8.1 ପରିଚୟ

ଗଣିତରେ, “ଅନୁକ୍ରମ” ଶବ୍ଦଟି ସାଧାରଣ ଇଂରାଜୀ ଭାଷା ଭଳି ଭାବରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ। ଯେତେବେଳେ ଆମେ କହୁ ଯେ ବସ୍ତୁଗୁଡ଼ିକର ଏକ ସଂଗ୍ରହ ଏକ ଅନୁକ୍ରମରେ ତାଲିକାଭୁକ୍ତ ହୋଇଛି, ସାଧାରଣତଃ ଆମର ଅର୍ଥ ହେଉଛି ସଂଗ୍ରହଟି ଏପରି ଏକ କ୍ରମରେ ସଜ୍ଜିତ ଯେ ଏଥିରେ ଏକ ଚିହ୍ନିତ ପ୍ରଥମ ସଦସ୍ୟ, ଦ୍ୱିତୀୟ ସଦସ୍ୟ, ତୃତୀୟ ସଦସ୍ୟ ଇତ୍ୟାଦି ଅଛନ୍ତି। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ବିଭିନ୍ନ ସମୟରେ ମନୁଷ୍ୟ କିମ୍ବା ଜୀବାଣୁଙ୍କ ଜନସଂଖ୍ୟା ଏକ ଅନୁକ୍ରମ ଗଠନ କରେ। ଏକ ବ୍ୟାଙ୍କରେ ଜମା କରାଯାଇଥିବା ଟଙ୍କାର ପରିମାଣ, ଅନେକ ବର୍ଷ ଧରି ଏକ ଅନୁକ୍ରମ ଗଠନ କରେ। ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ପଣ୍ୟଦ୍ରବ୍ୟର ହ୍ରାସପ୍ରାପ୍ତ ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ଏକ ଅନୁକ୍ରମରେ ଘଟେ। ମାନବ କାର୍ଯ୍ୟକଳାପର ଅନେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଅନୁକ୍ରମର ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ପ୍ରୟୋଗ ଅଛି।

ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ନମୁନା ଅନୁସରଣ କରୁଥିବା ଅନୁକ୍ରମଗୁଡ଼ିକୁ ପ୍ରଗତି କୁହାଯାଏ। ପୂର୍ବବର୍ତ୍ତୀ ଶ୍ରେଣୀରେ, ଆମେ ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି (A.P.) ବିଷୟରେ ଅଧ୍ୟୟନ କରିଛୁ। ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ, A.P. ବିଷୟରେ ଅଧିକ ଆଲୋଚନା କରିବା ସହିତ; ସମାନ୍ତର ମାଧ୍ୟମ, ଗୁଣୋତ୍ତର ମାଧ୍ୟମ, A.M. ଏବଂ G.M. ମଧ୍ୟରେ ସମ୍ପର୍କ, କ୍ରମିକ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଯୋଗଫଳରେ $n$ ପଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ, ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ବର୍ଗର ଯୋଗଫଳରେ $n$ ପଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଏବଂ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଘନର ଯୋଗଫଳରେ $n$ ପଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ରୂପରେ ବିଶେଷ ଶ୍ରେଣୀ ମଧ୍ୟ ଅଧ୍ୟୟନ କରାଯିବ।

8.2 ଅନୁକ୍ରମ

ଆସନ୍ତୁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଉଦାହରଣଗୁଡ଼ିକୁ ବିଚାର କରିବା:

ଧରାଯାଉ ଯେ 30 ବର୍ଷର ଏକ ପିଢ଼ି ବ୍ୟବଧାନ ଅଛି, ଆମକୁ 300 ବର୍ଷ ମଧ୍ୟରେ ଜଣେ ବ୍ୟକ୍ତିର କେତେ ଜଣ ପୂର୍ବପୁରୁଷ, ଅର୍ଥାତ୍ ପିତାମାତା, ଜେଜେବାପା-ଜେଜେମା, ପ୍ରପିତାମହ-ପ୍ରପିତାମହୀ, ଇତ୍ୟାଦି ଥାଇପାରନ୍ତି ସେହି ସଂଖ୍ୟା ଖୋଜିବାକୁ କୁହାଯାଇଛି।

