ଗଣିତ ସମସ୍ତ ଭୌତିକ ଗବେଷଣାର ଅପରିହାର୍ଯ୍ୟ ଉପକରଣ। - BERTHELOT

2.1 ପରିଚୟ

ଗଣିତର ଅଧିକାଂଶ ଏକ ନମୁନା ଖୋଜିବା ବିଷୟରେ - ପରିବର୍ତ୍ତନଶୀଳ ପରିମାଣଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରେ ଏକ ଚିହ୍ନିବା ଯୋଗ୍ୟ ସଂଯୋଗ। ଆମର ଦୈନନ୍ଦିନ ଜୀବନରେ, ଆମେ ଅନେକ ନମୁନା ଦେଖୁ ଯାହା ସମ୍ପର୍କଗୁଡ଼ିକୁ ଚିହ୍ନିଥାଏ ଯେପରିକି ଭାଇ ଏବଂ ଭଉଣୀ, ବାପା ଏବଂ ପୁଅ, ଶିକ୍ଷକ ଏବଂ ଛାତ୍ର। ଗଣିତରେ ମଧ୍ୟ, ଆମେ ଅନେକ ସମ୍ପର୍କ ଦେଖୁ ଯେପରିକି ସଂଖ୍ୟା $m$ ସଂଖ୍ୟା $n$ ଠାରୁ କମ୍, ରେଖା $l$ ରେଖା $m$ ସହ ସମାନ୍ତର, ସେଟ୍ $A$ ସେଟ୍ $B$ର ଏକ ଉପସେଟ୍। ଏସବୁରେ, ଆମେ ଦେଖୁ ଯେ ଏକ ସମ୍ପର୍କ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ କ୍ରମରେ ବସ୍ତୁଗୁଡ଼ିକର ଯୋଡ଼ା ଜଡ଼ିତ କରେ। ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ, ଆମେ ଶିଖିବା କିପରି ଦୁଇଟି ସେଟ୍ ମଧ୍ୟରୁ ବସ୍ତୁଗୁଡ଼ିକର ଯୋଡ଼ା ସଂଯୋଗ କରିବେ ଏବଂ ତା’ପରେ ଯୋଡ଼ାରେ ଥିବା ଦୁଇଟି ବସ୍ତୁ ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପର୍କ ପରିଚୟ କରାଇବେ। ଶେଷରେ, ଆମେ ବିଶେଷ ସମ୍ପର୍କଗୁଡ଼ିକ ବିଷୟରେ ଶିଖିବା ଯାହା ଫଳନ ଭାବରେ ଯୋଗ୍ୟ ହେବ।

G.W.Leibnitz (1646-1716 A.D.)

ଫଳନର ଧାରଣା ଗଣିତରେ ଅତ୍ୟନ୍ତ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ କାରଣ ଏହା ଗୋଟିଏ ପରିମାଣ ସହିତ ଅନ୍ୟଟି ମଧ୍ୟରେ ଏକ ଗାଣିତିକ ଭାବରେ ସଠିକ୍ ପତ୍ରବିନିମୟର ଧାରଣାକୁ ଧରି ରଖେ।

2.2 ସେଟ୍ ଗୁଡ଼ିକର କାର୍ଟେସିଆନ୍ ଗୁଣଫଳ

ଧରାଯାଉ A ହେଉଛି 2 ରଙ୍ଗର ଏକ ସେଟ୍ ଏବଂ B ହେଉଛି 3 ଟି ବସ୍ତୁର ସେଟ୍, ଅର୍ଥାତ୍,

$$ A=\{\text { red, blue }\} \text { and } B=\{b, c, s\} \text {, } $$

ଯେଉଁଠାରେ $b, c$ ଏବଂ $s$ ଯଥାକ୍ରମେ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବ୍ୟାଗ୍, କୋଟ୍ ଏବଂ ଶର୍ଟକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ।

ଏହି ଦୁଇଟି ସେଟ୍ ମଧ୍ୟରୁ କେତେ ଯୋଡ଼ା ରଙ୍ଗୀନ ବସ୍ତୁ ତିଆରି କରାଯାଇପାରିବ?

