ଗଣିତ ହେଉଛି ବିଜ୍ଞାନର ରାଣୀ ଏବଂ ଅଙ୍କଗଣିତ ହେଉଛି ଗଣିତର ରାଣୀ। - ଗାଉସ୍

4.1 ପରିଚୟ

ପୂର୍ବ ଶ୍ରେଣୀଗୁଡ଼ିକରେ, ଆମେ ଗୋଟିଏ ଏବଂ ଦୁଇ ଚଳରେ ରେଖୀୟ ସମୀକରଣ ଏବଂ ଗୋଟିଏ ଚଳରେ ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ପଢ଼ିଛୁ। ଆମେ ଦେଖିଛୁ ଯେ ସମୀକରଣ $x^{2}+1=0$ର କୌଣସି ବାସ୍ତବ ସମାଧାନ ନାହିଁ କାରଣ $x^{2}+1=0$ ଦେଇଥାଏ $x^{2}=-1$ ଏବଂ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗ ଅଣ-ଋଣାତ୍ମକ। ତେଣୁ, ଆମକୁ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ପ୍ରଣାଳୀକୁ ଏକ ବୃହତ୍ତର ପ୍ରଣାଳୀକୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ପଡ଼ିବ ଯାହା ଦ୍ୱାରା ଆମେ ସମୀକରଣ $x^{2}=-1$ର ସମାଧାନ ପାଇପାରିବା। ପ୍ରକୃତରେ, ମୁଖ୍ୟ ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟ ହେଉଛି ସମୀକରଣ $a x^{2}+b x+c=0$କୁ ସମାଧାନ କରିବା, ଯେଉଁଠାରେ $D=b^{2}-4 a c<0$, ଯାହା ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ପ୍ରଣାଳୀରେ ସମ୍ଭବ ନୁହେଁ।

W. R. Hamilton (1805-1865 A.D.)

4.2 ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା

ଆସନ୍ତୁ $\sqrt{-1}$କୁ ଚିହ୍ନ $i$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚାଇବା। ତା’ପରେ, ଆମ ପାଖରେ ଅଛି $i^{2}=-1$। ଏହାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି $i$ ହେଉଛି ସମୀକରଣ $x^{2}+1=0$ର ଏକ ସମାଧାନ।

$a+i b$ ଆକାରର ଏକ ସଂଖ୍ୟା, ଯେଉଁଠାରେ $a$ ଏବଂ $b$ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା, ଏକ ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା ଭାବରେ ସଂଜ୍ଞାୟିତ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, $2+i 3,(-1)+i \sqrt{3}, 4+i(\frac{-1}{11})$ ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା।

ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା $z=a+i b, a$ ପାଇଁ $Re z$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ ବାସ୍ତବ ଅଂଶ କୁହାଯାଏ ଏବଂ $b$କୁ $Im z$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା $z$ର କାଳ୍ପନିକ ଅଂଶ କୁହାଯାଏ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଯଦି $z=2+i 5$, ତେବେ $Re z=2$ ଏବଂ $Im z=5$।

ଦୁଇଟି ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା $z_1=a+i b$ ଏବଂ $z_2=c+i d$ ସମାନ ହେବେ ଯଦି $a=c$ ଏବଂ $b=d$।

ଉଦାହରଣ 1 ଯଦି $4 x+i(3 x-y)=3+i(-6)$, ଯେଉଁଠାରେ $x$ ଏବଂ $y$ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା, ତେବେ $x$ ଏବଂ $y$ର ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ସମାଧାନ ଆମ ପାଖରେ ଅଛି

$$ 4 x+i(3 x-y)=3+i(-6) \tag{i} $$

(1)ର ବାସ୍ତବ ଏବଂ କାଳ୍ପନିକ ଅଂଗଗୁଡ଼ିକୁ ସମାନ କରି, ଆମେ ପାଇବା

$$ 4 x=3,3 x-y=-6, $$

ଯାହା, ଏକା ସମୟରେ ସମାଧାନ କଲେ, ଦେଇଥାଏ $x=\frac{3}{4}$ ଏବଂ $y=\frac{33}{4}$।

4.3 ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟାର ବୀଜଗଣିତ

ଏହି ଅନୁଚ୍ଛେଦରେ, ଆମେ ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟାର ବୀଜଗଣିତ ବିକଶିତ କରିବା।

