ଜଣେ ଗଣିତଜ୍ଞ ଜାଣନ୍ତି କିପରି ଏକ ସମସ୍ୟାର ସମାଧାନ କରିବେ, ସେ ଏହାକୁ ସମାଧାନ କରିପାରନ୍ତି ନାହିଁ। - MILNE

3.1 ପରିଚୟ

’trigonometry’ ଶବ୍ଦଟି ଗ୍ରୀକ୍ ଶବ୍ଦ ’trigon’ ଏବଂ ‘metron’ ରୁ ଉଦ୍ଧୃତ ଏବଂ ଏହାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ‘ଏକ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁଗୁଡିକୁ ମାପିବା’। ମୂଳତଃ ତ୍ରିଭୁଜ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ଜ୍ୟାମିତୀୟ ସମସ୍ୟାଗୁଡିକ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଏହି ବିଷୟ ବିକଶିତ ହୋଇଥିଲା। ନାବିକ ନେଭିଗେସନ୍ ପାଇଁ, ସର୍ଭେୟର ନୂଆ ଜମି ମାନଚିତ୍ର କରିବା ପାଇଁ, ଇଞ୍ଜିନିୟର ଏବଂ ଅନ୍ୟମାନେ ଏହାକୁ ଅଧ୍ୟୟନ କରିଥିଲେ। ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୟରେ, ସିଜମୋଲୋଜି ବିଜ୍ଞାନ, ବିଦ୍ୟୁତ୍ ସର୍କିଟ୍ ଡିଜାଇନ୍, ଏକ ପରମାଣୁର ଅବସ୍ଥା ବର୍ଣ୍ଣନା, ସମୁଦ୍ରରେ ଜୁଆରର ଉଚ୍ଚତା ପୂର୍ବାନୁମାନ, ଏକ ସଙ୍ଗୀତ ସ୍ୱର ବିଶ୍ଳେଷଣ ଏବଂ ଅନ୍ୟ ଅନେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ତ୍ରିକୋଣମିତି ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ।

ଆର୍ଯ୍ୟଭଟ୍ଟ (୪୭୬-୫୫୦ ଖ୍ରୀଷ୍ଟପୂର୍ବ)

ପୂର୍ବ ଶ୍ରେଣୀଗୁଡ଼ିକରେ, ଆମେ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁଗୁଡିକର ଅନୁପାତ ଭାବରେ ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣର ତ୍ରିକୋଣମିତୀୟ ଅନୁପାତ ଅଧ୍ୟୟନ କରିଛୁ। ଆମେ ତ୍ରିକୋଣମିତୀୟ ଅଭେଦ ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା ଏବଂ ଦୂରତା ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ସମସ୍ୟାଗୁଡିକ ସମାଧାନ କରିବାରେ ତ୍ରିକୋଣମିତୀୟ ଅନୁପାତର ପ୍ରୟୋଗ ମଧ୍ୟ ଅଧ୍ୟୟନ କରିଛୁ। ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ, ଆମେ ତ୍ରିକୋଣମିତୀୟ ଅନୁପାତର ଧାରଣାକୁ ତ୍ରିକୋଣମିତୀୟ ଫଳନକୁ ସାଧାରଣୀକରଣ କରିବା ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ଧର୍ମଗୁଡିକ ଅଧ୍ୟୟନ କରିବା।

3.2 କୋଣ

ଚିତ୍ର 3.1

କୋଣ ହେଉଛି ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ରଶ୍ମିର ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ବିନ୍ଦୁ ଚାରିପାଖରେ ଘୂର୍ଣ୍ଣନର ଏକ ମାପ। ମୂଳ ରଶ୍ମିକୁ ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ବାହୁ କୁହାଯାଏ ଏବଂ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ପରେ ରଶ୍ମିର ଅନ୍ତିମ ସ୍ଥିତିକୁ କୋଣର ଅନ୍ତିମ ବାହୁ କୁହାଯାଏ। ଘୂର୍ଣ୍ଣନର ବିନ୍ଦୁକୁ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁ କୁହାଯାଏ। ଯଦି ଘୂର୍ଣ୍ଣନର ଦିଗ ବାମାବର୍ତ୍ତୀ ହୁଏ, ତେବେ କୋଣକୁ ଧନାତ୍ମକ କୁହାଯାଏ ଏବଂ ଯଦି ଘୂର୍ଣ୍ଣନର ଦିଗ ଡାହାଣାବର୍ତ୍ତୀ ହୁଏ, ତେବେ କୋଣ ଋଣାତ୍ମକ* ହୁଏ (ଚିତ୍ର 3.1)।