ଏଠାରେ, ମୋଟ ପିଢ଼ି ସଂଖ୍ୟା $=\frac{300}{30}=10$

ପ୍ରଥମ, ଦ୍ୱିତୀୟ, ତୃତୀୟ, …, ଦଶମ ପିଢ଼ି ପାଇଁ ବ୍ୟକ୍ତିର ପୂର୍ବପୁରୁଷଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି $2,4,8,16,32, \ldots, 1024$। ଏହି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକ ଆମେ ଯାହାକୁ ଅନୁକ୍ରମ କହୁ ତାହା ଗଠନ କରେ।

3 ଦ୍ୱାରା 10 ର ବିଭାଜନର ବିଭିନ୍ନ ପଦକ୍ଷେପରେ ଆମେ ଯେଉଁ କ୍ରମିକ ଭାଗଫଳଗୁଡ଼ିକ ପାଇଥାଉ ତାହା ବିଚାର କରିବା। ଏହି ପ୍ରକ୍ରିୟାରେ ଆମେ $3,3.3,3.33,3.333, \ldots$ ଇତ୍ୟାଦି ପାଇଥାଉ। ଏହି ଭାଗଫଳଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟ ଏକ ଅନୁକ୍ରମ ଗଠନ କରେ। ଏକ ଅନୁକ୍ରମରେ ଘଟୁଥିବା ବିଭିନ୍ନ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକୁ ଏହାର ପଦ କୁହାଯାଏ। ଆମେ ଏକ ଅନୁକ୍ରମର ପଦଗୁଡ଼ିକୁ $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$, ଇତ୍ୟାଦି ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରୁ, ସବସ୍କ୍ରିପ୍ଟଗୁଡ଼ିକ ପଦର ସ୍ଥାନକୁ ସୂଚିତ କରେ। $n^{\text{th }}$ ପଦଟି ହେଉଛି ଅନୁକ୍ରମର $n^{\text{th }}$ ସ୍ଥାନରେ ଥିବା ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ଏହାକୁ $a_n$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ। $n^{\text{th }}$ ପଦଟିକୁ ଅନୁକ୍ରମର ସାଧାରଣ ପଦ ମଧ୍ୟ କୁହାଯାଏ।

ତେଣୁ, ଉପରେ ଉଲ୍ଲେଖିତ ବ୍ୟକ୍ତିର ପୂର୍ବପୁରୁଷଙ୍କ ଅନୁକ୍ରମର ପଦଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି:

$$ a_1=2, a_2=4, a_3=8, \ldots, a _{10}=1024 $$

ସେହିପରି, କ୍ରମିକ ଭାଗଫଳର ଉଦାହରଣରେ

$$ a_1=3, a_2=3.3, a_3=3.33, \ldots, a_6=3.33333 \text{, etc. } $$

ସୀମିତ ସଂଖ୍ୟକ ପଦ ଧାରଣ କରୁଥିବା ଏକ ଅନୁକ୍ରମକୁ ସୀମିତ ଅନୁକ୍ରମ କୁହାଯାଏ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ପୂର୍ବପୁରୁଷଙ୍କ ଅନୁକ୍ରମ ଏକ ସୀମିତ ଅନୁକ୍ରମ କାରଣ ଏଥିରେ 10 ଟି ପଦ ଅଛି (ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସଂଖ୍ୟା)।