ଏକ ଅତ୍ୟନ୍ତ ନିୟମିତ ପଦ୍ଧତିରେ ଆଗେଇ, ଆମେ ଦେଖିପାରିବା ଯେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ପରି 6 ଟି ଭିନ୍ନ ଯୋଡ଼ା ରହିବ:

(ଲାଲ୍, $b$ ), (ଲାଲ୍, $c$ ), (ଲାଲ୍, $s$ ), (ନୀଳ, $b$ ), (ନୀଳ, $c$ ), (ନୀଳ, $s$ ).

ଏହିପରି, ଆମେ 6 ଟି ଭିନ୍ନ ବସ୍ତୁ ପାଇବା (ଚିତ୍ର 2.1)।

ଚିତ୍ର 2.1

ଆମର ପୂର୍ବ ଶ୍ରେଣୀରୁ ସ୍ମରଣ କରିବା ଯେ ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ସେଟ୍ $P$ ଏବଂ $Q$ ରୁ ନିଆଯାଇଥିବା ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକର ଏକ କ୍ରମିକ ଯୋଡ଼ା ହେଉଛି ଛୋଟ ବନ୍ଧନୀରେ ଲେଖାଯାଇଥିବା ଏବଂ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ କ୍ରମରେ ଏକତ୍ରିତ ହୋଇଥିବା ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକର ଏକ ଯୋଡ଼ା, ଅର୍ଥାତ୍, $(p, q), p \in P$ ଏବଂ $q \in Q$। ଏହା ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଂଜ୍ଞାକୁ ନେଇଥାଏ:

ସଂଜ୍ଞା 1 ଦୁଇଟି ଅଣ-ଖାଲି ସେଟ୍ $P$ ଏବଂ $Q$ ଦିଆଯାଇଛି। କାର୍ଟେସିଆନ୍ ଗୁଣଫଳ $P \times Q$ ହେଉଛି $P$ ଏବଂ $Q$ ରୁ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକର ସମସ୍ତ କ୍ରମିକ ଯୋଡ଼ାର ସେଟ୍, ଅର୍ଥାତ୍,

$$ P \times Q=\{(p, q): p \in P, q \in Q\} $$

ଯଦି $P$ କିମ୍ବା $Q$ ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ଖାଲି ସେଟ୍ ହୁଏ, ତେବେ $P \times Q$ ମଧ୍ୟ ଖାଲି ସେଟ୍ ହେବ, ଅର୍ଥାତ୍, $P \times Q=\phi$

ଉପର୍ ଦିଆଯାଇଥିବା ଚିତ୍ରଣରୁ ଆମେ ଟିପ୍ପଣୀ କରୁ:

$A \times B=\{(red, b),($ ଲାଲ୍,$c),($ ଲାଲ୍,$s),($ ନୀଳ,$b),($ ନୀଳ,$c),($ ନୀଳ,$s)\}$.

ପୁନର୍ବାର, ଦୁଇଟି ସେଟ୍ ବିଚାର କର:

$A=\{DL, MP, KA\}$, ଯେଉଁଠାରେ DL, MP, KA ଯଥାକ୍ରମେ ଦିଲ୍ଲୀ, ମଧ୍ୟପ୍ରଦେଶ ଏବଂ କର୍ଣ୍ଣାଟକକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ ଏବଂ B $=\{01,02, 03 \}$ DL, MP ଏବଂ KA ଦ୍ୱାରା ଜାରି କରାଯାଇଥିବା ଯାନର ଲାଇସେନ୍ସ ପ୍ଲେଟ୍ ପାଇଁ କୋଡ୍ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ।