4.3.1 ଦୁଇଟି ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟାର ସଂକଳନ

ମନେକର $z_1=a+i b$ ଏବଂ $z_2=c+i d$ ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା। ତେବେ, ଯୋଗଫଳ $z_1+z_2$ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଭାବରେ ସଂଜ୍ଞାୟିତ:

$z_1+z_2=(a+c)+i(b+d)$, ଯାହା ପୁଣି ଏକ ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା।

ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, $(2+i 3)+(-6+i 5)=(2-6)+i(3+5)=-4+i 8$

ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟାର ସଂକଳନ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଧର୍ମଗୁଡ଼ିକୁ ସନ୍ତୁଷ୍ଟ କରେ:

(i) ସଂବୃତ ନିୟମ ଦୁଇଟି ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ ଏକ ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା, ଅର୍ଥାତ୍, $z_1+z_2$ ସମସ୍ତ ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା $z_1$ ଏବଂ $z_2$ ପାଇଁ ଏକ ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା।

(ii) ବିନିମୟୀ ନିୟମ ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା $z_1$ ଏବଂ $z_2$ ପାଇଁ, $z_1+z_2=z_2+z_1$

(iii) ସହଯୋଗୀ ନିୟମ ଯେକୌଣସି ତିନୋଟି ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା $z_1, z_2, z_3$, $(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$।

(iv) ଯୋଗାତ୍ମକ ଅଭେଦର ଅସ୍ତିତ୍ୱ ଯୋଗାତ୍ମକ ଅଭେଦ ବା ଶୂନ୍ୟ ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା ଭାବରେ ଜଣାଶୁଣା $0+i 0$ (0 ଭାବରେ ସୂଚିତ) ନାମକ ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା ରହିଛି, ଯେପରି କି, ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା $z, z+0=z$ ପାଇଁ।

(v) ଯୋଗାତ୍ମକ ବିପରୀତର ଅସ୍ତିତ୍ୱ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା $z=a+i b$ ପାଇଁ, ଆମ ପାଖରେ ଅଛି ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା $-a+i(-b)$ ($-z$ ଭାବରେ ସୂଚିତ), ଯାହାକୁ $z$ର ଯୋଗାତ୍ମକ ବିପରୀତ ବା ଋଣାତ୍ମକ କୁହାଯାଏ। ଆମେ ଦେଖୁଛୁ ଯେ $z+(-z)=0$ (ଯୋଗାତ୍ମକ ଅଭେଦ)।

4.3.2 ଦୁଇଟି ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟାର ପାର୍ଥକ୍ୟ

ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା $z_1$ ଏବଂ $z_2$ ଦିଆଯାଇଥିଲେ, ପାର୍ଥକ୍ୟ $z_1-z_2$ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଭାବରେ ସଂଜ୍ଞାୟିତ:

ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ,

$ z_1-z_2=z_1+(-z_2) . $

ଏବଂ

$ \begin{aligned} & (6+3 i)-(2-i)=(6+3 i)+(-2+i)=4+4 i \\ & \quad(2-i)-(6+3 i)=(2-i)+(-6-3 i)=-4-4 i \end{aligned} $

4.3.3 ଦୁଇଟି ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣନ

ମନେକର $z_1=a+i b$ ଏବଂ $z_2=c+i d$ ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା। ତେବେ, ଗୁଣଫଳ $z_1 z_2$ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଭାବରେ ସଂଜ୍ଞାୟିତ:

$$ z_1 z_2=(a c-b d)+i(a d+b c) $$

ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, $(3+i 5)(2+i 6)=(3 \times 2-5 \times 6)+i(3 \times 6+5 \times 2)=-24+i 28$

ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣନ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଧର୍ମଗୁଡ଼ିକୁ ଧାରଣ କରେ, ଯାହାକୁ ଆମେ ପ୍ରମାଣ ବିନା ଉଲ୍ଲେଖ କରୁଛୁ।

(i) ସଂବୃତ ନିୟମ ଦୁଇଟି ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟାର ଗୁଣଫଳ ଏକ ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା, ଗୁଣଫଳ $z_1 z_2$ ସମସ୍ତ ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା $z_1$ ଏବଂ $z_2$ ପାଇଁ ଏକ ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା।

(ii) ବିନିମୟୀ ନିୟମ ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା $z_1$ ଏବଂ $z_2$ ପାଇଁ,

$$ z_1 z_2=z_2 z_1 $$

(iii) ସହଯୋଗୀ ନିୟମ ଯେକୌଣସି ତିନୋଟି ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା $z_1, z_2, z_3$ ପାଇଁ,

$$ (z_1 z_2) z_3=z_1(z_2 z_3) \text{. } $$

(iv) ଗୁଣାତ୍ମକ ଅଭେଦର ଅସ୍ତିତ୍ୱ ଗୁଣାତ୍ମକ ଅଭେଦ ଭାବରେ ଜଣାଶୁଣା $1+i 0$ (1 ଭାବରେ ସୂଚିତ) ନାମକ ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା ରହିଛି, ଯେପରି କି $z .1=z$, ପ୍ରତ୍ୟେକ ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା $z$ ପାଇଁ।

(v) ଗୁଣାତ୍ମକ ବିପରୀତର ଅସ୍ତିତ୍ୱ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅଣ-ଶୂନ୍ୟ ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା $z=a+i b$ ବା $a+b i(a \neq 0, b \neq 0)$ ପାଇଁ, ଆମ ପାଖରେ ଅଛି ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା $\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}(.$ $\frac{1}{z}$ ବା $.z^{-1})$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ, ଯାହାକୁ $z$ର ଗୁଣାତ୍ମକ ବିପରୀତ କୁହାଯାଏ ଯେପରି କି

$z \cdot \frac{1}{z}=1$ (ଗୁଣାତ୍ମକ ଅଭେଦ)।

(vi) ବିତରଣ ନିୟମ ଯେକୌଣସି ତିନୋଟି ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା $z_1, z_2, z_3$ ପାଇଁ,

(a) $z_1(z_2+z_3)=z_1 z_2+z_1 z_3$

(b) $(z_1+z_2) z_3=z_1 z_3+z_2 z_3$

4.3.4 ଦୁଇଟି ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟାର ଭାଗ

ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା $z_1$ ଏବଂ $z_2$ ଦିଆଯାଇଥିଲେ, ଯେଉଁଠାରେ $z_2 \neq 0$, ଭାଗଫଳ $\frac{z_1}{z_2}$ ଏହା ଦ୍ୱାରା ସଂଜ୍ଞାୟିତ:

$ \frac{z_1}{z_2}=z_1 \frac{1}{z_2} $

ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ମନେକର $\quad z_1=6+3 i$ ଏବଂ $z_2=2-i$

ତେବେ

$ \frac{z_1}{z_2}=((6+3 i) \times \frac{1}{2-i})=(6+3 i)(\frac{2}{2^{2}+(-1)^{2}}+i \frac{-(-1)}{2^{2}+(-1)^{2}}) $