ଏକ କୋଣର ମାପ ହେଉଛି ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ବାହୁରୁ ଅନ୍ତିମ ବାହୁ ପାଇବା ପାଇଁ କରାଯାଇଥିବା ଘୂର୍ଣ୍ଣନର ପରିମାଣ। କୋଣ ମାପିବା ପାଇଁ ଅନେକ ଏକକ ଅଛି। ଏକ କୋଣର ସଂଜ୍ଞା

ଚିତ୍ର 3.2

ଚିତ୍ର 3.2 ଏକ ଏକକର ସୂଚନା ଦେଇଥାଏ, ଯଥା ଚିତ୍ର 3.2ରେ ସୂଚିତ ଭାବରେ ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ବାହୁର ସ୍ଥିତିରୁ ଏକ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପରିକ୍ରମା।

ବଡ଼ କୋଣଗୁଡିକ ପାଇଁ ଏହା ପ୍ରାୟତଃ ସୁବିଧାଜନକ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଆମେ କହିପାରିବା ଯେ ଏକ ଦ୍ରୁତ ଗତିରେ ଘୂରୁଥିବା ଚକ ପ୍ରତି ସେକେଣ୍ଡରେ 15 ପରିକ୍ରମା କୋଣ ସୃଷ୍ଟି କରୁଛି। ଆମେ ଏକ କୋଣର ମାପନର ଅନ୍ୟ ଦୁଇଟି ଏକକ ବର୍ଣ୍ଣନା କରିବା ଯାହା ସର୍ବାଧିକ ସାଧାରଣତଃ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ, ଯଥା ଡିଗ୍ରୀ ମାପ ଏବଂ ରେଡିଆନ୍ ମାପ।

3.2.1 ଡିଗ୍ରୀ ମାପ

ଯଦି ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ବାହୁରୁ ଅନ୍ତିମ ବାହୁ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଘୂର୍ଣ୍ଣନ ଏକ ପରିକ୍ରମାର $(\frac{1}{360})^{\text{th }}$ ଅଟେ, ତେବେ କୋଣର ମାପ ଏକ ଡିଗ୍ରୀ ଅଛି ବୋଲି କୁହାଯାଏ, ଯାହାକୁ $1^{\circ}$ ଭାବରେ ଲେଖାଯାଏ। ଏକ ଡିଗ୍ରୀକୁ 60 ମିନିଟ୍ରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଏ, ଏବଂ ଏକ ମିନିଟ୍ 60 ସେକେଣ୍ଡରେ ବିଭକ୍ତ ହୁଏ। ଏକ ଡିଗ୍ରୀର ଷାଠିଏ ଭାଗରୁ ଗୋଟିଏକୁ ମିନିଟ୍ କୁହାଯାଏ, ଯାହାକୁ $1^{\prime}$ ଭାବରେ ଲେଖାଯାଏ, ଏବଂ ଏକ ମିନିଟ୍ର ଷାଠିଏ ଭାଗରୁ ଗୋଟିଏକୁ ସେକେଣ୍ଡ କୁହାଯାଏ, ଯାହାକୁ $1^{\prime \prime}$ ଭାବରେ ଲେଖାଯାଏ। ତେଣୁ, $\quad 1^{\circ}=60^{\prime}, \quad 1^{\prime}=60^{\prime \prime}$

$360^{\circ}, 180^{\circ}, 270^{\circ}, 420^{\circ},-30^{\circ},-420^{\circ}$ ମାପ ବିଶିଷ୍ଟ କେତେକ କୋଣ ଚିତ୍ର 3.3ରେ ଦର୍ଶାଯାଇଛି।

