ଗଣିତ ହେଉଛି ଏକ ଅତି ନିର୍ଭୁଲ ବିଜ୍ଞାନ ଏବଂ ଏହାର ସିଦ୍ଧାନ୍ତଗୁଡ଼ିକ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ପ୍ରମାଣ ସମର୍ଥନ କରିପାରେ। - C.P. STEINMETZ

7.1 ପରିଚୟ

ପୂର୍ବ ଶ୍ରେଣୀଗୁଡ଼ିକରେ, ଆମେ ଶିଖିଛୁ କିପରି $a+b$ ଏବଂ $a-b$ ଭଳି ଦ୍ଵିପଦଗୁଡ଼ିକର ବର୍ଗ ଏବଂ ଘନ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରାଯାଏ। ସେଗୁଡ଼ିକୁ ବ୍ୟବହାର କରି, ଆମେ $(98)^{2}=(100-2)^{2},(999)^{3}=(1000-1)^{3}$ ଆଦି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ସାଂଖ୍ୟିକ ମୂଲ୍ୟ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିପାରୁଥିଲୁ। ତଥାପି, $(98)^{5},(101)^{6}$ ଆଦି ଉଚ୍ଚତର ଘାତଗୁଡ଼ିକ ପାଇଁ, ପୁନରାବୃତ୍ତ ଗୁଣନ ବ୍ୟବହାର କରି ଗଣନାଗୁଡ଼ିକ କଷ୍ଟସାଧ୍ୟ ହୋଇପଡ଼େ। ଏହି କଷ୍ଟକୁ ଦ୍ଵିପଦ ଉପପାଦ୍ୟ ନାମକ ଏକ ଉପପାଦ୍ୟ ଦ୍ୱାରା ଅତିକ୍ରମ କରାଯାଇଥିଲା। ଏହା $(a+b)^{n}$ କୁ ବିସ୍ତାର କରିବା ପାଇଁ ଏକ ସହଜ ଉପାୟ ଦେଇଥାଏ, ଯେଉଁଠାରେ $n$ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା କିମ୍ବା ଏକ ପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା। ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ, ଆମେ କେବଳ ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ସୂଚକଙ୍କ ପାଇଁ ଦ୍ଵିପଦ ଉପପାଦ୍ୟ ଅଧ୍ୟୟନ କରୁ।

ବ୍ଲେଜ୍ ପାସ୍କାଲ (1623-1662 A.D.)

7.2 ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ସୂଚକଙ୍କ ପାଇଁ ଦ୍ଵିପଦ ଉପପାଦ୍ୟ

ଆସନ୍ତୁ ଆମେ ପୂର୍ବରୁ କରାଯାଇଥିବା ନିମ୍ନଲିଖିତ ଅଭେଦଗୁଡ଼ିକୁ ଦେଖିବା:

$$ \begin{aligned} & (a+b)^{0}=1 ; a+b \neq 0 \\ & (a+b)^{1}=a+b \\ & (a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \\ & (a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3} \\ & (a+b)^{4}=(a+b)^{3}(a+b)=a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+b^{4} \end{aligned} $$

ଏହି ବିସ୍ତାରଗୁଡ଼ିକରେ, ଆମେ ଦେଖୁଛୁ ଯେ

(i) ବିସ୍ତାରରେ ମୋଟ ପଦ ସଂଖ୍ୟା ସୂଚକଠାରୁ ଗୋଟିଏ ଅଧିକ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, $(a+b)^{2}$ ର ବିସ୍ତାରରେ, ପଦ ସଂଖ୍ୟା 3 ଯେତେବେଳେ କି $(a+b)^{2}$ ର ସୂଚକ 2 ।

(ii) ପ୍ରଥମ ରାଶି ‘$a$’ ର ଘାତଗୁଡ଼ିକ କ୍ରମାଗତ ପଦଗୁଡ଼ିକରେ 1 କରି ହ୍ରାସ ପାଇଥାଏ ଯେତେବେଳେ କି ଦ୍ୱିତୀୟ ରାଶି ‘$b$’ ର ଘାତଗୁଡ଼ିକ 1 କରି ବୃଦ୍ଧି ପାଇଥାଏ।

