ ଦ୍ୱାରା କିଛି ଶକ୍ତିଶାଳୀ ହୋଇଛି। $t=2$ ସେକେଣ୍ଡରେ ଆରମ୍ଭ ହେଉଥିବା ବିଭିନ୍ନ ସମୟ ବ୍ୟବଧାନ ପାଇଁ ହାରାହାରି ବେଗ ଗଣନା କର। ପୂର୍ବଭଳି $v$ ହାରାହାରି ବେଗ $t=2$ ସେକେଣ୍ଡ ଏବଂ $t=t_2$ ସେକେଣ୍ଡ ମଧ୍ୟରେ ହେଉଛି

$ \begin{aligned} & =\frac{\text{ 2 ସେକେଣ୍ଡ ଏବଂ } t_2 \text{ ସେକେଣ୍ଡ ମଧ୍ୟରେ ଅତିକ୍ରାନ୍ତ ଦୂରତା }}{t_2-2} \\ & =\frac{\text{ } t_2 \text{ ସେକେଣ୍ଡରେ ଅତିକ୍ରାନ୍ତ ଦୂରତା }- \text{ 2 ସେକେଣ୍ଡରେ ଅତିକ୍ରାନ୍ତ ଦୂରତା }}{t_2-2} \end{aligned} $

$ =\frac{\text{ } t_2 \text{ ସେକେଣ୍ଡରେ ଅତିକ୍ରାନ୍ତ ଦୂରତା }-19.6}{t_2-2} $

ନିମ୍ନଲିଖିତ ସାରଣୀ 12.3 $v$ ମିଟର ପ୍ରତି ସେକେଣ୍ଡରେ ହାରାହାରି ବେଗ ଦେଇଛି $t=2$ ସେକେଣ୍ଡ ଏବଂ $t_2$ ସେକେଣ୍ଡ ମଧ୍ୟରେ।

ସାରଣୀ 12.3

ଏଠାରେ ଆମେ ପୁଣି ଧ୍ୟାନ ଦେଉ ଯେ ଯଦି ଆମେ $t=2$ରେ ଆରମ୍ଭ ହେଉଥିବା ଛୋଟ ସମୟ ବ୍ୟବଧାନ ନେଉ, ତେବେ ଆମେ $t=2$ରେ ବେଗ ସମ୍ବନ୍ଧରେ ଉନ୍ନତ ଧାରଣା ପାଇଥାଉ।

ପ୍ରଥମ ସେଟ୍ ଗଣନାରେ, ଆମେ ଯାହା କରିଛୁ ତାହା ହେଉଛି $t=2$ରେ ଶେଷ ହେଉଥିବା ବୃଦ୍ଧିଶୀଳ ସମୟ ବ୍ୟବଧାନରେ ହାରାହାରି ବେଗ ଖୋଜିବା ଏବଂ ତା’ପରେ ଆଶା କରିବା ଯେ $t=2$ ଠିକ୍ ପୂର୍ବରୁ କିଛି ନାଟକୀୟ ଘଟଣା ନହୁଏ। ଦ୍ୱିତୀୟ ସେଟ୍ ଗଣନାରେ, ଆମେ $t=2$ରେ ଶେଷ ହେଉଥିବା ସମୟ ବ୍ୟବଧାନରେ ହାରାହାରି ବେଗ ହ୍ରାସ ପାଇଛୁ ଏବଂ ତା’ପରେ ଆଶା କରିଛୁ ଯେ $t=2$ ଠିକ୍ ପରେ କିଛି ନାଟକୀୟ ଘଟଣା ନହୁଏ। ପୂର୍ଣ୍ଣ ଭାବରେ ଭୌତିକ ଆଧାରରେ, ଏହି ଉଭୟ ହାରାହାରି ବେଗର କ୍ରମ ଏକ ସାଧାରଣ ସୀମା ଆଡକୁ ଅଗ୍ରସର ହେବା ଆବଶ୍ୟକ। ଆମେ ନିରାପଦରେ ନିଷ୍କର୍ଷ କରିପାରିବା ଯେ $t=2$ରେ ଶରୀରର ବେଗ $19.551 m / s$ ଏବଂ $19.649 m / s$ ମଧ୍ୟରେ ଅଛି। ପ୍ରାଯୋଗିକ ଭାବରେ, ଆମେ କହୁ ଯେ $t=2$ରେ କ୍ଷଣିକ ବେଗ $19.551 m / s$ ଏବଂ $19.649 m / s$ ମଧ୍ୟରେ ଅଛି। ଯେପରି ଜଣାଶୁଣା, ବେଗ ହେଉଛି ସ୍ଥାନାନ୍ତରର ପରିବର୍ତ୍ତନ ହାର। ତେଣୁ ଆମେ ଯାହା ସାଧନ କରିଛୁ ତାହା ହେଉଛି ନିମ୍ନଲିଖିତ। ବିଭିନ୍ନ ସମୟ କ୍ଷଣରେ ଆଚ୍ଛାଦିତ ଦୂରତାର ଦିଆଯାଇଥିବା ତଥ୍ୟରୁ, ଆମେ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମୟରେ ଦୂରତାର ପରିବର୍ତ୍ତନ ହାର ଆକଳନ କରିଛୁ। ଆମେ କହୁ ଯେ ଦୂରତା ଫଳନ $s=4.9 t^{2}$ର ଅବକଳନ $t=2$ରେ 19.551 ଏବଂ 19.649 ମଧ୍ୟରେ ଅଛି।

