ଜ୍ୟାମିତି, ଏକ ତାର୍କିକ ପ୍ରଣାଳୀ ଭାବରେ, ପିଲାମାନଙ୍କୁ ମାନବ ଆତ୍ମାର ଶକ୍ତି ଅନୁଭବ କରାଇବାର ଏକ ସାଧନ ଏବଂ ଏପରିକି ସବୁଠାରୁ ଶକ୍ତିଶାଳୀ ସାଧନ ଅଟେ ଯାହା ସେମାନଙ୍କ ନିଜସ୍ୱ ଆତ୍ମାର ଅଟେ। - H. FREUDENTHAL

9.1 ପରିଚୟ

ଆମେ ପୂର୍ବ ଶ୍ରେଣୀଗୁଡ଼ିକରୁ ଦ୍ୱି-ମାନ ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତି ସହିତ ପରିଚିତ। ମୁଖ୍ୟତଃ, ଏହା ବୀଜଗଣିତ ଏବଂ ଜ୍ୟାମିତିର ଏକ ସମ୍ମିଶ୍ରଣ। ବୀଜଗଣିତର ପ୍ରୟୋଗ ଦ୍ୱାରା ଜ୍ୟାମିତିର ଏକ ବ୍ୟବସ୍ଥିତ ଅଧ୍ୟୟନ ସର୍ବପ୍ରଥମେ ପ୍ରସିଦ୍ଧ ଫରାସୀ ଦାର୍ଶନିକ ଏବଂ ଗଣିତଜ୍ଞ ରେନେ ଡେକାର୍ଟଙ୍କ ଦ୍ୱାରା, 1637 ମସିହାରେ ପ୍ରକାଶିତ ତାଙ୍କର ପୁସ୍ତକ ‘La Géométry’ରେ କରାଯାଇଥିଲା। ଏହି ପୁସ୍ତକ ଏକ ବକ୍ରରେଖାର ସମୀକରଣର ଧାରଣା ଏବଂ ସମ୍ବନ୍ଧିତ ବିଶ୍ଳେଷଣାତ୍ମକ ପଦ୍ଧତିକୁ ଜ୍ୟାମିତି ଅଧ୍ୟୟନରେ ପ୍ରବର୍ତ୍ତନ କରିଥିଲା। ଫଳସ୍ୱରୂପ ବିଶ୍ଳେଷଣ ଏବଂ ଜ୍ୟାମିତିର ସମ୍ମିଶ୍ରଣକୁ ବର୍ତ୍ତମାନ ବିଶ୍ଳେଷଣାତ୍ମକ ଜ୍ୟାମିତି ଭାବରେ କୁହାଯାଏ। ପୂର୍ବ ଶ୍ରେଣୀଗୁଡ଼ିକରେ, ଆମେ ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତିର ଅଧ୍ୟୟନ ଆରମ୍ଭ କରିଥିଲୁ, ଯେଉଁଠାରେ ଆମେ ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ଅକ୍ଷ, ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ତଳ, ଏକ ତଳରେ ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକର ସ୍ଥାନାଙ୍କନ,

ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା, ଖଣ୍ଡ ସୂତ୍ର, ଇତ୍ୟାଦି ବିଷୟରେ ଅଧ୍ୟୟନ କରିଥିଲୁ। ଏହି ସମସ୍ତ ଧାରଣାଗୁଡ଼ିକ ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତିର ମୌଳିକ ଅଟେ।

ଆସନ୍ତୁ ପୂର୍ବ ଶ୍ରେଣୀଗୁଡ଼ିକରେ କରାଯାଇଥିବା ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତିର ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ସ୍ମରଣ କରିବା। ସଂକ୍ଷେପରେ କହିବାକୁ ଗଲେ, XY-ତଳରେ ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ $(6,-4)$ ଏବଂ $(3,0)$ର ସ୍ଥାନ ଚିତ୍ର 9.1ରେ ଦର୍ଶାଯାଇଛି।