(iii) ବିସ୍ତାରର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦରେ, $a$ ଏବଂ $b$ ର ସୂଚକଗୁଡ଼ିକର ଯୋଗଫଳ ସମାନ ଏବଂ $a+b$ ର ସୂଚକ ସହିତ ସମାନ ଅଟେ।

ଆମେ ବର୍ତ୍ତମାନ ଏହି ବିସ୍ତାରଗୁଡ଼ିକରେ ଗୁଣାଙ୍କଗୁଡ଼ିକୁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଭାବରେ ସଜାଇଛୁ (ଚିତ୍ର 7.1):

ଚିତ୍ର 7.1

ଆମେ ଏହି ସାରଣୀରେ କିଛି ନମୁନା ଦେଖୁଛୁ କି ଯାହା ପରବର୍ତ୍ତୀ ଧାଡ଼ି ଲେଖିବାରେ ଆମକୁ ସାହାଯ୍ୟ କରିବ? ହଁ, ଆମେ ଦେଖୁଛୁ। ଦେଖାଯାଇପାରେ ଯେ ସୂଚକ 1 ପାଇଁ ଧାଡ଼ିରେ 1 ଗୁଡ଼ିକର ଯୋଗଦାନ ସୂଚକ 2 ପାଇଁ ଧାଡ଼ିରେ 2 କୁ ଜନ୍ମ ଦେଇଥାଏ। ସୂଚକ 2 ପାଇଁ ଧାଡ଼ିରେ 1,2 ଏବଂ 2, 1 ର ଯୋଗଦାନ ସୂଚକ 3 ପାଇଁ ଧାଡ଼ିରେ 3 ଏବଂ 3 କୁ ଜନ୍ମ ଦେଇଥାଏ ଏବଂ ଏହିପରି ଅନ୍ୟତ୍ର। ଆହୁରି ମଧ୍ୟ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ଧାଡ଼ିର ଆରମ୍ଭ ଏବଂ ଶେଷରେ 1 ଉପସ୍ଥିତ ଅଟେ। ଏହାକୁ ଆମ ଆଗ୍ରହର ଯେକୌଣସି ସୂଚକ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଚାଲୁ ରଖାଯାଇପାରେ।

ଆମେ କିଛି ଅଧିକ ଧାଡ଼ି ଲେଖି ଚିତ୍ର 7.2ରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ନମୁନାକୁ ବିସ୍ତାର କରିପାରିବା।

ପାସ୍କାଲର ତ୍ରିଭୁଜ

ଚିତ୍ର 7.2ରେ ଦିଆଯାଇଥିବା ଗଠନଟି ଏକ ତ୍ରିଭୁଜ ପରି ଦେଖାଯାଏ ଯାହାର ଶୀର୍ଷ ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁରେ 1 ଅଛି ଏବଂ ଦୁଇଟି ଢାଲୁ ପାର୍ଶ୍ୱ ବାଟେ ତଳକୁ ଗତି କରୁଛି। ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଏହି ଶ୍ରେଣୀକୁ ଫରାସୀ ଗଣିତଜ୍ଞ ବ୍ଲେଜ୍ ପାସ୍କାଲଙ୍କ ନାମାନୁସାରେ ପାସ୍କାଲର ତ୍ରିଭୁଜ ଭାବରେ ଜଣାଶୁଣା। ଏହାକୁ ପିଙ୍ଗଳଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ମେରୁ ପ୍ରସ୍ତର ଭାବରେ ମଧ୍ୟ ଜଣାଶୁଣା।

ପାସ୍କାଲର ତ୍ରିଭୁଜ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ଦ୍ଵିପଦର ଉଚ୍ଚତର ଘାତଗୁଡ଼ିକର ବିସ୍ତାର ମଧ୍ୟ ସମ୍ଭବ। ଆସନ୍ତୁ ଆମେ $(2 x+3 y)^{5}$ କୁ ପାସ୍କାଲର ତ୍ରିଭୁଜ ବ୍ୟବହାର କରି ବିସ୍ତାର କରିବା। ସୂଚକ 5 ପାଇଁ ଧାଡ଼ି ହେଉଛି

$$ \begin{matrix} 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \end{matrix} $$