ଯଦି ତିନୋଟି ରାଜ୍ୟ, ଦିଲ୍ଲୀ, ମଧ୍ୟପ୍ରଦେଶ ଏବଂ କର୍ଣ୍ଣାଟକ ଯାନର ଲାଇସେନ୍ସ ପ୍ଲେଟ୍ ପାଇଁ କୋଡ୍ ତିଆରି କରୁଥିଲେ, ଏହି ନିୟମ ସହିତ ଯେ କୋଡ୍ ସେଟ୍ $A$ ରୁ ଏକ ଉପାଦାନ ସହିତ ଆରମ୍ଭ ହୁଏ, ଏହି ସେଟ୍ ଗୁଡ଼ିକରୁ କେଉଁ ଯୋଡ଼ା ଉପଲବ୍ଧ ଏବଂ ସେଥିରେ କେତେ ଯୋଡ଼ା ରହିବ (ଚିତ୍ର 2.2)?

ଚିତ୍ର 2.2

ଉପଲବ୍ଧ ଯୋଡ଼ା ଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି: $(\mathrm{DL}, 01),(\mathrm{DL}, 02),(\mathrm{DL}, 03),(\mathrm{MP}, 01),(\mathrm{MP}, 02)$, $(\mathrm{MP}, 03),(\mathrm{KA}, 01),(\mathrm{KA}, 02),(\mathrm{KA}, 03)$ ଏବଂ ସେଟ୍ $A$ ଏବଂ ସେଟ୍ $B$ର ଗୁଣଫଳ $\mathrm{A} \times \mathrm{B}=\{(\mathrm{DL}, 01),(\mathrm{DL}, 02),(\mathrm{DL}, 03),(\mathrm{MP}, 01),(\mathrm{MP}, 02),(\mathrm{MP}, 03),(\mathrm{KA}, 01),(\mathrm{KA}, 02)$, $(\mathrm{KA}, 03)\} \text {. }$ ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଇଛି

ଏହା ସହଜରେ ଦେଖାଯାଇପାରିବ ଯେ କାର୍ଟେସିଆନ୍ ଗୁଣଫଳରେ 9 ଟି ଏହିପରି ଯୋଡ଼ା ରହିବ, କାରଣ ସେଟ୍ A ଏବଂ B ରେ ପ୍ରତ୍ୟେକରେ 3 ଟି ଉପାଦାନ ଅଛି। ଏହା ଆମକୁ 9 ଟି ସମ୍ଭାବ୍ୟ କୋଡ୍ ଦେଇଥାଏ। ଏହା ମଧ୍ୟ ଟିପ୍ପଣୀ କରନ୍ତୁ ଯେ ଏହି ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ ଯୋଡ଼ା ହୋଇଥିବା କ୍ରମ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, କୋଡ୍ (DL, 01 ) କୋଡ୍ $(01, DL)$ ସହ ସମାନ ହେବ ନାହିଁ।

ଏକ ଶେଷ ଚିତ୍ରଣ ଭାବରେ, ଦୁଇଟି ସେଟ୍ $A=\{a_1, a_2\}$ ଏବଂ $B=\{b_1, b_2, b_3, b_4\}$ (ଚିତ୍ର 2.3) ବିଚାର କର।

$A \times B=\{(a_1, b_1),(a_1, b_2),(a_1, b_3),(a_1, b_4),(a_2, b_1),(a_2, b_2),(a_2, b_3),(a_2, b_4)\} .$

ଏହିପରି ଗଠିତ 8 ଟି କ୍ରମିକ ଯୋଡ଼ା ସମତଳରେ ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକର ସ୍ଥାନକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରିପାରେ ଯଦି A ଏବଂ B ହେଉଛି ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାର ସେଟ୍ ର ଉପସେଟ୍ ଏବଂ ଏହା ସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ $(a_1, b_2)$ ସ୍ଥାନରେ ଥିବା ବିନ୍ଦୁଟି $(b_2, a_1)$ ସ୍ଥାନରେ ଥିବା ବିନ୍ଦୁଠାରୁ ଭିନ୍ନ ହେବ।

