ଗଣିତ ହେଉଛି ଅନେକ କଥାକୁ ଅନେକ ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଉପାୟରେ କହିବାର କଳା। - ମ୍ୟାକ୍ସୱେଲ

5.1 ପରିଚୟ

ପୂର୍ବ ଶ୍ରେଣୀଗୁଡ଼ିକରେ, ଆମେ ଏକ ଚଳ ରାଶି ଏବଂ ଦୁଇ ଚଳ ରାଶି ବିଶିଷ୍ଟ ସମୀକରଣ ପଢ଼ିଛୁ ଏବଂ କେତେକ ବାକ୍ୟ ସମସ୍ୟାକୁ ସମୀକରଣର ରୂପରେ ଅନୁବାଦ କରି ସମାଧାନ କରିଛୁ। ବର୍ତ୍ତମାନ ଏକ ସ୍ୱାଭାବିକ ପ୍ରଶ୍ନ ଉଠେ: ‘ଏକ ବାକ୍ୟ ସମସ୍ୟାକୁ ସଦା ସମୀକରଣ ରୂପରେ ଅନୁବାଦ କରିବା ସମ୍ଭବ କି? ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ତୁମ ଶ୍ରେଣୀର ସମସ୍ତ ଛାତ୍ରଛାତ୍ରୀଙ୍କର ଉଚ୍ଚତା $160 cm$ ଠାରୁ କମ୍। ତୁମର ଶ୍ରେଣୀକକ୍ଷରେ ଅଧିକତମ ୬୦ଟି ଟେବୁଲ କିମ୍ବା ଚେୟାର କିମ୍ବା ଉଭୟ ରହିପାରିବ। ଏଠାରେ ଆମେ କେତେକ ବିବୃତି ପାଇଥାଉ ଯାହା ‘$<$’ (ଠାରୁ କମ୍), ‘>’ (ଠାରୁ ଅଧିକ), ‘$\leq$’ (ଠାରୁ କମ୍ କିମ୍ବା ସମାନ) ଏବଂ $\geq$ (ଠାରୁ ଅଧିକ କିମ୍ବା ସମାନ) ଚିହ୍ନ ବ୍ୟବହାର କରେ ଯାହାକୁ ଅସମୀକରଣ କୁହାଯାଏ।

ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ, ଆମେ ଏକ ଏବଂ ଦୁଇ ଚଳ ରାଶି ବିଶିଷ୍ଟ ରେଖୀୟ ଅସମୀକରଣ ଅଧ୍ୟୟନ କରିବୁ। ବିଜ୍ଞାନ, ଗଣିତ, ପରିସଂଖ୍ୟାନ, ଅର୍ଥନୀତି, ମନୋବିଜ୍ଞାନ ଆଦି କ୍ଷେତ୍ରରେ ସମସ୍ୟା ସମାଧାନ କରିବାରେ ଅସମୀକରଣର ଅଧ୍ୟୟନ ବହୁତ ଉପଯୋଗୀ।

5.2 ଅସମୀକରଣ

ଆସନ୍ତୁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ପରିସ୍ଥିତିଗୁଡ଼ିକୁ ବିଚାର କରିବା:

(i) ରବି ଚାଉଳ କିଣିବା ପାଇଁ ₹ 200 ନେଇ ବଜାରକୁ ଯାଏ, ଯାହା $1 kg$ ର ପ୍ୟାକେଟରେ ଉପଲବ୍ଧ। ଏକ ପ୍ୟାକେଟ ଚାଉଳର ମୂଲ୍ୟ ₹ 30। ଯଦି $x$ ଦ୍ୱାରା ସେ ଯେତେ ପ୍ୟାକେଟ ଚାଉଳ କିଣେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାକୁ ସୂଚିତ କରାଯାଏ, ତେବେ ତାଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ଖର୍ଚ୍ଚ ହୋଇଥିବା ମୋଟ ଟଙ୍କା ହେଉଛି ₹ $30 x$। ଯେହେତୁ, ତାଙ୍କୁ କେବଳ ପ୍ୟାକେଟରେ ଚାଉଳ କିଣିବାକୁ ପଡ଼ିବ, ସେ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ₹ 200 ଖର୍ଚ୍ଚ କରିବାରେ ସମର୍ଥ ହୋଇନପାରିବେ। (କାହିଁକି?) ତେଣୁ