ଏହି ଧାଡ଼ି ଏବଂ ଆମର ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ (i), (ii) ଏବଂ (iii) ବ୍ୟବହାର କରି, ଆମେ ପାଇବା

$ \begin{aligned} (2 x+3 y)^{5} & =(2 x)^{5}+5(2 x)^{4}(3 y)+10(2 x)^{3}(3 y)^{2}+10(2 x)^{2}(3 y)^{3}+5(2 x)(3 y)^{4}+(3 y)^{5} \\ & =32 x^{5}+240 x^{4} y+720 x^{3} y^{2}+1080 x^{2} y^{3}+810 x y^{4}+243 y^{5} \end{aligned} $

ବର୍ତ୍ତମାନ, ଯଦି ଆମେ $(2 x+3 y)^{12}$ ର ବିସ୍ତାର ଜାଣିବାକୁ ଚାହୁଁ, ଆମକୁ ପ୍ରଥମେ ସୂଚକ 12 ପାଇଁ ଧାଡ଼ି ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ ପଡ଼ିବ। ଏହା ସୂଚକ 12 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ପାସ୍କାଲର ତ୍ରିଭୁଜର ସମସ୍ତ ଧାଡ଼ି ଲେଖି କରାଯାଇପାରିବ। ଏହା ଏକ ଟିକେ ଦୀର୍ଘ ପ୍ରକ୍ରିୟା। ଯେପରି ଆପଣ ଦେଖୁଛନ୍ତି, ଯଦି ଆମକୁ ଏପରି ବିସ୍ତାର ଆବଶ୍ୟକ ହୁଏ ଯାହା ଏପରିକି ଅଧିକ ବଡ଼ ଘାତଗୁଡ଼ିକୁ ନେଇ ଗଠିତ, ତେବେ ଏହି ପ୍ରକ୍ରିୟା ଅଧିକ କଷ୍ଟସାଧ୍ୟ ହୋଇପଡ଼ିବ।

ତେଣୁ ଆମେ ଏକ ନିୟମ ଖୋଜିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କରୁ ଯାହା ଆମକୁ ପାସ୍କାଲର ତ୍ରିଭୁଜର ସେହି ଧାଡ଼ିଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖିବା ବିନା ଯାହା ଇଚ୍ଛିତ ସୂଚକର ଧାଡ଼ି ପୂର୍ବରୁ ଆସେ, ଯେକୌଣସି ଘାତ ପାଇଁ ଦ୍ଵିପଦର ବିସ୍ତାର ଖୋଜିବାରେ ସାହାଯ୍ୟ କରିବ।

ଏହା ପାଇଁ, ଆମେ ପାସ୍କାଲର ତ୍ରିଭୁଜରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ପୁନର୍ଲେଖନ କରିବା ପାଇଁ ପୂର୍ବରୁ ଅଧ୍ୟୟନ କରାଯାଇଥିବା ସଂଯୋଜନର ଧାରଣା ବ୍ୟବହାର କରୁ। ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ${ }^{n} C_r=\frac{n !}{r !(n-r) !}, 0 \leq r \leq n$ ଏବଂ $n$ ଏକ ଅଣ-ଋଣାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା। ଆହୁରି ମଧ୍ୟ, ${ }^{n} C_0=1={ }^{n} C_n$ ପାସ୍କାଲର ତ୍ରିଭୁଜକୁ ବର୍ତ୍ତମାନ ଏହିପରି ପୁନର୍ଲେଖନ କରାଯାଇପାରେ (ଚିତ୍ର 7.3)