ଚିତ୍ର 3.3

3.2.2 ରେଡିଆନ୍ ମାପ

କୋଣର ମାପନ ପାଇଁ ଆଉ ଏକ ଏକକ ଅଛି, ଯାହାକୁ ରେଡିଆନ୍ ମାପ କୁହାଯାଏ। ଏକ ଏକକ ବୃତ୍ତରେ (1 ଏକକ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ବୃତ୍ତ) 1 ଏକକ ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଏକ ଚାପ କେନ୍ଦ୍ରରେ ଯେଉଁ କୋଣ ଉତ୍ପନ୍ନ କରେ ତାହାର ମାପ 1 ରେଡିଆନ୍ ବୋଲି କୁହାଯାଏ। ଚିତ୍ର 3.4(i)ରୁ (iv)ରେ, $OA$ ହେଉଛି ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ବାହୁ ଏବଂ $OB$ ହେଉଛି ଅନ୍ତିମ ବାହୁ। ଚିତ୍ରଗୁଡିକ 1 ରେଡିଆନ୍, -1 ରେଡିଆନ୍, $1 \frac{1}{2}$ ରେଡିଆନ୍ ଏବଂ $-1 \frac{1}{2}$ ରେଡିଆନ୍ ମାପ ବିଶିଷ୍ଟ କୋଣଗୁଡିକୁ ଦର୍ଶାଇଛି।

ଚିତ୍ର 3.4 (i) - (iv)

ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ 1 ଏକକ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବୃତ୍ତର ପରିଧି $2 \pi$ ଅଟେ। ତେଣୁ, ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ବାହୁର ଏକ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପରିକ୍ରମା $2 \pi$ ରେଡିଆନ୍ କୋଣ ଉତ୍ପନ୍ନ କରେ।

ଅଧିକ ସାଧାରଣତଃ, $r$ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବୃତ୍ତରେ, $r$ ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଏକ ଚାପ 1 ରେଡିଆନ୍ କୋଣ ଉତ୍ପନ୍ନ କରିବ। ଏହା ସୁପରିଚିତ ଯେ ଏକ ବୃତ୍ତର ସମାନ ଚାପଗୁଡିକ କେନ୍ଦ୍ରରେ ସମାନ କୋଣ ଉତ୍ପନ୍ନ କରେ। ଯେହେତୁ $r$ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବୃତ୍ତରେ, $r$ ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଏକ ଚାପ ଯେଉଁ କୋଣ ଉତ୍ପନ୍ନ କରେ ତାହାର ମାପ 1 ରେଡିଆନ୍, $l$ ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଏକ ଚାପ ଯେଉଁ କୋଣ ଉତ୍ପନ୍ନ କରିବ ତାହାର ମାପ $\frac{l}{r}$ ରେଡିଆନ୍ ହେବ। ତେଣୁ, ଯଦି $r$ ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ବୃତ୍ତରେ, $l$ ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଏକ ଚାପ କେନ୍ଦ୍ରରେ $\theta$ ରେଡିଆନ୍ କୋଣ ଉତ୍ପନ୍ନ କରେ, ତେବେ ଆମର $\theta=\frac{l}{r}$ କିମ୍ବା $l=r \theta$ ଅଛି।

3.2.3 ରେଡିଆନ୍ ଏବଂ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପର୍କ

କେନ୍ଦ୍ର $O$ ବିଶିଷ୍ଟ ଏକକ ବୃତ୍ତ ବିଚାର କର। ମନେକର $A$ ବୃତ୍ତ ଉପରେ ଯେକୌଣସି ବିନ୍ଦୁ। OAକୁ ଏକ କୋଣର ପ୍ରାରମ୍ଭିକ ବାହୁ ଭାବରେ ବିଚାର କର। ତେବେ ବୃତ୍ତର ଏକ ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ କୋଣର ରେଡିଆନ୍ ମାପ ଦେବ ଯାହାକୁ ଚାପଟି ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ରରେ ଉତ୍ପନ୍ନ କରିବ। PAQ ରେଖାଟିକୁ ବିଚାର କର ଯାହା A ରେ ବୃତ୍ତକୁ ସ୍ପର୍ଶକରେ। ମନେକର ବିନ୍ଦୁ A ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଶୂନ୍ୟକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ, AP ଧନାତ୍ମକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ ଏବଂ AQ ଋଣାତ୍ମକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରେ (ଚିତ୍ର 3.5)। ଯଦି ଆମେ $AP$ ରେଖାକୁ ବୃତ୍ତ ବାଟେ ବାମାବର୍ତ୍ତୀ ଦିଗରେ, ଏବଂ $AQ$କୁ ଡାହାଣାବର୍ତ୍ତୀ ଦିଗରେ ମୋଡ଼ିବା, ତେବେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଏକ ରେଡିଆନ୍ ମାପ ସହିତ ସମ୍ପର୍କିତ ହେବ ଏବଂ ବିପରୀତତା। ତେଣୁ, ରେଡିଆନ୍ ମାପ ଏବଂ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡିକୁ ଗୋଟିଏ ଏବଂ ସମାନ ବିଚାର କରାଯାଇପାରେ।