$$ 30 x<200 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $$

ସ୍ପଷ୍ଟ ଭାବରେ ବିବୃତି (i) ଏକ ସମୀକରଣ ନୁହେଁ କାରଣ ଏଥିରେ ସମାନତାର ଚିହ୍ନ ନାହିଁ। (ii) ରେଶମାଙ୍କ ପାଖରେ ₹ 120 ଅଛି ଏବଂ ସେ କିଛି ରଜିଷ୍ଟର ଏବଂ କଲମ କିଣିବାକୁ ଚାହୁଁଛନ୍ତି। ଗୋଟିଏ ରଜିଷ୍ଟରର ମୂଲ୍ୟ ₹ 40 ଏବଂ ଗୋଟିଏ କଲମର ମୂଲ୍ୟ ₹ 20। ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ, ଯଦି $x$ ଦ୍ୱାରା ରଜିଷ୍ଟର ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ $y$ ଦ୍ୱାରା ରେଶମା ଯେତେ କଲମ କିଣେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାକୁ ସୂଚିତ କରାଯାଏ, ତେବେ ତାଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ଖର୍ଚ୍ଚ ହୋଇଥିବା ମୋଟ ଟଙ୍କା ହେଉଛି ₹ $(40 x+20 y)$ ଏବଂ ଆମେ ପାଇବା

$$ 40 x+20 y \leq 120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) $$

ଯେହେତୁ ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ ମୋଟ ଖର୍ଚ୍ଚ ହୋଇପାରେ ସେହି ଟଙ୍କା ₹ 120 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ। ଧ୍ୟାନ ଦିଅନ୍ତୁ ଯେ ବିବୃତି (2) ଦୁଇଟି ବିବୃତିରେ ଗଠିତ

$ \text{ ଏବଂ } \quad \begin{aligned} & 40 x+20 y<120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3) \\ & 40 x+20 y=120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (4) \end{aligned} $

ବିବୃତି (3) ଏକ ସମୀକରଣ ନୁହେଁ, ଅର୍ଥାତ୍ ଏହା ଏକ ଅସମୀକରଣ ଯେତେବେଳେ କି ବିବୃତି (4) ଏକ ସମୀକରଣ।

ସଂଜ୍ଞା 1 ଦୁଇଟି ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା କିମ୍ବା ଦୁଇଟି ବୀଜଗାଣିତିକ ପ୍ରକାଶନୀ ‘$<$’, ‘>’, ‘$\leq$’ କିମ୍ବା ‘$\geq$’ ଚିହ୍ନ ଦ୍ୱାରା ସମ୍ପର୍କିତ ହୋଇ ଏକ ଅସମୀକରଣ ଗଠନ କରେ।

ଉପରୋକ୍ତ ବିବୃତି ଯେପରିକି (1), (2) ଏବଂ (3) ଅସମୀକରଣ।

$3<5 ; 7>5$ ସଂଖ୍ୟାତ୍ମକ ଅସମୀକରଣର ଉଦାହରଣ ଯେତେବେଳେ କି

$x<5 ; y>2 ; x \geq 3, y \leq 4$ କେତେକ ଅକ୍ଷରାତ୍ମକ ଅସମୀକରଣର ଉଦାହରଣ। $3<5<7($ (5 ହେଉଛି 3 ଠାରୁ ବଡ଼ ଏବଂ 7 ଠାରୁ ଛୋଟ ଭାବରେ ପଢ଼ାଯାଏ), $3 \leq x<5($ ($x$ ହେଉଛି 3 ଠାରୁ ବଡ଼ କିମ୍ବା ସମାନ ଏବଂ 5 ଠାରୁ ଛୋଟ ଭାବରେ ପଢ଼ାଯାଏ) ଏବଂ $2<y \leq 4$ ଦ୍ୱିଗୁଣିତ ଅସମୀକରଣର ଉଦାହରଣ। ଅସମୀକରଣର ଆଉ କିଛି ଉଦାହରଣ ହେଲା:

$$ \begin{align*} & a x+b<0 \tag{5}\\ & a x+b>0 \tag{6}\\ & a x+b \leq 0 \tag{7}\\ & a x+b \geq 0 \tag{8}\\ & a x+b y<c \tag{9}\\ & a x+b y>c \tag{10}\\ & a x+b y \leq c \tag{11}\\ & a x+b y \geq c \tag{12}\\ & a x^{2}+b x+c \leq 0 \tag{13}\\ & a x^{2}+b x+c>0 \tag{14} \end{align*} $$