ଏକ ଅନୁକ୍ରମକୁ ଅନନ୍ତ କୁହାଯାଏ, ଯଦି ଏହା ଏକ ସୀମିତ ଅନୁକ୍ରମ ନୁହେଁ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଉପରେ ଉଲ୍ଲେଖିତ କ୍ରମିକ ଭାଗଫଳର ଅନୁକ୍ରମ ଏକ ଅନନ୍ତ ଅନୁକ୍ରମ, ଅନନ୍ତ ଏହି ଅର୍ଥରେ ଯେ ଏହା କେବେ ଶେଷ ହୁଏ ନାହିଁ।

ପ୍ରାୟତଃ, ଏକ ଅନୁକ୍ରମର ବିଭିନ୍ନ ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ବୀଜଗାଣିତିକ ସୂତ୍ର ମାଧ୍ୟମରେ ପ୍ରକାଶ କରିବାର ନିୟମକୁ ପ୍ରକାଶ କରିବା ସମ୍ଭବ ହୁଏ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଯୁଗ୍ମ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଅନୁକ୍ରମ $2,4,6, \ldots$ କୁ ବିଚାର କରିବା

$ \begin{aligned} & \text{ ଏଠାରେ } \quad a_1=2=2 \times 1 \quad a_2=4=2 \times 2 \\ & a_3=6=2 \times 3 \quad a_4=8=2 \times 4 \\ &\ldots & \ldots . & \ldots . & \ldots . & \ldots . & \ldots\\ & a _{23}=46=2 \times 23, a _{24}=48=2 \times 24 \text{, ଏବଂ ଏହିପରି ଅନ୍ୟାନ୍ୟ। } \end{aligned} $

ପ୍ରକୃତରେ, ଆମେ ଦେଖୁ ଯେ ଏହି ଅନୁକ୍ରମର $n^{\text{th }}$ ପଦଟି $a_n=2 n$ ଭାବରେ ଲେଖାଯାଇପାରିବ, ଯେଉଁଠାରେ $n$ ଏକ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟା। ସେହିପରି, ଅଯୁଗ୍ମ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଅନୁକ୍ରମ $1,3,5, \ldots$ ରେ, $n^{\text{th }}$ ପଦଟି $a_n=2 n-1$ ସୂତ୍ର ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଇଛି, ଯେଉଁଠାରେ $n$ ଏକ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟା। କେତେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ, $1,1,2,3,5,8, .$ ପରି ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଏକ ବ୍ୟବସ୍ଥାର କୌଣସି ଦୃଶ୍ୟମାନ ନମୁନା ନଥାଏ, କିନ୍ତୁ ଅନୁକ୍ରମଟି ନିମ୍ନଲିଖିତ ପୁନରାବୃତ୍ତି ସମ୍ପର୍କ ଦ୍ୱାରା ଉତ୍ପନ୍ନ ହୁଏ

$$ \begin{aligned} & a_1=a_2=1 \\ & a_3=a_1+a_2 \\ & a_n=a _{n-2}+a _{n-1}, n>2 \end{aligned} $$

ଏହି ଅନୁକ୍ରମକୁ ଫିବୋନାକି ଅନୁକ୍ରମ କୁହାଯାଏ।

ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଅନୁକ୍ରମ $2,3,5,7, \ldots$ ରେ, ଆମେ ଦେଖୁ ଯେ $n^{\text{th }}$ ମୌଳିକ ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ କୌଣସି ସୂତ୍ର ନାହିଁ। ଏପରି ଅନୁକ୍ରମକୁ କେବଳ ମୌଖିକ ବର୍ଣ୍ଣନା ଦ୍ୱାରା ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଯାଇପାରିବ।

ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନୁକ୍ରମରେ, ଆମେ ଆଶା କରିବା ଉଚିତ ନୁହେଁ ଯେ ଏହାର ପଦଗୁଡ଼ିକ ଅବଶ୍ୟ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସୂତ୍ର ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯିବ। ତଥାପି, ଆମେ ଏକ ତାତ୍ତ୍ୱିକ ଯୋଜନା କିମ୍ବା ପଦଗୁଡ଼ିକୁ $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ କ୍ରମାନ୍ୱୟରେ ଉତ୍ପାଦନ କରିବାର ଏକ ନିୟମ ଆଶା କରୁ।