ଚିତ୍ର 9.1

ଆମେ ଧ୍ୟାନ ଦେଇପାରିବା ଯେ ବିନ୍ଦୁ $(6,-4)$ ଧନାତ୍ମକ $x$-ଅକ୍ଷ ବରାବର ମାପି $y$-ଅକ୍ଷରୁ 6 ଏକକ ଦୂରତାରେ ଏବଂ ଋଣାତ୍ମକ $y$-ଅକ୍ଷ ବରାବର ମାପି $x$-ଅକ୍ଷରୁ 4 ଏକକ ଦୂରତାରେ ଅଛି। ସେହିପରି, ବିନ୍ଦୁ $(3,0)$ ଧନାତ୍ମକ $x$-ଅକ୍ଷ ବରାବର ମାପି $y$-ଅକ୍ଷରୁ 3 ଏକକ ଦୂରତାରେ ଏବଂ $x$-ଅକ୍ଷରୁ ଶୂନ୍ୟ ଦୂରତାରେ ଅଛି। ସୂତ୍ର:

ଆମେ ସେଠାରେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ସୂତ୍ରଗୁଡ଼ିକୁ ମଧ୍ୟ ଅଧ୍ୟୟନ କରିଥିଲୁ:

I. ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ $P(x_1, y_1)$ ଏବଂ $Q(x_2, y_2)$ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା ହେଉଛି

$ PQ=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}} $

ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ $(6,-4)$ ଏବଂ $(3,0)$ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା ହେଉଛି

$$ \sqrt{(3-6)^{2}+(0+4)^{2}}=\sqrt{9+16}=5 \text{ units. } $$

II. ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ $(x_1, y_1)$ ଏବଂ $(x_2, y_2)$କୁ ଯୋଗକରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ ଆଭ୍ୟନ୍ତରୀଣ ଭାବରେ, ଅନୁପାତ $m: n$ରେ ବିଭାଜିତ କରୁଥିବା ଏକ ବିନ୍ଦୁର ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ହେଉଛି $(\frac{m x_2+n x_1}{m+n}, \frac{m y_2+n y_1}{m+n})$।

ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, A $(1,-3)$ ଏବଂ $B(-3,9)$କୁ ଯୋଗକରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡକୁ ଆଭ୍ୟନ୍ତରୀଣ ଭାବରେ, ଅନୁପାତ $1: 3$ରେ ବିଭାଜିତ କରୁଥିବା ବିନ୍ଦୁର ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ $x=\frac{1 .(-3)+3.1}{1+3}=0$ $\text{ and } y=\frac{1.9+3 \cdot(-3)}{1+3}=0$ ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଏ।

III. ବିଶେଷ କରି, ଯଦି $m=n$, ତେବେ ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ $(x_1, y_1)$ ଏବଂ $(x_2, y_2)$କୁ ଯୋଗକରୁଥିବା ରେଖାଖଣ୍ଡର ମଧ୍ୟବିନ୍ଦୁର ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ହେଉଛି $(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$।

IV. ଯାହାର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ $(x _{1,} y_1),(x_2, y_2)$, $(x_3, y_3)$ ଏବଂ $\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)| .$ ଅଟେ ସେହି ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ହେଉଛି

$(4,4),(3,-2)$

ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଯାହାର ଶୀର୍ଷବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ $(-3,16)$, $ABC$ ଏବଂ $A, B$ ଅଟେ ସେହି ତ୍ରିଭୁଜର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ହେଉଛି

$ \frac{1}{2}|4(-2-16)+3(16-4)+(-3)(4+2)|=\frac{|-54|}{2}=27 $

ଟିପ୍ପଣୀ ଯଦି ତ୍ରିଭୁଜ $C$ର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଶୂନ୍ୟ ହୁଏ, ତେବେ ତିନୋଟି ବିନ୍ଦୁ $x$, $\theta$ ଏବଂ $l$ ଏକ ରେଖା ଉପରେ ଅବସ୍ଥିତ ହୁଅନ୍ତି, ଅର୍ଥାତ୍ ସେମାନେ ସମରେଖୀୟ ଅଟନ୍ତି।