ଏହି ସୀମା ପ୍ରକ୍ରିୟାକୁ ଦେଖିବାର ଏକ ବିକଳ୍ପ ଉପାୟ ଚିତ୍ର 12.1ରେ ଦର୍ଶାଯାଇଛି। ଏହା ପାହାଡ଼ର ଶୀର୍ଷରୁ ଶରୀରର ଦୂରତା $s$ ବନାମ ଅତିବାହିତ ସମୟ $t$ର ଏକ ପ୍ଲଟ୍। ସୀମାରେ ଯେତେବେଳେ ସମୟ ବ୍ୟବଧାନର କ୍ରମ $h_1, h_2, \ldots$, ଶୂନ୍ୟ ଆଡକୁ ଅଗ୍ରସର ହୁଏ, ହାରାହାରି ବେଗର କ୍ରମ ସେହି ସୀମା ଆଡକୁ ଅଗ୍ରସର ହୁଏ ଯେପରି ଅନୁପାତର କ୍ରମ

ଚିତ୍ର 12.1

$ \frac{C_1 B_1}{AC_1}, \frac{C_2 B_2}{AC_2}, \frac{C_3 B_3}{AC_3}, \ldots $

ଯେଉଁଠାରେ $C_1 B_1=s_1-s_0$ ହେଉଛି ସମୟ ବ୍ୟବଧାନ $h_1=AC_1$ରେ ଶରୀର ଦ୍ୱାରା ଅତିକ୍ରାନ୍ତ ଦୂରତା, ଇତ୍ୟାଦି। ଚିତ୍ର 12.1ରୁ ଏହି ନିଷ୍କର୍ଷ ନେବା ନିରାପଦ ଯେ ଏହି ପରବର୍ତ୍ତୀ କ୍ରମ ବିନ୍ଦୁ $A$ରେ ବକ୍ରର ସ୍ପର୍ଶକର ଢାଲ ଆଡକୁ ଅଗ୍ରସର ହୁଏ। ଅନ୍ୟ ଅର୍ଥରେ, କ୍ଷଣିକ ବେଗ $v(t)$ ସମୟ $t=2$ରେ ଏକ ଶରୀରର ବକ୍ର $s=4.9 t^{2}$ର ସ୍ପର୍ଶକର ଢାଲ ସହିତ ସମାନ ହୁଏ $t=2$ରେ।

12.3 ସୀମା

ଉପରୋକ୍ତ ଆଲୋଚନା ସ୍ପଷ୍ଟ ଭାବରେ ସୂଚାଇଥାଏ ଯେ ଆମକୁ ସୀମା ପ୍ରକ୍ରିୟାକୁ ଅଧିକ ସ୍ପଷ୍ଟତାର ସହିତ ବୁଝିବା ଆବଶ୍ୟକ। ଆମେ ସୀମାର ଧାରଣା ସହିତ କିଛି ପରିଚୟ ପାଇବା ପାଇଁ କିଛି ବର୍ଣ୍ଣନାତ୍ମକ ଉଦାହରଣ ଅଧ୍ୟୟନ କରୁ।

ଫଳନ $f(x)=x^{2}$ ବିଚାର କର। ଲକ୍ଷ୍ୟ କର ଯେ ଯେତେବେଳେ $x$ 0 ର ନିକଟତମ ମୂଲ୍ୟ ନିଏ, $f(x)$ର ମୂଲ୍ୟ ମଧ୍ୟ 0 ଆଡକୁ ଗତି କରେ (ଚିତ୍ର 2.10 ଅଧ୍ୟାୟ 2 ଦେଖନ୍ତୁ)। ଆମେ କହୁ