ଅସମୀକରଣ (5), (6), (9), (10) ଏବଂ (14) କଠୋର ଅସମୀକରଣ ଯେତେବେଳେ କି ଅସମୀକରଣ (7), (8), (11), (12), ଏବଂ (13) ଶିଥିଳ ଅସମୀକରଣ। (5) ରୁ (8) ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଅସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକ ଏକ ଚଳ ରାଶି $x$ ରେ ରେଖୀୟ ଅସମୀକରଣ ଯେତେବେଳେ $a \neq 0$, ଯେତେବେଳେ କି (9) ରୁ (12) ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଅସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକ ଦୁଇ ଚଳ ରାଶି $x$ ଏବଂ $y$ ରେ ରେଖୀୟ ଅସମୀକରଣ ଯେତେବେଳେ $a \neq 0, b \neq 0$। ଅସମୀକରଣ (13) ଏବଂ (14) ରେଖୀୟ ନୁହଁନ୍ତି (ପ୍ରକୃତରେ, ଏଗୁଡ଼ିକ ଏକ ଚଳ ରାଶି $x$ ରେ ଦ୍ୱିଘାତୀ ଅସମୀକରଣ ଯେତେବେଳେ $a \neq 0)$)।

ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ, ଆମେ କେବଳ ଏକ ଏବଂ ଦୁଇ ଚଳ ରାଶି ବିଶିଷ୍ଟ ରେଖୀୟ ଅସମୀକରଣ ଅଧ୍ୟୟନ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସୀମିତ ରହିବୁ।

5.3 ଏକ ଚଳ ରାଶି ବିଶିଷ୍ଟ ରେଖୀୟ ଅସମୀକରଣର ବୀଜଗାଣିତିକ ସମାଧାନ ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ଚିତ୍ରାତ୍ମକ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ

ଆସନ୍ତୁ ଆମେ 6.2 ବିଭାଗର ଅସମୀକରଣ (1), ଯଥା $30 x<200$ କୁ ବିଚାର କରିବା। ଧ୍ୟାନ ଦିଅନ୍ତୁ ଯେ ଏଠାରେ $x$ ଚାଉଳ ପ୍ୟାକେଟ ସଂଖ୍ୟାକୁ ସୂଚିତ କରେ। ସ୍ପଷ୍ଟ ଭାବରେ, $x$ ଏକ ଋଣାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା କିମ୍ବା ଏକ ଭଗ୍ନାଂଶ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ। ଏହି ଅସମୀକରଣର ବାମ ପାର୍ଶ୍ୱ (L.H.S.) ହେଉଛି $30 x$ ଏବଂ ଡାହାଣ ପାର୍ଶ୍ୱ (RHS) ହେଉଛି 200। ତେଣୁ, ଆମେ ପାଇବା

$ \begin{aligned} & \text{ x=0 ପାଇଁ, L.H.S. }=30(0)=0<200(\text{ R.H.S. }) \text{, ଯାହା ସତ୍ୟ। } \\ & \text{ x=1 ପାଇଁ, L.H.S. }=30(1)=30<200 \text{ (R.H.S.), ଯାହା ସତ୍ୟ। } \\ & \text{ x=2 ପାଇଁ, L.H.S. }=30(2)=60<200 \text{, ଯାହା ସତ୍ୟ। } \\ & \text{ x=3 ପାଇଁ, L.H.S. }=30(3)=90<200 \text{, ଯାହା ସତ୍ୟ। } \\ & \text{ x=4 ପାଇଁ, L.H.S. }=30(4)=120<200 \text{, ଯାହା ସତ୍ୟ। } \\ & \text{ x=5 ପାଇଁ, L.H.S. }=30(5)=150<200 \text{, ଯାହା ସତ୍ୟ। } \\ & \text{ x=6 ପାଇଁ, L.H.S. }=30(6)=180<200 \text{, ଯାହା ସତ୍ୟ। } \\ & \text{ x=7 ପାଇଁ, L.H.S. }=30(7)=210<200 \text{, ଯାହା ଅସତ୍ୟ। } \end{aligned} $