ଏହି ଅଧ୍ୟାୟରେ, ଆମେ ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ଜ୍ୟାମିତିର ଅଧ୍ୟୟନ ଜାରି ରଖିବୁ ଯାହା ସରଳତମ ଜ୍ୟାମିତିକ ଆକୃତି - ସରଳରେଖାର ଧର୍ମଗୁଡ଼ିକୁ ଅଧ୍ୟୟନ କରିବା ପାଇଁ। ଏହାର ସରଳତା ସତ୍ତ୍ୱେ, ରେଖା ଜ୍ୟାମିତିର ଏକ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଧାରଣା ଅଟେ ଏବଂ ଆମର ଦୈନନ୍ଦିନ ଅନୁଭୂତିରେ ଅନେକ ଆକର୍ଷଣୀୟ ଏବଂ ଉପଯୋଗୀ ଉପାୟରେ ପ୍ରବେଶ କରେ। ମୁଖ୍ୟ ଧ୍ୟାନ ରେଖାକୁ ବୀଜଗଣିତିକ ଭାବରେ ପ୍ରକାଶ କରିବା ଉପରେ ଅଟେ, ଯାହା ପାଇଁ ଢାଳ ସବୁଠାରୁ ଆବଶ୍ୟକୀୟ।

9.2 ଏକ ରେଖାର ଢାଳ

ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ତଳରେ ଏକ ରେଖା $x$-ଅକ୍ଷ ସହିତ ଦୁଇଟି କୋଣ ଗଠନ କରେ, ଯାହା ପରିପୂରକ ଅଟେ। ରେଖା $0^{\circ} \leq \theta \leq 180^{\circ}$ ଦ୍ୱାରା $x$-ଅକ୍ଷର ଧନାତ୍ମକ ଦିଗ ସହିତ କରାଯାଇଥିବା କୋଣ (ଧରାଯାଉ) $x$ ଏବଂ ବିପରୀତ ଘଣ୍ଟା କାଣ୍ଟା ଦିଗରେ ମାପାଯାଇଥିବା କୋଣକୁ ରେଖାର ନତି କୁହାଯାଏ। ସ୍ପଷ୍ଟଭାବେ $0^{\circ}$ (ଚିତ୍ର 9.2)।

ଚିତ୍ର 9.2

ଆମେ ଦେଖୁଛୁ ଯେ $y$-ଅକ୍ଷ ସହ ସମାନ୍ତର ରେଖାଗୁଡ଼ିକ, କିମ୍ବା $90^{\circ}$-ଅକ୍ଷ ସହିତ ମିଳିତ ହେଉଥିବା ରେଖାଗୁଡ଼ିକର ନତି $\theta$ ଅଟେ। ଏକ ଭୂଲମ୍ବ ରେଖାର ($l$-ଅକ୍ଷ ସହ ସମାନ୍ତର କିମ୍ବା ମିଳିତ) ନତି $\tan \theta$ ଅଟେ।

ସଂଜ୍ଞା 1 ଯଦି $l$ ହେଉଛି ଏକ ରେଖା $90^{\circ}$ର ନତି, ତେବେ $m$କୁ ରେଖା $m=\tan \theta, \theta \neq 90^{\circ}$ର ଢାଳ କିମ୍ବା ପ୍ରବଣତା କୁହାଯାଏ।

ଯାହାର ନତି $x$ ଅଟେ ସେହି ରେଖାର ଢାଳ ସଂଜ୍ଞିତ ନୁହେଁ। ଏକ ରେଖାର ଢାଳକୁ $y$ ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଏ।