ଚିତ୍ର 7.3 ପାସ୍କାଲର ତ୍ରିଭୁଜ

ଏହି ନମୁନାକୁ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ କରି, ଆମେ ବର୍ତ୍ତମାନ ପୂର୍ବର ଧାଡ଼ିଗୁଡ଼ିକୁ ଲେଖିବା ବିନା ଯେକୌଣସି ସୂଚକ ପାଇଁ ପାସ୍କାଲର ତ୍ରିଭୁଜର ଧାଡ଼ି ଲେଖିପାରିବା। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ସୂଚକ 7 ପାଇଁ ଧାଡ଼ି ହେବ

$$ { }^{7} C_0 \quad{ }^{7} C_1 \quad{ }^{7} C_2 \quad{ }^{7} C_3 \quad{ }^{7} C_4 \quad{ }^{7} C_5 \quad{ }^{7} C_6 \quad{ }^{7} C_7 $$

ତେଣୁ, ଏହି ଧାଡ଼ି ଏବଂ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ (i), (ii) ଏବଂ (iii) ବ୍ୟବହାର କରି, ଆମେ ପାଇବା

$(a+b)^{7}={ }^{7} C_0 a^{7}+7 C_1 a^{6} b+{ }^{7} C_2 a^{5} b^{2}+{ }^{7} C_3 a^{4} b^{3}+7 C_4 a^{3} b^{4}+{ }^{7} C_5 a^{2} b^{5}+{ }^{7} C_6 a b^{6}+{ }^{7} C_7 b^{7}$

ଏକ ଦ୍ଵିପଦର ବିସ୍ତାରକୁ ଯେକୌଣସି ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ସୂଚକ ଯେପରିକି $n$ କୁ ବର୍ତ୍ତମାନ ଏହି ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣଗୁଡ଼ିକ ବ୍ୟବହାର କରି କଳ୍ପନା କରାଯାଇପାରିବ। ଆମେ ବର୍ତ୍ତମାନ ଯେକୌଣସି ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା ସୂଚକ ପାଇଁ ଏକ ଦ୍ଵିପଦର ବିସ୍ତାର ଲେଖିବାର ସ୍ଥିତିରେ ଅଛୁ।

7.2.1 ଯେକୌଣସି ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା $n$ ପାଇଁ ଦ୍ଵିପଦ ଉପପାଦ୍ୟ,

$ (a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+{ }^{n} C _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{n} C_n b^{n} $

ପ୍ରମାଣ ପ୍ରମାଣଟି ଗାଣିତିକ ଆଗମନର ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ପ୍ରୟୋଗ କରି ପ୍ରାପ୍ତ ହୋଇଛି।

ଦିଆଯାଇଥିବା ଉକ୍ତିଟି ହେଉ

$ P(n):(a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+{ }^{n} C _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{n} C_n b^{n} $

$n=1$ ପାଇଁ, ଆମେ ପାଇବା

$ P(1):(a+b)^{1}={ }^{1} C_0 a^{1}+{ }^{1} C_1 b^{1}=a+b $

ତେଣୁ, $P(1)$ ସତ୍ୟ ଅଟେ।

ଧରାଯାଉ କିଛି ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା $k$ ପାଇଁ $P(k)$ ସତ୍ୟ ଅଟେ, ଅର୍ଥାତ୍

$ (a+b)^{k}={ }^{k} C_0 a^{k}+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C_k b^{k} $

ଆମେ ପ୍ରମାଣ କରିବା ଯେ $P(k+1)$ ମଧ୍ୟ ସତ୍ୟ ଅଟେ, ଅର୍ଥାତ୍,

$ (a+b)^{k+1}={ }^{k+1} C_0 a^{k+1}+{ }^{k+1} C_1 a^{k} b+{ }^{k+1} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k+1} C_{k+1} b^{k+1} $