ଚିତ୍ର 3.5

3.2.4 ଡିଗ୍ରୀ ଏବଂ ରେଡିଆନ୍ ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପର୍କ ଯେହେତୁ ଏକ ବୃତ୍ତ କେନ୍ଦ୍ରରେ ଉତ୍ପନ୍ନ କରେ

ଏକ କୋଣ ଯାହାର ରେଡିଆନ୍ ମାପ $2 \pi$ ଏବଂ ଏହାର ଡିଗ୍ରୀ ମାପ $360^{\circ}$, ଏଥିରୁ ଜଣାଯାଏ ଯେ$ 2 \pi \text{ radian }=360^{\circ} \quad \text{ or } \quad \pi \text{ radian }=180^{\circ} $

ଉପରୋକ୍ତ ସମ୍ପର୍କ ଆମକୁ ଏକ ରେଡିଆନ୍ ମାପକୁ ଡିଗ୍ରୀ ମାପରେ ଏବଂ ଏକ ଡିଗ୍ରୀ ମାପକୁ ରେଡିଆନ୍ ମାପରେ ପ୍ରକାଶ କରିବାରେ ସକ୍ଷମ କରେ। $\pi$ର ଆନୁମାନିକ ମୂଲ୍ୟ $\frac{22}{7}$ ଭାବରେ ବ୍ୟବହାର କରି, ଆମର ଅଛି

$ 1 \text{ radian }=\frac{180^{\circ}}{\pi}=57^{\circ} 16^{\prime} \text{ approximately. } $

ଏବଂ $\quad 1^{\circ}=\frac{\pi}{180}$ ରେଡିଆନ୍ $=0.01746$ ରେଡିଆନ୍ ପ୍ରାୟ।

କେତେକ ସାଧାରଣ କୋଣର ଡିଗ୍ରୀ ମାପ ଏବଂ ରେଡିଆନ୍ ମାପ ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପର୍କ ନିମ୍ନଲିଖିତ ସାରଣୀରେ ଦିଆଯାଇଛି:

ସଂକେତାତ୍ମକ ରୀତି

ଯେହେତୁ କୋଣଗୁଡିକ ଡିଗ୍ରୀ କିମ୍ବା ରେଡିଆନ୍ରେ ମାପାଯାଏ, ଆମେ ଏହି ରୀତିଟି ଗ୍ରହଣ କରୁ ଯେ ଯେତେବେଳେ ଆମେ କୋଣ $\theta^{\circ}$ ଲେଖୁ, ଆମର ଅର୍ଥ ଯାହାର ଡିଗ୍ରୀ ମାପ $\theta$ ଏବଂ ଯେତେବେଳେ ଆମେ କୋଣ $\beta$ ଲେଖୁ, ଆମର ଅର୍ଥ ଯାହାର ରେଡିଆନ୍ ମାପ $\beta$।

ଧ୍ୟାନ ଦିଅନ୍ତୁ ଯେ ଯେତେବେଳେ ଏକ କୋଣ ରେଡିଆନ୍ରେ ପ୍ରକାଶିତ ହୁଏ, ‘ରେଡିଆନ୍’ ଶବ୍ଦଟି ବାରମ୍ବାର ବାଦ ଦିଆଯାଏ। ତେଣୁ, $\pi=180^{\circ}$ ଏବଂ $\frac{\pi}{4}=45^{\circ}$ ଏହି ବୁଝାମଣା ସହିତ ଲେଖାଯାଏ ଯେ $\pi$ ଏବଂ $\frac{\pi}{4}$ ରେଡିଆନ୍ ମାପ। ତେଣୁ, ଆମେ କହିପାରିବା ଯେ

$ \begin{aligned} & \text{ Radian measure }=\frac{\pi}{180} \times \text{ Degree measure } \\ & \text{ Degree measure }=\frac{180}{\pi} \times \text{ Radian measure } \end{aligned} $