$ =(6+3 i)(\frac{2+i}{5})=\frac{1}{5}[12-3+i(6+6)]=\frac{1}{5}(9+12 i) $

4.3.5 $i$ର ଘାତ

ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ

$ \begin{bmatrix} i^{3}=i^{2} i=(-1) i=-i, & i^{4}=(i^{2})^{2}=(-1)^{2}=1 \\ i^{5}=(i^{2})^{2} i=(-1)^{2} i=i, & i^{6}=(i^{2})^{3}=(-1)^{3}=-1, \text{ etc. } \end{bmatrix} $

ଆହୁରି, ଆମ ପାଖରେ ଅଛି $\quad i^{-1}=\frac{1}{i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{-1}=-i, \quad i^{-2}=\frac{1}{i^{2}}=\frac{1}{-1}=-1$,

$$ i^{-3}=\frac{1}{i^{3}}=\frac{1}{-i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{1}=i, \quad i^{-4}=\frac{1}{i^{4}}=\frac{1}{1}=1 $$

ସାଧାରଣତଃ, ଯେକୌଣସି ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା $k, i^{4 k}=1, i^{4 k+1}=i, i^{4 k+2}=-1, i^{4 k+3}=-i$ ପାଇଁ

4.3.6 ଏକ ଋଣାତ୍ମକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟାର ବର୍ଗମୂଳ

ଧ୍ୟାନ ଦିଅନ୍ତୁ ଯେ $i^{2}=-1$ ଏବଂ $(-i)^{2}=i^{2}=-1$

ତେଣୁ, -1ର ବର୍ଗମୂଳଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି $i,-i$। ତଥାପି, ଚିହ୍ନ $\sqrt{-1}$ ଦ୍ୱାରା, ଆମେ କେବଳ $i$କୁ ବୁଝାଇବା।

ବର୍ତ୍ତମାନ, ଆମେ ଦେଖିପାରୁଛୁ ଯେ $i$ ଏବଂ $-i$ ଉଭୟ ସମୀକରଣ $x^{2}+1=0$ ବା $x^{2}=-1$ର ସମାଧାନ।

ସେହିପରି $\quad(\sqrt{3} i)^{2}=(\sqrt{3})^{2} i^{2}=3(-1)=-3$

$$ (-\sqrt{3} i)^{2}=(-\sqrt{3})^{2} i^{2}=-3 $$

ତେଣୁ, -3ର ବର୍ଗମୂଳଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି $\sqrt{3} i$ ଏବଂ $-\sqrt{3} i$।

ପୁଣି, ଚିହ୍ନ $\sqrt{-3}$ କେବଳ $\sqrt{3} i$କୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରିବା ପାଇଁ ଅର୍ଥାତ୍, $\sqrt{-3}=\sqrt{3} i$।

ସାଧାରଣତଃ, ଯଦି $a$ ଏକ ଧନାତ୍ମକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା, $\sqrt{-a}=\sqrt{a} \sqrt{-1}=\sqrt{a} i$,

ଆମେ ପୂର୍ବରୁ ଜାଣୁ ଯେ $\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b}$ ସମସ୍ତ ଧନାତ୍ମକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା $a$ ଏବଂ $b$ ପାଇଁ। ଏହି ଫଳାଫଳ ମଧ୍ୟ ସତ୍ୟ ଯେତେବେଳେ କି $a>0, b<0$ ବା $a<0, b>0$। ଯଦି $a<0, b<0$ ହୁଏ ତେବେ କ’ଣ? ଆସନ୍ତୁ ଆମେ ପରୀକ୍ଷା କରିବା।

ଧ୍ୟାନ ଦିଅନ୍ତୁ ଯେ

$ \begin{aligned} i^{2} & =\sqrt{-1} \sqrt{-1}=\sqrt{(-1)(-1)} \text{ (by assuming } \sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b} \text{ for all real numbers) } \\ & =\sqrt{1}=1 \text{, which is a contradiction to the fact that } i^{2}=-1 \end{aligned} $

ତେଣୁ, $\sqrt{a} \times \sqrt{b} \neq \sqrt{a b}$ ଯଦି ଉଭୟ $a$ ଏବଂ $b$ ଋଣାତ୍ମକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା।