ବର୍ତ୍ତମାନ, $(a+b)^{k+1}=(a+b)(a+b)^{k}$ $ =(a+b)({ }^{k} C_0 a^{k}+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C_{k-1} a b^{k-1}+{ }^{k} C_k b^{k}) [\text{from}(1)] $ $={ }^{k} C_0 a^{k+1}+{ }^{k} C_1 a^{k} b+{ }^{k} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C _{k-1} a^{2} b^{k-1}+{ }^{k} C_k a b^{k}+{ }^{k} C_0 a^{k} b$ $+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b^{2}+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{3}+\ldots+{ }^{k} C _{k-1} a b^{k}+{ }^{k} C_k b^{k+1}$ [ପ୍ରକୃତ ଗୁଣନ ଦ୍ୱାରା] $={ }^{k} C_0 a^{k+1}+({ }^{k} C_1+{ }^{k} C_0) a^{k} b+({ }^{k} C_2+{ }^{k} C_1) a^{k-1} b^{2}+\ldots$ $+({ }^{k} C_k+{ }^{k} C _{k-1}) a b^{k}+{ }^{k} C_k b^{k+1} \quad$ [ସଦୃଶ ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ଗୋଠିତ କରି] $={ }^{k+1} C_0 a^{k+1}+{ }^{k+1} C_1 a^{k} b+{ }^{k+1} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k+1} C_k a b^{k}+{ }^{k+1} C _{k+1} b^{k+1}$ (${ }^{k+1} C_0=1,{ }^{k} C_r+{ }^{k} C _{r-1}={ }^{k+1} C_r \quad$ ଏବଂ $\quad{ }^{k} C_k=1={ }^{k+1} C _{k+1}$ ବ୍ୟବହାର କରି)

ତେଣୁ, ଏହା ପ୍ରମାଣିତ ହୋଇଛି ଯେ ଯେତେବେଳେ $P(k)$ ସତ୍ୟ ହୁଏ, ସେତେବେଳେ $P(k+1)$ ସତ୍ୟ ହୁଏ। ତେଣୁ, ଗାଣିତିକ ଆଗମନର ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଅନୁସାରେ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ଧନାତ୍ମକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା $n$ ପାଇଁ $P(n)$ ସତ୍ୟ ଅଟେ।

ଆମେ $(x+2)^{6}$ କୁ ବିସ୍ତାର କରି ଏହି ଉପପାଦ୍ୟକୁ ଦର୍ଶାଉଛୁ:

$ \begin{aligned} (x+2)^{6} & ={ }^{6} C_0 x^{6}+{ }^{6} C_1 x^{5} \cdot 2+{ }^{6} C_2 x^{4} 2^{2}+{ }^{6} C_3 x^{3} \cdot 2^{3}+{ }^{6} C_4 x^{2} \cdot 2^{4}+{ }^{6} C_5 x \cdot 2^{5}+{ }^{6} C_6 \cdot 2^{6} . \\ & =x^{6}+12 x^{5}+60 x^{4}+160 x^{3}+240 x^{2}+192 x+64 \end{aligned} $

ତେଣୁ $(x+2)^{6}=x^{6}+12 x^{5}+60 x^{4}+160 x^{3}+240 x^{2}+192 x+64$.

ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣଗୁଡ଼ିକ

1. ସଙ୍କେତ $\sum_{k=0}^{n}{ }^{n} C_k a^{n-k} b^{k}$ ନିମ୍ନଲିଖିତ ପାଇଁ ଠିଆ ହୋଇଛି

${ }^{n} C_0 a^{n} b^{0}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b^{1}+\ldots+{ }^{n} C_r a^{n-r} b^{r}+\ldots+{ }^{n} C_n a^{n-n} b^{n}$, ଯେଉଁଠାରେ $b^{0}=1=a^{n-n}$.

ତେଣୁ ଉପପାଦ୍ୟକୁ ଏହିପରି ମଧ୍ୟ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରେ

$$ (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{ }^{n} \mathrm{C} _{k} a^{n-k} b^{k} $$

2. ଦ୍ଵିପଦ ଉପପାଦ୍ୟରେ ଘଟୁଥିବା ଗୁଣାଙ୍କ ${ }^{n} C_r$ ଗୁଡ଼ିକୁ ଦ୍ଵିପଦ ଗୁଣାଙ୍କ ଭାବରେ ଜଣାଶୁଣା।