ଉଦାହରଣ 1 $40^{\circ} 20^{\prime}$କୁ ରେଡିଆନ୍ ମାପରେ ପରିଣତ କର।

ସମାଧାନ ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ $180^{\circ}=\pi$ ରେଡିଆନ୍।

ତେଣୁ $\quad 40^{\circ} 20^{\prime}=40 \frac{1}{3}$ ଡିଗ୍ରୀ $=\frac{\pi}{180} \times \frac{121}{3}$ ରେଡିଆନ୍ $=\frac{121 \pi}{540}$ ରେଡିଆନ୍।

ତେଣୁ

$ 40^{\circ} 20^{\prime}=\frac{121 \pi}{540} \text{ radian. } $

ଉଦାହରଣ 2 6 ରେଡିଆନ୍କୁ ଡିଗ୍ରୀ ମାପରେ ପରିଣତ କର।

ସମାଧାନ ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ $\pi$ ରେଡିଆନ୍ $=180^{\circ}$।

ତେଣୁ

$ \begin{aligned} 6 \text{ radians } & =\frac{180}{\pi} \times 6 \text{ degree }=\frac{1080 \times 7}{22} \text{ degree } \\ & =343 \frac{7}{11} \text{ degree }=343^{\circ}+\frac{7 \times 60}{11} \text{ minute } \quad[\text{ as } 1^{\circ}=60^{\prime}] \\ & =343^{\circ}+38^{\prime}+\frac{2}{11} \text{ minute } \quad[\text{ as } 1^{\prime}=60^{\prime \prime}] \\ & =343^{\circ}+38^{\prime}+10.9^{\prime \prime} \quad=343^{\circ} 38^{\prime} 11^{\prime \prime} \text{ approximately. } \end{aligned} $

ତେଣୁ $\quad 6$ ରେଡିଆନ୍ $=343^{\circ} 38^{\prime} 11^{\prime \prime}$ ପ୍ରାୟ।

ଉଦାହରଣ 3 ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର ଯେଉଁଥିରେ $60^{\circ}$ର ଏକ କେନ୍ଦ୍ରୀୟ କୋଣ $37.4 cm$ ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଏକ ଚାପ ଛେଦ କରେ ($\pi=\frac{22}{7}$ ବ୍ୟବହାର କର)।

ସମାଧାନ ଏଠାରେ $l=37.4 cm$ ଏବଂ $\theta=60^{\circ}=\frac{60 \pi}{180}$ ରେଡିଆନ୍ $=\frac{\pi}{3}$

ତେଣୁ, $\quad$ ଦ୍ୱାରା, ଆମର ଅଛି

$ r=\frac{37.4 \times 3}{\pi}=\frac{37.4 \times 3 \times 7}{22}=35.7 cm $

ଉଦାହରଣ 4 ଏକ ଘଣ୍ଟାର ମିନିଟ୍ କଣ୍ଟା $1.5 cm$ ଲମ୍ବା। 40 ମିନିଟ୍ରେ ଏହାର ଅଗ୍ରଭାଗ କେତେ ଦୂର ଗତି କରେ? ($\pi=3.14$ ବ୍ୟବହାର କର)।

ସମାଧାନ 60 ମିନିଟ୍ରେ, ଏକ ଘଣ୍ଟାର ମିନିଟ୍ କଣ୍ଟା ଏକ ପରିକ୍ରମା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରେ। ତେଣୁ, 40 ମିନିଟ୍ରେ, ମିନିଟ୍ କଣ୍ଟା ଏକ ପରିକ୍ରମାର $\frac{2}{3}$ ଦେଇ ଘୂରେ। ତେଣୁ, $\theta=\frac{2}{3} \times 360^{\circ}$ କିମ୍ବା $\frac{4 \pi}{3}$ ରେଡିଆନ୍। ତେଣୁ, ଆବଶ୍ୟକ ଅତିକ୍ରାନ୍ତ ଦୂରତା ଦିଆଯାଇଛି

$ l=r \theta=1.5 \times \frac{4 \pi}{3} cm=2 \pi cm=2 \times 3.14 cm=6.28 cm . $

ଉଦାହରଣ 5 ଯଦି ସମାନ ଦୈର୍ଘ୍ୟର ଚାପଗୁଡିକ ଦୁଇଟି ବୃତ୍ତରେ କେନ୍ଦ୍ରରେ $65^{\circ}$ ଏବଂ $110^{\circ}$ କୋଣ ଉତ୍ପନ୍ନ କରେ, ତେବେ ସେମାନଙ୍କର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧର ଅନୁପାତ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ସମାଧାନ ମନେକର $r_1$ ଏବଂ $r_2$ ଦୁଇଟି ବୃତ୍ତର ବ୍ୟାସାର୍ଦ୍ଧ। ଦିଆଯାଇଛି