ଚିତ୍ର 2.3

ଟିପ୍ପଣୀ

(i) ଦୁଇଟି କ୍ରମିକ ଯୋଡ଼ା ସମାନ ହେବ ଯଦି ଏବଂ କେବଳ ଯଦି ସଂଗତ ପ୍ରଥମ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ ସମାନ ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟ ସମାନ।

(ii) ଯଦି $p$ ଉପାଦାନ $A$ ରେ ଏବଂ $q$ ଉପାଦାନ $B$ ରେ ଥାଏ, ତେବେ $p q$ ଉପାଦାନ $A \times B$ ରେ ରହିବ, ଅର୍ଥାତ୍, ଯଦି $n(A)=p$ ଏବଂ $n(B)=q$, ତେବେ $n(A \times B)=p q$।

(iii) ଯଦି $A$ ଏବଂ $B$ ଅଣ-ଖାଲି ସେଟ୍ ହୁଅନ୍ତି ଏବଂ $A$ କିମ୍ବା $B$ ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ଏକ ଅନନ୍ତ ସେଟ୍ ହୁଏ, ତେବେ $A \times B$ ମଧ୍ୟ ତାହା ହୁଏ।

(iv) $A \times A \times A=\{(a, b, c): a, b, c \in A\}$। ଏଠାରେ $(a, b, c)$ କୁ ଏକ କ୍ରମିକ ତ୍ରିଯୋଡ଼ା କୁହାଯାଏ।

ଉଦାହରଣ 1 ଯଦି $(x+1, y-2)=(3,1)$, $x$ ଏବଂ $y$ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ସମାଧାନ ଯେହେତୁ କ୍ରମିକ ଯୋଡ଼ା ସମାନ, ସଂଗତ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ ସମାନ।

ତେଣୁ

$ x+1=3 \text { ଏବଂ } y-2=1 \text {। } $

ସମାଧାନ କରି ଆମେ ପାଇବା $\quad x=2$ ଏବଂ $y=3$।

ଉଦାହରଣ 2 ଯଦି $P=\{a, b, c\}$ ଏବଂ $Q=\{r\}$, ସେଟ୍ $P \times Q$ ଏବଂ $Q \times P$ ଗଠନ କର।

ଏହି ଦୁଇଟି ଗୁଣଫଳ ସମାନ କି?

ସମାଧାନ କାର୍ଟେସିଆନ୍ ଗୁଣଫଳର ସଂଜ୍ଞା ଅନୁଯାୟୀ,

$$ P \times Q=\{(a, r),(b, r),(c, r)\} \text { and } Q \times P=\{(r, a),(r, b),(r, c)\} $$

ଯେହେତୁ, କ୍ରମିକ ଯୋଡ଼ାର ସମାନତାର ସଂଜ୍ଞା ଅନୁଯାୟୀ, ଯୋଡ଼ା $(a, r)$ ଯୋଡ଼ା $(r, a)$ ସହ ସମାନ ନୁହେଁ, ଆମେ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ କରୁ ଯେ $P \times Q \neq Q \times P$।

ତଥାପି, ପ୍ରତ୍ୟେକ ସେଟ୍ରେ ଥିବା ଉପାଦାନ ସଂଖ୍ୟା ସମାନ ହେବ।

ଉଦାହରଣ 3 ଧରାଯାଉ $A=\{1,2,3\}, B=\{3,4\}$ ଏବଂ $C=\{4,5,6\}$। ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର

(i) $A \times(B \cap C)$

(ii) $(A \times B) \cap(A \times C)$

(iii) $A \times(B \cup C)$

(iv) $(A \times B) \cup(A \times C)$

ସମାଧାନ (i) ଦୁଇଟି ସେଟ୍ ର ଛେଦର ସଂଜ୍ଞା ଅନୁଯାୟୀ, $(B \cap C)=\{4\}$।

ତେଣୁ, $A \times(B \cap C)=\{(1,4),(2,4),(3,4)\}$।

(ii) ବର୍ତ୍ତମାନ $(A \times B)=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4)\}$ ଏବଂ $(A \times C)=\{(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)\}$