3. $(a+b)^{n}$ ର ବିସ୍ତାରରେ $(n+1)$ ଟି ପଦ ଅଛି, ଅର୍ଥାତ୍ ସୂଚକଠାରୁ ଗୋଟିଏ ଅଧିକ।

4. ବିସ୍ତାରର କ୍ରମାଗତ ପଦଗୁଡ଼ିକରେ $a$ ର ସୂଚକ ଏକକ କରି ହ୍ରାସ ପାଇଥାଏ। ଏହା ପ୍ରଥମ ପଦରେ $n$, ଦ୍ୱିତୀୟ ପଦରେ $(n-1)$, ଏବଂ ଏହିପରି ଶେଷ ପଦରେ ଶୂନ୍ୟ ସହିତ ଶେଷ ହୁଏ। ସମାନ ସମୟରେ $b$ ର ସୂଚକ ଏକକ କରି ବୃଦ୍ଧି ପାଇଥାଏ, ପ୍ରଥମ ପଦରେ ଶୂନ୍ୟ ସହିତ ଆରମ୍ଭ ହୋଇ, ଦ୍ୱିତୀୟରେ 1 ଏବଂ ଏହିପରି ଶେଷ ପଦରେ $n$ ସହିତ ଶେଷ ହୁଏ।

5. $(a+b)^{n}$ ର ବିସ୍ତାରରେ, $a$ ଏବଂ $b$ ର ସୂଚକଗୁଡ଼ିକର ଯୋଗଫଳ ପ୍ରଥମ ପଦରେ $n+0=n$, ଦ୍ୱିତୀୟ ପଦରେ $(n-1)+1=n$ ଏବଂ ଏହିପରି ଶେଷ ପଦରେ $0+n=n$ ଅଟେ। ତେଣୁ, ଏହା ଦେଖାଯାଇପାରେ ଯେ ବିସ୍ତାରର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦରେ $a$ ଏବଂ $b$ ର ସୂଚକଗୁଡ଼ିକର ଯୋଗଫଳ $n$ ଅଟେ।

7.2.2 କିଛି ବିଶେଷ କେସ

$(a+b)^{n}$ ର ବିସ୍ତାରରେ,

(i) $a=x$ ଏବଂ $b=-y$ ନେଇ, ଆମେ ପାଇବା

$ \begin{aligned} (x-y)^{n} & =[x+(-y)]^{n} \\ & ={ }^{n} C_0 x^{n}+{ }^{n} C_1 x^{n-1}(-y)+{ }^{n} C_2 x^{n-2}(-y)^{2}+{ }^{n} C_3 x^{n-3}(-y)^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n(-y)^{n} \\ & ={ }^{n} C_0 x^{n}-{ }^{n} C_1 x^{n-1} y+{ }^{n} C_2 x^{n-2} y^{2}-{ }^{n} C_3 x^{n-3} y^{3}+\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n y^{n} \end{aligned} $

ତେଣୁ $(x-y)^{n}={ }^{n} C_0 x^{n}-{ }^{n} C_1 x^{n-1} y+{ }^{n} C_2 x^{n-2} y^{2}+\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n y^{n}$

ଏହାକୁ ବ୍ୟବହାର କରି, ଆମେ ପାଇବା $\quad(x-2 y)^{5}={ }^{5} C_0 x^{5}-{ }^{5} C_1 x^{4}(2 y)+{ }^{5} C_2 x^{3}(2 y)^{2}-{ }^{5} C_3 x^{2}(2 y)^{3}+$

$ \begin{aligned} & { }^{5} C_4 x(2 y)^{4}-{ }^{5} C_5(2 y)^{5} \\ = & x^{5}-10 x^{4} y+40 x^{3} y^{2}-80 x^{2} y^{3}+80 x y^{4}-32 y^{5} . \end{aligned} $

(ii) $a=1, b=x$ ନେଇ, ଆମେ ପାଇବା

$ \begin{gathered} (1+x)^{n}={ }^{n} C_0(1)^{n}+{ }^{n} C_1(1)^{n-1} x+{ }^{n} C_2(1)^{n-2} x^{2}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n} \\ ={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}+{ }^{n} C_3 x^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n} \end{gathered} $