ଉପରୋକ୍ତ ଦୃଷ୍ଟିରୁ, ଏକ ଅନୁକ୍ରମକୁ ଏକ ଫଳନ ଭାବରେ ବିବେଚନା କରାଯାଇପାରେ ଯାହାର ପ୍ରାଦେଶିକ ସେଟ୍ ପ୍ରାକୃତିକ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ସେଟ୍ କିମ୍ବା ${1,2,3, \ldots . k}$ ପ୍ରକାରର କିଛି ଉପସେଟ୍। ବେଳେବେଳେ, ଆମେ $a_n$ ପାଇଁ ଫଳନ ସଙ୍କେତ a(n) ବ୍ୟବହାର କରୁ।

8.3 ଶ୍ରେଣୀ

ମନେକର $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$, ଏକ ଦିଆଯାଇଥିବା ଅନୁକ୍ରମ ହେଉ। ତେବେ, ପ୍ରକାଶନ $ a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n+\ldots $ କୁ ଦିଆଯାଇଥିବା ଅନୁକ୍ରମ ସହିତ ସମ୍ବନ୍ଧିତ ଶ୍ରେଣୀ କୁହାଯାଏ। ଶ୍ରେଣୀଟି ସୀମିତ କିମ୍ବା ଅନନ୍ତ ହେଉଛି ଯେପରି ଦିଆଯାଇଥିବା ଅନୁକ୍ରମଟି ସୀମିତ କିମ୍ବା ଅନନ୍ତ। ଶ୍ରେଣୀଗୁଡ଼ିକୁ ପ୍ରାୟତଃ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ରୂପରେ, ସିଗ୍ମା ସଙ୍କେତ ଭାବରେ, ଗ୍ରୀକ୍ ଅକ୍ଷର $\sum$ (ସିଗ୍ମା) ବ୍ୟବହାର କରି ପ୍ରଦର୍ଶିତ କରାଯାଏ, ଯାହା ଜଡ଼ିତ ସମଷ୍ଟିକୁ ସୂଚିତ କରିବାର ଏକ ମାଧ୍ୟମ ଭାବରେ। ତେଣୁ, ଶ୍ରେଣୀ $a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n$ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଭାବରେ $\sum_{k=1}^{n} a_k$ ରୂପେ ଲେଖାଯାଏ।

ଟିପ୍ପଣୀ ଯେତେବେଳେ ଶ୍ରେଣୀ ଶବ୍ଦଟି ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ, ଏହା ସୂଚିତ ଯୋଗଫଳକୁ ବୁଝାଏ ନାହିଁ ବରଂ ଯୋଗଫଳକୁ ନିଜେ ବୁଝାଏ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, $1+3+5+7$ ହେଉଛି ଚାରି ପଦ ସହିତ ଏକ ସୀମିତ ଶ୍ରେଣୀ। ଯେତେବେଳେ ଆମେ “ଏକ ଶ୍ରେଣୀର ଯୋଗଫଳ” ବାକ୍ୟାଂଶଟି ବ୍ୟବହାର କରୁ, ଆମର ଅର୍ଥ ହେବ ସେହି ସଂଖ୍ୟା ଯାହା ପଦଗୁଡ଼ିକୁ ଯୋଗ କରି ପ୍ରାପ୍ତ ହୁଏ, ଶ୍ରେଣୀର ଯୋଗଫଳ 16 ଅଟେ।

ଆମେ ବର୍ତ୍ତମାନ କିଛି ଉଦାହରଣ ବିଚାର କରିବା।

ଉଦାହରଣ 1 ନିମ୍ନଲିଖିତ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନୁକ୍ରମରେ ପ୍ରଥମ ତିନୋଟି ପଦ ଲେଖ ଯାହା ନିମ୍ନଲିଖିତ ଦ୍ୱାରା ସଂଜ୍ଞିତ:

(i) $a_n=2 n+5$,

(ii) $a_n=\frac{n-3}{4}$.