ତେଣୁ, $(A \times B) \cap(A \times C)=\{(1,4),(2,4),(3,4)\}$।

(iii) ଯେହେତୁ, $\quad(B \cup C)=\{3,4,5,6\}$,

ଆମର ଅଛି $\quad \mathrm{A} \times(\mathrm{B} \cup \mathrm{C})=\{(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3)$, $(3,4),(3,5),(3,6)\}$।

(iv) ଅଂଶ (ii) ରୁ ସେଟ୍ $A \times B$ ଏବଂ $A \times C$ ବ୍ୟବହାର କରି, ଆମେ ପାଇବା $(A \times B) \cup(A \times C)=\{(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)$, $(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)\}$।

ଉଦାହରଣ 4 ଯଦି $P=\{1,2\}$, ସେଟ୍ $P \times P \times P$ ଗଠନ କର।

ସମାଧାନ ଆମର ଅଛି, $ P \times P \times P=\{(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2),(2,1,1),(2,1,2),(2,2,1)$, $(2,2,2)\} $।

ଉଦାହରଣ 5 ଯଦି $\mathbf{R}$ ସମସ୍ତ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାର ସେଟ୍ ହୁଏ, କାର୍ଟେସିଆନ୍ ଗୁଣଫଳ $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$ ଏବଂ $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}$ କ’ଣ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ?

ସମାଧାନ କାର୍ଟେସିଆନ୍ ଗୁଣଫଳ $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$ ସେଟ୍ $\mathbf{R} \times \mathbf{R}=\{(x, y): x, y \in \mathbf{R}\}$ କୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ ଯାହା ଦ୍ୱିମାନିକ ସ୍ଥାନର ସମସ୍ତ ବିନ୍ଦୁର ସମନ୍ୱୟକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ ଏବଂ କାର୍ଟେସିଆନ୍ ଗୁଣଫଳ $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}$ ସେଟ୍ $\mathbf{R} \times \mathbf{R} \times \mathbf{R}=\{(x, y, z): x, y, z \in \mathbf{R}\}$ କୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ ଯାହା ତ୍ରିମାନିକ ସ୍ଥାନର ସମସ୍ତ ବିନ୍ଦୁର ସମନ୍ୱୟକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ।

ଉଦାହରଣ 6 ଯଦି $A \times B=\{(p, q),(p, r),(m, q),(m, r)\}$, $A$ ଏବଂ $B$ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ସମାଧାନ

$$ \begin{aligned} & A=\text { set of first elements }=\{p, m\} \\ & B=\text { set of second elements }=\{q, r\} . \end{aligned} $$

2.1 ସମ୍ପର୍କ

ଦୁଇଟି ସେଟ୍ $P=\{a, b, c\}$ ଏବଂ $Q=\{$ ଅଲି, ଭାନୁ, ବିନୟ, ଚନ୍ଦ୍ରା, ଦିବ୍ୟା $\}$ ବିଚାର କର।

$P$ ଏବଂ $Q$ ର କାର୍ଟେସିଆନ୍ ଗୁଣଫଳରେ 15 ଟି କ୍ରମିକ ଯୋଡ଼ା ଅଛି ଯାହାକୁ $P \times Q=\{(a, \text{Ali})$, (a, ଭାନୁ), (a, ବିନୟ), …, (c, ଦିବ୍ୟା) $\}$ ଭାବରେ ତାଲିକାଭୁକ୍ତ କରାଯାଇପାରେ।

ଚିତ୍ର 2.4

ଆମେ ବର୍ତ୍ତମାନ $P \times Q$ ର ଏକ ଉପସେଟ୍ ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ରମିକ ଯୋଡ଼ା $(x, y)$ ର ପ୍ରଥମ ଉପାଦାନ $x$ ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଉପାଦାନ $y$ ମଧ୍ୟରେ ଏକ ସମ୍ପର୍କ $R$ ପରିଚୟ ଦେଇ ପାଇପାରିବା ଯେପରି