$ \theta_1=65^{\circ}=\frac{\pi}{180} \times 65=\frac{13 \pi}{36} \text{ radian } $

ଏବଂ

$ \theta_2=110^{\circ}=\frac{\pi}{180} \times 110=\frac{22 \pi}{36} \text{ radian } $

ମନେକର $l$ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଚାପର ଦୈର୍ଘ୍ୟ। ତେବେ $l=r_1 \theta_1=r_2 \theta_2$, ଯାହା ଦେଇଥାଏ

$ \frac{13 \pi}{36} \times r_1=\frac{22 \pi}{36} \times r_2 \text{, i.e., } \frac{r_1}{r_2}=\frac{22}{13} $

ତେଣୁ $\quad r_1: r_2=22: 13$.

3.3 ତ୍ରିକୋଣମିତୀୟ ଫଳନ

ପୂର୍ବ ଶ୍ରେଣୀଗୁଡ଼ିକରେ, ଆମେ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜର ବାହୁଗୁଡିକର ଅନୁପାତ ଭାବରେ ସୂକ୍ଷ୍ମକୋଣର ତ୍ରିକୋଣମିତୀୟ ଅନୁପାତ ଅଧ୍ୟୟନ କରିଛୁ। ଆମେ ବର୍ତ୍ତମାନ ତ୍ରିକୋଣମିତୀୟ ଅନୁପାତର ସଂଜ୍ଞାକୁ ରେଡିଆନ୍ ମାପରେ ଯେକୌଣସି କୋଣକୁ ବିସ୍ତାର କରିବା ଏବଂ ସେଗୁଡିକୁ ତ୍ରିକୋଣମିତୀୟ ଫଳନ ଭାବରେ ଅଧ୍ୟୟନ କରିବା।

ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ଅକ୍ଷଗୁଡିକର ମୂଳବିନ୍ଦୁରେ କେନ୍ଦ୍ର ବିଶିଷ୍ଟ ଏକ ଏକକ ବୃତ୍ତ ବିଚାର କର। ମନେକର $P(a, b)$ କୋଣ $AOP=x$ ରେଡିଆନ୍ ବିଶିଷ୍ଟ ବୃତ୍ତ ଉପରେ ଯେକୌଣସି ବିନ୍ଦୁ, ଅର୍ଥାତ୍, ଚାପ $AP=x$ର ଦୈର୍ଘ୍ୟ (ଚିତ୍ର 3.6)।

ଚିତ୍ର 3.6

ଆମେ ପରିଭାଷା ଦେଉଛୁ $\cos x=a$ ଏବଂ $\sin x=b$ ଯେହେତୁ $\triangle OMP$ ଏକ ସମକୋଣୀ ତ୍ରିଭୁଜ, ଆମର ଅଛି $OM^{2}+MP^{2}=OP^{2}$ କିମ୍ବା $a^{2}+b^{2}=1$ ତେଣୁ, ଏକକ ବୃତ୍ତ ଉପରେ ଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ବିନ୍ଦୁ ପାଇଁ, ଆମର ଅଛି

$ a^{2}+b^{2}=1 \text{ or } \cos ^{2} x+\sin ^{2} x=1 $

ଯେହେତୁ ଏକ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପରିକ୍ରମା ବୃତ୍ତର କେନ୍ଦ୍ରରେ $2 \pi$ ରେଡିଆନ୍ କୋଣ ଉତ୍ପନ୍ନ କରେ,

$\angle AOB=\frac{\pi}{2}$, $\angle AOC=\pi$ ଏବଂ $\angle AOD=\frac{3 \pi}{2}$। ସମସ୍ତ କୋଣ ଯାହା $\frac{\pi}{2}$ର ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ଗୁଣିତକ ତାହାକୁ ଚତୁର୍ଥାଂଶ କୋଣ କୁହାଯାଏ। A, B, C ଏବଂ D ବିନ୍ଦୁଗୁଡିକର ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