ତେଣୁ $\quad(1+x)^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}+{ }^{n} C_3 x^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n}$

ବିଶେଷ ଭାବରେ, $x=1$ ପାଇଁ, ଆମେ ପାଇବା

$ 2^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1+{ }^{n} C_2+\ldots+{ }^{n} C_n $

(iii) $a=1, b=-x$ ନେଇ, ଆମେ ପାଇବା

$ (1-x)^{n}={ }^{n} C_0-{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}-\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n x^{n} $

ବିଶେଷ ଭାବରେ, $x=1$ ପାଇଁ, ଆମେ ପାଇବା

$ 0={ }^{n} C_0-{ }^{n} C_1+{ }^{n} C_2-\ldots+(-1)^{n}{ }^{n} C_n $

ଉଦାହରଣ 1 $(x^{2}+\frac{3}{x})^{4}, x \neq 0$ କୁ ବିସ୍ତାର କର

ସମାଧାନ ଦ୍ଵିପଦ ଉପପାଦ୍ୟ ବ୍ୟବହାର କରି, ଆମେ ପାଇବା

$ \begin{aligned} x^{2}+\frac{3}{x} & ={ }^{4} C_0(x^{2})^{4}+{ }^{4} C_1(x^{2})^{3}(\frac{3}{x})+{ }^{4} C_2(x^{2})^{2}(\frac{3}{x})^{2}+{ }^{4} C_3(x^{2})(\frac{3}{x})^{3}+{ }^{4} C_4(\frac{3}{x})^{4} \\ & =x^{8}+4 \cdot x^{6} \cdot \frac{3}{x}+6 \cdot x^{4} \cdot \frac{9}{x^{2}}+4 \cdot x^{2} \cdot \frac{27}{x^{3}}+\frac{81}{x^{4}} \\ & =x^{8}+12 x^{5}+54 x^{2}+\frac{108}{x}+\frac{81}{x^{4}} . \end{aligned} $

ଉଦାହରଣ 2 $(98)^{5}$ ଗଣନା କର।

ସମାଧାନ ଆମେ 98 କୁ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାର ଯୋଗଫଳ କିମ୍ବା ପାର୍ଥକ୍ୟ ଭାବରେ ପ୍ରକାଶ କରୁ ଯାହାର ଘାତଗୁଡ଼ିକ ଗଣନା କରିବା ସହଜ, ଏବଂ ତା’ପରେ ଦ୍ଵିପଦ ଉପପାଦ୍ୟ ବ୍ୟବହାର କରୁ।

ଲେଖ $98=100-2$

ତେଣୁ, $(98)^{5}=(100-2)^{5}$ $ \begin{aligned} = & { }^{5} C_0(100)^{5}-{ }^{5} C_1(100)^{4} .2+{ }^{5} C_2(100)^{3} 2^{2} \\ & -{ }^{5} C_3(100)^{2}(2)^{3}+{ }^{5} C_4(100)(2)^{4}-{ }^{5} C_5(2)^{5} \\ = & 10000000000-5 \times 100000000 \times 2+10 \times 1000000 \times 4-10 \times 10000 \\ & \times 8+5 \times 100 \times 16-32 \\ = & 10040008000-1000800032=9039207968 . \end{aligned} $

ଉଦାହରଣ 3 କେଉଁଟି ବଡ଼ (1.01) ${ }^{1000000}$ କି 10,000 ?

ସମାଧାନ 1.01 କୁ ବିଭକ୍ତ କରି ଏବଂ ପ୍ରଥମ କିଛି ପଦ ଲେଖିବା ପାଇଁ ଦ୍ଵିପଦ ଉପପାଦ୍ୟ ବ୍ୟବହାର କରି ଆମେ ପାଇବା

$ \begin{aligned} (1.01)^{1000000} & =(1+0.01)^{1000000} \\ & ={ }^{1000000} C_0+{ }^{1000000} C_1(0.01)+\text{ other positive terms } \\ & =1+1000000 \times 0.01+\text{ other positive terms } \\