ଆହୁରି, ଯଦି $a$ ଏବଂ $b$ ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ଶୂନ୍ୟ, ତେବେ, ସ୍ପଷ୍ଟ ଭାବରେ, $\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b}=0$।

4.3.7 ସର୍ବସମତା

ଆମେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ସର୍ବସମତାକୁ ପ୍ରମାଣ କରୁଛୁ

$ (z_1+z_2)^{2}=z_1^{2}+z_2^{2}+2 z_1 z_2 \text{, for all complex numbers } z_1 \text{ and } z_2 \text{. } $

ପ୍ରମାଣ ଆମ ପାଖରେ ଅଛି, $(z_1+z_2)^{2}=(z_1+z_2)(z_1+z_2)$,

$$ \begin{aligned} =(z_1+z_2) z_1+(z_1+z_2) z_2 & \text{ (Distributive law) } \\ =z_1^{2}+z_2 z_1+z_1 z_2+z_2^{2} & \text{ (Distributive law) } \\ =z_1^{2}+z_1 z_2+z_1 z_2+z_2^{2} & \text{ (Commutative law of multiplication) } \\ =z_1^{2}+2 z_1 z_2+z_2^{2} & \end{aligned} $$

ସେହିପରି, ଆମେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ସର୍ବସମତାଗୁଡ଼ିକୁ ପ୍ରମାଣ କରିପାରିବା:

(i) $(z_1-z_2)^{2}=z_1^{2}-2 z_1 z_2+z_2^{2}$

(ii) $(z_1+z_2)^{3}=z_1^{3}+3 z_1^{2} z_2+3 z_1 z_2^{2}+z_2^{3}$

(iii) $(z_1-z_2)^{3}=z_1^{3}-3 z_1^{2} z_2+3 z_1 z_2^{2}-z_2^{3}$

(iv) $z_1^{2}-z_2^{2}=(z_1+z_2)(z_1-z_2)$

ପ୍ରକୃତରେ, ଅନେକ ଅନ୍ୟ ସର୍ବସମତା ଯାହା ସମସ୍ତ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ସତ୍ୟ, ସେଗୁଡ଼ିକ ସମସ୍ତ ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ସତ୍ୟ ବୋଲି ପ୍ରମାଣିତ ହୋଇପାରେ।

ଉଦାହରଣ 2 ନିମ୍ନଲିଖିତକୁ $a+b i$ ରୂପରେ ପ୍ରକାଶ କର:

(i) $(-5 i)(\frac{1}{8} i)$

(ii) $(-i)(2 i)(-\frac{1}{8} i)^{3}$

ସମାଧାନ (i) $(-5 i)(\frac{1}{8} i)=\frac{-5}{8} i^{2}=\frac{-5}{8}(-1)=\frac{5}{8}=\frac{5}{8}+i 0$

(ii) $(-i)(2 i)(-\frac{1}{8} i)^{3}=2 \times \frac{1}{8 \times 8 \times 8} \times i^{5}=\frac{1}{256}(i^{2})^{2} i=\frac{1}{256} i$।

ଉଦାହରଣ 3 $(5-3 i)^{3}$କୁ $a+i b$ ରୂପରେ ପ୍ରକାଶ କର।

ସମାଧାନ ଆମ ପାଖରେ ଅଛି, $(5-3 i)^{3}=5^{3}-3 \times 5^{2} \times(3 i)+3 \times 5(3 i)^{2}-(3 i)^{3}$

$$ =125-225 i-135+27 i=-10-198 i . $$

ଉଦାହରଣ 4 $(-\sqrt{3}+\sqrt{-2})(2 \sqrt{3}-i)$କୁ $a+i b$ ରୂପରେ ପ୍ରକାଶ କର

ସମାଧାନ ଆମ ପାଖରେ ଅଛି, $(-\sqrt{3}+\sqrt{-2})(2 \sqrt{3}-i)=(-\sqrt{3}+\sqrt{2} i)(2 \sqrt{3}-i)$