ତେଣୁ, $P(x_1, y_1)$ ଏହା ଦେଖାଯାଇପାରେ ଯେ $Q(x_2, y_2)$-ଅକ୍ଷର ଢାଳ ଶୂନ୍ୟ ଏବଂ $l$-ଅକ୍ଷର ଢାଳ ସଂଜ୍ଞିତ ନୁହେଁ।

9.2.1 ଯେତେବେଳେ ରେଖା ଉପରେ ଥିବା ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁର ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ଦିଆଯାଇଥାଏ ସେତେବେଳେ ଏକ ରେଖାର ଢାଳ

ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ଯେତେବେଳେ ଆମକୁ ଏକ ରେଖା ଉପରେ ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ଦିଆଯାଏ ସେତେବେଳେ ରେଖାଟି ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଭାବରେ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୁଏ। ତେଣୁ, ଆମେ ରେଖା ଉପରେ ଥିବା ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁର ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ଦୃଷ୍ଟିରେ ଏକ ରେଖାର ଢାଳ ଖୋଜିବା ପାଇଁ ଆଗେଇ ଚାଲୁ।

ମନେକର $\theta$ ଏବଂ $x_1 \neq x_2$ ଅଣ-ଭୂଲମ୍ବ ରେଖା $x$ ଉପରେ ଥିବା ଦୁଇଟି ବିନ୍ଦୁ ଅଟନ୍ତି ଯାହାର ନତି $l$ ଅଟେ। ସ୍ପଷ୍ଟଭାବେ, $QR$, ନଚେତ୍ ରେଖାଟି $x$-ଅକ୍ଷ ସହ ଲମ୍ବ ହେବ ଏବଂ ଏହାର ଢାଳ ସଂଜ୍ଞିତ ହେବ ନାହିଁ। ରେଖା $PM$ର ନତି ସୂକ୍ଷ୍ମ କିମ୍ବା ସ୍ଥୂଳ ହୋଇପାରେ। ଆସନ୍ତୁ ଏହି ଦୁଇଟି କେସ୍ ନେଇଥାଉ।

$RQ$-ଅକ୍ଷ ସହ ଲମ୍ବ $\theta$ ଏବଂ $\angle MPQ=\theta \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1)$ ସହ ଲମ୍ବ $l=m=\tan \theta$ ଅଙ୍କନ କର ଯେପରି ଚିତ୍ର 9.3 (i) ଏବଂ (ii)ରେ ଦର୍ଶାଯାଇଛି।

କେସ୍ 1 ଯେତେବେଳେ କୋଣ $\triangle MPQ$ ସୂକ୍ଷ୍ମ ଅଟେ:

ଚିତ୍ର 9.3

(i)ରେ, $\tan \theta=\frac{MQ}{MP}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2)$

ତେଣୁ, ରେଖା $\theta$ର ଢାଳ।

କିନ୍ତୁ $\angle MPQ=180^{\circ}-\theta$ରେ, ଆମେ ପାଇବା $\theta=180^{\circ}-\angle MPQ$

ସମୀକରଣ (1) ଏବଂ (2)ରୁ, ଆମେ ପାଇବା

$ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} $

କେସ୍ II ଯେତେବେଳେ କୋଣ $l=m=\tan \theta$ ସ୍ଥୂଳ ଅଟେ:

ଚିତ୍ର 9.3

(ii)ରେ, ଆମେ ପାଇବା $m$।

ତେଣୁ, $(x_1, y_1)$।

ବର୍ତ୍ତମାନ, ରେଖା $(x_2, y_2)$ର ଢାଳ।

$$ \begin{aligned} & =\tan \left(180^{\circ}-\angle \mathrm{MPQ}\right) \\ & =-\tan \angle \mathrm{MPQ} \\ & =-\frac{\mathrm{MQ}}{\mathrm{MP}}=-\frac{y _{2}-y _{1}}{x _{1}-x _{2}}=\frac{y _{2}-y _{1}}{x _{2}-x _{1}} . \end{aligned} $$