ସମାଧାନ (i) ଏଠାରେ $a_n=2 n+5$

$n=1,2,3$ ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ କରି, ଆମେ ପାଇବା $ a_1=2(1)+5=7, a_2=9, a_3=11 $

ତେଣୁ, ଆବଶ୍ୟକୀୟ ପଦଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି 7, 9 ଏବଂ 11।

(ii) ଏଠାରେ $a_n=\frac{n-3}{4}$। ତେଣୁ, $a_1=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}, a_2=-\frac{1}{4}, a_3=0$

ତେଣୁ, ପ୍ରଥମ ତିନୋଟି ପଦ ହେଉଛି $-\frac{1}{2},-\frac{1}{4}$ ଏବଂ 0।

ଉଦାହରଣ 2 ଅନୁକ୍ରମର $20^{\text{th }}$ ପଦ କ’ଣ ଯାହା ଦ୍ୱାରା ସଂଜ୍ଞିତ $ a_n=(n-1)(2-n)(3+n) ? $ ସମାଧାନ $n=20$ ରଖି, ଆମେ ପାଇବା

$$ \begin{aligned} a _{20} & =(20-1)(2-20)(3+20) \\ & =19 \times(-18) \times(23) \\ &
=-7866 . \end{aligned} $$

ଉଦାହରଣ 3 ମନେକର ଅନୁକ୍ରମ $a_n$ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଭାବରେ ସଂଜ୍ଞିତ ହୋଇଛି:

$$ a_1=1, a_n=a _{n-1}+2 \text{ for } n \geq 2 \text{. } $$

ପ୍ରଥମ ପାଞ୍ଚଟି ପଦ ଖୋଜ ଏବଂ ସମ୍ବନ୍ଧିତ ଶ୍ରେଣୀ ଲେଖ।

ସମାଧାନ ଆମ ପାଖରେ ଅଛି

$ \begin{aligned} & a_1=1, a_2=a_1+2=1+2=3, a_3=a_2+2=3+2=5, \\ & a_4=a_3+2=5+2=7, a_5=a_4+2=7+2=9 . \end{aligned} $

ତେଣୁ, ଅନୁକ୍ରମର ପ୍ରଥମ ପାଞ୍ଚଟି ପଦ ହେଉଛି $1,3,5,7$ ଏବଂ 9। ସମ୍ବନ୍ଧିତ ଶ୍ରେଣୀ ହେଉଛି $1+3+5+7+9+\ldots$

8.4 ଗୁଣୋତ୍ତର ପ୍ରଗତି (G. P.)

ଆସନ୍ତୁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଅନୁକ୍ରମଗୁଡ଼ିକୁ ବିଚାର କରିବା:

(i) $2,4,8,16, \ldots$,

(ii) $\frac{1}{9}, \frac{-1}{27}, \frac{1}{81}, \frac{-1}{243}$

(iii) $.01, .0001, .000001, \ldots$

ଏହି ପ୍ରତ୍ୟେକ ଅନୁକ୍ରମରେ, ସେମାନଙ୍କର ପଦଗୁଡ଼ିକ କିପରି ଅଗ୍ରସର ହୁଏ? ଆମେ ଲକ୍ଷ୍ୟ କରୁ ଯେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦ, ପ୍ରଥମକୁ ଛାଡ଼ି, ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ କ୍ରମରେ ଅଗ୍ରସର ହୁଏ।

(i) ରେ, ଆମ ପାଖରେ ଅଛି $a_1=2, \frac{a_2}{a_1}=2, \frac{a_3}{a_2}=2, \frac{a_4}{a_3}=2$ ଏବଂ ଏହିପରି ଅନ୍ୟାନ୍ୟ।