ଉପରୋକ୍ତ ପରିସ୍ଥିତିରେ, ଆମେ ଦେଖୁଛୁ ଯେ $x$ ର ଯେଉଁ ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ଉପରୋକ୍ତ ଅସମୀକରଣକୁ ଏକ ସତ୍ୟ ବିବୃତି କରେ, ସେଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି $0,1,2,3,4,5,6$। $x$ ର ଏହି ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକ, ଯାହା ଉପରୋକ୍ତ ଅସମୀକରଣକୁ ଏକ ସତ୍ୟ ବିବୃତି କରେ, ସେଗୁଡ଼ିକୁ ଅସମୀକରଣର ସମାଧାନ କୁହାଯାଏ ଏବଂ ସେଟ୍ ${0,1,2,3,4,5,6}$ କୁ ଏହାର ସମାଧାନ ସେଟ୍ କୁହାଯାଏ।

ତେଣୁ, ଏକ ଚଳ ରାଶି ବିଶିଷ୍ଟ କୌଣସି ଅସମୀକରଣର ସମାଧାନ ହେଉଛି ଚଳ ରାଶିର ଏକ ମୂଲ୍ୟ ଯାହା ଏହାକୁ ଏକ ସତ୍ୟ ବିବୃତି କରେ।

ଆମେ ଉପରୋକ୍ତ ଅସମୀକରଣର ସମାଧାନଗୁଡ଼ିକୁ ପରୀକ୍ଷା ଓ ତ୍ରୁଟି ପଦ୍ଧତି ଦ୍ୱାରା ପାଇଛୁ ଯାହା ବହୁତ କାର୍ଯ୍ୟକ୍ଷମ ନୁହେଁ। ସ୍ପଷ୍ଟ ଭାବରେ, ଏହି ପଦ୍ଧତି ସମୟ ସାପେକ୍ଷ ଏବଂ ବେଳେବେଳେ ସମ୍ଭବ ହୁଏ ନାହିଁ। ଅସମୀକରଣ ସମାଧାନ ପାଇଁ ଆମ ପାଖରେ କିଛି ଉନ୍ନତ କିମ୍ବା ବ୍ୟବସ୍ଥିତ କୌଶଳ ରହିବା ଆବଶ୍ୟକ। ତାହା ପୂର୍ବରୁ ଆମେ ସଂଖ୍ୟାତ୍ମକ ଅସମୀକରଣର ଆଉ କିଛି ଧର୍ମ ମାଧ୍ୟମରେ ଯିବା ଉଚିତ୍ ଏବଂ ଅସମୀକରଣ ସମାଧାନ ସମୟରେ ସେଗୁଡ଼ିକୁ ନିୟମ ଭାବରେ ଅନୁସରଣ କରିବା ଉଚିତ୍।

ଆପଣ ମନେ ରଖିବେ ଯେ ରେଖୀୟ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବା ସମୟରେ, ଆମେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ନିୟମଗୁଡ଼ିକ ଅନୁସରଣ କରିଥିଲୁ:

ନିୟମ 1 ସମାନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଏକ ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଯୋଗ (କିମ୍ବା ବିୟୋଗ) କରାଯାଇପାରିବ।

ନିୟମ 2 ଏକ ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ସମାନ ଅଶୂନ୍ୟ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ (କିମ୍ବା ଭାଗ) କରାଯାଇପାରିବ।

ଅସମୀକରଣ ସମାଧାନ କ୍ଷେତ୍ରରେ, ଆମେ ପୁଣି ସେହି ନିୟମଗୁଡ଼ିକ ଅନୁସରଣ କରୁ ଏକ ପାର୍ଥକ୍ୟ ସହିତ ଯେ ନିୟମ 2 ରେ, ଅସମୀକରଣର ଚିହ୍ନ ବିପରୀତ ହୋଇଯାଏ (ଅର୍ଥାତ୍, ‘<’ ହୁଏ ‘>’, $\leq$ ହୁଏ ‘$\geq$’ ଇତ୍ୟାଦି) ଯେତେବେଳେ ଆମେ ଅସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ (କିମ୍ବା ଭାଗ) କରୁ। ଏହା ନିମ୍ନଲିଖିତ ତଥ୍ୟରୁ ସ୍ପଷ୍ଟ:

$ \begin{aligned} & 3>2 \text{ ଯେତେବେଳେ କି }-3<-2 \\ & -8<-7 \text{ ଯେତେବେଳେ କି }(-8)(-2)>(-7)(-2), \text{ ଅର୍ଥାତ୍ } 16>14 . \end{aligned} $

ତେଣୁ, ଆମେ ଏକ ଅସମୀକରଣ ସମାଧାନ ପାଇଁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ନିୟମଗୁଡ଼ିକ ଉଲ୍ଲେଖ କରୁ:

ନିୟମ 1 ସମାନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଅସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଯୋଗ (କିମ୍ବା ବିୟୋଗ) କରାଯାଇପାରିବ ଅସମୀକରଣର ଚିହ୍ନକୁ ପ୍ରଭାବିତ ନକରି।

ନିୟମ 2 ଅସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ସମାନ ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ (କିମ୍ବା ଭାଗ) କରାଯାଇପାରିବ। କିନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କିମ୍ବା ଭାଗ କରାଯାଏ, ସେତେବେଳେ ଅସମୀକରଣର ଚିହ୍ନ ବିପରୀତ ହୋଇଯାଏ।

ବର୍ତ୍ତମାନ, ଆସନ୍ତୁ କେତେକ ଉଦାହରଣ ବିଚାର କରିବା।

ଉଦାହରଣ 1 $30 x<200$ କୁ ସମାଧାନ କର ଯେତେବେଳେ (i) $x$ ଏକ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟା, (ii) $x$ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା।

ସମାଧାନ ଆମକୁ ଦିଆଯାଇଛି $30 x<200$

କିମ୍ବା $\quad \frac{30 x}{30}<\frac{200}{30}$ (ନିୟମ 2), ଅର୍ଥାତ୍ $x<20 / 3$।

(i) ଯେତେବେଳେ $x$ ଏକ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟା, ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ $x$ ର ନିମ୍ନଲିଖିତ ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ବିବୃତିକୁ ସତ୍ୟ କରେ।

$$ x=1,2,3,4,5,6 $$

ଅସମୀକରଣର ସମାଧାନ ସେଟ୍ ହେଉଛି $\{1,2,3,4,5,6\}$।

(ii) ଯେତେବେଳେ $x$ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା, ଦିଆଯାଇଥିବା ଅସମୀକରଣର ସମାଧାନଗୁଡ଼ିକ ହେଲା

$$ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6 $$

ଅସମୀକରଣର ସମାଧାନ ସେଟ୍ ହେଉଛି $ \{ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6 \} $

ଉଦାହରଣ 2 $5 x-3<3 x+1$ କୁ ସମାଧାନ କର ଯେତେବେଳେ (i) $x$ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା, (ii) $x$ ଏକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା।

ସମାଧାନ ଆମ ପାଖରେ ଅଛି, $5 x-3<3 x+1$

କିମ୍ବା $\quad \quad$ $5 x-3+3<3 x+1+3$ $\quad \quad \quad$ (ନିୟମ 1)

କିମ୍ବା $\quad \quad$ $5 x<3 x+4$

କିମ୍ବା $\quad \quad$ $5 x-3 x<3 x+4-3 x$ $\quad \quad \quad \quad$ (ନିୟମ 2)

କିମ୍ବା $\quad \quad$ $2 x<4$

କିମ୍ବା $\quad \quad$ $x<2$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad$ (ନିୟମ 3)

(i) ଯେତେବେଳେ $x$ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା, ଦିଆଯାଇଥିବା ଅସମୀକରଣର ସମାଧାନଗୁଡ଼ିକ ହେଲା

$ \ldots,-4,-3,-2,-1,0,1 $

(ii) ଯେତେବେଳେ $x$ ଏକ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା, ଅସମୀକରଣର ସମାଧାନଗୁଡ଼ିକ $x<2$ ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଏ, ଅର୍ଥାତ୍ ସମସ୍ତ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା $x$ ଯାହା 2 ଠାରୁ କମ୍। ତେଣୁ, ଅସମୀକରଣର ସମାଧାନ ସେଟ୍ ହେଉଛି $x \in(-\infty, 2)$।