$ =-6+\sqrt{3} i+2 \sqrt{6} i-\sqrt{2} i^{2}=(-6+\sqrt{2})+\sqrt{3}(1+2 \sqrt{2}) i $

4.4 ଏକ ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟାର ମାପାଙ୍କ ଏବଂ ସଂଯୁଗ୍ମୀ

ମନେକର $z=a+i b$ ଏକ ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା। ତେବେ, $z$ର ମାପାଙ୍କ, $|z|$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ, ଅଣ-ଋଣାତ୍ମକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ ଭାବରେ ସଂଜ୍ଞାୟିତ, ଅର୍ଥାତ୍, $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ ଏବଂ $z$ର ସଂଯୁଗ୍ମୀ, $\bar{z}$ ଭାବରେ ସୂଚିତ, ହେଉଛି ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା $a-i b$, ଅର୍ଥାତ୍, $\bar{z}=a-i b$।

ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, $\quad|3+i|=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10},|2-5 i|=\sqrt{2^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{29}$,

ଏବଂ

$ \overline{3+i}=3-i, \overline{2-5 i}=2+5 i, \overline{-3 i-5}=3 i-5 $

ଲକ୍ଷ୍ୟ କରନ୍ତୁ ଯେ ଅଣ-ଶୂନ୍ୟ ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା $z$ର ଗୁଣାତ୍ମକ ବିପରୀତ ଏହା ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଇଛି:

$ \begin{aligned} & \quad z^{-1}=\frac{1}{a+i b}=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a-i b}{a^{2}+b^{2}}=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}} \\ & \text{ or } z \bar{z}=|z|^{2} \end{aligned} $

ଆହୁରି, ନିମ୍ନଲିଖିତ ଫଳାଫଳଗୁଡ଼ିକ ସହଜରେ ଉତ୍ପାଦିତ ହୋଇପାରେ।

ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା $z_1$ ଏବଂ $z_2$ ପାଇଁ, ଆମ ପାଖରେ ଅଛି

(i) $|z_1 z_2|=|z_1||z_2|$

(ii) $|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$ ଯଦି $|z_2| \neq 0$

(iii) $\overline{z_1 z_2}=\overline{z_1} \overline{z_2}$

(iv) $\overline{z_1 \pm z_2}=\overline{z_1} \pm \overline{z_2} $

(v) $\overline{(\frac{z_1}{z_2})} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}provied z_2\neq0 $।

ଉଦାହରଣ 5 $2-3 i$ର ଗୁଣାତ୍ମକ ବିପରୀତ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କର।

ସମାଧାନ ମନେକର $z=2-3 i$

ତେବେ $\quad \bar{z}=2+3 i$ ଏବଂ $\quad|z|^{2}=2^{2}+(-3)^{2}=13$

ତେଣୁ, $2-3 i$ର ଗୁଣାତ୍ମକ ବିପରୀତ ଏହା ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଇଛି:

$ z^{-1}=\frac{\bar{z}}{|z|^{2}}=\frac{2+3 i}{13}=\frac{2}{13}+\frac{3}{13} i $

ଉପରୋକ୍ତ କାର୍ଯ୍ୟକୁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରକାରରେ ମଧ୍ୟ ପୁନରୁତ୍ପାଦନ କରାଯାଇପାରେ,

$ \begin{aligned} z^{-1} & =\frac{1}{2-3 i}=\frac{2+3 i}{(2-3 i)(2+3 i)} \\ & =\frac{2+3 i}{2^{2}-(3 i)^{2}}=\frac{2+3 i}{13}=\frac{2}{13}+\frac{3}{13} i \end{aligned} $