$R=\{(x, y): x$ ହେଉଛି ନାମ $y, x \in P, y \in Q\}$ ର ପ୍ରଥମ ଅକ୍ଷର।

ତେବେ $R=\{(a, Ali),(b, Bhanu),(b, Binoy),(c$, ଚନ୍ଦ୍ରା $)\}$

ଏହି ସମ୍ପର୍କ $R$ ର ଏକ ଦୃଶ୍ୟ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ (ଏକ ତୀର ଚିତ୍ର କୁହାଯାଏ) ଚିତ୍ର 2.4 ରେ ଦର୍ଶାଯାଇଛି।

ସଂଜ୍ଞା 2 ଏକ ଅଣ-ଖାଲି ସେଟ୍ $A$ ରୁ ଏକ ଅଣ-ଖାଲି ସେଟ୍ $B$ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଏକ ସମ୍ପର୍କ $R$ ହେଉଛି କାର୍ଟେସିଆନ୍ ଗୁଣଫଳ $A \times B$ ର ଏକ ଉପସେଟ୍। ଉପସେଟ୍ ଟି $A \times B$ ରେ ଥିବା କ୍ରମିକ ଯୋଡ଼ାର ପ୍ରଥମ ଉପାଦାନ ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଉପାଦାନ ମଧ୍ୟରେ ଏକ ସମ୍ପର୍କ ବର୍ଣ୍ଣନା କରି ପ୍ରାପ୍ତ ହୁଏ। ଦ୍ୱିତୀୟ ଉପାଦାନଟି ପ୍ରଥମ ଉପାଦାନର ପ୍ରତିବିମ୍ବ କୁହାଯାଏ।

ସଂଜ୍ଞା 3 ଏକ ସେଟ୍ A ରୁ ଏକ ସେଟ୍ $B$ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଏକ ସମ୍ପର୍କ $R$ ରେ ଥିବା ସମସ୍ତ କ୍ରମିକ ଯୋଡ଼ାର ସମସ୍ତ ପ୍ରଥମ ଉପାଦାନର ସେଟ୍କୁ ସମ୍ପର୍କ $R$ ର ପ୍ରଦେଶ କୁହାଯାଏ।

ସଂଜ୍ଞା 4 ଏକ ସେଟ୍ $A$ ରୁ ଏକ ସେଟ୍ $B$ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଏକ ସମ୍ପର୍କ $R$ ରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ଦ୍ୱିତୀୟ ଉପାଦାନର ସେଟ୍କୁ ସମ୍ପର୍କ $R$ ର ପରିସର କୁହାଯାଏ। ସମ୍ପୁର୍ଣ୍ଣ ସେଟ୍ $B$ କୁ ସମ୍ପର୍କ $R$ ର ସହପ୍ରଦେଶ କୁହାଯାଏ। ଟିପ୍ପଣୀ କରନ୍ତୁ ଯେ ପରିସର $\subset$ ସହପ୍ରଦେଶ।

ଟିପ୍ପଣୀ (i) ଏକ ସମ୍ପର୍କକୁ ବୀଜଗାଣିତିକ ଭାବରେ ରୋଷ୍ଟର ପଦ୍ଧତି କିମ୍ବା ସେଟ୍-ବିଲ୍ଡର ପଦ୍ଧତି ଦ୍ୱାରା ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରାଯାଇପାରେ।

(ii) ଏକ ତୀର ଚିତ୍ର ହେଉଛି ଏକ ସମ୍ପର୍କର ଏକ ଦୃଶ୍ୟ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ।

ଉଦାହରଣ 7 ଧରାଯାଉ $A=\{1,2,3,4,5,6\}$। ଏକ ସମ୍ପର୍କ $R$ କୁ $A$ ରୁ $A$ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଜ୍ଞାବଦ୍ଧ କର $R=\{(x, y): y=x+1\}$

(i) ଏକ ତୀର ଚିତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରି ଏହି ସମ୍ପର୍କକୁ ଚିତ୍ରଣ କର।