ଆମେ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍, ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ ଏବଂ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ରେ ଅସମୀକରଣର ସମାଧାନ ବିଚାର କରିଛୁ। ଏହାପରେ, ଅନ୍ୟଥା ଉଲ୍ଲେଖ ନଥିବା ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ, ଆମେ ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ ଅସମୀକରଣଗୁଡ଼ିକୁ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ସେଟ୍ରେ ସମାଧାନ କରିବୁ।

ଉଦାହରଣ 3 $4 x+3<6 x+7$ କୁ ସମାଧାନ କର।

ସମାଧାନ ଆମ ପାଖରେ ଅଛି, $\quad 4 x+3<6 x+7$

କିମ୍ବା $\quad 4 x-6 x<6 x+4-6 x$

କିମ୍ବା $\quad-2 x<4 \quad$ କିମ୍ବା $x>-2$

ଅର୍ଥାତ୍, ସମସ୍ତ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଯାହା -2 ଠାରୁ ବଡ଼, ସେଗୁଡ଼ିକ ଦିଆଯାଇଥିବା ଅସମୀକରଣର ସମାଧାନ। ତେଣୁ, ସମାଧାନ ସେଟ୍ ହେଉଛି $(-2, \infty)$।

ଉଦାହରଣ 4 $\frac{5-2 x}{3} \leq \frac{x}{6}-5$ କୁ ସମାଧାନ କର।

ସମାଧାନ ଆମ ପାଖରେ ଅଛି $\quad \quad \quad \quad$ $\frac{5-2 x}{3} \leq \frac{x}{6}-5$

କିମ୍ବା $\quad \quad \quad \quad$ $2(5-2 x) \leq x-30 \text {. }$

କିମ୍ବା $\quad \quad \quad \quad$ $10-4 x \leq x-30$

କିମ୍ବା $\quad \quad \quad \quad$ $-5 x \leq-40 \text {, i.e., } x \geq 8$

ଏହିପରି, ସମସ୍ତ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା $x$ ଯାହା 8 ଠାରୁ ବଡ଼ କିମ୍ବା ସମାନ, ସେଗୁଡ଼ିକ ଦିଆଯାଇଥିବା ଅସମୀକରଣର ସମାଧାନ, ଅର୍ଥାତ୍ $x \in[8, \infty)$।

ଉଦାହରଣ 5 $7 x+3<5 x+9$ କୁ ସମାଧାନ କର। ସଂଖ୍ୟା ରେଖାରେ ସମାଧାନଗୁଡ଼ିକର ଗ୍ରାଫ୍ ଦେଖାଅ।

ସମାଧାନ ଆମ ପାଖରେ ଅଛି $7 x+3<5 x+9$ କିମ୍ବା $2 x<6$ କିମ୍ବା $x<3$

ସମାଧାନଗୁଡ଼ିକର ଚିତ୍ରାତ୍ମକ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ ଚିତ୍ର 5.1 ରେ ଦିଆଯାଇଛି।

ଚିତ୍ର 5.1

ଉଦାହରଣ 6 $\frac{3 x-4}{2} \geq \frac{x+1}{4}-1$ କୁ ସମାଧାନ କର। ସଂଖ୍ୟା ରେଖାରେ ସମାଧାନଗୁଡ଼ିକର ଗ୍ରାଫ୍ ଦେଖାଅ।

ସମାଧାନ ଆମ ପାଖରେ ଅଛି $ \frac{3 x-4}{2}\geq\frac{x+1}{4}-1$

$ \text{or} \quad \frac{3 x-4}{2} \geq \frac{x-3}{4} $

$ \text{or} \quad 2(3 x-4) \geq(x-3) $

କିମ୍ବା $\quad \quad \quad \quad$ $6 x-8 \geq x-3$

କିମ୍ବା $\quad \quad \quad \quad$ $5 x \geq 5$

କିମ୍ବା $\quad \quad \quad \quad$ $x \geq 1$

ସମାଧାନଗୁଡ଼ିକର ଚିତ୍ରାତ୍ମକ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ ଚିତ୍ର 5