ଉଦାହରଣ 6 ନିମ୍ନଲିଖିତକୁ $a+i b$ ରୂପରେ ପ୍ରକାଶ କର

(i) $\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i}$

(ii) $i^{-35}$

ସମାଧାନ (i) ଆମ ପାଖରେ ଅଛି, $\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i}=\frac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i} \times \frac{1+\sqrt{2} i}{1+\sqrt{2} i}=\frac{5+5 \sqrt{2} i+\sqrt{2} i-2}{1-(\sqrt{2} i)^{2}}$

$$ =\frac{3+6 \sqrt{2} i}{1+2}=\frac{3(1+2 \sqrt{2} i)}{3}=1+2 \sqrt{2} i $$

(ii) $i^{-35}=\frac{1}{i^{35}}=\frac{1}{(i^{2})^{17} i}=\frac{1}{-i} \times \frac{i}{i}=\frac{i}{-i^{2}}=i$

4.5 ଆର୍ଗାଣ୍ଡ ସମତଳ ଏବଂ ପୋଲାର ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ

ଆମେ ପୂର୍ବରୁ ଜାଣୁ ଯେ ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ରମିକ ଯୁଗ୍ମ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା $(x, y)$ ସହିତ, ଆମେ XY ସମତଳରେ ଏକ ଅନନ୍ୟ ବିନ୍ଦୁ ପାଇଥାଉ ଏବଂ ବିପରୀତତା, ପରସ୍ପର ଲମ୍ବ ରେଖାଗୁଡ଼ିକର ଏକ ସେଟ୍ ସହିତ ଯାହାକୁ $x$-ଅକ୍ଷ ଏବଂ $y$-ଅକ୍ଷ ଭାବରେ ଜଣାଶୁଣା। ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା $x+i y$ ଯାହା କ୍ରମିକ ଯୁଗ୍ମ $(x, y)$ ସହିତ ସମ୍ପୃକ୍ତ, ତାହାକୁ ଜ୍ୟାମିତିକ ଭାବରେ XY ସମତଳରେ ଅନନ୍ୟ ବିନ୍ଦୁ $P(x, y)$ ଭାବରେ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରାଯାଇପାରେ ଏବଂ ବିପରୀତତା।

କେତେକ ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା ଯେପରିକି $2+4 i,-2+3 i, 0+1 i, 2+0 i,-5-2 i$ ଏବଂ $1-2 i$ ଯାହା ଯଥାକ୍ରମେ କ୍ରମିକ ଯୁଗ୍ମ $(2,4),(-2,3),(0,1),(2,0),(-5,-2)$, ଏବଂ $(1,-2)$ ସହିତ ସମ୍ପୃକ୍ତ, ସେଗୁଡ଼ିକୁ ଯଥାକ୍ରମେ ଚିତ୍ର 4.1ରେ ବିନ୍ଦୁ $A, B, C, D, E$, ଏବଂ $F$ ଦ୍ୱାରା ଜ୍ୟାମିତିକ ଭାବରେ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରାଯାଇଛି।

ଚିତ୍ର 4.1

ଯେଉଁ ସମତଳର ପ୍ରତ୍ୟେକ ବିନ୍ଦୁ ସହିତ ଏକ ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା ସଂଯୁକ୍ତ, ତାହାକୁ ସମ୍ମିଶ୍ର ସମତଳ ବା ଆର୍ଗାଣ୍ଡ ସମତଳ କୁହାଯାଏ।

ସ୍ପଷ୍ଟ ଭାବରେ, ଆର୍ଗାଣ୍ଡ ସମତଳରେ, ସମ୍ମିଶ୍ର ସଂଖ୍ୟା $x+i y=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ର ମାପାଙ୍କ ହେଉଛି ବିନ୍ଦୁ $P(x, y)$ ଏବଂ ମୂଳବିନ୍ଦୁ $O(0,0)$ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ଦୂରତା (ଚିତ୍ର 4.2)। $x$-ଅକ୍ଷ ଉପରେ ଥିବା