$ \begin{aligned} \lim\limits_{x \to 0} f(x)=0 \end{aligned} $

($f(x)$ର ସୀମା ଭାବରେ ପଢିବା ଯେତେବେଳେ $x$ ଶୂନ୍ୟ ଆଡକୁ ଯାଏ ସମାନ ଶୂନ୍ୟ)। $f(x)$ର ସୀମା ଭାବରେ $x$ ଶୂନ୍ୟ ଆଡକୁ ଯାଏ ତାହା ଭାବିବା ଉଚିତ ଯେ ମୂଲ୍ୟ $f(x)$ $x=0$ରେ ଗ୍ରହଣ କରିବା ଉଚିତ।

ସାଧାରଣତଃ ଯେତେବେଳେ $x \to a, f(x) \to l$, ତାପରେ $l$କୁ ଫଳନ $f(x)$ର ସୀମା କୁହାଯାଏ ଯାହାକୁ ପ୍ରତୀକାତ୍ମକ ଭାବରେ ଲେଖାଯାଇଛି $\lim\limits_{x \to a} f(x)=l$।

ନିମ୍ନଲିଖିତ ଫଳନ $g(x)=|x|, x \neq 0$ ବିଚାର କର। ଲକ୍ଷ୍ୟ କର ଯେ $g(0)$ ସଂଜ୍ଞା ଦିଆଯାଇନାହିଁ। $g(x)$ର ମୂଲ୍ୟ ଗଣନା କରି $x$ର ମୂଲ୍ୟ 0 ର ନିକଟତମ, ଆମେ ଦେଖୁ ଯେ $g(x)$ର ମୂଲ୍ୟ 0 ଆଡକୁ ଗତି କରେ। ତେଣୁ, $\lim\limits_{x \to 0} g(x)=0$। ଏହା $y=|x|$ର ଗ୍ରାଫରୁ $x \neq 0$ ପାଇଁ ସହଜରେ ବୁଝାଯାଏ (ଚିତ୍ର 2.13, ଅଧ୍ୟାୟ 2 ଦେଖନ୍ତୁ)।

ନିମ୍ନଲିଖିତ ଫଳନ ବିଚାର କର।

$ h(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2}, x \neq 2 $

$h(x)$ର ମୂଲ୍ୟ ଗଣନା କର $x$ର ମୂଲ୍ୟ 2 ର ନିକଟତମ (କିନ୍ତୁ 2 ରେ ନୁହେଁ)। ନିଜକୁ ବିଶ୍ୱାସ କରାଅ ଯେ ଏହି ସମସ୍ତ ମୂଲ୍ୟ 4 ର ନିକଟତମ। ଏହା କିଛି ମାତ୍ରାରେ ଶକ୍ତିଶାଳୀ ହୁଏ ଫଳନ $y=h(x)$ର ଗ୍ରାଫ ବିଚାର କରି ଯାହା ଏଠାରେ ଦିଆଯାଇଛି (ଚିତ୍ର 12.2)।

ଚିତ୍ର 12.2

ଏହି ସମସ୍ତ ଚିତ୍ରଣରେ ଫଳନଟି ଏକ ଦିଆଯାଇଥିବା ବିନ୍ଦୁ $x=a$ରେ ଗ୍ରହଣ କରିବା ଉଚିତ ମୂଲ୍ୟ ପ୍ରକୃତରେ ଏହା ଉପରେ ନିର୍ଭର କରୁନଥିଲା ଯେ $x$ କିପରି $a$ ଆଡକୁ ଯାଉଛି। ଧ୍ୟାନ ଦିଅ ଯେ ମୂଳତଃ ଦୁଇଟି ଉପାୟ ଅଛି $x$ ଏକ ସଂଖ୍ୟା $a$ ଆଡକୁ ଯାଇପାରେ ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ କିମ୍ବା ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ, ଅର୍ଥାତ୍, $x$ର ସମସ୍ତ ମୂଲ୍ୟ $a$ ର ନିକଟତମ ହୋଇପାରେ $a$ ଠାରୁ କମ୍ କିମ୍ବା $a$ ଠାରୁ ଅଧିକ ହୋଇପାରେ। ଏହା ସ୍ୱାଭାବିକ ଭାବରେ ଦୁଇଟି ସୀମା ଆଡକୁ ନେଇଥାଏ - ଡାହାଣ ହାତ ସୀମା ଏବଂ ବାମ ହାତ ସୀମା। ଏକ ଫଳନ $f(x)$ର ଡାହାଣ ହାତ ସୀମା ହେଉଛି $f(x)$ର ସେହି ମୂଲ୍ୟ ଯାହାକୁ $f(x)$ର ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକ ନିର୍ଦ୍ଦେଶିତ କରେ ଯେତେବେଳେ $x$ $a$ ଆଡକୁ ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ ଯାଏ। ସେହିପରି, ବାମ ହାତ ସୀମା। ଏହାକୁ ଚିତ୍ରଣ କରିବା ପାଇଁ, ଫଳନ ବିଚାର କର