ଫଳସ୍ୱରୂପ, ଆମେ ଦେଖୁଛୁ ଯେ ଉଭୟ କେସ୍ରେ ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ ଏବଂ $l_1$ ମାଧ୍ୟମରେ ଯାଉଥିବା ରେଖାର ଢାଳ $l_2$ ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଏ।

9.2.2 ରେଖାଗୁଡ଼ିକର ସମାନ୍ତରତା ଏବଂ ଲମ୍ବତାର ସର୍ତ୍ତଗୁଡ଼ିକ ସେମାନଙ୍କର ଢାଳ ଦୃଷ୍ଟିରୁ

ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦେଶାଙ୍କ ତଳରେ, ଧରାଯାଉ ଯେ ଅଣ-ଭୂଲମ୍ବ ରେଖାଗୁଡ଼ିକ $m_1$ ଏବଂ $m_2$ର ଯଥାକ୍ରମେ ଢାଳ $\alpha$ ଏବଂ $\beta$ ଅଛି। ମନେକର ସେମାନଙ୍କର ନତି ଯଥାକ୍ରମେ $\boldsymbol{l_1}$ ଏବଂ $\boldsymbol{l_2}$ ଅଟେ। ଯଦି ରେଖା $\quad m _{1}=m _{2}$, $l_1$ ସହ ସମାନ୍ତର ଅଟେ (ଚିତ୍ର 9.4), ତେବେ ସେମାନଙ୍କର ନତି ସମାନ ଅଟେ, ଅର୍ଥାତ୍,

ଚିତ୍ର 9.4

$ \alpha=\beta, \text{ ଏବଂ ତେଣୁ, } \tan \alpha=\tan \beta $

ତେଣୁ $l_2$, ଅର୍ଥାତ୍ ସେମାନଙ୍କର ଢାଳ ସମାନ ଅଟେ।

ବିପରୀତତଃ, ଯଦି ଦୁଇଟି ରେଖା $0^{\circ}$ ଏବଂ $180^{\circ}$ର ଢାଳ ସମାନ ଅଟେ, ଅର୍ଥାତ୍,

$$ m_1=m_2 $$

ତେବେ

$$ \tan \alpha=\tan \beta \text{. } $$

ସ୍ପର୍ଶକ ଫଳନର ଧର୍ମ ଅନୁଯାୟୀ ($\alpha=\beta$ ଏବଂ $l_1$ ମଧ୍ୟରେ), $l_2$।

ତେଣୁ, ରେଖାଗୁଡ଼ିକ ସମାନ୍ତର ଅଟନ୍ତି।

ତେଣୁ, ଦୁଇଟି ଅଣ-ଭୂଲମ୍ବ ରେଖା $ \boldsymbol{l_1 } $ ଏବଂ $\boldsymbol{l_2 } $ ସମାନ୍ତର ହେବେ ଯଦି ଏବଂ କେବଳ ଯଦି ସେମାନଙ୍କର ଢାଳ ସମାନ ଅଟେ।

ଯଦି ରେଖାଗୁଡ଼ିକ $\beta=\alpha+90^{\circ}$ ଏବଂ $\quad \tan \beta=\tan (\alpha+90^{\circ})$ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଅଟନ୍ତି (ଚିତ୍ର 9.5), ତେବେ $\quad m_2=-\frac{1}{m_1}$।

ଚିତ୍ର 9.5

ତେଣୁ, $\quad m_1 m_2=-1$

$$ =-\cot \alpha=-\frac{1}{\tan \alpha} $$

ଅର୍ଥାତ୍, $m_1 m_2=-1$ କିମ୍ବା $\tan \alpha \tan \beta=-1$

ବିପରୀତତଃ, ଯଦି $\tan \alpha=-\cot \beta=\tan (\beta+90^{\circ})$, ଅର୍ଥାତ୍ $\tan (\beta-90^{\circ})$।