(ii) $R$ ର ପ୍ରଦେଶ, ସହପ୍ରଦେଶ ଏବଂ ପରିସର ଲେଖ।

ସମାଧାନ (i) ସମ୍ପର୍କର ସଂଜ୍ଞା ଅନୁଯାୟୀ,

$R=\{(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)\}$।

ସଂଗତ ତୀର ଚିତ୍ରଟି ଚିତ୍ର 2.5 ରେ ଦର୍ଶାଯାଇଛି।

ଚିତ୍ର 2.5

(ii) ଆମେ ଦେଖିପାରିବା ଯେ ପ୍ରଦେଶ $=\{1,2,3,4,5\}$

ସେହିପରି, ପରିସର $=\{2,3,4,5,6\}$ ଏବଂ ସହପ୍ରଦେଶ $=\{1,2,3,4,5,6\}$।

ଉଦାହରଣ 8 ଚିତ୍ର 2.6 ସେଟ୍ $P$ ଏବଂ $Q$ ମଧ୍ୟରେ ଏକ ସମ୍ପର୍କ ଦର୍ଶାଏ। ଏହି ସମ୍ପର୍କ (i) ସେଟ୍-ବିଲ୍ଡର ରୂପରେ, (ii) ରୋଷ୍ଟର ରୂପରେ ଲେଖ। ଏହାର ପ୍ରଦେଶ ଏବଂ ପରିସର କ’ଣ?

ଚିତ୍ର 2.6

ସମାଧାନ ଏହା ସ୍ପଷ୍ଟ ଯେ ସମ୍ପର୍କ $R$ ହେଉଛି “$x$ ହେଉଛି $y$ ର ବର୍ଗ”।

(i) ସେଟ୍-ବିଲ୍ଡର ରୂପରେ, $R=\{(x, y): x$ ହେଉଛି $y, x \in P, y \in \mathbf{Q}\}$ ର ବର୍ଗ

(ii) ରୋଷ୍ଟର ରୂପରେ, $R=\{(9,3)$, $(9,-3),(4,2),(4,-2),(25,5),(25,-5)\}$

ଏହି ସମ୍ପର୍କର ପ୍ରଦେଶ ହେଉଛି $\{4,9,25\}$।

ଏହି ସମ୍ପର୍କର ପରିସର ହେଉଛି $\{-2,2,-3,3,-5,5\}$।

ଟିପ୍ପଣୀ କରନ୍ତୁ ଯେ ଉପାଦାନ 1 ସେଟ୍ $P$ ରେ କୌଣସି ଉପାଦାନ ସହ ସମ୍ପର୍କିତ ନୁହେଁ। ସେଟ୍ $Q$ ହେଉଛି ଏହି ସମ୍ପର୍କର ସହପ୍ରଦେଶ।

ଟିପ୍ପଣୀ - ଏକ ସେଟ୍ $A$ ରୁ ଏକ ସେଟ୍ $B$ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସଂଜ୍ଞାବଦ୍ଧ ହୋଇପାରିବା ସମ୍ପୁର୍ଣ୍ଣ ସମ୍ପର୍କ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି $A \times B$ ର ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଉପସେଟ୍ ସଂଖ୍ୟା। ଯଦି $n(A)=p$ ଏବଂ $n(B)=q$, ତେବେ $n(A \times B)=p q$ ଏବଂ ସମ୍ପୁର୍ଣ୍ଣ ସମ୍ପର୍କ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି $2^{p q}$।

ଉଦାହରଣ 9 ଧରାଯାଉ $A=\{1,2\}$ ଏବଂ $B=\{3,4\}$। A ରୁ B ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମ୍ପର୍କ ସଂଖ୍ୟା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ସମାଧାନ ଆମର ଅଛି,

$ A \times B=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\} $

ଯେହେତୁ $n(A \times B)=4$, $A \times B$ ର ଉପସେଟ୍ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି $2^{4}$। ତେଣୁ, $A$ ରୁ $B$ ଭିତରକୁ ସମ୍ପର୍କ ସଂଖ୍ୟା ହେବ ⟦