(ii) ରେ, ଆମେ ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ କରୁ, $a_1=\frac{1}{9}, \frac{a_2}{a_1}=\frac{1}{3}, \frac{a_3}{a_2}=\frac{1}{3}, \frac{a_4}{a_3}=\frac{1}{3}$ ଏବଂ ଏହିପରି ଅନ୍ୟାନ୍ୟ।

ସେହିପରି, କହ ଯେ (iii) ରେ ପଦଗୁଡ଼ିକ କିପରି ଅଗ୍ରସର ହୁଅନ୍ତି? ପର୍ଯ୍ୟବେକ୍ଷଣ କରାଯାଏ ଯେ ପ୍ରତ୍ୟେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ, ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦ ପ୍ରଥମ ପଦକୁ ଛାଡ଼ି, ତାହାର ତୁରନ୍ତ ପୂର୍ବବର୍ତ୍ତୀ ପଦ ସହିତ ଏକ ସ୍ଥିର ଅନୁପାତ ରଖେ। (i) ରେ, ଏହି ସ୍ଥିର ଅନୁପାତ ହେଉଛି 2; (ii) ରେ, ଏହା $-\frac{1}{3}$ ଏବଂ (iii) ରେ, ସ୍ଥିର ଅନୁପାତ ହେଉଛି 0.01। ଏପରି ଅନୁକ୍ରମଗୁଡ଼ିକୁ ଗୁଣୋତ୍ତର ଅନୁକ୍ରମ କିମ୍ବା ଗୁଣୋତ୍ତର ପ୍ରଗତି କୁହାଯାଏ ଯାହାକୁ G.P. ଭାବରେ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ କରାଯାଏ।

ଏକ ଅନୁକ୍ରମ $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$ କୁ ଗୁଣୋତ୍ତର ପ୍ରଗତି କୁହାଯାଏ, ଯଦି ପ୍ରତ୍ୟେକ ପଦ ଅଣ-ଶୂନ୍ୟ ଏବଂ $\frac{a_{k+1}}{a_k}=r$ (ସ୍ଥିରାଙ୍କ), $k \geq 1$ ପାଇଁ।

$a_1=a$ ରଖି, ଆମେ ଏକ ଗୁଣୋତ୍ତର ପ୍ରଗତି ପାଇବା, $a, a r, a r^{2}, a r^{3}, \ldots$, ଯେଉଁଠାରେ $a$ କୁ ପ୍ରଥମ ପଦ କୁହାଯାଏ ଏବଂ $r$ କୁ G.P.ର ସାଧାରଣ ଅନୁପାତ କୁହାଯାଏ। ଉପରୋକ୍ତ ଗୁଣୋତ୍ତର ପ୍ରଗତି (i), (ii) ଏବଂ (iii) ରେ ସାଧାରଣ ଅନୁପାତ ଯଥାକ୍ରମେ $2,-\frac{1}{3}$ ଏବଂ 0.01 ଅଟେ।

ସମାନ୍ତର ପ୍ରଗତି କ୍ଷେତ୍ରରେ ଭଳି, ଏକ ଗୁଣୋତ୍ତର ପ୍ରଗତିର $n^{\text{th }}$ ପଦ କିମ୍ବା $n$ ପଦର ଯୋଗଫଳ ଖୋଜିବାର ସମସ୍ୟା ଯାହା ଅନେକ ସଂଖ୍ୟକ ପଦ ଧାରଣ କରେ, ସୂତ୍ରଗୁଡ଼ିକ ବ୍ୟତୀତ କଷ୍ଟକର ହୋଇଥାନ୍ତା ଯାହାକୁ ଆମେ ପରବର୍ତ୍ତୀ ବିଭାଗରେ ବିକଶିତ କରିବୁ। ଆମେ ଏହି ସୂତ୍ରଗୁଡ଼ିକ ସହିତ ନିମ୍ନଲିଖିତ ସଙ୍କେତଗୁଡ଼ିକ ବ୍ୟବହାର କରିବୁ:

$ \begin{aligned} & a=\text{ ପ୍ରଥମ ପଦ, } r=\text{ ସାଧାରଣ ଅନୁପାତ, } l=\text{ ଶେଷ ପଦ, } \\ & n=\text{ ପଦଗୁଡ଼ିକର ସଂଖ୍ୟା, } \\ & S_n=\text{ ପ୍ରଥମ } n \text{ ପଦର ଯୋଗଫଳ। } \end{aligned} $

8.4.1 $a$ G.P.ର ସାଧାରଣ ପଦ

ଆସନ୍ତୁ ପ୍ରଥମ ଅଣ-ଶୂନ୍ୟ ପଦ ‘$a$’ ଏବଂ ସାଧାରଣ ଅନୁପାତ ‘$r$’ ସହିତ ଏକ G.P. ବିଚାର କରିବା। ଏହାର କିଛି ପଦ ଲେଖ। ଦ୍ୱିତୀୟ ପଦଟି $a$ କୁ $r$ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରି ପ୍ରାପ୍ତ ହୁଏ, ତେଣୁ $a_2=a r$। ସେହିପରି, ତୃତୀୟ ପଦଟି $a_2$ କୁ $r$ ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରି ପ୍ରାପ୍ତ ହୁଏ। ତେଣୁ, $a_3=a_2 r=a r^{2}$, ଏବଂ ଏହିପରି ଅନ୍ୟାନ୍ୟ।

ଆମେ ଏହି ଏବଂ ଆଉ କିଛି ପଦ ତଳେ ଲେଖୁଛୁ।

$1^{\text{st }}$ ପଦ $=a_1=a=a r^{1-1}, 2^{\text{nd }}$ ପଦ $=a_2=a r=a r^{2-1}, 3^{\text{rd }}$ ପଦ $=a_3=a r^{2}=a r^{3-1}$ $4^{\text{th }}$ ପଦ $=a_4=a r^{3}=a r^{4-1}, 5^{\text{th }}$ ପଦ $=a_5=a r^{4}=a r^{5-1}$

ଆପଣ ଏକ ନମୁନା ଦେଖୁଛନ୍ତି କି? $16^{\text{th }}$ ପଦ କ’ଣ ହେବ?

$$ a _{16}=a r^{16-1}=a r^{15} $$

ତେଣୁ, ନମୁନାଟି ସୂଚିତ କରେ ଯେ G.P.ର $n^{\text{th }}$ ପଦଟି $a_n=a r^{n-1}$ ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଇଛି। ତେଣୁ, $a$, G.P. ଯଥାକ୍ରମେ G.P. ସୀମିତ କିମ୍ବା ଅନନ୍ତ ହେବା ଅନୁସାରେ $a, a r, a r^{2}, a r^{3}, \ldots a r^{n-1} ; a, a r, a r^{2}, \ldots, a r^{n-1} \ldots ;$ ଭାବରେ ଲେଖାଯାଇପାରିବ। ଶ୍ରେଣୀ $a+a r+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1}$ କିମ୍ବା $a+a r+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1}+\ldots$ ଯଥାକ୍ରମେ ସୀମିତ କିମ୍ବା ଅନନ୍ତ ଗୁଣୋତ୍ତର ଶ୍ରେଣୀ କୁହାଯାଏ।

8.4.2. $n$ ପଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ $a$ G.P.ର ଯୋଗଫଳ

ମନେକର G.P.ର ପ୍ରଥମ ପଦ $a$ ଏବଂ ସାଧାରଣ ଅନୁପାତ $r$ ହେଉ। ଆସନ୍ତୁ G.P.ର ପ୍ରଥମ $n$ ପଦ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଯୋଗଫଳକୁ $S_n$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରିବା। ତେବେ

$$ S_n=a+a^{n}+a r^{2}+\ldots+a r^{n-1} \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $$

କେସ 1 ଯ