ତେବେ $\alpha$ କିମ୍ବା $\beta$

ତେଣୁ, $90^{\circ}$ ଏବଂ $l_1$ ପରସ୍ପରଠାରୁ $l_2$ ଦ୍ୱାରା ପୃଥକ୍ ହୁଅନ୍ତି।

ତେଣୁ, ରେଖାଗୁଡ଼ିକ $\quad m_2=-\frac{1}{m_1}$ ଏବଂ $m_1 m_2=-1$ ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ଅଟନ୍ତି।

ତେଣୁ, ଦୁଇଟି ଅଣ-ଭୂଲମ୍ବ ରେଖା ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ଲମ୍ବ ହେବେ ଯଦି ଏବଂ କେବଳ ଯଦି ସେମାନଙ୍କର ଢାଳ ପରସ୍ପରର ଋଣାତ୍ମକ ବ୍ୟୁତ୍କ୍ରମ ଅଟେ,

ଅର୍ଥାତ୍, $(3,-2)$ କିମ୍ବା, $(-1,4)$।

ଆସନ୍ତୁ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଉଦାହରଣ ବିଚାର କରିବା।

ଉଦାହରଣ 1 ରେଖାଗୁଡ଼ିକର ଢାଳ ଖୋଜନ୍ତୁ:

(କ) ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ $(3,-2)$ ଏବଂ $(7,-2)$ ମାଧ୍ୟମରେ ଯାଉଥିବା,

(ଖ) ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ $(3,-2)$ ଏବଂ $(3,4)$ ମାଧ୍ୟମରେ ଯାଉଥିବା,

(ଗ) ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ $60^{\circ}$ ଏବଂ $x$ ମାଧ୍ୟମରେ ଯାଉଥିବା,

(ଘ) $(3,-2)$-ଅକ୍ଷର ଧନାତ୍ମକ ଦିଗ ସହିତ $(-1,4)$ର ନତି କରୁଥିବା।

ସମାଧାନ (କ) $(3,-2)$ ଏବଂ $(7,-2)$ ମାଧ୍ୟମରେ ଯାଉଥିବା ରେଖାର ଢାଳ ହେଉଛି

$$ m=\frac{4-(-2)}{-1-3}=\frac{6}{-4}=-\frac{3}{2} $$

(ଖ) ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ $(3,-2)$ ଏବଂ $(3,4)$ ମାଧ୍ୟମରେ ଯାଉଥିବା ରେଖାର ଢାଳ ହେଉଛି

$$ m=\frac{-2-(-2)}{7-3}=\frac{0}{4}=0 $$

(ଗ) ବିନ୍ଦୁଗୁଡ଼ିକ $\alpha=60^{\circ}$ ଏବଂ $L_1$ ମାଧ୍ୟମରେ ଯାଉଥିବା ରେଖାର ଢାଳ ହେଉଛି

$ m=\frac{4-(-2)}{3-3}=\frac{6}{0} \text{, ଯାହା ସଂଜ୍ଞିତ ନୁହେଁ। } $

(ଘ) ଏଠାରେ ରେଖାର ନତି $L_2$। ତେଣୁ, ରେଖାର ଢାଳ ହେଉଛି

$$ m=\tan 60^{\circ}=\sqrt{3} \text{. } $$

9.2.3 ଦୁଇଟି ରେଖା ମଧ୍ୟରେ କୋଣ

ଯେତେବେଳେ ଆମେ ଏକ ତଳରେ ଗୋଟିଏରୁ ଅଧିକ ରେଖା ବିଷୟରେ ଚିନ୍ତା କରୁ, ତେବେ ଆମେ ଦେଖୁ ଯେ ଏହି ରେଖାଗୁଡ଼ିକ କିମ୍ବା ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦ କରୁଛନ୍ତି କିମ୍ବା ସମାନ୍ତର ଅଟନ୍ତି। ଏଠାରେ ଆମେ ସେମାନଙ୍କର ଢାଳ ଦୃଷ୍ଟିରେ ଦୁଇଟି ରେଖା ମଧ୍ୟରେ କୋଣ ବିଷୟରେ ଆଲୋଚନା କରିବୁ।