$ f(x)= \begin{cases}1, & x \leq 0 \\ 2, & x>0\end{cases} $

ଏହି ଫଳନର ଗ୍ରାଫ ଚିତ୍ର 12.3ରେ ଦର୍ଶାଯାଇଛି। ଏହା ସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ $f$ର ମୂଲ୍ୟ 0 ରେ $f(x)$ ସହିତ $x \leq 0$ ଦ୍ୱାରା ନିର୍ଦ୍ଦେଶିତ ହୁଏ 1 ସହିତ ସମାନ, ଅର୍ଥାତ୍, $f(x)$ର ବାମ ହାତ ସୀମା 0 ରେ $ \lim\limits_{x \to 0} f(x)=1 . $

ସେହିପରି, $f$ର ମୂଲ୍ୟ 0 ରେ $f(x)$ ସହିତ $x>0$ ଦ୍ୱାରା ନିର୍ଦ୍ଦେଶିତ ହୁଏ 2 ସହିତ ସମାନ, ଅର୍ଥାତ୍, $f(x)$ର ଡାହାଣ ହାତ ସୀମା 0 ରେ

$ \lim\limits_{x \to 0^{+}} f(x)=2 . $

ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ ଡାହାଣ ଏବଂ ବାମ ହାତ ସୀମା ଭିନ୍ନ, ଏବଂ ତେଣୁ ଆମେ କହୁ ଯେ $f(x)$ର ସୀମା ଭାବରେ $x$ ଶୂନ୍ୟ ଆଡକୁ ଯାଏ ବିଦ୍ୟମାନ ନାହିଁ (ଯଦିଓ ଫଳନଟି 0 ରେ ସଂଜ୍ଞା ଦିଆଯାଇଛି)।

ସାରାଂଶ

ଆମେ କହୁ $\lim\limits_{x \to a^{-}} f(x)$ ହେଉଛି $f$ର ଆଶା କରାଯାଉଥିବା ମୂଲ୍ୟ $x=a$ରେ $f$ର ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକ $x$ ର ନିକଟତମ $a$ର ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଇଛି। ଏହି ମୂଲ୍ୟକୁ $f$ର ବାମ ହାତ ସୀମା କୁହାଯାଏ $a$ରେ।

ଆମେ କହୁ $\lim\limits_{x \to a^{+}} f(x)$ ହେଉଛି $f$ର ଆଶା କରାଯାଉଥିବା ମୂଲ୍ୟ $x=a$ରେ $f$ର ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକ $x$ ର ନିକଟତମ $a$ର ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଇଛି। ଏହି ମୂଲ୍ୟକୁ $f(x)$ର ଡାହାଣ ହାତ ସୀମା କୁହାଯାଏ $a$ରେ।

ଯଦି ଡାହାଣ ଏବଂ ବାମ ହାତ ସୀମା ମିଳିଯାଏ, ଆମେ ସେହି ସାଧାରଣ ମୂଲ୍ୟକୁ $f(x)$ର ସୀମା ଭାବରେ କହୁ $x=a$ରେ ଏବଂ ଏହାକୁ $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରୁ।

ଚିତ୍ରଣ 1 ଫଳନ $f(x)=x+10$ ବିଚାର କର। ଆମେ ଏହି ଫଳନର ସୀମା ଖୋଜିବାକୁ ଚାହୁଁଛୁ $x=5$ରେ। ଆମେ ଫଳନ $f(x)$ର ମୂଲ୍ୟ ଗଣନା କରିବା $x$ 5 ର ନିକଟତମ ପାଇଁ। 5 ର ନିକଟତମ ଏବଂ ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା କେତେକ ବିନ୍ଦୁ ହେଉଛି $4.9,4.95,4.99,4.995 \ldots$, ଇତ୍ୟାଦି। ଏହି ବିନ୍ଦୁଗୁଡିକରେ ଫଳନର ମୂଲ୍ୟ ନିମ୍ନରେ ସାରଣୀବଦ୍ଧ ହୋଇଛି। ସେହିପରି, ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା 5.001,

5.01, 5.1 ମଧ୍ୟ 5 ର ନିକଟତମ ଏବଂ ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ବିନ୍ଦୁ। ଏହି ବିନ୍ଦୁଗୁଡିକରେ ଫଳନର ମୂଲ୍ୟ ମଧ୍ୟ ସାରଣୀ 12.4ରେ ଦିଆଯାଇଛି।

ସାରଣୀ 12.4

| $x$ | 4.9 | 4.95 | 4.99 | 4.995 | 5.001 | 5.01 | 5.1 | | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—