ମନେକର $m_1$ ଏବଂ $m_2$ ଦୁଇଟି ଅଣ-ଭୂଲମ୍ବ ରେଖା ଅଟନ୍ତି ଯାହାର ଯଥାକ୍ରମେ ଢାଳ $\alpha_1$ ଏବଂ $\alpha_2$ ଅଛି। ଯଦି $L_1$ ଏବଂ $L_2$ ଯଥାକ୍ରମେ ରେଖାଗୁଡ଼ିକ $180^{\circ}$ ଏବଂ $\theta$ର ନତି ଅଟେ। ତେବେ

$$ m_1=\tan \alpha_1 \text{ and } m_2=\tan \alpha_2 . $$

ଆମେ ଜାଣୁ ଯେ ଯେତେବେଳେ ଦୁଇଟି ରେଖା ପରସ୍ପରକୁ ଛେଦ କରନ୍ତି, ସେମାନେ ଦୁଇଯୋଡ଼ା ଶୀର୍ଷାଭିମୁଖୀ କୋଣ ଗଠନ କରନ୍ତି ଯେପରିକି ଯେକୌଣସି ଦୁଇଟି ସନ୍ନିହିତ କୋଣର ଯୋଗଫଳ $\phi$ ଅଟେ। ମନେକର $L_1$ ଏବଂ $L_2$ ରେଖାଗୁଡ଼ିକ $\tan \theta=\tan (\alpha_2-\alpha_1)=\frac{\tan \alpha_2-\tan \alpha_1}{1+\tan \alpha_1 \tan \alpha_2}=\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2} \quad(.$ ଏବଂ $.1+m_1 m_2 \neq 0)$ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସନ୍ନିହିତ କୋଣ ହେଉ (ଚିତ୍ର 9.6)। ତେବେ

ଚିତ୍ର 9.6

$$ \theta=\alpha_2-\alpha_1 \text{ and } \alpha_1, \alpha_2 \neq 90^{\circ} \text{. } $$

ତେଣୁ $\phi=180^{\circ}-\theta$ ଯେହେତୁ $\tan \phi=\tan (180^{\circ}-\theta)=-\tan \theta=-\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}$ ଏବଂ $1+m_1 m_2 \neq 0$

ତେଣୁ $\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}$, ଯେହେତୁ $\tan \theta$

ବର୍ତ୍ତମାନ, ଦୁଇଟି କେସ୍ ଉତ୍ପନ୍ନ ହୁଏ:

କେସ୍ I ଯଦି $\tan \phi$ ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, ତେବେ $\theta$ ଧନାତ୍ମକ ହେବ ଏବଂ $\phi$ ଋଣାତ୍ମକ ହେବ, ଯାହାର ଅର୍ଥ $\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}$ ସୂକ୍ଷ୍ମ ହେବ ଏବଂ $\tan \theta$ ସ୍ଥୂଳ ହେବ।

କେସ୍ II ଯଦି $\tan \phi$ ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ତେବେ $\theta$ ଋଣାତ୍ମକ ହେବ ଏବଂ $\phi$ ଧନାତ୍ମକ ହେବ, ଯାହାର ଅର୍ଥ $\theta$ ସ୍ଥୂଳ ହେବ ଏବଂ $L_1$ ସୂକ୍ଷ୍ମ ହେବ।

ତେଣୁ, ଯଥାକ୍ରମେ $L_2$ ଏବଂ $m_1$ ଢାଳ ବିଶିଷ୍ଟ ରେଖାଗୁଡ଼ିକ $m_2$ ଏବଂ $\phi$ ମଧ୍ୟରେ ଥିବା ସୂକ୍ଷ୍ମ କୋଣ (ଧରାଯାଉ $\phi=180^{\circ}-\theta$) ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଏ

$ \tan \theta=|\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}|, \text{ ଯେହେତ